Matlab优化工具在通用风力机翼型型线设计中的应用

第 28 卷第 4 期 2 0 1 1 年 4 月 机 械 设 计 JOURNAL OF MACHINE DESIGN Vol． 28 No． 4 Apr． 2011 Matlab优化工具在通用风力机翼型型线设计中的应用 * 王旭东，王立存 (重庆工商大学 废油资源化技术与装备教育部工程研究中心，重庆 400067) 摘要:基于 Matlab软件中的优化算法和优化工具，针对风力机翼型通用型线集成表达式建立了优化数学模型。以风 力机翼型的最大升阻比为优化设计目标函数，翼型形状控制方程的系数为设计变量，翼型的厚度和弯度为约束条件，设 计得到了相对厚度为 18%的风力机翼型，并对其性能进行了计算分析。研究结果拓宽了风力机叶片翼型的设计思路和 设计方法。 关键词:Matlab软件;风力机翼型;通用型线;优化算法 中图分类号:TK83 文献标识码:A 文章编号:1001 － 2354(2011)04 － 0020 － 03 风力机叶片翼型设计理论是决定风力机功率特性 和载荷特性的根本因素，一直是各国学者研究的热点 所在。风力机主要是利用叶片上所受升力来转换风能 的，而叶片受的升力就取决于构成叶片的翼型的升力 系数。可以说，翼型的性能对风力机的气动性能具有 决定性的影响，高性能翼型的研究是风力机发展的一 项基础性研究。从 20 世纪 80 年代开始，风力机翼型 得到了很大的发展，美国国家可再生能源实验室学者 Tangler和 Somers提出的 NREL系列［1］，丹麦风能国家 实验室提出的 Ris 系列［2］，荷兰 Delft 大学 Timmer 和 Van Rooij 提出的 DU 系列［3］以及瑞典学者 Bjork 的 FFA系列［4］等都对风力机翼型的发展做出了重要的贡 献。该文在前期研究建立的通用翼型型线的集成表达 式基础上，基于 Matlab 软件的优化工具，提出了通用 翼型型线的优化模型，通过迭代计算得到了性能优越 的翼型。提出的这种翼型设计方法是一种全新的、高 效的翼型优化设计方法。 1 Matlab 软件中非线性单目标多约束 优化模型的建立 Matlab 软件的优化问题包括线性规划、非线性规 划及多目标规划问题［5］。翼型的优化目的是寻求具有 高升阻比的翼型，进而来提高风力机的效率，属于典型 的非线性单目标多约束优化问题。非线性单目标多约 束多元函数的标准形式一般为: min x f(x) (1) sub． to C(x)≤ 0 Ceq(x)= 0 A·x≤ b Aeq·x = beq b1 ≤ x≤ bu 式中:x，b，beq，bl，bu———向量; A，Aeq———矩阵; C(x) ，Ceq(x)———返回向量的函数; f(x)———目标函数; f(x) ，C(x) ，Ceq(x)———可以是非线性函数。 针对此类问题的优化，Matlab 提供了有约束的多 元函数最小值算法，可以应用函数 fmincon 来实现。具 体形式为: x = fmincon(fun，x0，A，b，Aeq，beq，b1，bu，nonlcon，options) (2) 式中:fun———目标函数; x0———初始值; nonlcon———其作用是通过接受的向量 x来计算非线性不 等式约束 C(x)≤ 0和等式约束 Ceq(x)= 0 分别在 x处的估计 C和 Ceq，通过指定函数柄 来使用。 2 通用翼型型线的优化设计模型 根据翼型的儒科夫斯基变换，平面上的翼型在笛 卡儿坐标系下可以表示为［6］: * 收稿日期:2010 － 05 － 20;修订日期:2010 － 10 － 10 基金项目:重庆高校创新团队资助项目(KJTD201019) ;重庆工商大学科研启动基金资助项目(2010 － 56 － 11) 作者简介:王旭东(1981—) ，男，陕西蓝田人，讲师，博士，研究方向:机械结构优化设计及可再生能源装备关键技术。 x = (r + a2 / r)cos θ y = (r － a2 / r)sin{ θ (3) 式中:r———翼型的矢径长度，r = a·exp (φ(θ) )。 翼型型线是由具有翼型特性的曲线组成的。根据 以上的儒科夫斯基变换理论，基于 Taylor 级数思想的 可取函数 φ(θ)的广义泛函方程可以集成为［7］: φ(θ)= a1(1 － cos θ)+ b1 sin θ + a2(1 － cos θ) 2 + b2 sin 2θ + … + ak(1 － cos θ) k + bksin kθ + … (k = 1，2，3，…，∞) (4) 可以看出该式满足 φ(0)= 0，保证了翼型形状的 基本特性。选取不同的 ak，bk 和项数，就可以得到不同 的翼型。 