洛必达法则失效的种种情况及处理方法
今天我在看XX
书
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时，看到这样一道
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
，说是不可以使用洛必达法则，我对照这本书上关于使用洛必达法则的条件，觉得还不太清楚，好像应该是符合条件的，谢谢你抽空给我指点一下。
洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则
的三个条件：
（1）
（或
），
（或
）；
（2）
和
在
点的某个去心邻域内可导；
（3）
（或
）。
其中第三个条件尤其重要。
其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。
而对于极限问题
来说，因为
不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。
实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。
【问题】求极限
。
【解】对于任何足够大的正数
，总存在正整数
，使
，也就是说总存在正整数
，使
，其中
。
这样
就等价于
，所以
，
这里前面一项注意到了函数
的周期为
，而后面一项作了令
的换元处理。最后注意到积分值
的有界性（
）。
如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况，则洛必达法则还有第二种失效的情况：第三个条件永远也无法验证。
【问题2】求极限（1）
；（2）
。
【分析与解】（1）这是
型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证到第两次后可以得到
，
可知洛必达法则失效，处理的方法是
。
（2）的情况与（1）的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到
，
可知洛必达法则失效，处理的方法是分子分母同乘
，得到
。
【问题3】求极限
。
【分析与解】这是
型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可知洛必达法则的第三个条件
完全不可能得到验证，因为分子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。正确有效的方法是作换元，令
，这样就有
。
还有一种极限问题，原则上虽然也适合使用洛必达法则，但不具有实际可操作性，例在本博客“2008考研数学辅导系列之24（4月14日博文《泰勒公式的应用》）”一文中的
【例1】求极限
问题，当时曾经分析说：本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂，而用了泰勒公式就会方便得多了．
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