高等数学练习题(学生版)

精英数学 http://www.elitemaths.com 山东专升本高等数学习题解析 朱老师：Email：elitemaths@163.com Tel:13954126165 一、 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数、极限与连续 1.求下列函数的定义域: (1) = + ， (2) = . 解 (1) 由所给函数知,要使函数 有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 推得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 这两个不等式的公共解为 与 所以函数的定义域为 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 推得 即 , 因此，所给函数的定义域为 . 2.设 的定义域为 ，求 的定义域. 解：令 , 则 的定义域为 EMBED Equation.3 , （k , k + ）, k EMBED Equation.3 , 的定义域为 （k , k + ）, k EMBED Equation.3 . 3.设 = ，求 ， . 解： = = = ( 1,0), = = = ( 0,1). 4.求下列极限： （1） , （2） , 解：原式= 解: 原式= = =2.（抓大头） = .（恒等变换之后“能代就代”） （3） , （4） , 解：原式= 解： 时 , = , = . （恒等变换之后“能代就代”） 原式= = = .（等价） （5） , （6） ， 解：原式= 解： 原式= =0 + 100 = 100 （无穷小的性质） ． (7) ． 解 : 原式= ．（抓大头） （8） . 解：因为 而 ，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为 ，所以当 时， 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ． （9） ． 解：不能直接运用极限运算法则，因为当 时分子，极限不存在，但 是有界函数，即 而 ，因此当 时， 为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得 . （10） ． 解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限 原式= = ．（也可用洛必达法则） （11） . 解一 原式= = ， 解二 原式= = ． （12） ． 解 ： = = = （ EMBED Equation.3 ） ．（等价替换） 5.求下列极限 （1） （2） （3） （4） （5） 解 ：（1）由于 时， ，故原极限为 型，用洛必达法则 所以 （分母等价无穷小代换） EMBED Equation.3 . （2） 此极限为 ，可直接应用洛必达法则 所以 = EMBED Equation.3 . （3） 所求极限为 型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成 或 型. EMBED Equation.3 . （4）所求极限为 型，得 （ 型） = = （5）此极限为 型，用洛必达法则，得 不存在，因此洛必达法则失效！ 但 . 6.求下列函数的极限： （1） ， （2） EMBED Equation.3 当 为何值时， 在 的极限存在. 解： (1) , , 因为左极限不等于右极限，所以极限不存在． （2）由于函数在分段点 处，两边的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式不同，因此一般要考虑在分段点 处的左极限与右极限．于是，有 ， ， 为使 存在，必须有 = ， 因此 ，当 =1 时， 存在且 =1． 7.讨论函数 ， 在点 处的连续性． 解：由于函数在分段点 处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点 处的左极限与右极限． 因而有 ， 而 即 ， 由函数在一点连续的充要条件知 在 处连续． 8. 求函数 的间断点，并判断其类型： 解：由初等函数在其定义区间上连续知 的间断点为 . 而 在 处无定义，故 为其可去间断点. 又 EMBED Equation.3 为 的无穷间断点. 综上得 为 的可去间断点, 为 的无穷间断点. 二、一元函数微分学 1.判断： （1）若曲线 = 处处有切线，则 = 必处处可导. 答：命题错误. 如： 处处有切线，但在 处不可导. （2）若 （ 为常数），试判断下列命题是否正确. ① 在点 处可导, ② 在点 处连续, ③ = . 答：命题①、②、③全正确. (3)若 ， 在点 处都不可导，则 点 处也一定不可导. 