大一上高数期末复习资料

高等数学期末复习资料 第 1 页（共 9 页） 高等数学 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）    , |U a x x a       , | 0U a x x a     第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★） 【题型示例】已知数列 nx ，证明  lim n x x a   【证明示例】 N 语言 1．由 nx a   化简得  gn  ， ∴  N g     2．即对 0 ，  N g     ，当 Nn  时，始终 有不等式 nx a   成立， ∴   axn x   lim 第三节 函数的极限 ○ 0xx 时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数  xf ，证明   Axf xx   0 lim 【证明示例】   语言 1．由  f x A   化简得  00 x x g    ， ∴   g 2．即对 0 ，   g ，当 00 x x    时， 始终有不等式  f x A   成立， ∴   Axf xx   0 lim ○ x 时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数  xf ，证明   Axf x   lim 【证明示例】 X 语言 1．由  f x A   化简得  x g  ， ∴  gX  2．即对 0 ，  gX  ，当 Xx  时，始终有 不等式  f x A   成立， ∴   Axf x   lim 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数  xf 无穷小   0lim xf 函数  xf 无穷大   xflim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设  xf 为有界函数，  xg 为无穷小， 则    lim 0f x g x    （定理四）在自变量的某个变化过程中，若  xf 为 无穷大，则  1f x 为无穷小；反之，若  xf 为无 穷小，且   0f x  ，则  xf 1 为无穷大 【题型示例】计算：     0 lim x x f x g x    （或 x ） 1．∵  f x ≤M ∴函数  f x 在 0xx  的任一去心 邻域  ,0xU  内是有界的； （∵  f x ≤M ，∴函数  f x 在 Dx 上有界；） 2．   0lim 0   xg xx 即函数  xg 是 0xx 时的无穷小； （   0lim   xg x 即函数  xg 是 x 时的无穷小；） 3．由定理可知     0 lim 0 x x f x g x      （    lim 0 x f x g x      ） 第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则 关于多项式  p x 、  xq 商式的极限运算 设：            n nn m mm bxbxbxq axaxaxp 1 10 1 10 则有              0 lim 0 0 b a xq xp x mn mn mn            0 0 0 lim 0 0 x x f x g x f x g x                    0 0 0 0 0 0 0, 0 0 g x g x f x g x f x      （特别地，当    0 0 lim 0x x f x g x  （不定型）时，通常分 子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极 限值，也可以用罗比达法则求解） 【题型示例】求值 23 3 lim 9x x x   高等数学期末复习资料 第 2 页（共 9 页） 【求解示例】解：因为 3x ，从而可得 3x ，所以原 式   23 3 3 3 3 1 1 lim lim lim 9 3 3 3 6x x x x x x x x x             其中 3x  为函数   2 3 9 x f x x    的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 解：     0 0 23 3 32 33 1 1 lim lim lim 9 2 6 9 x L x x xx x x x           ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数  xf 是定义域上的连续函数，那 么，     0 0 lim lim x x x x f x f x           【题型示例】求值： 9 3 lim 23    x x x 【求解示例】 2 23 3 3 3 1 6 lim lim 9 9 6 6x x x x x x         第六节 极限存在准则及两个重要极限 ○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限： 1 sin lim 0   x x x ∵        2 ,0  x ， xxx tansin  ∴ 1 sin lim 0   x x x 0 0 0 0 lim11 lim lim 1 sin sinsin lim x x x x x x xx x x              （特别地， 0 0 0 sin( ) lim 1 x x x x x x    ） ○单调有界收敛准则（P57）（★★★） 第二个重要极限： e x x x         1 1lim （一般地，        lim lim lim g x g x f x f x       ，其中   0lim xf ） 【题型示例】求值： 1 12 32 lim           x x x x 【求解示例】     2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 11 2 2 1 2 2 1 2 1 lim 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 2 lim lim lim 1 2 1 2 1 2 1 2 2 lim 1 lim 1 2 1 2 1 2 lim 1 2 1 x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x                                                                              解：     1 2 lim 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 2 lim 12 1 x x xx x x x x x e e e e                            第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★） 1．   ~ sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan ~ ln(1 ) ~ 1U U U U U U U e   2． UU cos1~ 2 1 2  （乘除可替，加减不行） 【题型示例】求值：     xx xxx x 3 1ln1ln lim 20    【求解示例】               3 1 3 1 lim 3 1 lim 3 1ln1 lim 3 1ln1ln lim,0,0 000 20                x x xx xx xx xx xx xxx xx xxx x 所以原式即解：因为 第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★）       0 0 0lim lim x x x x f x f x f x      ○间断点的分类（P67）（★）         ）无穷间断点（极限为 第二类间断点 可去间断点（相等） 跳越间断点（不等） 限存在）第一类间断点（左右极 （特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式） 【题型示例】设函数        xa e xf x2 ， 0 0   x x 应该怎样选 择数a，使得  xf 成为在R上的连续函数？ 【求解示例】 1．∵       2 0 10 0 0 0 f e e e f a a f a                2．由连续函数定义       efxfxf xx    0limlim 00 ∴ ea  高等数学期末复习资料 第 3 页（共 9 页） 第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★） 【题型示例】证明：方程    f x g x C  至少有一个根 介于 a与b之间 【证明示例】 1．（建立辅助函数）函数      x f x g x C    在 闭区间  ,a b 上连续； 2．∵     0a b   （端点异号） 3．∴由零点定理，在开区间  ba, 内至少有一点，使 得   0 ，即     0f g C    （ 10  ） 4．这等式说明方程    f x g x C  在开区间  ba, 内至少有一个根 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 ○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★） 【题型示例】已知函数         bax e xf x 1 ， 0 0   x x 在 0x 处可导，求 a，b 【求解示例】 1．∵     00 1 0 f e f a         ，       0 0 0 0 1 1 2 0 0 1 2 f e e f b f e                2．由函数可导定义           0 0 1 0 0 0 2 f f a f f f b              ∴ 1, 2a b  【题型示例】求  xfy  在 ax  处的切线与法线方程 （或：过  xfy  图像上点  ,a f a  处的切线与法线 方程） 【求解示例】 1．  xfy  ，  afy ax  | 2．切线方程：     y f a f a x a   法线方程：       1 y f a x a f a      第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则 ○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）： ( )u v u v        特别地，当 1  时，有 ( )u v u v     2．函数积的求导法则（定理二）： ( )uv u v uv    3．函数商的求导法则（定理三）： 2 u u v uv v v         第三节 反函数和复合函数的求导法则 ○反函数的求导法则（★） 【题型示例】求函数  xf 1 的导数 【求解示例】由题可得  xf 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且   0 xf ；∴     1 1f x f x        ○复合函数的求导法则（★★★） 【题型示例】设  2arcsin 1 2 2ln xy e x a   ，求 y 【求解示例】                 2 2 2 2 2 2 2 arcsin 1 2 2 arcsin 1 2 2 2 2 2 arcsin 1 2 22arcsin 1 2 2 2 arcsin 1 2 2 2arcsin 1 2 2 arcsi arcsin 1 2 2 1 11 21 1 2 1 22 1 2 2 1 x x x x x x x y e x a e x a x x a e x axe x a x xx e x x ae x a e e x a                                                      解： 2n 1 2 2 2 21 2 x x x x x x a            第四节 高阶导数 ○        1n nf x f x      （或     1 1 nn n n d y d y dx dx           ）（★） 【题型示例】求函数  xy  1ln 的n阶导数 【求解示例】   11 1 1 y x x       ，       1 2 1 1 1y x x              ，           2 3 1 1 1 2 1y x x                  „„   1( 1) ( 1) (1 ) n n ny n x      ！ 