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奥数 二年级 讲义 小二教案 244 基础第五讲 和差问题(教师)

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奥数 二年级 讲义 小二教案 244 基础第五讲 和差问题(教师) 第五讲 和差问题 课前复习 1.二(1)班有学生52人,二(2)班有学生48人,要使这两个班学生人数一样多,应该从二(1)班中调几个学生到二(2)班? 【答案】二(1)班比二(2)班多几人? 52-48=4(人) 二(1)班调几人到二(2)班,使两班人数相等? 4÷2=2(人) 答:应该从二(1)班调2人到二(2)班,两个班学生人数才会一样多. 2. 小华比小荣多12张画片,要使两人的画片一样多,小华应给小荣几张画片? 【答案】12÷2=6(张),...

奥数 二年级 讲义 小二教案 244 基础第五讲 和差问题(教师)
第五讲 和差问题 课前复习 1.二(1)班有学生52人,二(2)班有学生48人,要使这两个班学生人数一样多,应该从二(1)班中调几个学生到二(2)班? 【答案】二(1)班比二(2)班多几人? 52-48=4(人) 二(1)班调几人到二(2)班,使两班人数相等? 4÷2=2(人) 答:应该从二(1)班调2人到二(2)班,两个班学生人数才会一样多. 2. 小华比小荣多12张画片,要使两人的画片一样多,小华应给小荣几张画片? 【答案】12÷2=6(张),小华应给小荣6张画片. 我们先来认识一下和差问题:甲乙两数的和是16,差是2,求甲乙两数各是多少?类似这样的问题,就叫做和差问题. 搞清楚两个数的和与差是解决和差问题的关键,在解题过程中,有些题目往往不直接告诉我们这两个数的和或差.当我们熟悉了和差问题的特点和解法后,应当有意识地把题目中的数量关系,转化为直接已知的两个量的和与差. 解题的基本公式是: (两数的和一两数的差)÷2=较小的数 较小的数+两数的差=较大的数 (两数的和+两数的差)÷2=较大的数 较大的数一两数的差=较小的数 解答完后,将得到的结果放回原题中,看是否符合题意,你就清楚自己做得对不对了. 实践应用 【例1】 二年级一班和二班共有85人,一班比二班多3人.问一班、二班各有多少人? 【分析】本题是和差问题的基本题型,已知两个数的和与两个数的差,然后求大小两个数各是多少.和差问题一般可以借助线段图来进行分析. 方法一:一班人数:(85+3)÷2=44(人) ,二班人数:44-3=41(人) 方法二:二班人数:(85-3)÷2=41(人),一班人数:41+3=44(人) 【例2】 王大伯家养的白兔和黑兔一共有22只,如果再买4只白兔,白兔和黑兔的只数一样多.王大伯家养的白兔和黑兔各多少只? 方法一:黑兔有多少只? (22+4)÷2=13(只) 白兔有多少只? 22-13=9(只) 或 13-4=9(只) 方法二:白兔有多少只? (22-4)÷2=9(只) 黑兔有多少只? 22-9=13(只) 或9+4=13(只) 答:白兔有9只,黑兔有13只. 【例3】 图书馆的书架上、下两层共存书220本,如果从上层拿出10本放人下层,则两层书架上书数相等.求原来上、下层各存书多少本? 【分析】根据从上层拿出10本放入下层后两层书架上的书同样多,可以知道上层书架上的书比下层书架上的书多2个10本,如果从上层书架中减去10×2=20(本),就和下层书架上的书同样多,那么上、下两层书架上书的总数减少了20本,这时上、下两层书架上的书的总数就相当于下层书架上书的2倍. 方法一:下层:(220-20)÷2=100(本) 上层: 220-100=120(本) 方法二:上层;(220+20)÷2=120(本)下层:220-120=100(本) 拓展训练 二(1)班平均分成两组做游戏,如果从第一组调3人到第二组,两组的人数同样多,都是12人,原来两组各有多少人? 【分析】二(1)班一共有学生12×2=24(人),如果从第一组调3人到第二组,两组的人数同样多,那么可以看出第一组比第二组多3×2=6(人),分析到这里就是一道典型的和差应用题了. 方法一: 一组:(24+6)÷2=15(人) 二组:15-6=9(人) 方法二: 一组:(24-6)÷2=9(人) 二组:24-9=15(人) 【例4】长方形操场的长与宽相差80米,沿操场跑一周是400米,求这个操场的长与宽长多少米? 