答：命题不成立. 如： = = ， 在 = 0 处均不可导，但其和函数 + = 在 = 0 处可导. （4）若 在点 处可导， 在点 处不可导，则 + 在点 处一定不可导. 答：命题成立. 原因：若 + 在 处可导，由 在 处点可导知 =[ + ] 在 点处也可导，矛盾. （5） 与 有区别. 答：命题成立. 因为 表示 处的导数; 表示对 处的函数值求导，且结果为 . （6）设 在点 的某邻域有定义，且 EMBED Equation.3 = ，其中 为常数，下列命题哪个正确？ ① 在点 处可导，且 ,② 在点 处可微，且 , ③ （ 很小时）. 答：①、②、③三个命题全正确. 2.已知 ，利用导数定义求极限 . 解： = = = =0. 3.求 ，的导数. 解： 当 时， ， 当 时， EMBED Equation.3 ， 当 时， ， 所以 ， ， 因此 ， 于是 4.设 ，求 解： , EMBED Equation.3 . 5.已知 求 . 解：两端对 求导，得 ， ， 整理得 ，故 ， 上式两端再对 求导，得 = ， 将 代入上式，得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 6.求 = 的导数 解：两边取对数： = , 两边关于 求导： , . 7.设 ，求 . 解：令 , 两边取对数得： , 两边关于 求导数得： 即 . 8.设 求 和 . 解： = , = . 9. , 求 EMBED Equation.3 . 解： , , , . 10.设 求 . 解： ， . 11.求曲线 在点（1，1）处切线的斜率. 解：由题意知： EMBED Equation.3 , , 曲线在点（1，1）处切线的斜率为3 12. 求函数 的微分. 解一 用微分的定义 求微分， 有 . 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得 . 13.试证当 时， . 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：令 ，易见 在 内连续，且 EMBED Equation.3 . 当 时， EMBED Equation.3 可知 为 上的严格单调减少函数，即 当 时， EMBED Equation.3 ，可知 为 上的严格单调增加函数， 即 . 故对任意 有 即 . 14.求函数 的单调性与极值. 解：函数的定义域为 . ， 令 驻点 列表 ( 0 ( 0 + 极小 由上表知，单调减区间为 ，单调增区间为 ，极小值 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中 不能确定 处是否取极值， 得 是极小值. 15.求 + 在闭区间 上的极大值与极小值，最大值与最小值. 解： , 令 , 得 , , , , ∴ 的极大值为 4，极小值为 . ∵ , . ∴ 比较 的大小可知： 最大值为200， 最小值为 . 16.求曲线 的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为 , , , 令 , 得 , 用 把 分成 ， 两部分. 当 时， , 当 时， , 曲线的凹区间为 凸区间为 拐点为 . 17.求函数 的凹向及拐点. 解：函数的定义域 ， ， 令 得 ， 列表 1 ( 1,1) 1 0 + 0 拐点 拐点 由此可知，上凹区间 ,下凹区间 ，曲线的拐点是 . 的渐近线. 18.求下列曲线的渐近线 （1） EMBED Equation.3 ，（2） ，（3） . 解 （1）所给函数的定义域为 . 由于 ， 可知 为 所给曲线 的水平渐近线. 由于 ， 可知 为曲线 的铅直渐近线. （2） 所给函数的定义域 , . 由于 ， ， 可知 为所给曲线的铅直渐近线（在 的两侧 的趋向不同）. 又 ， ， 所以 是曲线的一条斜渐近线. （3） , 故 为曲线的铅直渐近线, , 故 为曲线的铅直渐近线, , 故 为曲线的水平渐近线, 曲线的渐近线为： . 19.求解下列各题： （1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为 ， , 其中 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润. 解：边际成本 = 边际收入 = 边际利润 . （2）设 为某产品的价格， 为产品的需求量，且有 , 问 为何值时，需求弹性大或需求弹性小. 解：由 得 , 所以需求价格弹性 , 故当 < , 即40< <80时, 需求弹性大; 当 < <0, 即0< <40时，需求弹性小. 三、一元函数积分学 1. 在不定积分的性质 中，为何要求 ？ 答：因为 时， （任意常数），而不是0. 2. 思考下列问题： (1) 若 ，则 为何？ 答： . (2) 若 的一个原函数为 ，问 为何？ 