2009概率论与数理统计试题及答案

一、基本概念 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 1、概念网络图 EMBED Equation.3 2、最重要的5个概念 （1）古典概型（由比例引入概率） 例1：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？ 例2：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？ （2）随机变量与随机事件的等价（将事件数字化） 例3：已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： （1） 乙箱中次品件数X的数学期望。 （2） 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 例4：将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。 （3）分布函数（将概率与函数联系起来） （4）离散与连续的关系 例5：见“数字特征”的公式。 （5）简单随机样本（将概率和统计联系在一起） 样本是由n个同总体分布的个体组成的，相当于n个同分布的随机变量的组合（n维随机变量）。 例6：样本的 是已知的，个体（总体）的 未知，矩估计： ，完成了一个从样本到总体的推断过程。 二、做题的18个口诀（概率15个，统计3个） 1、概率 （1）题干中出现“如果”、“当”、“已知”的，是条件概率。 例7：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？ （2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。 例8：玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求： （1）顾客买此箱玻璃杯的概率； （2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。 （3）“只知次数，不知位置”是“二项分布”。 例9：抛5次硬币，其中有3次正面朝上的概率？ 例10：1对夫妇生4个孩子，2男2女的概率？ （4）“先后不放回取”≡“任取”，是“超几何分布”。 例11：5个球，3红2白，先后不放回取2个，2红的概率？ 例12：5个球，3红2白，任取2个，2红的概率？ （5）“先后放回取”是“二项分布”。 例13：5个球，3红2白，先后放回取5个，2红的概率？ （6）求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。 例14：设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。 （7）二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。 ， 。 （8）二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。 例15：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中 求X的边缘密度 。 （9）求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分（正概率区间和所求区域的交集）的积分。 例16：设随机变量（X，Y）的分布密度为 试求U=X-Y的分布密度。 （10）均匀分布用“几何概型”计算。 例17：设随机变量（X，Y）的分布密度为： ，试求P(X+Y>1)。 （11）关于独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。 （12）二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，由边缘分布来求。 例19：设 ， 为两个随机事件,且 , , , 令 求(Ⅰ) 二维随机变量 的概率分布; (Ⅱ) 与 的相关系数 ; (Ⅲ) 的概率分布. （13）相关系数中的E(XY)，对于离散型随机变量，根据XY的一维分布来求；对于连续型随机变量，按照函数的期望来求。 例20： 连续型随机变量：E(XY)＝ （14） 应用题 小学应用题 下载一年级应用题应用题一年级一年级下册数学应用题一年级下册应用题 ：设Y为题干中要求期望的随机变量，a为最后题目所求，然后找Y与X的函数关系，再求E(Y)。 例21：市场上对商品需求量为X～U（2000，4000），每售出1吨可得3万元，若售不出而囤积在仓库中则每吨需保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益的期望最大？ （15）切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。 2、统计 （1）似然函数是联合密度或者联合分布律。 连续型： 离散型： 例22：设总体X的概率分别为 其中θ（0<θ< ）是未知参数，利用总体X的如下样本值：3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3 求θ的矩估计值和最大似然估计值。 （2）“无偏”求期望，“有效”求方差，“一致”不管它。 例23：设 是总体的一个样本，试证 （1） （2） （3） 都是总体均值u的无偏估计，并比较有效性。 （3） 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态、 分布区间估计和假设检验取关于y轴对称的分位数， 、 分布取面积对称的分位数。 