【分析】一周有两个长和两个宽,由条件可知长与宽的和为400÷2=200(米) 长是(200+80)÷2=140(米) 宽是(200-80)÷2=60(米) 拓展训练 甲、乙两人同时打字,2分钟共打了240个字,已知甲每分钟比乙多打10个字.问甲、乙两人每分钟各打多少个? 【分析】2分钟共打了240个字,那么甲、乙两人一分钟就打了240÷2=120(个). 方法一:甲 (240÷2+10)÷2=65(个) 乙 65-10=55(个) 方法二:乙 (240÷2-10)÷2=55(个) 甲 55+10=65(个) 【例5】 有大、小两个油桶,一共装油24千克,两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克.问:原来大、 小两个油桶各装油多少千克? 【分析】两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克,那么也就是说大桶比小桶多4千克的油,知道这两桶油的和,又找到了这两桶油的差,这道题就变成了典型的和差问题的应用题了. 方法一:大桶:(24+4)÷2=14(千克) 小桶:14-4=10(千克) 方法二:小桶:(24-4)÷2=10(千克) 大桶:10+4=14(千克) 【例6】甲、乙两筐苹果,甲筐比乙筐多19千克,从甲筐取出多少千克放入乙筐,就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克? 【分析】如果把初始状态中乙筐的苹果看作0千克,那么甲筐相当于有19千克苹果.同时相当于甲、乙两筐共有苹果19千克.重新取放后问题可改变为:甲、乙两筐共有苹果19千克,其中乙筐中的苹果比甲筐的多3千克,求乙筐中有苹果多少千克. 解 : 根据分析,从甲筐中取出苹果: (19+3)÷2=11(千克). 【例7】 甲、乙两校共有学生1262人,部分学生因搬家需要转学,已知由甲校转入乙校25人,这样甲校比乙校还多12人,求两校原来有学生多少人? 【分析】由甲校转入乙校25人,这样甲校比乙校还多12人,实际上甲校比乙校多25×2+12= 62(人),乙:(1262-62)÷2=600(人) 甲:1262-600=662(人). 解答和差应用题,首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差,而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来,我们管暗藏的差叫“暗差”. 本题就是经过转换变形后,成为一个基本的和差问题. 拓展训练 小华和小敏共有铅笔25枝,如果小华用去4枝,小敏用去3枝,那么小华还比小敏多2枝,小华和小敏原来各有多少枝铅笔? 【分析】如果小华用去4枝,小敏用去3枝,那么小华还比小敏多2枝,这就说明原来小华的铅笔比小敏的铅笔多3枝.找到了这个暗差,这道题就简单了. 方法一:小华:(25+3)÷2=14(枝) 小敏:14-3=11(枝) 方法二:小敏:(25-3)÷2=11(枝) 小华:11+3=14(枝) 【例8】 有一个盒子里装满了球,第一次拿出1只,第二次比第一次多拿了2只,第三次比第二次多拿了2只……8次刚好拿完.这盒球共有多少只? 【分析】 第一次拿1只, 第二次拿(1+2)只,比第一次多1个2, 第三次拿(1+2+2)只,比第一次多2个2, 第四次拿(1+2+2+2)只,比第一次多3个2, 第八次拿(1+2+2+2+2+2+2+2)只,比第一次多7个2. 解: 8+2×(1+2+3+4+5+6+7) =8+2×28 =8+56 =64(只) 答:这盒球一共有64只. 知道两个数的和,以及它们的差,要求这两个数,这类和差问题的应用题可用下面的公式计算. (和+差)÷2=大数 和-大数=数 (和-差)÷2=小数 和-小数=大数 附加题 (以下提供的内容,供老师参考使用) 1. 【例3】解答后,可将条件改为:如果从上层拿出10本放入下层后,上层比下层还多6本.问题不变.一方面是【例3】的扩展题,另一方面为【例6】的解题思路作铺垫. 10×2+6=26(本) (220-26)÷2=97(本) 上层 220-97=123(本) 2. 两个连续奇数的和是36,这两个数分别是多少? 【分析】两个连续奇数的差是2. 较小数:(36-2)÷2=17 较大数:36-17=19 3.某一服装厂做童装,甲乙两人共做36件,乙丙两人共做34件,甲丙两人共做38件.三人各做多少件? 评注:本题的最佳解法为解法一. 【分析】:此题关键在于转化为求两个数的和与差.因此,解法较多. 