答： (3)若 的一个原函数的 ，则 为何？ 答： . 3. 计算下列积分： （1） , （2） , （3） , （4） , （5） , （6） , （7） , （8） , （9） , （10） , （11） , （12） . 解：（1） . （2） = = = . （3） = . （4） . （5） . （6） . （7） . （8） . （9） . （10） . （11） . （12） = = = . 4. 计算下列不定积分： （1） ，（2） ,（3） ，（4） . 解：（1） 令 , 则 EMBED Equation.3 , ,于是 原式= = = = = . （2）令 ，则 ， ， 于是 = . 由右图所示的直角三角形，得 , 故 . （2）令 ，则 , 于是 . 由右图所示的直角三角形，得 故 . （4） 设 , , , 于是 原式= = = = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = ． 5.计算下列积分： (1) , (2) , (3) , (4) , (5) , (6) . 解：（1） = = . （2） = = = = = . （3） = . （4） = = = = , 移项合并，得 . （5） = . （6） = = = = = . 6.计算 （1） ， （2） ． 解：（1） 选 ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ， , 于是 原式 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , 对于 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 再使用分部积分法, 选 ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , 则 ， EMBED Equation.3 ,从而 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = ． 原式= EMBED Equation.3 （ ）, 为了简便起见，所设 , 等过程不必写出来，其解题步骤如下: EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . （2） = = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + = EMBED Equation.3 + , 式中出现了“循环”，即再出现了 移至左端，整理得 = [ + ]+ ． 7. 利用定积分的估值公式，估计定积分 EMBED Equation.3 的值. 解：先求 在 上的最值，由 , 得 或 . 比较 的大小，知 ， 由定积分的估值公式，得 , 即 . 8. 求函数 EMBED Equation.3 在闭区间[-1，1]上的平均值. 解：平均值 . 9. 若 ，则 =？ 解： = . 10.已知 ， 求 ． 解： = + = EMBED Equation.3 ． 11. 求极限 . 解：此极限是“ ”型未定型，由洛必达法则，得 = = 12.计算下列定积分 （1） , （2） , （3） . 解：（1） = + = = =1. （2） = + = =4+ . （3） = + = =2+2=4. 13.计算下列定积分 （1） ，（2） . 解：(1) = . (2) =2 EMBED Equation.3 . 14.计算 （1） ， （2） ． 解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限． 令 ， EMBED Equation.3 ， ， 当 时， ，当 时， ，于是 = = （2） = ． 15. 计算下列定积分： （1） , （2） , （3） , （4） . 解：（1） = = = . (2) = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (3) = =0 = = EMBED Equation.3 移项合并得 EMBED Equation.3 . （4） EMBED Equation.3 = 16.计算（1） ， （2） ． 解:（1） = EMBED Equation.3 = = ． （2） 由于在[ ]上 ；在[ ]上 ，所以 = + = + =[ EMBED Equation.3 + ] +[ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 ] = EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ）+（ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + ） = EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ． 