三、选择题常考的5个混淆概念 1、乘法公式和条件概率 例24：100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发30个，棕色头发的男生10个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？已知取了一个男生，是棕色头发的概率？ 2、独立和互斥 设A≠ø, B≠ø，则A和B相互独立与A和B互斥矛盾。 例25：对于任意二事件A和B， （A） 若AB=Φ，则A，B一定不独立。 （B） 若AB=Φ，则A，B一定独立。 （C） 若AB≠Φ，则A，B一定独立。 （D） 若AB≠Φ，则A，B有可能独立。 3、独立和不相关 独立是不相关的充分条件。 (X,Y)为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。 4、X，Y分别为正态分布，不能推出（X，Y）为二维正态分布；也不能推出 X+Y 为一维正态分布。 例26：已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数 ，设 （1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数 ； （3）问X与Z是否相互独立？为什么？ 例27：设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则 （A）X与Y一定独立。 （B）（X，Y）服从二维正态分布。 （C）X与Y未必独立。 （D）X+Y服从一维正态分布。 5、几个大数定律的区别 切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。 例28：设{X1,X2,……Xn，……}是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2, ……），则随机变量序列{ X1,22X2,……n2Xn，……}： (A) 服从切比雪夫大数定律。 (B) 服从辛钦大数定律。 (C) 同时服从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。 (D) 既不服从切比雪夫大数定律，也不服从辛钦大数定律。 四、解答题常考的6个题型 1、全概和贝叶斯公式 例29：在电源电压不超过200V、在200～240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压X～N（220，252），试求 （1） 该电子元件损坏的概率α； （2） 该电子元件损坏时，电源电压在200～240V的概率β。 表中Φ（x）是标准正态分布函数。 2、二项分布 例30：设测量误差X~N（0，102）。试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。 [附表]： 3、二维随机变量 例31：设二维随机变量（X，Y）的概率分布为 Y X 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则 A、a=0.2, b=0.3 B、a=0.1, b= C、a=0.3, b=0.2 D、a=0.4, b=0.1 例32：设随机变量 在区间 上服从均匀分布，在 的条件下，随机变量 在区间 上服从均匀分布，求 (Ⅰ) 随机变量 和 的联合概率密度； (Ⅱ) 的概率密度； (Ⅲ) 概率 ． 4、数字特征 例33：一辆送客汽车，载有m位乘客从起点站开出，沿途有n个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车。设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。 例34：今有两封信欲投入编号为I、II、III的3个邮筒，设X，Y分别表示投入第I号和第II号邮箱的信的数目，试求（1）（X，Y）的联合分布；（2）X与Y是否独立；（3）令U=max (X,Y), V=min(X,Y)，求E（U）和E（V）。 例35：设 为独立同分布的随机变量，且均服从N（0，1）。记 求： （I） （II） (III) 5、应用题 例36：设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T（单元：元）与销售零件的内径X有如下关系。 ，问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ 6、最大似然估计 例37：设随机变量 的分布函数为， 其中参数 . 设 为来自总体 的简单随机样本， (Ⅰ) 当 时, 求未知参数 的矩估计量； (Ⅱ) 当 时, 求未知参数 的最大似然估计量； (Ⅲ) 当 时, 求未知参数 的最大似然估计量。 五、考试的2个技巧 1、填空题和选择题的答题技巧 例38：设随机变量 独立同分布， 则行列式 ，的数学期望 ＝ 。 例39：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、反面各出现一次}， ={正面出现两次}，则事件 （A） 相互独立。 （B） 相互独立。 （C） 两两独立。 （D） 两两独立。 自测题（第一章） 二、填空题（毎小题3分, 共15分）： 1． 、 、 代表三件事，事件“ 、 、 至少有二个发生”可表示为 ． 2．已知 ，则 = ． 3． 、 二个事件互不相容， ，则 ． 4．