矩阵论简明教程(第二版)习题答案

PAGE 习 题 一 1. 设 为的任一特征值,则因 为A O 的特征值, 故 . 即 =0或2. 2. A～B, C～D时, 分别存在可逆矩阵P和Q, 使得 P AP=B, Q CQ=D.令 T= 则 T是可逆矩阵,且 T EMBED Equation.3 T= = 3. 设 是对应于特征值 的特征向量, 则 A = EMBED Equation.3 , 用 左乘得 .即 故 是A的特征值, i=1,2, n. 4. (1) 可以. = , , . (2) 不可以. (3) , . 5. (1) A的特征值是0, 1, 2. 故 =－(b－a) =0. 从而 b=a.又 = 将 =1, 2 代入上式求得 A=0. (2) P = . 6. = , A有特征值 2, 2, －1. =2所对应的方程组 (2I－A)x=0 有解向量 p = , p = =－1所对应的方程组 (I+A)x=0 有解向量 p = 令 P=(p p p )= , 则 P = . 于是有 A =P P = . 7． (1) = =D ( ), I－A有2阶子式 = －4 －4不是D ( )的因子, 所以D ( )=D ( )=1, A的初等因子为 －1, . A的 Jordan标准形为 J = 设A的相似变换矩阵为P=(p ,p ,p ), 则由AP=PJ得 解出 P= ; (2) 因为 ，故 A～J= 设变换矩阵为 P=( ), 则 P= (3) .A的不变因子是 EMBED Equation.3 A～J= 因为A可对角化，可分别求出特征值－1，2所对应的三个线性无关的特征向量： 当 =－1时，解方程组 求得两个线性无关的特征向量 当 =2时，解方程组 得 , P= (4) 因 ～ , 故 A～J= 设变换矩阵为P= , 则 是线性方程组 的解向量，此方程仴的一般解形为 p= 取 , 为求滿足方程 的解向量 , 再取 根据 ～ 由此可得 s=t, 从而向量 的坐标应満足方程 取 , 最后得 P= 8. 设 f ( )= . A的最小多项式为 ,作带余除法得 f ( )=( ), EMBED Equation.3 + , 于是 f (A)= = . 9. A的最小多项式为 , 设 f ( )= ,则 f ( )= + . 于是 [f (A)] = .由此求出 [f (A)] = 10. (1) I－A= 标准形 , A的最小多项式为 ; 2) ; (3) . 11. 将方程组写成矩阵形式: EMBED Equation.3 , , , A= 则有 J=PAP = , .其中 P= . 令 x=Py, 将原方程组改写成 : 则 解此方程组得: y =C e +C Te , y =C e , y =C e . 于是 x=Py= . 12. (1) A是实对称矩阵. = ,A有特征值 10, 2, 2. 当 =10时. 对应的齐次线性方程组 (10I－A)x=0的系数矩阵 ～ 由此求出特征向量p =(－1, －2, 2) , 单位化后得 e = ( ) . 当 =1时, 对应的齐次线性方程组 (I－A)x=0的系数矩阵 ～ 由此求出特征向量 p =(－2, 1, 0) , p =(2, 0, 1) . 单位化后得 e =( ) , e =( ) . 令 U= , 则 U AU= . (2) A是Hermit矩阵. 同理可求出相似变换矩阵 U= , U AU= . 13. 若A是Hermit正定矩阵,则由定理1.24可知存在n阶酉矩阵U, 使得 U AU= , ﹥0, I=1, 2, n. 于是 A=U U = U U U U 令 B=U U 则 A=B . 反之,当 A=B 且B是Hermit正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit正定矩阵,故A是Hermit 正定的. 14. (1) (2). 因A是Hermit矩阵,则存在酉矩阵U,使得 U AU=diag( ) 令x=Uy, 其中 y=e . 则 x 0. 于是 x Ax=y (U AU)y= ≧0 (k=1, 2, n). (2) (3). A=Udiag( )U =Udiag( )diag( )U 令 P=diag( )U , 则 A=P P . (3) (1). 任取x 0, 有 x Ax=x P Px= ≧0. 习 题 二 1. = =7+ , = = , =max =4. 2. 当 x 0时, 有 ﹥0; 当 x﹦0时, 显然有 =0. 对任意 C, 有 = . 为证明三角不等式成立,先证明Minkowski不等式: 设 1≦p﹤∞, 则对任意实数 x ,y (k=1, 2, n)有 ≦ 证 当 p=1时，此不等式显然成立. 