第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对 x求导）（★★★） 【题型示例】试求：方程 yexy  所给定的曲线C ：  xyy  在点  1,1 e 的切线方程与法线方程 【求解示例】由 yexy  两边对 x求导 即  yy x e     化简得 1 yy e y    ∴ ee y     1 1 1 1 1 高等数学期末复习资料 第 4 页（共 9 页） ∴切线方程：  ex e y    1 1 1 1 法线方程：   exey  111 ○参数方程型函数的求导 【题型示例】设参数方程         ty tx   ，求 2 2 dx yd 【求解示例】1.    t t dx dy      2.   2 2 dy d y dx dx t         第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 第七节 函数的微分 ○基本初等函数微分 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 与微分运算法则（★★★）   dxxfdy  第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★） 【题型示例】现假设函数  f x 在  0, 上连续，在  0, 上可导，试证明：  0,   ， 使得    cos sin 0f f     成立 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令    sinx f x x  显然函数  x 在闭区间  0, 上连续，在开区间  0, 上可导； 2．又∵    0 0 sin 0 0f      sin 0f     即    0 0    3．∴由罗尔定理知  0,   ，使得    cos sin 0f f     成立 ○拉格朗日中值定理（★） 【题型示例】证明不等式：当 1x  时， xe e x  【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数   xf x e ，则对 1x  ， 显然函数  f x 在闭区间  1, x 上连续，在开区间  1, x 上可导，并且   xf x e  ； 2．由拉格朗日中值定理可得，  1, x  使得等式  1 1xe e x e   成立， 又∵ 1e e  ，∴  1 11xe e x e e x e      ， 化简得 xe e x  ，即证得：当 1x  时， xe e x  【题型示例】证明不等式：当 0x  时，  ln 1 x x  【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数    ln 1f x x  ，则对 0x  ，函数  f x 在闭区间 0, x 上连续，在开区 间  0, 上可导，并且   1 1 f x x    ； 2．由拉格朗日中值定理可得，  0, x  使得等式       1 ln 1 ln 1 0 0 1 x x        成立， 化简得   1 ln 1 1 x x     ，又∵  0, x  ， ∴   1 1 1 f       ，∴  ln 1 1x x x    ， 即证得：当 1x  时， xe e x  第二节 罗比达法则 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆等价无穷小的替换（以简化运算） 2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比 达法则的三个前提条件 A．属于两大基本不定型（ 0 , 0   ）且满足条件， 则进行运算：         lim lim x a x a f x f x g x g x     （再进行 1、2 步骤，反复直到结果得出） B．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0 型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值： 0 lim ln x x x   【求解示例】   1 0 0 0 0 2 0 1 lnln lim ln lim lim lim 1 1 1 lim 0 x x L x x x xx xx x x x xx x a                              解： （一般地，   0 lim ln 0 x x x     ，其中 , R   ） ⑵型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值： 0 1 1 lim sinx x x       【求解示例】 20 0 0 1 1 sin sin lim lim lim sin sinx x x x x x x x x x x x                        解：         0 0 0 0 0 0 0 02 sin 1 cos1 cos sin lim lim lim lim 0 2 22 L x x L x x x x xx x x xx                高等数学期末复习资料 第 5 页（共 9 页） ⑶ 00 型（对数求极限法） 【题型示例】求值： 0 lim x x x  【求解示例】     0 0 0 0 lim ln ln 0 0 0 0 0 2 ln , ln ln ln 1 lnln 0 lim ln lim lim 1 1 1 lim lim 0 lim lim 1 1 x x x x x L x y y x x x x x y x y x x x x