对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为 ，则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 ． 5．设 、 、 两两相互独立，满足 ，且已知 ，则 ． 解：1. AB+BC+AC 2. ∵A、B相互独立， ∴P(AB)=P(A)P(B) ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6 3. A、B互不相容，则P(AB)=0，P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.8 4. 设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为 ，即有 P( ) =P(A) =0.36 5. 甲产品滞销或乙产品畅销。 三、判断题（正确的打“√”，错误的打“(”，毎小题2分,共10分）: 　　1. 设 、 为任意两个互不相容事件，则对任何事件 和 也互不相容． [ ] 　 2．概率为零的事件是不可能事件． [ ] 　　3. 设 、 为任意两个事件，则 ． [ ] 　　4. 设A表示事件“男足球运动员”，则对立事件 表示“女足球运动员” ．[ ] 　　5. 设 ，且 为任一事件，则 与 互不相容，且相互独立 ．[ ] 解：1. 正确2. 不正确3. 正确4. 不正确5. 不正确 四、（6分）从1,1,2,3,3,3,4,4,5,6这10个数中随机取6个数，求取到的最大数是4的概率． 解：设A表示事件“12名中国人彼此不同属相”，每个人的属相有12种可能，把观察每个人的属相看作一次试验，由乘法原理，这12个属相的所有可能排列数为1212，而事件A所包含的形式有 种，则 =0.000054。 　　五、（6分）3人独立地去破译一个密码，他们能破译的概率分别为 若让他们共同破译的概率是多少？ 解：设Ai表示“第i人能译出密码”，i=1, 2, 3，A1，A2，A3相互独立，A表示“密码译出”，则 ∴ P (A)=1–P( 六、（10分）已知一批产品的次品率为4%，今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为是次品的概率为0.02，而次品被误认为是正品的概率为0.05，求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率． 解：设A表示通过检验认为该产品为正品，B表示该产品确为正品 依题意有 七、（10分）假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率． 解：设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A1、A2分别表示第一、二次选出的为一等品，依题意，有 P(A1)=P(B1)P( |B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3) = =0.467 P( )= =0.220 　八、（10分）设 ． 　　1. 若 ，求 ；2. 若 ，求 ；3. 若 ，求 ． 解：1. P(B )=P(B)–P(AB) 因为A，B互斥，故P(AB)=0，而由已知P(B)= ∴ P(B )=P(B)= 2. ∵ P(A)= ，由A B知：P(AB)=P(A)= ∴ P(B )=P(B)–P(AB)= – = 3. P(AB)= ∴P(B )=P(B)–P(AB)= – = 九、（10分）一批产品10件，出厂时经两道检验，第一道检验质量，随机取2件进行测试，若合格，则进入第二道检验，否则认为这批产品不合格，不准出厂；第二道检验包装，随机取1件，若合格，则认为包装合格，准予出厂．两道检验中，1件合格品被认为不合格的概率为0.05，一件不合格品被认为合格的概率为0.01，已知这批产品中质量和包装均有2件不合格，求这批产品能出厂的概率． 解：设 表示报名表是第i个地区考生的(i=1, 2, 3)，Aj表示第j次抽到的报名表是男生表(j=1, 2)，则 P(H1)=P(H2)=P(H3)= P(A | )= ； P(A |H )= ； P(A1|H3)= (1) =P( )= (2) 由全概率公式得 P(A2|H1)= ，P(A2|H2)= ，P(A2|H3)= P( A2|H1)= ，P( A|H2)= ，P( A2|H3)= P(A2)= P( A2)= 因此， 十、（8分）设 ，试证事件 与 相互独立． 证明： ∵ 00 故选(D) 3解 ∵X～N ∴ f(x)= 由4个结论验得(B)为正确答案 4解 ∵ = 故选(D) 5解 因为F(x)必须满足条件0≤F(x) ≤1，而只有取 时，才会使0≤F(x) ≤1满足,故选(A) 二、填空题（每小题3分, 共15分）: 1．二维随机变量（ ）的联合分布律为: 1 2 1 0.2 2 0.3 则 与 应满足的条件是 ，当 相互独立时， = ． 2．二维随机变量（ ）的联合密度为： ，则 的边缘概率密度为 ． 3．连续型随机变量 的概率密度为 ，则常数 ． 4．设 ，已知 (2.5)=0.9938，则 ． 5．设 是相互独立的随机变量， ，且 ，则 = ． 1解 ∵ =1 ∴ =1 即有 =0.5 当X，Y相互独立 ∴P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1) ∴ =( +0.2)( + ) ∴ =0.2 2解 ∵ (x)= = 3解 ∵ ∴ =1 ∴k=3 4解 ∵ X～N(10, 0.022) ∴ P{9.95≤X<10.05}=P =2 5解 ∵X, Y相到独立 ∴f(x, y)=fX(x)fY(y) 三、（12分）随机变量 的概率密度为 ，试求（1）系数 ；（2） 的分布函数；（3） 落在 内的概率． 