下设 p﹥1, 则有 ≦ 对上式右边的每一个加式分别使用Hölder不等式, 并由 (p－1)q=p, 得 ≦ = 再用 除上式两边,即得 Minkowski 不等式. 现设任意 y=( ) EMBED Equation.3 C , 则有 = ≦ EMBED Equation.3 ≦ = . 3. (1) 函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最大函数的等价定义: max(A, B)= max( ≦max( ) = ≦ = EMBED Equation.3 =max( )+max( ) (2) 只证三角不等式. k EMBED Equation.3 +k EMBED Equation.3 ≦k EMBED Equation.3 +k EMBED Equation.3 +k EMBED Equation.3 +k EMBED Equation.3 =( k EMBED Equation.3 +k EMBED Equation.3 )+( k EMBED Equation.3 +k EMBED Equation.3 ) . 4. ; ; ; 列和范数(最大列模和)= ; =行和范数(最大行模和)=9 ; 5. 非负性: A≠O时S AS≠O, 于是 ＞0. A=O时, 显然 =0; 齐次性: 设 EMBED Equation.3 C, 则 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ; 三角不等式: ≦ ; 相容性: ≦ = EMBED Equation.3 . 6. 因为I ≠O, 所以 ＞0.从而利用矩阵范数的相容性得: ≦ EMBED Equation.3 ,即 ≧1. 7. 设 A=(A ) C , x= C , 且 A= , 则 ≦ = ≦nA = EMBED Equation.3 ; ≦ = = A ≦nA= EMBED Equation.3 . 8. 非负性与齐次性是显然的, 我们先证三角不等式和相容性成立. A=(a ), B=(b ) C , C=(c ) C 且 A= , B= , C= . 则 =max{m,n} ≦max{m ,n } ≦max{m ,n }(A+B) =max{m ,n }A+max{m ,n }B= ; =max{m ,l } ≦max{m ,n } ≦max{m ,n } (Minkowski不等式) =max{m ,n }nAC≦max{m ,n }max{n ,l }AC= . 下证与相应的向量范数的相容性. 设 x= C , d= { }, 则有 ≦ = ≦ =nA ≦max{m ,n}A = ; = ≦ ≦ (Hölder不等式) = ≦ A ≦max{m ,n}A = ; ≦ ≦ ≦ =nAD≦max{m,n}AD= . 9. 只证范数的相容性公理及与向量2–范数的相容性. 设 A=(a ) C , B=(b ) C , x= C 且 A= , B= , 则 ≦ ≦ (Minkowski不等式) ≦ nab= = . ≦ ≦ （Hölder不等式） ≦ = A = . 10. 利用定理2.12得 . 11. A = EMBED Equation.3 cond (A)= ; cond (A)= . 12．设x是对应于 的特征向量, 则A .又设 是C 上与矩阵范数 相容的向量范数,那么 ≦ 因 ＞0, 故由上式可得 ≦ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ≦ . 习 题 三 1. , 当 ﹤1时, 根据定理3.3, A为收敛矩阵. 2. 令S = , =S , 则 . 反例: 设 A = , 则因 发散, 故 发散, 但 =O. 3. 设 A= , 则 ≦ 行和范数=0.9＜1, 根据定理3.7, =(I－A) = . 4. 我们用用两种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 求矩阵函数e : 相似对角化法. , 当 ia时, 解方程组 (ia－A)x=0, 得解向量 p =(i, 1) . 当 =－ia时, 解方程组 (ia+A)x=0, 得解向量 p =(－i, 1) .令 P= , 则P = , 于是 e =P P = . 利用待定系数法. 设e =( +a )q( )+r( ), 且 r( )=b +b EMBED Equation.3 , 则由 b =cosa , b = sina .于是 e =b I+b A=cosa + sina = . 后一求法显然比前一种方法更简便, 以后我们多用待定系数法. 