17.判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1) , (2) , (3) , (4) ． 解:(1) 因为积分区间为无穷区间，所以 原式= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = = = ， 故所给广义积分收敛，且其值为 ． (2) EMBED Equation.3 = , 发散. (3) = . (4) = . 18.求曲线 与 轴围成的平面图形的面积. 解：如图，由 得两曲线交点（1，1）. 解一 取 为积分变量， , 所求面积 . 解二 取 为积分变量, 的变化区间为[0，1]， . 显然，解法二优于解法一.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 19. 求下列曲线所围成的图形的面积: 抛物线 与直线 . 解:先画图，如图所示， 并由方程 ， 求出交点为（2， ），（8，2）. 解一 取 为积分变量, 的变化区间为[ ，2]， 在区间[ ，2]上任取一子区间[ ， + ]， 则面积微元 = , 则所求面积为 = = （ ） =9. 解二 取 为积分变量， 的变化区间 为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间， 需分成[0，2]，[2，8]两部分完成. 在区间[0，2]上任取一子区间[ ， + ]， 则面积微元 1= , 在区间[2，8]上任取一子区间[ ， + ]， 则面积微元 2=[ ] , 于是得 = 1+ 2 = + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 +[ EMBED Equation.3 ] =9 . 显然，解法一优于解法二.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 20.用定积分求由 所围平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：如右图，所求体积 = = . 四、微分方程 1. 验证 为微分方程 的解，并说明是该方程的通解. 证明： , , , 于是 ，故 是 的解. 与 线性无关， EMBED Equation.3 中的 与 相互独立，即 中含有与方程 阶数相同（个数均为2）的独立任意常数，故 是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程: （1） , （2） , （3） ，且 . 解：（1）分离变量得 ,（ ） 两边积分得 , 求积分得 , 从而通解为 及验证 也是方程的解.（特别注意，此解不能并入通解） （2）分离变量得 ,（ ） 两边积分得 , 求积分得 , 即 , 从而通解为 ，验证 也是方程的解. （3）分离变量得 ,（ ） 两边积分得 求积分得 , 即 , 从而通解为 ，验证 也是方程的解. 由 ，得 ， 故特解为 . 3.求解下列一阶线性微分方程 （1） （其中 为常数）, (2) . 解：(1)因 ， ， 故通解为 . (2)方程变形为 , 这是 关于 的一阶线性微分方程，其中 , 通解为： . 以上是用一阶线性微分方程的通解公式求解，要熟练掌握常数变易法！ 4.求微分方程 满足条件 的特解. 解：这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 ， 两边积分，得 EMBED Equation.3 ， 求积分得 ， ， ， ， 记 ，得方程的解 . 可以验证 时， ，它们也是原方程的解，因此，式 中的 可以为任意常数，所以原方程的通解为 （ 为任意常数）. 代入初始条件 得 ，所以特解为 . 5.求微分方程（1） ，（2） 的通解. （1）解一 原方程可化为 ，令 ， 则 ，即 ，两边取积分 ， 积分得 ，将 代入原方程，整理得原方程的通解为 （ 为任意常数）. 解二 原方程可化为 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 ，得其通解为 . 设 为原方程的解，代入原方程，化简得 ， ， 所以原方程的通解为 ，即 （ 为任意常数）. （2）解一 原方程对应的齐次方程 分离变量，得 ， ， 两边积分，得 ， ， ， ， 用常数变易法.设 代入原方程，得 ， ， ， 故原方程的通解为 （ 为任意常数）. 解二 这里 ， 代入通解的公式得 = = = （ 为任意常数）. 6.求微分方程 的通解. 