解 (1) ∵ =1, 即 =1 ∴ (2) 当x<- 时, F(x)=0 当|x|≤ 时， 当x≥ 时， =1 ∴ (3) 四、（12分）假设一设备开机后无故障工作的时间 服从参数为 的指数分布．设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2h便关机，试求设备每次开机无故障工作的时间 的分布函数． 解：(1)∵X可能的取值为0, 1, 2, 3 设Ai={第i个元件出故障) i=1, 2, 3 ∴ =(1-0.2)(1-0.3)(1-0.5)=0.28 = =0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47 同理P(X=2)=P( =0.22 =0.03 ∴ X的分布律： X 0 1 2 3 P 0.28 0.47 0.22 0.03 (2) 由(1)及分布函数的定义知 当x<0时，F(x)=0 当0≤x<1时，F(x)=P(X=0)=0.28 当1≤x<2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0.75 当2≤x<3时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.97 当x≥3时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+PX=2)+P(X=3)=1 ∴ 其图为 五、（10分）随机变量 的概率密度为 ；求 的概率密度． 、解：分别记X，Y的分布函数为FX(x)，FY(y) 由于y=x2≥0，故当y≤0时，FY(y)=0 当y=x2>0时,有FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(- ≤X≤ ) = 将FY(y)关于y求导数，即得y的概率密度为 ∴ 六、（12分）随机变量 和 均服从区间[0，1]上的均匀分布且相互独立． 1．写出二维随机变量（ ）的边缘概率密度和联合概率密度．2．求 ． 解：(1)由题意得： 又∵ X,Y相互独立 ∴ f(x, y)=fX(x)fY(y)= (2) = = 七、（12分）已知随机变量 的分布律为: -1 0 1 1/4 1/2 1/4 0 1 1/2 1/2 且已知 ． （1）求（ ）的联合分布律；（2） 是否相互独立？为什么？ 解：(1)由P(XY=0)=1，可见 P{X=-1, Y=1}=P{X=1, Y=1}=0 易见 =0 于是，得X和Y的联合分布： X Y -1 0 1 0 0 1 0 0 (2) ∵P(X=0, Y=0)=0而P(X=0)P(Y=0)= ∴ P(X=0) P(Y=0)≠P(X=0, Y≠0) ∴ X, Y不独立 八、（12分）设 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为: EMBED Equation.3 求随机变量 的概率密度函数． 设Z的密度函数为fZ(z)，则由卷积公式得 a) 当z<0时，f (t)=0，∴f (z)=0 b) 当0≤z<1时，z-1<0，z≥0 c) 当z≥1时，z-1≥0 综述： 自测题（第三章） 一、选择题（毎小题3分, 共6分）: 1. 对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于（　　）. 　　（A）0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4 2．若 ，则（ ）. （A） 与 独立 （B） （C） （D） 与 不相关 1. 选（D）；由题意知：X～B(3, p)，而D(X)=3 · p · (1–p)=0.72 ∴ p=0.4。 2. 选（B）；∵E(X)= ，而被积函数为对称区间上的奇函数，∴ E(X)=0。 二、判断题（每小题3分, 共12分）: 1．设随机变量 的概率密度为 ，则 =0．（ ） 2．设 ，则对任何实数 均有： ．（ ） 3．设 ， 从参数为 的指数分布，则 ．（ ） 4．设 ，则 与 独立．（ ） 1. [×]； ∵ E(X)= 不一定等于零。 2. [×]； ∵ E(X+a)=E(X)+a=a，D(X)=D(X+a)=D(X)= ∴ X+a～N(0, ) 3. [√]； ∵ D(X)=E(X2)–[E(X)]2，D(Y)=E(Y2)–[E(Y)]2， 而 E(X)= ，D(X)= ，E(Y)= ，D(Y)= (其中 )。 ∴ E(X2+Y2)=E(X2)+E(Y2)=D(X)+[E(X)]2+D(Y)+[E(Y)]2 = 。 4. [×]； 参见教材例3.14。 三、填空题（每空2分, 共22分）: 1．设二维随机变量（ , ）的联合分布律为： 1 2 1 1/4 1/2 0 1/4 则 = ， = ， = ， = ， = ， ． 2．设连续型随机变量 概率密度为 ，且 ，则常数 ． 3．设随机变量 的数学期望 ，且 ，则 ． 4．对圆的直径作近似测量，测量近似值 均匀分布于区间 内，则圆面积的数学期望是 ． 5．设随机变量 与 相互独立，且 ．令 ，则 ． 6．设随机变量（ ）在区域 内服从均匀分布，则 ． 1. E(X)=1× = ； D(X)=E(X2)–[E(X)]2= = ； E(Y)= = ； D(Y)=E(Y2)–[E(Y)]2= = ； cov(X, Y)=E(XY)–E(X)E(Y)= = ； ； 2. ∵ E(X)= ∴ a=–2。 3. ∵ |x|f(x)为奇函数， 收敛，∴ E(X)=0。 