xx x y x x x x y e e e x                                  解：设 两边取对数得： 对对数取 时的极限： ，从而有 ⑷1型（对数求极限法） 【题型示例】求值：   1 0 lim cos sin x x x x   【求解示例】           0 1 0 0 0 0 0 0 lim ln ln 1 0 0 ln cos sin cos sin , ln , ln cos sin ln 0 lim ln lim ln cos sin cos sin 1 0 lim lim 1, cos sin 1 0 lim = lim x x x x L x x y y x x x x y x x y x x x y x y x x x x x x xx y e e e e                            解：令 两边取对数得 对 求 时的极限， 从而可得 ⑸ 0 型（对数求极限法） 【题型示例】求值： tan 0 1 lim x x x       【求解示例】     tan 0 0 20 0 0 2 0 22 0 0 0 1 1 , ln tan ln , 1 ln 0 lim ln lim tan ln 1 lnln lim lim lim 1 sec1 tan tantan sinsin lim lim li x x x x L x x x L x y y x x x y x y x x xx x x x xx xx x x                                                          解：令 两边取对数得 对 求 时的极限， 0 0 lim ln ln 0 0 0 2sin cos m 0, 1 lim = lim 1x x y y x x x x y e e e        从而可得 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★） 0 0 0 0 0 0 1         (1) (2) (3) ⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换） ⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前） 第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★） 【题型示例】试确定函数   3 22 9 12 3f x x x x    的 单调区间 【求解示例】 1．∵函数  f x 在其定义域R上连续，且可导 ∴   26 18 12f x x x    2．令     6 1 2 0f x x x     ，解得： 1 21, 2x x  3．（三行表） x  ,1 1  1,2 2  2,  f x  0  0   f x 极大值 极小值 4．∴函数  f x 的单调递增区间为   ,1 , 2,  ； 单调递减区间为  1,2 【题型示例】证明：当 0x  时， 1xe x  【证明示例】 1．（构建辅助函数）设   1xx e x    ，（ 0x  ） 2．   1 0xx e    ，（ 0x  ） ∴    0 0x   3．既证：当 0x  时， 1xe x  【题型示例】证明：当 0x  时，  ln 1 x x  【证明示例】 1．（构建辅助函数）设    ln 1x x x    ，（ 0x  ） 2．   1 1 0 1 x x      ，（ 0x  ） ∴    0 0x   3．既证：当 0x  时，  ln 1 x x  ○连续函数凹凸性（★★★） 【题型示例】试讨论函数 2 31 3y x x   的单调性、极值、 凹凸性及拐点 【证明示例】 高等数学期末复习资料 第 6 页（共 9 页） 1．     23 6 3 2 6 6 6 1 y x x x x y x x                2．令     3 2 0 6 1 0 y x x y x            解得： 1 20, 2 1 x x x     3．（四行表） x ( ,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2, ) y  0   0  y     y 1 (1,3) 5 4．⑴函数 2 31 3y x x   单调递增区间为 (0,1) , (1,2) 单调递增区间为 ( ,0) , (2, ) ； ⑵函数 2 31 3y x x   的极小值在 0x  时取到， 为  0 1f  ， 极大值在 2x  时取到，为  2 5f  ； ⑶函数 2 31 3y x x   在区间 ( ,0) , (0,1)上凹， 在区间 (1,2) , (2, ) 上凸； ⑷函数 2 31 3y x x   的拐点坐标为  1,3 第五节 函数的极值和最大、最小值 ○函数的极值与最值的关系（★★★） ⑴设函数  f x 的定义域为 D，如果 Mx 的某个邻 域  MU x D ，使得对  Mx U x  ，都适合不 等式    Mf x f x ， 我们则称函数  f x 在点  ,M Mx f x  处有极大 值  Mf x ； 令  1 2 3, , ,...,M M M M Mnx x x x x 则函数  f x 在闭区间  ,a b 上的最大值M 满足：     1 2 3max , , , ,..., ,M M M MnM f a x x x x f b ； ⑵设函数  f x 的定义域为D，如果 mx 的某个邻域  mU x D ，使得对  mx U x  ，都适合不等 式    mf x f x ， 我们则称函数  f x 在点  ,m mx f x  处有极小值  mf x ； 令  1 2 3, , ,...,m m m m mnx x x x x 则函数  f x 在闭区间  ,a b 上的最小值m满足：     1 2 3min , , , ,..., ,m m m mnm f a x x x x f b ； 【题型示例】求函数   33f x x x  在 1,3 上的最值 【求解示例】 1．∵函数  f x 在其定义域 1,3 上连续，且可导 ∴   23 3f x x    2．