三次函数切线斜率

高考中三次函数图象的切线问题 浙江奉化奉港中学 罗永高 程雪飞 315500 三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，用导数方法探求切线的性质，为分析问题和解决问题提供了新的视角、新的方法，不仅方便实用，而且三次函数的切线性质变得十分明朗.纵览近几年高考数学试题，三次函数的切线问题频频出现，本文给出三次函数切线的三个基本问题. 一、已知斜率为 与三次函数图象相切的切线 三次函数 1、 ,斜率 时，有且只有一条切线； 时，有两条不同的切线； 时，没有切线； 2、 ,斜率 时，有且只有一条切线； 时，有两条不同的切线； 时，没有切线； 证明 1、 当 时， 当 时，方程 有两个相同解， 所以斜率为 的切线有且只有一条；其方程为： 当 时，方程 ，有两个不同的解 ，且 =- ，即存在两个不同的切点 ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。所以斜率为 的切线有两条。 当 时，方程 无实根，所以斜率为 的切线不存在。 2、 时，读者自己证明。 二、过三次函数图象上一点的切线 设点P为三次函数 图象上任一点，则过点P一定有直线与 的图象相切。若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。 证明 设 过点P的切线可以分为两类。 1 P为切点 切线方程为： 2 P不是切点，过P点作 图象的切线，切于另一点Q（ ） EMBED Equation.3 又 （1） EMBED Equation.3 即 代入（1）式 得 讨论：当 时， EMBED Equation.3 ，也就是说， 当 时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。 当 时， ，所以过点P有两条不同的切线。 其切线方程为： 由上可得下面结论： 过三次函数 上异于对称中心的任一点 作 图象的切线，切于另一点 ，过 作 图象的切线切于 ，如此继续，得到点列 ---- ----，则 ，且当 时，点趋近三次函数图象的对称中心。 证明 设过 与 图象切于点 的切线为 ， 又 = 即 设 则 数列 是公比为 的等比数列， 即 。 三、过三次函数图象外一点的切线 设点 为三次函数 图象外 1点， 则过点 一定有直线与 图象相切。 （1） 若 则过点 恰有一条切线； （2） 若 且 EMBED Equation.3 ，则过点 恰有一条切线； （3） 若 且 =0，则过点 有两条不同的切线； （4）若 且 EMBED Equation.3 ，则过点 有三条不同的切线。 其中 证明 设过点 作直线与 图象相切于点 则切线方程为 把点 代入得： ， 设 EMBED Equation.3 令 则 因为 恰有一个实根的充要条件是曲线 与 轴只相交一次，即 在 上为单调函数或两极值同号，所以 或 且 EMBED Equation.3 时，过点 恰有一条切线。 有两个不同实根的充要条件是曲线 与 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以 且 =0时，过点 有两条不同的切线。 有三个不同实根的充要条件是曲线 与 轴有三个公共点，即 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。所以 且 EMBED Equation.3 时，过点 有三条不同的切线。 PAGE 1 _1178898790.unknown _1179204681.unknown _1179227222.unknown _1193140657.unknown _1193141757.unknown _1193142414.unknown _1193143092.unknown _1193143970.unknown _1193205328.unknown _1193143296.unknown _1193142552.unknown _1193142809.unknown _1193143008.unknown _1193142939.unknown _1193142601.unknown _1193142422.unknown _1193142179.unknown _1193142302.unknown _1193141839.unknown _1193142020.unknown _1193141342.unknown _1193141644.unknown _1193141685.unknown _1193141426.unknown _1193140997.unknown _1193141028.unknown _1193141162.unknown _1193140809.unknown _1193140885.unknown _1193140939.unknown _1193140746.unknown _1179227425.unknown _1193140433.unknown _1193140623.unknown _1193140368.unknown _1179227295.unknown _1179227335.unknown _1179227229.unknown _1179205845.unknown _1179206168.unknown _1179227119.unknown _1179227191.unknown _1179206221.unknown _1179206097.unknown _1179206099.unknown _1179205940.unknown _1179206068.unknown _1179205596.unknown _1179205670.unknown _1179205833.unknown _1179205642.unknown _1179205247.unknown _1179205343.unknown _1179205198.unknown _1179200085.unknown _1179200518.unknown _1179204131.unknown _1179204528.unknown _1179204588.unknown _1179204496.unknown _1179204405.unknown _1179204446.unknown _1179203936.unknown _1179204039.unknown _1179203911.unknown _1179200391.unknown _1179200481.unknown _1179200508.unknown _1179200452.unknown _1179200176.unknown _1179200279.unknown _1179200167.unknown _1179056788.unknown _1179057188.unknown _1179199938.unknown _1179200015.unknown _1179057199.unknown _1179056919.unknown _1179057066.unknown _1179056802.unknown _1179056015.unknown _1179056214.unknown _1179056281.unknown _1179056640.unknown _1179056101.unknown _1178899807.unknown _1179055882.unknown _1178899498.unknown _1178897544.unknown _1178898196.unknown _1178898622.unknown _1178898652.unknown _1178898672.unknown _1178898463.unknown _1178898590.unknown _1178898327.unknown _1178898374.unknown _1178897622.unknown _1178898018.unknown _1178898163.unknown _1178897288.unknown _1178897426.unknown _1178897503.unknown _1178897522.unknown _1178897094.unknown _1178897112.unknown _1178897176.unknown _1178896885.unknown _1178896984.unknown