4. 设Y= 表示圆面积，∵ X～U[–a, a]，E(X)=0，D(X)= ， E(Y)=E = 。 5. ∵ X与Y相互独立，∴ D(Z)=D(–Y+2X+3)=D(–Y)+D(2X+3) =(–1)2D(Y)+4D(X)=1+4×2=9。 6. D(Y)=D(2X–3)=4D(X)=4{E(X2)–[E(X)]2}=4(4–12)=12。 四、（10分）设随机变量（ ）的概率密度为： 求数学期望 及 ，方差 及 ，协方差 及相关系数 ． 、解：E(X)= ； E(Y)= ； ∵ E(X2)= ， ∴ D(X)=E(X2)–[E(X)]2= ； 又 ∵ E(Y2)= = ∴ D(Y)=E(Y2)–[E(Y)]2= ； 又 ∵ E(XY)= ， ∴ cov(X, Y)=E(XY)–E(X) · E(Y)= ； 。 五、（10分）设有甲、乙两种投资证券，其收益分别为随机变量 ，已知均值分别为 ，风险分别为 ，相关系数为 ，现有资金总额为 （设为1个单位）．怎样组合资金才可使风险最小？ 解：E(X)= =…= ； ∵ E(X2)= = =(m+2) (m+1) ∴ D(X)=E(X2)–[E(X)]2=(m+2) (m+1)–(m+1)2=m+1。 六、（10分）设随机变量 的分布密度为 ，求 和 ． 解：由 得：a=6；这时，f(x)= ， E(X)= ； D(X)=E(X2)–[E(X)]2= ； = 。 七、（10分）设随机变量 与 相互独立，且均服从密度为 ，的分布，求（1） + 的分布密度；（2）求 ． 解：由于X与Y相互独立， （1）应用卷积公式，有Z=X+Y的分布密度 fZ(z)= 考虑到fX(x)仅在x>0时有非零值，fY(z–x)仅在z–x>0，即x0时 f(z)= ， 即 f(z)= 。 （2）E(XY)=E(X)·E(Y)=1×1=1（∵X、Y均服从 =1的指数分布）。 八、（10分）设随机变量 服从泊松分布， ，证明： ． 证明：∵ X～ ( )，且E(X)=6= ，则D(X)= =6 根据切比雪夫不等式，有 P{3 资料 新概念英语资料下载李居明饿命改运学pdf成本会计期末资料社会工作导论资料工程结算所需资料清单 表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求 . x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 解 X～b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分 ---------------------------10分 =0.994+0.933--1 .--------------------------------------------------15分 七、（15分）设 是来自几何分布: ,的样本，试求未知参数 的极大似然估计. 解 ----------5分 --------------------------------10分 解似然方程 ， 得 的极大似然估计 。--------------------------------------------------------------------15分 《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件 仅发生一个的概率为0.3，且 ，则 至少有一个不发生的概率为__________. 2． 设随机变量 服从泊松分布，且 ，则 ______. 3． 设随机变量 在区间 上服从均匀分布，则随机变量 在区间 内的概率密度为 _________. 4． 设随机变量 相互独立，且均服从参数为 的指数分布， ，则 _________， =_________. 5． 设总体 的概率密度为 . 是来自 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为_________. 解：1． 即 所以 . 2． 由 知 即 解得 ，故 . 3．设 的分布函数为 的分布函数为 ，密度为 则 因为 ，所以 ，即 故 另解 在 上函数 严格单调，反函数为 所以 4． ，故 EMBED Equation.DSMT4 . 5．似然函数为 解似然方程得 的极大似然估计为 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设 为三个事件，且 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若 ，则 与 也独立. （B）若 ，则 与 也独立. （C）若 ，则 与 也独立. （D）若 ，则 与 也独立. （ ） 2．设随机变量 的分布函数为 ，则 的值为 （A） . （B） . （C） . （D） . （ ） 3．设随机变量 和 不相关，则下列结论中正确的是 （A） 与 独立. （B） . （C） . （D） . （ ） 4．设离散型随机变量 和 的联合概率分布为 若 独立，则 的值为 （A） . （A） . （C） （D） . （ ） 5．设总体 的数学期望为 为来自 的样本，则下列结论中 正确的是 （A） 是 的无偏估计量. （B） 是 的极大似然估计量. （C） 是 的相合（一致）估计量. （D） 不是 的估计量. （ ） 解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）. 事实上由图 可见A与C不独立. 2． 所以 应选（A）. 3．由不相关的等价条件知应选（B）. 4．若 独立则有 EMBED Equation.DSMT4 ， 故应选（A）. 5． ，所以 是 的无偏估计，应选（A）. 