设 f( )=cos , 或 sin 则有 与 由此可得 与 故 ( sinia)A= =sinA 与 (cosia)I= =cosA. 5. 对A求得 P= , P = , P AP= 根据p69方法二, e =Pdiag(e ,e ,e )P = EMBED Equation.3 sinA=Pdiag(sin(－1),sin1,sin2)P = 6. D ( )= = , D ( )=D ( )=1, A~J= . 现设 r( ,t)=b +b EMBED Equation.3 +b EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , 则有 EMBED Equation.3 b =1, b =2e －te －2, b =te －e +1. 于是 e =r(A, t)=b I+b A+b A =I+(2e －te －2) +(te －e +1) = 同理,由 b =1, b =tsint+2cost－2, b =1－tsint－cost. 将其代入 cosAt=b I+b A+b A , 求出 cosAt= 7. 设 f(A)= ,S = .则 f(A)= 并且由于 (S ) = = 所以, f(A )= =f(A) . 8, (1) 对A求得 P= , P =P , J= 则有 e =P P = sinAt=P P = cosAt=P P = (2) 对A求出 P=P = , J= 则有 e =P P = sinAt=P P = cosAt=P P = 9. (1) sin A+cos A=[ ] =[ ] = =e =I (2) sin(A+2 I)=sinAcos(2 I)+cosAsin(2 I) =sinA[I－ (2 I) + (2 I) －…]+cosA[2 I－ (2 I) + (2 I) －…] = sinA[1－ (2 ) + (2 ) －…]I+cosA[2 － (2 ) + (2 ) －…]I =sinAcos2 +cosAsin2 （3）的证明同上. (4) 因为 A（2 iI）=(2 iI)A ,所以根据定理3.10可得 e =e e =e [I+(2 I)+ (2 iI) + (2 iI) +…] =e {[1－ (2 ) + (2 ) －…]+i[2 － (2 ) + (2 ) －…]}I =e {cos2 +isin2 }I =e 此题还可用下列方法证明: e =e e =e P P =e PIP =e EMBED Equation.3 用同样的方法可证: e =e e . 10. A =－A, 根据第7题的结果得 (e ) =e =e , 于是有 e (e ) =e e =e =e =I 11. 因A是Herm(iA) =－iA =－iA , 于是有 e (e ) =e e =e =I 12. 根据定理3.13, A EMBED Equation.3 =e , 利用定理3.14得 = =A EMBED Equation.3 =A (e I). 13. A(t)= , (detA(t))= (1)=0, det( A(t))=1, A (t)= , A (t)= 14. = = 15. 取 m=2, A(t)= , 则 A (t)= , (A(t)) = ≠2A(t) A(t)= . 困为 + 所以当( A(t))A(t)=A(t) A(t)时, 有 =m[A(t)] 16. (1) 设 B=( ) , X=( ) , 则 BX=( ) ,于是有 tr(BX)= = (i=1,2,…,n ;j=1,2,…,m) = 由于 BX与 的迹相同，所以 (2) 设A=( ) ,f=tr( ), 则有 ，AX= f= = = 17. 设A=( ) , 则 F(x)=( ),且 18. 在上式中令t=0, 则有 A= 19. A= , x(0)= , A的最小多项式为 . 记f( )= ,并设 f( )=g( ) + , 则 EMBED Equation.3 于是 , x(t)= x(0)= 20. A= , f(t)= , x(0)= , det( I－A)= . 根据 ,可得； ,….于是 EMBED Equation.3 = = x(t)= 习 题 四 1. Doolite分解的说明,以3阶矩阵为例: 第1框 第2框 第3框 计算方法如下: (ⅰ) 先i框，后i+1框,先r后l.第1框中行元素为A的第1行元素； （ⅱ）第2框中的 为A中的对应元素 减去第１框中同行的 与同列的 之积．第3框中的 为A中的对应元素 先减去第1框中同行的 与同列的 之积，再减去第2框中同行的 与同列的 之积； （ⅲ）第2框中的 为A中的对应元素 先减去第1框中同行的 与同列的 之积，再除以 . 