解法一:甲乙36件,乙丙34件,甲丙38件,共36+34+38=108(件) 这正好是甲乙丙和的2倍.因此, 甲乙丙和108÷2=54(件) 甲:54-34=20(件) 乙:54-38=16(件) 丙:54-36=18(件) 解法二:甲和丙同样与乙相加,结果甲乙和是36件,乙丙和是34件,说明甲比丙多36-34=2(件),又知甲丙的和是38件,所以, 甲:(38+2)÷2=20(件) 乙:36-20=16(件) 丙:38-20=18(件) 解法三:甲乙36件加上乙丙34件,就是甲丙与乙的2倍的和,减去甲丙38件,剩下就是乙的2倍 乙:(36+34-38)÷2 =32÷2=16(件) 甲:36-16=20(件) 丙:38-20=18(件) 练 习 五 1.果园共260棵桃树和梨树,其中桃树的棵数比梨树多20棵.桃树和梨树各有多少棵? 【答案】方法一:桃树:(260+20)÷2=140(棵) 梨树:140-20=120(棵) 方法二:梨树:(260-20)÷2=120(棵) 桃树:120+20=140(棵) 答:桃树有140棵,梨树有120棵. 2.小华和小林一起做花,小华把自己做的花送给小林5朵,两人做的花的朵数一样多,这时小林有12朵花,原来小华做了几朵花? 【答案】一共的花:12×2=24(朵),小华比小林多5×2=10(朵) 方法一:小华:(24+10)÷2=17(朵) 小林:17-10=7(朵) 方法二:小林:(24-10)÷2=7(朵) 小华:7+10=17(朵) 答:原来小华做了17朵花. 3. 甲乙两个仓库共存大米56包,从第乙仓库调8包到甲仓库,两个仓库大米的包数就同样多了,甲、乙两个仓库原有大米各多少包? 【答案】乙比甲多8×2=16(包) 甲:(56-16)÷2=20(包) 乙:56-20=16(包) 答:甲仓库有大米20包,乙仓库有大米16包. 4.书架上有故事书45本,比连环画少10本,科技书比连环画多10本,问:故事书多,还是科技书多?多几本? 【答案】科技书多,多10+10=20(本) 5.有一根钢管长12米,要锯成两段,使第一段比第二段短2米.每段各长多少米? 【答案】 第一段:(12-2)÷2=5(米) 第二段:12-5=7(米) 答:第一段长5米,第二段长7米. 6. 兄弟俩现在年龄和是28岁,3年前哥哥比弟弟大2岁,兄弟俩现在各多少岁? 【答案】3年前哥哥比弟弟大2岁,现在哥哥仍比弟弟大2岁,他们的年龄差不变. 哥哥:(28+2)÷2=15(岁) 弟弟:28-15=13(岁) 答:哥哥现在15岁,弟弟现在13岁. 数学故事 报效祖国宏愿------ 华罗庚的故事 同学们都知道,华罗庚是一位靠自学成才的世界一流的数学家.他仅有初中文凭,因一篇论文在《科学》杂志上发表,得到数学家熊庆来的赏识,从此华罗庚北上清华园,开始了他的数学生涯. 1936年,经熊庆来教授推荐,华罗庚前往英国,留学剑桥.20世纪声名显赫的数学家哈代,早就听说华罗庚很有才气,他说:“你可以在两年之内获得博士学位.”可是华罗庚却说:“我不想获得博士学位,我只要求做一个访问者.”“我来剑桥是求学问的,不是为了学位.”两年中,他集中精力研究堆垒素数论,并就华林问题、他利问题、奇数哥德巴赫问题发表18篇论文,得出了著名的“华氏定理”,向全世界显示了中国数学家出众的智慧与能力. 1946年,华罗庚应邀去美国讲学,并被伊利诺大学高薪聘为终身教授,他的家属也随同到美国定居,有洋房和汽车,生活十分优裕.当时,不少人认为华罗庚是不会回来了. 新中国的诞生,牵动着热爱祖国的华罗庚的心.1950年,他毅然放弃在美国的优裕生活,回到了祖国,而且还给留美的中国学生写了一封公开信,动员大家回国参加社会主义建设.他在信中袒露出了一颗爱中华的赤子之心:“朋友们!梁园虽好,非久居之乡.归去来兮……为了国家民族,我们应当回去……”虽然数学没有国界,但数学家却有自己的祖国. 华罗庚从海外归来,受到党和人民的热烈欢迎,他回到清华园,被委任为数学系主任,不久又被任命为中国科学院数学研究所所长.从此,开始了他数学研究真正的黄金时期.他不但连续做出了令世界瞩目的突出成绩,同时满腔热情地关心、培养了一大批数学人才.为摘取数学王冠上的明珠,为应用数学研究、试验和推广,他倾注了大量心血. 据不完全统计,数十年间,华罗庚共发表了152篇重要的数学论文,出版了9部数学著作、11本数学科普著作.他还被选为科学院的国外院士和第三世界科学家的院士.
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