令     3 1 1 0f x x x      ， 解得： 1 21, 1x x   3．（三行表） x 1  1,1 1  1,3  f x 0  0   f x 极小值 极大值 4．又∵      1 2, 1 2, 3 18f f f      ∴         max min 1 2, 3 18f x f f x f     第六节 函数图形的描绘（不作要求） 第七节 曲率（不作要求） 第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念： 假设在定义区间 I 上，可导函数  F x 的导函数 为  F x ，即当自变量 x I 时，有    F x f x  或    dF x f x dx  成立，则称  F x 为  f x 的一 个原函数 ⑵原函数存在定理：（★★） 如果函数  f x 在定义区间 I 上连续，则在 I 上 必存在可导函数  F x 使得    F x f x  ，也就是 说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★） 在定义区间 I 上，函数  f x 的带有任意常数项 C的原函数称为  f x 在定义区间 I 上的不定积分， 即表示为：    f x dx F x C  （  称为积分号，  f x 称为被积函数，  f x dx称 为积分表达式， x则称为积分变量） ○基本积分表（★★★） ○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）        1 2 1 2k f x k g x dx k f x dx k g x dx       第二节 换元积分法 ○第一类换元法（凑微分）（★★★） （   dxxfdy  的逆向应用）        f x x dx f x d x                 高等数学期末复习资料 第 7 页（共 9 页） 【题型示例】求 2 2 1 dx a x 【求解示例】 2 22 2 1 1 1 1 1 arctan 1 1 x x dx dx d C a x a a a ax x a a                         解： 【题型示例】求 1 2 1 dx x   【求解示例】     1 1 1 1 2 1 2 1 22 1 2 1 2 2 1 2 1 dx d x d x x x x x C             解： ○第二类换元法（去根式）（★★） （   dxxfdy  的正向应用） ⑴对于一次根式（ 0,a b R  ）： ax b ：令 t ax b  ，于是 2t b x a   ， 则原式可化为 t ⑵对于根号下平方和的形式（ 0a  ）： 2 2a x ：令 tanx a t （ 2 2 t      ）， 于是 arctan x t a  ，则原式可化为 seca t； ⑶对于根号下平方差的形式（ 0a  ）： a． 2 2a x ：令 sinx a t （ 2 2 t      ）， 于是 arcsin x t a  ，则原式可化为 cosa t； b． 2 2x a ：令 secx a t （0 2 t    ）， 于是 arccos a t x  ，则原式可化为 tana t； 【题型示例】求 1 2 1 dx x   （一次根式） 【求解示例】 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 t x x t dx tdt dx tdt dt t C x C tx                 解： 【题型示例】求 2 2a x dx （三角换元） 【求解示例】     2 sin ( ) 2 2 2 22 2 arcsin cos 2 2 cos 1 cos 2 2 1 sin 2 sin cos 2 2 2 x a t t x t a dx a t a a x dx a tdt t dt a a t t C t t t C                          解： 第三节 分部积分法 ○分部积分法（★★） ⑴设函数  u f x ，  v g x 具有连续导数，则其 分部积分公式可表示为： udv uv vdu   ⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv   ） ⑶使用分部积分公式： udv uv vdu   ⑷展开尾项 vdu v u dx   ，判断 a．若 v u dx 是容易求解的不定积分，则直接计 算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法 与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b．若 v u dx 依旧是相当复杂，无法通过 a 中方 法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现 容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环， 则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C 【题型示例】求 2xe x dx 【求解示例】     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C                          解： 【题型示例】求 sinxe xdx 【求解示例】         sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x x x x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd e e x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx                            解：  sin cos sin sinx x x xe xdx e x e x xd e     即： ∴   1 sin sin cos 2 x xe xdx e x x C    第四节 有理函数的不定积分 ○有理函数（★） 