计算如下: 1 3 0 2 -3 0 2 2 -6 A= 2.Crout分解的说明,以3阶矩阵为例: 第1框 第2框 第3框 (ⅰ) 先i框,后i+1框.每框中先l后r.第1框中的列元素为A的第1列的对应元素; (ⅱ)第2框中的 为A中对应元素 减去第1框中同行的 与同列的 之积; (ⅲ)第2框中的 为A中的对应元素 减去第1框中同行的 与同列的 之积,再除以 .第3框中的 为A中的对应元素 先减去第1框中同行的 与同列的 之积,再减去第2框中同行的 与同列的 之积. 计算如下: 1 3 0 2 -3 0 2 -6 -6 A= 2. 先看下三角矩阵的一种写法: = , ≠0 对本题中的矩阵A 求得Crout分解为 A= 利用下三角矩阵的写法对上面的分解变形可得 A= = = 3.对A的第1列向量 , 构造Householder矩阵 使得 EMBED Equation.3 , , , u= , , EMBED Equation.3 对 的第1列向量 , 类似构造Householder矩阵 : , , 令 , 则有 =R 并且 =QR 4. 对A的第1列向量 , 构造Givens矩阵 , , 对 的第1列向量 , 构造 , , 令 , 则有 . 于是 5. 设A= , 对向量组 施行正交化, 令 , , 于是 写成矩阵行式 EMBED Equation.3 最后得 A= = =QR 6. 令 则 再令 , 最后令 , A= =QR 7. (0, 1) , , u= (－1, 1) , H = , H= 则有 HAH = = , H是Householder矩阵. 同理, 对 , 取 c=0, s=1, T = , T= , 则 = , T是Givens矩阵. 8. 对 , 计算 u= , H=I－2uu = 令 Q= , 则 同理，对 EMBED Equation.3 ,为构造Givens矩阵，令c= , s= , ，则 当 时， EMBED Equation.3 . 8. (1) 对A施行初等行变换 ～ S= A= (2) ～ S= , A= （3） ～ EMBED Equation.3 , 10. (1) 的特征值是5，0，0. 分别对应特征向量 ,从而V=I, ∑=( ), ∑ = . 令 , 则 (2) 的特征值是 对应的特征向量分别为 .于是 ∑= ， EMBED Equation.3 = , ∑ = 取 , 构造正交矩阵 = ‘ 所以，A的奇异值分解为 11. 根据第一章定理1.5, 的特征值之和为其迹，而由第二章2.7 F－范数的定义 的特征值之和= 习 题 五 1．设x= 为对应于特征值 的单位特征向量，即 (QD)x= x 两边取转置共轭： 与上式左乘得 即 ,由此立即有 ≤ ≤ 从而 ≤ ≤ . 后一不等式的另一证明：根据定理2.13， ≤ ≤ EMBED Equation.3 2. A的四个盖尔园是 : ≤6, : ≤2, : ≤1, : ≤1. 由于 是一个单独的连通区域，故其中必有一个实特征值. 是连通区域，其中恰有三个特征值，因而含有一个实特征值 . 3. A的四个盖尔园 ≤ , ≤ , ≤ , ≤ 是互相隔离的，并且都在右半平面，从而每个盖尔园中恰有一个特征值且为正实数. 4．设 EMBED Equation.3 为A的待征值，则有盖尔园 ,使得 .若 ≤0, 则 ≤ ≤ 故 ≤ ,即 ≤ ≤ , 这与A是严格对角占优的条件矛盾. 5. （1）当两个盖尔园的交集中含有两个特征值时; (2) 当两个盖尔园相切且切点是A的单特征值时. 6. A的盖尔园 ≤3, ≤2, ≤10. 因 是与 分离 的，故 中恰有一个实特征值 [－1, 5]. A的列盖尔园 EMBED Equation.3 ≤9, ≤4, ≤2. 因 是与 分离 的，故 中恰有一个实特征值 [18, 22]. 选取 D=diag(1, 1, ), 则 的盖尔园 : ≤4, ≤3, ≤5. 这三个盖尔园是相互独立的，故必然有 [－2, 6], [7, 13], [15, 25] 与上面所得的结果对照可知利用Gerschgorin定理，特征值的最隹估计区间为 [－1, 5], [7, 13], [18, 22] 7. 因为 det( B－A)= 所以广义特征值为 =2, =－ .分别求解齐次线性方程组 , 可得对应于 与 的特征向量分别为 ( ), ( ) 8. 先证明一个结果：若A是Hermit矩阵， 分别是A的最大、最小特征值，则 , 事实上， 下证 ＞ , ＞ . 令 Q=A－B, 则 ＞ = ( Q正定， ＞0 ) 同理可证 ＞ . 现在设 1＜s＜n, 则根据定理5.10及上面的结果,有 ＞ 9. 显然， 的特征值就是A相对于B的广义特征值. 