解：方程中不显含未知函数 ，令 ， ，代入原方程，得 ， EMBED Equation.3 ，这是关于未知函数 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以 EMBED Equation.3 ） = ）= ）= ）= ， 由此 = ， = ， 因此，原方程的通解为 = （ 为任意常数）. 7.求微分方程 满足初始条件 ， 的特解. 解：方程不显含 ，令 ， ，则方程可化为 ， 当 时 ，于是 . 根据 ， ，知 代入上式，得 ，从而得到 ，积分得 ，再由 ，求得 ，于是当 时，原方程满足所给初始条件的特解为 ， 当 时，得 (常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解 中. 故原方程满足所给初始条件的特解为 ，即 . 8.求方程 的通解. 解：方程不显含自变量 , 令 原方程可变为 , 即 或 , 由 得 . 由 分离变量，得 , 两边积分得 , 求积分得 , 即 , 解 得 , 因 包含于 中, 故原方程通解为 . 9.写出下列微分方程的通解： （1） , （2） . 解：（1）特征方程 , 特征根 , 通解为 . （2）特征方程 , 特征根 , 通解为 . 10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解: （1） , , （2） ， . 解：（1）先解 , 其特征方程为 , 特征根为 , , 故通解 . 因 中 不是特征方程的根，且 , 故设原方程特解 ，代入原方程化简，得 ，从而原方程通解为 EMBED Equation.3 . 由 ，得 , 由 ，得 , 解得 , , 故所求特解 . （2）先解 ， 其特征方程为 ，特征根为 ， 故通解 . 设原方程特解 ，代入原方程，化简得 ，故原方程通解 , 由 ，由 ，得 ，故所求特解为 . 11. 求微分方程 满足初始条件 ， 的特解. 解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根 ．故对应齐次微分方程的通解为 . 因为 是特征方程的单根，所以设特解为 ， 代入原方程得 ， 比较同类项系数得 ， ，从而原方程的特解为 ， 故原方程的通解为 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， 由初始条件 时， ，得 从而 ， .因此满足初始条件的特解为 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 12.求微分方程 的通解. 解：对应的齐次微分方程的特征方程 ，特征根 .于是所对应的齐次微分方程通解为 ． 为了求原方程 的一个特解,先求 （ ） 的特解.由于 是特征方程的单根，且 是零次多项式。所以设特解为 ，代入原方程，化简得 , 比较同类项系数，得 ， . 所以，方程（ ）的特解为 = , 其虚部即为所求原方程的特解 . 因此原方程通解为 EMBED Equation.3 . 13.已知某曲线经过点 ，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程. 解：设所求曲线方程为 ， 为其上任一点，则过 点的曲线的切线方程为 ， 由假设，当 时 ，从而上式成为 .因此求曲线 的问题，转化为求解微分方程的定解问题 ，的特解. 由公式 ，得 = ， 代入 得 ，故所求曲线方程为 . 五、多元函数的微积分 （一）多元函数微分 1.表达式 成立吗？ 答：不一定. 例如： 不存在，而 . 2. 已知 ，求 . 解： = = . 3. 求 . 解： = = . 4. 求函数 的定义域, 并画出定义域的图形. 解：由 得 ，故定义域为 . 如下图： 5. ，求 ， . 解： , , 故 , . 6. , 求 . 解：因 , , EMBED Equation.3 , . 7. ，求 ， . 解： = , = . 8. ，求 ， . 解： = , = . 9. ，求 ， ， . 解： =8 , = , = . 10. = ，求 ， ， ， ， . 解： = , = , = , = , = . 11.若 ，求 ， . 解：取对数得 , 两边对 求导，得 , , . 12.若 ，求 . 解： = = =1. 13. EMBED Equation.3 ，求 . 解: , . 14. ，求 . 解： , , . 15.设 ，试用两种方法求 . 解法一： , . 解法二： . 16.设 当 , 求 及 . 解： . , . 17. ，求 . 解： . 18.设 ，求 ， . 解一 令 ， ，原式可写成 ， 由复合函数求导法则，得 ，即 = ， = = . 解二 利用一元函数求导法则求偏导，可直接求出两个偏导数 ， .即 = ， = . 19.设 ，求 ， . 解：此题为抽象函数，所以只能用多元函数求导法则. 令 , , 则 ，于是 = + = + [ ] = + [ ] = + （ ）， = = [ ]= [ ] = （ ）. 20.已知 ，求 . 