针对该翼型通用型线集成式，建立其优化设计模 型，以最大升阻比为目标函数，以式(4)中的 a1，b1， a2，b2，a3，b3 为设计变量，其程序表现如下: ［x，fval，exitflag，output］ = fmincon(@ myfun，x0， A，B，Aeq，Beq，lb，ub，@ nlconfun) function CC = myfun(x) ［xt，yt，LD］ = xfunction(x) CC = － LD End 其中:LD即指翼型的目标函数升阻比，这里翼型 的升力系数和阻力系数由Xfoil软件［8］计算，计算结果 再调入 Matlab中。 优化程序中的约束条件，分别用来控制翼型的厚 度和最大厚度所出的位置。 function［C，Ceq］ = nlconfun(X) ［xt，yt，LD］ = xfunction(X) Ceq(1)= ［yt － 0． 18］ C(1)= ［xt － 0． 3］ C(2)= ［0． 2 － xt］ 其中等式约束 Ceq(1)即是控制翼型的最大相对 厚度为 18%，不等式约束 C(1)和 C(2)即是控制翼型 最大厚度沿弦长的位置。 3 算例分析 应用以上建立的优化模型，在 Matlab 中对翼型进 行优化设计，经过 45 次迭代后得到一组优化结果，此 时的翼型形状如图 1，其中坐标系中的 c表示翼型的弦 长。该翼型的最大相对厚度为 18%，位于弦长的 25% 处，符合约束条件的限制。在雷诺数Re = 1. 6 × 106时， 应用 Xfoil程序对设计翼型的气动性能进行了计算，图 2 为该翼型的升力系数随攻角的变化关系，可以看出， 该翼型拥有最大升力系数 1． 87，并且失速较晚。图 3为 相同条件下该翼型的升阻比与攻角的关系，可以看出， 该设计翼型的最大升阻比在雷诺数 Re = 1. 6 × 106 时 可以达到 150． 09。 图 1 优化设计翼型形状 图 2 设计翼型的升力系数随攻角变化图 图 3 设计翼型在主要工作攻角区域的升阻比 4 结论 针对风力机翼型通用型线集成表达式建立该函数 的优化数学模型，以翼型的最大升阻比为优化设计目 标函数，翼型的形状控制方程的系数为设计变量，翼型 的厚度和弯度为约束条件，应用 Matlab 优化设计工具 得到了相对厚度 18%的风力机翼型，并对设计翼型的 性能进行了计算分析，验证了设计结果的可靠性。 参考文献 ［1］ Tangler J L，Somers D M． NREL airfoil families for HAWT’s［C］/ /Proc WINDPOWER’95，Washington D C，1995:117 － 123． 122011 年 4 月 王旭东，等:Matlab优化工具在通用风力机翼型型线设计中的应用 第 28 卷第 4 期 2 0 1 1 年 4 月 机 械 设 计 JOURNAL OF MACHINE DESIGN Vol． 28 No． 4 Apr． 2011 一种有效的动压气体径向轴承承载力数值解法 * 张海军，沈剑英，杨琴 (嘉兴学院 机电工程学院，浙江 嘉兴 314001) 摘要:考虑动压气体径向轴承中气膜压力变化小的特点，对润滑 Reynolds方程的非线性项进行适当近似，得到线性 Reynolds方程。利用有限差分法求解该近似 Reynolds 方程，得到动压气体径向轴承的压力分布，分析气体径向轴承性 能，计算得出轴承承载力的大小，并与文献中的实验数据进行比较。与直接数值解相比，该数值解计算结果与实验数据 吻合较好。 关键词:动压气体径向轴承;Reynolds方程;非线性;有限差分法; 中图分类号:TH117． 2 文献标识码:A 文章编号:1001 － 2354(2011)04 － 0022 － 04 气体轴承利用润滑膜中的气体压力来实现承载作 用的。由于所用润滑介质一般为空气，因此气体轴承 具有摩擦损耗少、速度高、精度高和污染少等特点［1］。 20 世纪 60 ～ 70 年代国内外进行气体轴承研究较多， 近年来随着 MEMS微动力涡轮研究的兴起，气体轴承 的研究又开始受到重视［2］。 Reynolds方程是分析动压气体径向轴承性能的基 本方程，由于气体的可压缩性使 Reynolds 方程呈现非 线性，一般难以求得解析解，因此采用数值方法研究气 体径向轴承性能是一种有效途径。数值解方法可以分 为两类［3］:解析数值解和直接数值解。解析数值解方 法，即对非线性 Reynolds方程进行一些近似，求得近似 解析解表达式，然后用数值方法求解;直接数值解方法 则是对非线性 Reynolds 方程直接进行数值近似求解。 Raimondi［4］利用有限差分法分析了有限长动压气体径 向轴承性能。Piekos 和 Breuer［5］采用伪谱法来求解 Reynolds方程。