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maomao
2011-12-29 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《ppt2ppt》,可适用于高等教育领域

第二章多项式第二章多项式一元多项式的定义和运算多项式的整除性多项式的最大公因式多项式的分解重因式多项式函数多项式的根复数和实数域上多项式有理数域上多项式多元多项式对称多项式课外学习:从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论课外学习:代数与代数基本定理的历史课外学习:推广的余数定理及算法课外学习:代数元的多项式的共轭因子代数是搞清楚世界上数量关系的工具。――怀特黑德(-)当数学家导出方程式和公式如同看到雕像、美丽的风景听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。柯普宁(前苏联哲学家)快乐地学习数学优雅地欣赏数学。――匿名者一元多项式的定义和运算一元多项式的定义和运算一、内容分布多项式的运算二、教学目的掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质三、重点、难点一元多项式的定义多项式的乘法多项式的运算性质。认识多项式相等多项式多项式的次数多项式加法和乘法的运算法则多项式的运算性质一元多项式的定义与运算一元多项式的定义与运算()一一元多项式的定义定义若是数环R上两个一元多项式,f(x)和g(x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么f(x)和g(x)就说是相等f(x)=g(x)例f(x)=xxg(x)=x显然f(x)=g(x)注:据定义一个数环R上的系数不全为零的多项式总可以写成()的形式并且写法唯一例已知f(x)=xxg(x)=x则g(x)为零次多项式f(x)为次多项式多项式的加法给定数环R上两个多项式且m≤n二一元多项式的运算,这里多项式的乘法多项式的减法()乘法交换律:注:若把一个多项式按“降幂”书写三多项式的运算法则四多项式的运算性质证:证:()多项式的整除性多项式的整除性一、内容分布多项式的整除概念多项式整除性的一些基本性质多项式的带余除法定理系数所在范围对整除性的影响二、教学目的.掌握一元多项式整除的概念及其性质。.熟练运用带余除法。三、重点、难点多项式的整除概念带余除法定理设F是一个数域Fx是F上一元多项式环一定义二多项式整除性的一些基本性质并且满足上述条件的三多项式的带余除法按降幂书写:现在证明定理的后一部分.假设f(x)有两种符合定理中要求的表示法:四系数所属数域对整除性的影响多项式的最大公因式多项式的最大公因式一内容分布多项式公因式,最大公因式,互素概念用辗转相除法求最大公因式二教学目的掌握最大公因式,互素概念熟练掌握辗转相除法会应用互素的性质证明整除问题三重点,难点辗转相除法求最大公因式证明整除问题定义定义定理乘以这样得到第一余式乘以约去公因子后得出第二余式从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要性质:若多项式与都整除多项式而与互素那么乘积也整除多项式的分解多项式的分解一内容分布不可约多项式的概念及性质唯一因式分解定理二教学目的掌握不可约多项式及性质掌握唯一因式分解定理,会用两个多项式的典型分解求出最大公因式掌握求典型分解式三重点难点唯一因式分解定理,用典型分解求出最大公因式这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述:性质()很容易推广到任意s(s≥)个多项式的乘积的情形我们有()如果多项式的乘积能被不可约多项式p(x)整除那么至少有一个因式被p(x)整除()设p(x)是一个不可约多项式而f(x)是一个任意多项式那么p(x)或者与f(x)互素或者p(x)整除f(x)()如果多项式f(x)与g(x)的乘积能被不可约多项式p(x)整除那么至少有一个因式被p(x)整除二不可约多项式的性质重因式重