解：如果先求出偏导函数 ，再将 ， 代入求 比较麻烦，但是若先把函数中的 固定在 ，则有 =3 .于是 = ， =3. 21.求 的全微分. 解: = = . 22.利用全微分求 的近似值.（了解！） 解：令 ，则 取 , 则 = =1.003. 23.若 ，求 . 解：设 , 则 , , , , . 24.设 ，求 ， . 解一 用公式法，设 = ， 则 ， ， ， = = = ； = = = . 解二 方程两端求导，由于方程有三个变量，故只有两个变量是独立的，所以求 ， 时，将 看作 ， 的函数. 方程两端对 求偏导数，得 即 = ； 方程两端对 求偏导数，得 即 = . 解三 利用全微分求 ， . 方程两边求全微分，利用微分形式不变性，则 ， ， ， = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3， 因此 = ， = . 25.求曲面 的平行于平面 的切平面方程.（几何应用了解！） 解：设, 则 , 设切点坐标为 , 则切平面法向量 EMBED Equation.3 , 依题意 平行于 EMBED Equation.3 , 从而 , 解得 , 则 , 所以切平面方程为 , 即 . 26.求空间曲线 在点 处的切线方程与法平面方程. 解：切点对应的参变量 , 又 , 所以切向量 , 于是切线方程为 , 法平面方程为 , 即 . 27.设 ，（1）求 的极值, （2）求 在条件 下的极值. 解：（1）由 得驻点（0，0）, 又 , , 且 , 故 为函数的极大值点，函数的极大值为 . （2） 在条件 下的极值, 即为 的极值，显然 在 处取得极大值 ，故 在条件 下，在 处取得极大值 . 28.求 的极值. 解： 在 处取得极大值1，在 处取得极小值 ，故当 （ 为非负整数）时， 取得极小值 ，当 时， 取得极大值 . 29.求函数 的极值. 解：（1）求驻点 由 得两个驻点 ， ， （2）求 的二阶偏导数 ， ， ， （3）讨论驻点是否为极值点 在 处，有 ， ， ， ，由极值的充分条件知 不是极值点， 不是函数的极值； 在 处，有 ， ， ， ，而 ，由极值的充分条件知 为极大值点， 是函数的极大值. 30. 某工厂要用钢板制作一个容积为100 的有盖长方体容器，若不计钢板的原度，怎样制作材料最省？ 解：设容器的长、宽、高分别为 ，则 .此题即要求函数 在条件 下的最小值，其中 , 令 , 则 解得 ，故惟一驻点 也是最小值点，即当容器的长、宽、 高均为 时所用材料最省. （二）二重积分 1.计算 , 其中 . 解：如图，先对 后对 积分， 则 EMBED Equation.3 = = = . 2. 计算 ，其中 由 面上的直线 及 所围成. 解：如图, ： 先对 后对 积分，得 = = = . 3.计算 ，其中 . 解：令 ，则 可表为： 从而 = =2 = . 4.计算 其中 由直线 ， 和曲线 所围成. 解：画出区域 的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标（ ，2）, （1，1）, （2，2），选择先对 积分，这时 的表达式为 于是 = = = = = . 分析 本题也可先对 积分后对 积分，但是这时就必须用直线 将 分 和 两部分.其中 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 由此得 = + = + = + = + = . 显然，先对 积分后对 积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤. 5. 计算 ，其中 ： . 解：画出积分区域 的图形， 观察被积函数，无论先对 积分后对 积分还是先对 积分后对 积分都需要将积分区域分成两部分，计算都较繁，这里选择先对 积分后对 积分，其中 EMBED Equation.3 因此 = + = + =4 +4 = EMBED Equation.DSMT4 . 6.已知 = + 改变积分次序. 解：积分区域 ，其中 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 画出积分区域 的图形， 改变为先对 积分后对 积分， 此时 EMBED Equation.3 因此 = + = . 7.计算 ，其中 是由圆周 与 所围成的平面区域. 解：令 ，则 可表为： 从而 = = = =4 . 8.计算 ，其中 由 , , , 所围成的第一象限内的区域. 解：画出积分区域 的图形， 由于积分区域的边界曲线有圆周， 所以选极坐标系积分. 此时 ，于是 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . 9.求半球体 在圆柱 ( ) 内那部分的体积. 解：把所求立体投影到 面，即圆柱 ( ）内部,容易看出所求立体的体积以 为底，以上半球面 为顶的曲顶柱体的体积. 