戚社苗［6］等通过数学变换，将动压气 体润滑 Reynolds方程变换成标准的椭圆型偏微分方程 形式，以 Matlab PDE(partial differential equation)工具 箱为求解器，实现 Reynolds方程的计算 欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 。 ［2］ Fuglsang P，Bak C，Gaunaa M，et al． Design and verifica- tion of the Ris-B1 airfoil family for wind turbines［J］． Jour- nal of Solar Energy Engineering，2004，126:1002 －1010． ［3］ Timmer W A，Van Rooij A． Summary of the delft universi- ty wind turbine dedicated airfoils［J］． Journal of Solar En- ergy Engineering，2003，125:488 － 496． ［4］ Bjork A． Coordinates and calculations for the FFA-W1-xxx， FFA-W2-xxx and FFA-w3-xxx series of airfoils for horizon- tal axis wind turbines ［R］． FFA TN， Stockholm， Sweden，1990． ［5］ 苏金明，张莲花，刘波，等． MATLAB 工具箱应用［M］． 北京:电子工业出版社，2004． ［6］ 钱翼稷． 空气动力学［M］． 北京:北京航空航天大学出 版社，2005． ［7］ 王旭东，陈进，Wenzhong Shen，等． 风力机叶片翼型型线 集成设计理论研究［J］． 中国机械工程，2009，20(2) : 211 － 213． ［8］ Drela M． XFOIL 6． 8 User Primer［M］． MIT Aero ＆ Astro， 1996． Application Matlab optimization tool in general profiles design for wind turbine airfoils WANG Xu-dong，WANG Li-cun (Engineering Research Centre for Waste Oil Recovery Tech- nology and Equipment，Ministry of Education，Chongqing Technol- ogy and Business University，Chongqing 400067，China) Abstract:Based on the optimization algorithm and optimiza- tion tool in Matlab，the optimization mathematical model for the In- tegrated expression of general profile for wind turbine airfoils was established． By taking the optimization design of the lift and drag ratio of wind turbine airfoils as the objective function，taking the co- efficients of the general profile control equation as design variables， and taking the thickness and curve shape of the wind turbines air- foils as the constraints，one airfoil with relative thickness of 18% is designed and the its performances are analyzed． The result has broadened the design way and method for wind turbine airfoils． Key words:Matlab;wind turbine airfoil;general profile;op- timization algorithm Fig 3 Tab 0 Ref 8 “Jixie Sheji”0298 * 收稿日期:2010 － 01 － 11;修订日期:2010 － 10 － 25 基金项目:嘉兴市科技计划资助项目(2008AY2021) 作者简介:张海军(1976—) ，男，山东鱼台人，讲师，硕士，研究方向:气体轴承 －转子动力学等。