因式一内容分布重因式概念没有重因式的判断二教学目的掌握重因式概念,多项式的K阶导数概念掌握有无重因式判断的充要条件三重点难点重因式概念及用一阶导数判断多项式有无重因式根据以上定义不难直接验证关于和与积的导数公式仍然成立:多项式函数多项式的根多项式函数多项式的根一内容分布多项式的根概念综合除法二教学目的掌握多项式函数多项式的根的概念掌握余式定理及运用综合除法熟悉理解拉格朗日插值公式三重点、难点综合除法拉格朗日插值公式这样,对于R的每一个数c,就有R中唯一确定的数f(c)与它对应于是就得到R到R的一个映射这个映射是由多项式f(x)所确定的,叫做R上一个多项式函数综合除法由此得出表中的加号通常略去不写例例用x除作综合除法:所以商式是而余式是令f(x)是Rx的一个多项式而c的R的一个数若是当x=c时f(x)的值f(c)=,那么c叫做f(x)在数环R中的一个根定义证如果f(x)是零次多项式,那么f(x)是R中一个不等于零的数,所以没有根因此定理对于n=成立于是我们可以对n作数学归纳法来证明这一定理设c∈R是f(x)的一个根那么f(x)=(x–c)g(x)这里g(x)∈Rx是一个n–次多项式如果d∈R是f(x)另一个根,d≠c那么=f(d)=(d–c)g(d)因为d–c≠,所以g(d)=因为g(x)的次数是n–,由归纳法假设,g(x)在R内至多有n–个不同的根因此f(x)在R中至多有n个不同的根证设f(x)=g(x)那么它们有完全相同的项,因而对R的任何c都有f(c)=g(c)这就是说,f(x)和g(x)所确定的函数相等反过来设f(x)和g(x)所确定的函数相等令u(x)=f(x)–g(x)那么对R的任何c都有u(c)=f(c)–g(c)=这就是说,R中的每一个数都是多项式u(x)的根但R有无穷多个数,因此u(x)有无穷多个根根据定理只有零多项式才有这个性质因此有u(x)=f(x)–g(x)=,f(x)=g(x)这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式拉格朗日(Lagrange)插值公式复数和实数域上多项式复数和实数域上多项式一内容分布代数基本定理实系数多项式分解定理二教学目的理解代数基本定理、重根掌握实系数多项式的性质三重点、难点代数基本定理,根与系数关系实系数多项式性质这样继续下去,最后f(x)在Cx中完全分解成n个一次因式的乘积,而在f(x)C中有n个根复数域C上任一n(n>)次多项式可以在Cx里分解为一次因式的乘积复数域上任一次数大于的多项式都是可约的有理数域上多项式有理数域上多项式一内容分布本原多项式及高斯引理艾森斯坦差别法求整系数多项式在理根二教学目的掌握本原多项式概念及高斯引理熟悉运用艾森斯坦差别法掌握求整系数多项式的有理根三重点、难点艾森斯坦差别法及如何求整系数多项式有理根方法定理(Eisenstein判断法)定理(Eisenstein判断法)(ii)其余各项的系数都能被p整除,那么多项式f(x)在有理数域上不可约这里q(x)的一个有理系数多项式我们有这里vx–u是一个本原多项式,因为u和v互素另一方面,q(x)可以写成多元多项式多元多项式一内容分布基本概念n元多项式的字典排列法多项式函数二教学目的掌握多元多项式的基本概念:单项式,多项式,系数,同类项,次数,单项式等及n元多项式环掌握多元多项式的运算:加法,乘法掌握多项式的字典排列法,多项式函数三重点、难点n元多项式的一般形式,多项式的字典排列法在一个n元多项式()里组成这个多项式的单项式叫做这个多项式的项各项的系数也叫做这个多项式的系数现在定义R上n元多项式的运算这样定义的多项式的加法和乘法就是中学代数里熟知的多项式的运算并且容易看出n元多项式的运算满足下列条件:对称多项式对称多项式一内容分布对称多项式基本定理用初等对称多项式表成对称多项式二教学目的掌握理解n元对称多项式,n元初等对称多项式概念掌握对称多项式的基本定理熟练用初等对称多项式的多项式三重点、难点对称多项式表成初等对称多项式的多项式看以下的n个n元多项式:对称多项式的基本定理对称多项式的基本定理

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