由于积分区域的边界曲线为圆周，所以采用极坐标系较好. 此时 EMBED Equation.3 故 = = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =（ EMBED Equation.3 ） . 10.画出二次积分 的积分区域 并交换积分次序. 解： ： 的图形如右图，由图可知， 也可表为 所以交换积分次序后，得 . 11.利用二重积分求下列几何体的体积：（了解！） （1）平面 所围成的几何体. 解： 如图，该几何体可看成是以 面的区域 ： 为底，以平面 为顶的柱体，故体积 = = . （2）平面 = 0及抛物面 所围成的几何体. 解：如图，几何体可看成是以 面内的区域 ： 为底，以曲面 为顶的曲顶柱体. 故体积V= 令 , , 则 ： 从而 = = = . 六、无穷级数 1. 判别下列数项级数是否收敛： （1） , （2） , （3） , （4） . 解：（1） EMBED Equation.3 , 而级数 发散, 级数 发散. （2） 是公比 的等比级数，而 ， EMBED Equation.3 收敛. （3） = = = , 原级数收敛. （4） = , 而级数 收敛，故原级数绝对收敛. 2. 证明级数 对任何 都收敛. 证明： EMBED Equation.3 , 而级数 = 收敛, 故因比较判别法知, 原级数对任何 都绝对收敛. 3. 判断下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛 (1) ， (2) ． 解：(1)先判断级数 = 的敛散性，显然级数 是正项级数，因为 > ，而级数 发散，由比较判别法知级数 发散．又因为级数 是一交错级数， =0且 > ，由莱布尼茨判别法知，级数 收敛，故此级数条件收敛． (2) 当0< 时， 0，由级数收敛的必要条件知级数 发散． 当 时,先判断级数 = 的敛散性，因为 = = <1 ，由比值判别法知，级数 绝对收敛． 4. 将循环小数 化为分数.（了解！） 解： = = = . 5. 判定级数 的敛散性. 解：因为级数 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , 而级数 收敛，故级数 绝对收敛. 6.求下列幂级数的收敛域： （1） , （2） . 解：（1） = = =0, 级数 的收敛域为 . （2） = = = , 级数 的收敛域为 . 7.求下列幂级数的收敛域 (1) ， (2) ， (3) ． 解 (1) 因为 = = = ， 所以收敛半径 =3，收敛区间为 （ 3，3）． 当 = 3时，级数为 ，收敛， 当 =3时，级数为 ，显然发散． 故收敛域为 [ 3，3 ． (2) 因为 = = ，所以收敛半径 =2， 由 <2得，收敛区间为（ 3，1）， 当 时，级数为 ，发散， 当 =1时，级数为 ，发散， 故级数的收敛域为（ 3，1）． (3)幂级数 缺少奇次项，直接用比值判别法有 = =0， 收敛半径 = ，收敛域为（ ）． 8. 求幂级数 的和函数.（了解！） 解：设 , 两端关于 求积分得： = = 两端求导得： , 即 . 9. 将 展开成 的幂级数，并求收敛域. （了解！） 解： = , 因为 , 所以 = , 其中 ， 即 . 当 时，级数为 发散；当 时，级数为 发散, 故 = . 10. 以函数 的幂级数展开式为基础，分别求出下列函数的幂级数展开式，并写出收敛域. （了解！） （1） , （2） , （3） , （4） , （5） . 解：（1） = = . （2） = = , . （3） = = = = , . (4) = , 于是 = = , . (5) = , 于是 = = , . 七、向量与空间解析几何 1. 求点 与 轴， 平面及原点的对称点坐标. 解： 关于 轴的对称点为 ，关于 平面的对称点为 ，关于原点的对称点为 . 2. 下列向量哪个是单位向量？ （1） ，（2） ，（3） . 解：（1） , 不是单位向量. （2） , 是单位向量. （3） , 不是单位向量. 3. 求起点为 ，终点为 的向量 的坐标表达式及 . 解： = = , . 4. 设向量 =4 (4 +7 的终点 的坐标为(2, 1,7).求 (1)始点 的坐标；(2)向量 的模；(3)向量 的方向余弦；(4)与向量 方向一致的单位向量. 解：（1）设始点 的坐标为 ，则有 ， , ，得 = 2 , =3 , =0 ; (2) =9; (3) cos = , cos , cos ; (4) o= = (4 EMBED Equation.3 4 +7 ). 5. 已知向量 与向量 = 及 轴垂直，且 ，求出向量 . 解：因为 ， （垂直于 轴），故 与向量 平行.由两向量平行的充要条件， 可写成 ，即 = EMBED Equation.3 = . 由题设 ，得 =2 ， ， , 从而得 = ，或 = . 6.求平行于 轴，且过点 与 的平面方程. 