1995年全国高中数学联赛
第 一 试
一．选择题(每小题6分，共36分)
1. 设等差数列满足且，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是( )
(A) (B) (C) (D)
2. 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为，则复数Z11995，Z21995，所对应的不同的点的个数是( )
(A)4 (B)5 (C)10 (D)20
3. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )
(A)1个 (B)2个 (C)50个 (D)100个
4. 已知方程在区间(2n-1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)以上都不是
5. 的大小关系是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
6. 设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA，PB的延长线分别交于Q，R，则和式
(A)有最大值而无最小值 (B有最小值而无最大值
(C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个与面QPS无关的常数
二、填空题(每小题9分，共54分)
1. 设为一对共轭复数，若，且为实数，则_____．
2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______．
3. 用[x]
表
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示不大于实数x的最大整数， 方程的实根个数是______．
4. 直角坐标平面上，满足不等式组的整点个数是______．
5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色
方法
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的总数是______．
6. 设M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且满足条件:当时，，则A中元素的个数最多是______．
第 二 试
一、(25分) 给定曲线族，为参数，求该曲线在直线上所截得的弦长的最大值．
二、(25分) 求一切实数，使得三次方程的三个根均为自然数．
三、(35分) 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧与上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证: (/．
四、(35分) 将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。
证明
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:存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．
浙公网安备 33021202002483