设：         1 0 1 1 0 1 m m m n n n P x p x a x a x a Q x q x b x b x b          对于有理函数     P x Q x ，当  P x 的次数小于  Q x 的 次数时，有理函数     P x Q x 是真分式；当  P x 的次数 高等数学期末复习资料 第 8 页（共 9 页） 大于  Q x 的次数时，有理函数     P x Q x 是假分式 ○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★） ⑴将有理函数     P x Q x 的分母  Q x 分拆成两个没有 公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示 为一次因式   k x a ；而另一个多项式可以表示为 二次质因式  2 l x px q  ，（ 2 4 0p q  ）； 即：      1 2Q x Q x Q x  一般地： n mx n m x m         ，则参数 n a m   2 2 b c ax bx c a x x a a           则参数 , b c p q a a   ⑵则设有理函数     P x Q x 的分拆和式为：             1 2 2 k l P x P x P x Q x x a x px q      其中         1 1 2 2 ... k k k P x AA A x ax a x a x a                2 1 1 2 2 222 2 2 ... l l l l P x M x N M x N x px qx px q x px q M x N x px q               参数 1 2 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., l k l MM M A A A N N N         由待定系 数法（比较法）求出 ⑶得到分拆式后分项积分即可求解 【题型示例】求 2 1 x dx x  （构造法） 【求解示例】       2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 1 2 x x xx dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x C x                               第五节 积分表的使用（不作要求） 第五章 定积分极其应用 第一节 定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★）     0 1 lim nb i i a i f x dx f x I        （  f x 称为被积函数，  f x dx称为被积表达式，x 则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，  ,a b 称为积分区间） ○定积分的性质（★★★） ⑴     b b a a f x dx f u du  ⑵   0 a a f x dx  ⑶     b b a a kf x dx k f x dx    ⑷（线性性质）        1 2 1 2 b b b a a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx       ⑸（积分区间的可加性）       b c b a a c f x dx f x dx f x dx    ⑹若函数  f x 在积分区间 ,a b 上满足   0f x  ， 则   0 b a f x dx  ； （推论一） 若函数  f x 、函数  g x 在积分区间  ,a b 上满 足    f x g x ，则     b b a a f x dx g x dx  ； （推论二）     b b a a f x dx f x dx  ○积分中值定理（不作要求） 第二节 微积分基本公式 ○牛顿-莱布尼兹公式（★★★） （定理三）若果函数  F x 是连续函数  f x 在区间  ,a b 上的一个原函数，则       b a f x dx F b F a  ○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）               x x d f t dt f x x f x x dx               【题型示例】求 21 cos 20 lim t x x e dt x    【求解示例】   2 2 11 0 0 coscos 20 0 2 lim lim解： tt xx x L x d e dte dt dx x x       高等数学期末复习资料 第 9 页（共 9 页）         2 2 2 2 2 2 1 cos cos 0 0 0 cos 0 0 cos cos 0 cos 0 1 0 sin sin lim lim 2 2 sin lim 2 cos sin 2sin cos lim 2 1 lim sin cos 2sin cos 2 1 1 2 2 x x x x x L x x x x x x e e x x e x x d x e dx x x e x e x x e x x x x e e                                       第三节 定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法）         b b a a f x x dx f x d x                 【题型示例】求 2 0 1 2 1 dx x  【求解示例】     2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 2 1 ln 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ln 5 ln 5 ln1 2 2 解： dx d x x x x              ⑵（第二换元法） 设函数    ,f x C a b ，函数  x t