三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设 ‘任取一产品，经检验认为是合格品’ ‘任取一产品确是合格品’ 则（1） （2） . 四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设 为途中遇到红灯的次数，求 的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解： 的概率分布为 即 的分布函数为 EMBED Equation.DSMT4 . 五、（10分）设二维随机变量 在区域 上服从均匀分布. 求（1） 关于 的边缘概率密度；（2） 的分布函数与概率密度. 解： （1） 的概率密度为 （2）利用公式 其中 EMBED Equation.DSMT4 当 或 时 时 故 的概率密度为 的分布函数为 或利用分布函数法 六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标 和纵坐标 相互独立，且均服从 分布. 求（1）命中环形区域 的概率；（2）命中点到目标中心距离 的数学期望. 解： （1） ； （2） . 七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm） ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值 ，样本方差 . （1）求 的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设 （显著性水平为0.05）. （附注） 解：（1） 的置信度为 下的置信区间为 所以 的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） （2） 的拒绝域为 . ， 因为 ，所以接受 . 《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答 一、填空题（每小题3分，共15分） （1） 设事件 与 相互独立，事件 与 互不相容，事件 与 互不相容，且 ， ，则事件 、 、 中仅 发生或仅 不发生的概率为___________. （2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________. （3） 设随机变量 的概率密度为 现对 进行四次独立重复观察，用 表示观察值不大于0.5的次数，则 ___________. （4） 设二维离散型随机变量 的分布列为 若 ，则 ____________. （5） 设 是总体 的样本， 是样本方差，若 ，则 ____________. （注： , , , ） 解：（1） 因为 与 不相容， 与 不相容，所以 ，故 同理 . . （2）设 ‘四个球是同一颜色的’， ‘四个球都是白球’， ‘四个球都是黑球’ 则 . 所求概率为 所以 . （3） 其中 ， ， . （4） 的分布为 X Y 1 2 0 0.4 0.1 0.5 1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.4 这是因为 ，由 得 ， 故 . （5） 即 ，亦即 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分） （1）设 、 、 为三个事件， 且 ，则有 （A） （B） （C） （D） （ ） （2）设随机变量 的概率密度为 且 ，则在下列各组数中应取 （A） （B） （C） . （D） （ ） （3）设随机变量 与 相互独立，其概率分布分别为 则有 （A） （B） （C） （D） （ ） （4）对任意随机变量 ，若 存在，则 等于 （A） （B） （C） （D） （ ） （5）设 为正态总体 的一个样本， 表示样本均值，则 的 置信度为 的置信区间为 （A） （B） （C） （D） （ ） 解 （1）由 知 ，故 应选C. （2） 即 故当 时 应选B. （3） 应选C. （4） 应选C. （5）因为方差已知，所以 的置信区间为 应选D. 三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。 解：设 ‘从箱中任取2件都是一等品’ ‘丢失 等号’ . 则 ； 所求概率为 . 四、（10分）设随机变量 的概率密度为 求（1）常数 ； （2） 的分布函数 ； （3） 解：（1） ∴ （2） 的分布函数为 （3） . 五、（12分）设 的概率密度为 求（1）边缘概率密度 ； （2） ； （3） 的概率密度 . 解：（1） EMBED Equation.DSMT4 （2） . （3） 当 时 时 所以 六、（10分）（1）设 ， 且 与 独立，求 ； （2）设 且 与 独立，求 . 解： （1） ； （2）因 相互独立，所以 ，所以 . 七、（10分）设总体的概率密度为 试用来自总体的样本 ，求未知参数 的矩估计和极大似然估计. 解：先求矩估计 故 的矩估计为 再求极大似然估计 所以 的极大似然估计为 . 《概率论与数理统计》期末试题（4）与解答 一、填空题（每小题3分，共15分） （1） 设 , , ，则 至少发生一个的概率为_________. （2） 设 服从泊松分布，若 ，则 ___________. （3） 设随机变量 的概率密度函数为 今对 进行8次独立观测，以 表示观测值大于1的观测次数，则 ___________. （4） 元件的寿命服从参数为 的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作1