解一 利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量 .因为平面平行于 轴，所以 .又因为平面过点 与 ，所以必有 EMBED Equation.3 .于是，取 = EMBED Equation.3 , 而 ={2，7，(4} ，所以 = = ， 因此，由平面的点法式方程，得 ，即 . 解二 利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为 , 由于平面平行于 轴，所以 ，原方程变为 ，又所求平面过点 (1, (5, 1)与 (3 , 2, (3)，将 的坐标代入上述方程，得 解之得 , ,代入所设方程，故所求平面方程为 . 7. 求点 到点 之间的距离. 解：距离 . 8. 求 使向量 与向量 平行. 解：由 得 得 . 9. 求与 轴反向，模为10的向量 的坐标表达式. 解： = = . 10. 求与向量 ={1，5，6}平行，模为10的向量 的坐标表达式. 解： , 故 . 11. 求点 的向径 与坐标轴之间的夹角. 解：设 与 , , 轴之间的夹角分别为 ，则 , , . , , . 12. 求同时垂直于向量 和 轴的单位向量. 解：记 , 故同时垂直于向量 与 轴的单位向量为 . 13. 求与 平行且满足 的向量 . 解：因 , 故可设 ，再由 得 ，即 ，从而 . 14. ， ， ，求 ， ， ，及 ， ， ， . 解：依题意， ， ， ，故 ， ， . ， ， ， . 15. ，求 及 . 解： , . 16. 证明向量 与向量 垂直. 证明： , ， 即 与 垂直. 17. 写出过点 且以 为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为 . 18. 求过点 且与平面 平行的平面方程. 解：依题意可取所求平面的法向量为 , 从而其方程为 , 即 . 19. 写出过点 且以 为方向向量的直线方程. 解：方程为 . 20. 求过两点 的直线方程. 解：取直线的方向向量 EMBED Equation.3 ，则直线的方程为 . 21. 求过点 且与直线 平行的直线 的方程. 解：依题意，可取 的方向向量为 ，则直线L的方程为 . 22. 求直线 的点向式方程. 解：令 =0，可解得直线上一点 , 取直线的方向向量 EMBED Equation.3 , 所以直线的点向方程为： . 23. 求直线 与平面 的夹角. 解：直线的方向向量 ，平面的法向量 . 设直线与平面的夹角为 ，则 , 故 . 24. 求通过点(3 , 0 , 0)和点(0 , 0 , 1)且与 平面成 角的平面的方程. 解：设所求平面方程为 ， 平面过点(3, 0, 0)，有 , 即 ， ① 平面过点(0, 0, 1), 有 , 即 ， ② 又,平面与 面成 角，有 = = ，③ 即 ， 解 ①②③得 = , 故所求平面为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 ， 即 EMBED Equation.3 . 23. 求过点 且垂直于直线 的平面方程. 解：已知直线的方向向量为 = = , 由于平面与该直线垂直，故可取平面的法向量 为该方向向量 ，即 = ， 由点法式得平面方程 ，即 . 24. 求通过点 且与直线 垂直相交的直线方程. 解：利用向量运算的方法。在已知点的条件下，关键是求出直线的方向向量 .为此先求出过点 且垂直于已知直线的平面方程，再求出已知直线与此平面的交点，利用交点与已知点找出所求直线的方向向量 ，即可得到所求的直线方程.其步骤如下： (i)过点 垂直于已知直线的平面方程为 ，即 . (ii)求上述平面与直线的交点 ，为此令 = ， , , ， 将上述参数方程代入平面 中，有 ，得 = , 所以 , , = ，即 , 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 , (iii)写出所求直线方程。由于直线过点 ，故所求直线方程为 ， 即 . 25.求过点 且与两平面 ： 和 ： 平行的直线方程. 解：设所求直线的方向向量为 EMBED Equation.3 ， ， ， 因为所求直线 与 , 平行，所以 , , 取 = = = = , 故所求直线的方程为 . 26. 指出下列方程所表示的几何图形的名称 ，并画草图.（了解！） （1） （2） , （3） , （4） . 答：（1）平行于 轴的直线, （2）母线平行于 轴的椭圆柱面, （3）以 轴为旋转轴的旋转抛物面, （4）两相交平面. 各题图形如下： 27. 分别求曲线 在 面及 面的投影. （了解！） 解：消去变量 ，得 , 故曲线在 面内的投影曲线为 消去变量 ，得 =1, .故曲线在 面内的投影为 . 28. 求 绕 轴旋转所得旋转曲面的方程？（了解！） 解：方程为 . 29. 曲线 绕