设为 且 , , j=1, 2, …,n 其中 是按B标准正交的广义特征向量. 当 ＜1时，对任意 x= = = ≤ EMBED Equation.3 = ＜ 反之，若对任意 x≠0, ＜ 成立，并且 , , ,则取 x=q, 于是有 ＜ 10. 若 是BA的特征值，q是对应于 的特征向量，即 (BA)q= q= Iq 由此可知， 是BA的相对于单位矩阵I的广义特征值 ，因此 = ≤ = 同理 ≥ = 11. 由于x≠0时， ，从而5.24式等价于 我们约定，下面的最小值都是对 来取的. 令x=Qy, 则 由于 , 则在齐次线性方程组 中，方程的个数小于未知量的个数，根据 Cramer法则，它必有非零解. 设 ，( )为满足方程的解(容易证明这种形式的解必存在)，则 ≤ 注意到 EMBED Equation.3 ,从而 = ≤ ≤ 特别地，取 时，根据定理5.9 故(5.24)式成立. 12. 我们约定：以下的最小值是对单位向量来取的，即证 成立. 令 x=Qy, 则有 设齐次线性方程组 有形如 的解（不难证明这样的解一定存在），则因 所以 ≤ ≤ 特别地，取 时，根据定理5.12可得 由此即知（5.44）成立. 习 题 六 求广义逆矩阵{1}的一般方法： 1）行变换、列置换法 利用行变换矩阵S和列置换矩阵P, 将矩阵A化成 SAP= 则 , 其中L可取任意矩阵； 2）标准形法 利用行、列的初等变换将A化成标准形 SAT= 则 , 其中 为任意适当阶的矩阵. 3） 行变换法 利用行变换将A化成 SA= 其中D为行満秩矩阵. 则 1. 根据A有形如 X=P S 的{1}逆，其中P和S均为可逆矩阵，于是只要取L为任意可逆矩阵即可. 2.当A是 零矩阵时，容易验证任意 矩阵X都满足矩阵方程 AXA=A 3. 设 , 则由 AXA=A可得 ,其余元素任意. 4. （1） 行变换 ， (2) 行变换 = (3) 行变换 (4) 行变换 取 P=( ), S= 则 5. (1) 取 , 容易验证 成立，故方程组有解. 通解是 x= (2) 取 , 因 , 故方程组有解. 通解是 x= 求Moore-Penrose逆的一般方法： 1） 若F是列滿秩矩阵，则 2） 若G是行滿秩矩阵，则 EMBED Equation.3 3） 设 A的滿秩分解为 A=FG, 则 4） 设A的奇异值分解为 则 6. 用定义直接验证： 1） = , (注意 ) 2)～4)的证明类似. 7. 当A=O时，结论显然成立. 设A≠O, A的満秩分解是 A=FG., 则 B= = 就是B的満秩分解. 于是 . = = 所以 8.设 A= ， , T=(1). A 是列滿秩的，则 , , , 可见， . 9.(1) 在第4题中己求出A的行最简形，由此得出A的滿秩分解 由此根据 的滿秩分解计算法得 = = = (2) A的滿秩分解为 A= =FG = = = = = EMBED Equation.3 (3) 因A是列滿秩的，故 = = EMBED Equation.3 == (4) A= = 10. (1) A= = = 注： 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 中的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 可能错了！ (2) = = 11. (1) 方程组的系数矩阵的滿秩分解为 A= ，则 = = 方程组的极小最小二乘解是 (2) 方程组的系数矩阵的滿秩分解为 A= ，则 = = 方程组的极小最小二乘解是 习 题 七 1. 设 A = B = , 则 由此可得 tr( )= tr(B)+ tr(B)+…+ tr(B)=tr(A)tr(B). 2. 3. 根据直积的性质，有 ① ② ③ = 同理 ④ ，故Penrose方程成立，从而 4. 设rank(A)=r1, rank(B)=r2, 则存在可逆矩阵Pi, Qi ，i=1,2使得 , 于是有 由于 , 都是可逆矩阵，故 就是 的标准形. 所以 rank( )=rank(A)rank(B)=r1r2. 5. 只要 x1, x2, …，xs 及y1, y2, …，yt是线性无关的向量，都可证明 i=1,2,…,s, j=1,2,…,t 是线性无关的向量组. 事实上 若记 , ， 则 由第四题的结论可知， =st, 上式说明 是列滿秩的，从而本题的结论成立. 6. 设 则有 = = 最后的矩阵为对角阵，说明结论成立. 7. , B的特征值是 ，n. 根据定理7.1可知 的特征值为 (i=1,2,…,m), . 8. A的特征值是2，2，B的特征值是－1，－2. A与B有互为相反的特征值，故矩阵方程有无穷多解. 