Strongart数学笔记：漫谈算子代数中的Gelfand变换

Strongart数学笔记：漫谈算子代数中的Gelfand变换漫谈算子代数中的 Gelfand 变换最近我开始读 Masoud Khalkhali 的 Basic Noncommutative Geometry，其中总结了代数与几何中的一些对应关系，这里我要谈谈其中的第一条：在C*代数中的 Gelfand transform. 关于 Gelfand transform 的基本结果，是说交换C*代数 A同构于 C0（Ω），其中Ω是 A的谱，是局部紧 Hausdorff space。这里我要着重讨论的是含1 的 C*代数 A，与之相应的就是 A≌C（Ω），并...

漫谈算子代数中的 Gelfand 变换最近我开始读 Masoud Khalkhali 的 Basic Noncommutative Geometry，其中总结了代数与几何中的一些对应关系，这里我要谈谈其中的第一条：在C*代数中的 Gelfand transform. 关于 Gelfand transform 的基本结果，是说交换C*代数 A同构于 C0（Ω），其中Ω是 A的谱，是局部紧 Hausdorff space。这里我要着重讨论的是含1 的 C*代数 A，与之相应的就是 A≌C（Ω），并且谱Ω是紧的.事实上，这里单位化的过程就对应着单点紧化。对于这个关系，我们可以用范畴等价予以刻画，即 {紧 Hausdorff space}←→{含 1的交换 C*代数}^op 把这两个范畴分别记作（S）与（C），可定义函子 F：（S）→（C）为对任何 X∈（S），F（X)={所有连续函数 f：X→Ｃ}，对态射自然诱导；同时定义函子 G：（C）→（S)为对任何 A∈（C），G（A）=Hom （A，Ｃ）（作为 C*代数的态射），对态射自然诱导。这样我们有 F·G： X→Ω(C(X))，这实际上是简单的赋值映射；同时还有 G·F：A→C（Ω （A）），这就是所谓的Gelfand transform 了。在处理 Gelfand transform 的问题中，交换性是一个需要验证的前提。然而，一般C*代数不一定都是交换的，常常只是取其中的一个交换子代数，最简单的交换子代数一般都是由一个元素生成的。这里的“一个元素”通常都是自伴元（x*=x），但实际上只需要正规元（xx*=x*x）就足够了。类似的情况在有限维空间中就有体现，一般的线性代数书籍就只提及实对称矩阵或复酉矩阵的可对角化，但可对角化的这个性质实际上就等价于矩阵的正规性。抓住可交换性这个要点，我们可以区分一下“显然的结论”与 “需要证明的结论”。请看下面命题：设 A 是有单位元的 C*代数，则 1）若 h是 A 的自伴元，‖h‖≤1，则 h≥0 当且仅当‖1-h‖≤1 2）若 a、b 是 A 的正元，则 a+b 也是正元。其中结论 1 只涉及一个元素，可以把{1，h}生成的 C*子代数等同于 C（Ω），因此它就是“显然的结论”。而对于结论 2，尽管直观上也非常明显，但是两个元素的交换性不曾确定，因此就不是“显然的结论”，常常需要先转化成类似1）的情形再进行处理。交换 W*代数也有着类似的结构，这里我先介绍一下W*代数的概念，它可以视为 von Neumann algebra 的抽象形式。根据著名的GNS 构造，C*代数实际上有双重身份，一是作为具体的 Hilbert space 上算子代数，二是作为抽象的C*代数。在 Hilbert space 上，由于著名的二次交换子定理，我们定义在弱算子拓扑下闭的C*代数就是 von Neumann algebra。可这个 von Neumann algebra 是不是也有第二层的抽象表示呢？那就是W*代数了，它还可以视为是Banach space 的对偶。当然，很多作者对von Neumann algebra 与 W*代数的区分并非严格，混用的情况也是存在的。正如交换 C*代数*同构于 C（Ω），交换 W*代数*同构于 L∞（μ），其中μ是Ω上的有限正 Borel 测度。这与前面提到的两个定义也是相配的，L∞既可以视为 L2上的乘子，又可以视为是L1上的对偶，同时 C（Ω）在 L∞（Ω）中是弱*稠的。细心的读者也许会发现，这里 L∞空间要比 C空间大，但是 W*代数却比 C*代数小，这又是怎么回事呢？实际上，W*代数的谱Ω的非常特殊的，我们可以从幂等元上来看， L∞空间有充分多的幂等元（C（Ω）在通常拓扑下就只有平凡幂等元！），而幂等元则是与连通性密切相关的。事实上，W*代数的谱Ω 是所谓的极不连通空间（开集的闭包依然是开集），再加上紧与 Hausdorff 限制的话，就是 Stonean space.在如此特殊的条件下（superstonean），我们才能够得到L∞（μ）=C（Ω）的结论，使得交换的 W*代数与其作为 C*代数的身份统一起来。我想我们最好还是就此打住，把相关理论留给感兴趣的同学探索吧。最后我要说明的是，既然这个交换W*代数与测度相关，那么其相关理论也被称为的非交换测度论，而C*代数的理论则是由于上述对偶关系，被称为是非交换拓扑，这样我们就得到了一条从算子代数通往非交换几何学（NCG）的道路。本文作者 Strongart 是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者 Strongart，欢迎访问 Strongart 的新浪博客。

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