设 , 将矩阵方程拉直得 可求得通解为 , . 于是矩阵方程的通解为 9. 将矩阵方程两端拉直得 即 解之得 x1=－c, x2=－c, x3=c, x4=c. 从而 X=c 是任意常数. 10. 根据 设 r(t)=b1 +b0, 可求得 所以 同理求得 最后利用 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 （7.17）得 . � EMBED Equation.3 ��� PAGE 2 _1121938737.unknown _1221980493.unknown _1221980622.unknown _1221980688.unknown _1221980753.unknown _1221980785.unknown _1221980818.unknown _1221980834.unknown _1221980851.unknown _1221980859.unknown _1221980863.unknown _1221980867.unknown _1221980869.unknown _1221980871.unknown _1221980872.unknown _1221980870.unknown _1221980868.unknown _1221980865.unknown _1221980866.unknown _1221980864.unknown _1221980861.unknown _1221980862.unknown _1221980860.unknown _1221980855.unknown _1221980857.unknown _1221980858.unknown _1221980856.unknown _1221980853.unknown _1221980854.unknown _1221980852.unknown _1221980843.unknown _1221980847.unknown _1221980849.unknown _1221980850.unknown _1221980848.unknown _1221980845.unknown _1221980846.unknown _1221980844.unknown _1221980839.unknown _1221980841.unknown _1221980842.unknown _1221980840.unknown _1221980837.unknown _1221980838.unknown _1221980835.unknown _1221980826.unknown _1221980830.unknown _1221980832.unknown _1221980833.unknown _1221980831.unknown _1221980828.unknown _1221980829.unknown _1221980827.unknown _1221980822.unknown _1221980824.unknown _1221980825.unknown _1221980823.unknown _1221980820.unknown _1221980821.unknown _1221980819.unknown _1221980802.unknown _1221980810.unknown _1221980814.unknown _1221980816.unknown _1221980817.unknown _1221980815.unknown _1221980812.unknown _1221980813.unknown _1221980811.unknown _1221980806.unknown _1221980808.unknown _1221980809.unknown _1221980807.unknown _1221980804.unknown _1221980805.unknown _1221980803.unknown _1221980794.unknown _1221980798.unknown _1221980800.unknown _1221980801.unknown _1221980799.unknown _1221980796.unknown _1221980797.unknown _1221980795.unknown _1221980790.unknown _1221980792.unknown _1221980793.unknown 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