中 等 数 学
毅 李奥林 匹 克初 中训 拣题
第 一 试 总分 分
一 、选择题 本题满分 分 , 每小题 分
, 丫丽百 。一
,
⋯, 若 二二 二 二‘ 二二 , 则 一一 一 ’ 声 , 叨 一 一 一 一
二
△ 中 , 有一边是另一边的一半 , 并且有
一个角为 则这个三角形的形状为
不是直角三角形 不是钝角三角形
不是锐角三角形 以上都有可能
,
‘ , 一 。二
已 知二一二一写下一 则 一产 十 十 一 ’ 乃姗 、一一 一 一 的值为 ·
点 , 的坐标满足 二 川 二一川 则
点 所在的象限为
、 、 、 、
向行驶时 , 路两旁 。米以内
会受到 噪音的影响 已知
拖拉机的速度为 千米
小时 那么 , 拖拉机沿
方向行驶将给
小学
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带来噪
音影响时间为 秒
‘
将 ’
表
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示成三个互不相等的 自然数之
和 , 使得每两个加数都互质 , 其中一个表达式为 “
第 二 试 总分 分
梯 形 的对
角线相交于 , 乙心 ,
在 上 取 点
, 使 《 , 又 在 刀
上取点 , 使 二 则
△ 的 面 积 与
△ 的面积 的关系为
一 、 分 梯 形
中 , 再 , 二 , ,
, 问对角线 能 否
把梯形分成两个相似的三角
形 若不能 , 给 出证 明 若能 ,
求出 刀 , 的长
亡又
·
廖氢
月
、
,
,
夕 不能确定
若 。 的十位数可取 , , , , , 则 的个位数
必为 必为
或为 或为 , , , 均可
二 、 填空题 本题满分 分 , 每小题 分
‘
边形的内角中 , 锐角最多有 个
,
二 、 分 对 ‘ , 作二次方程
舍一 十 二 十加 二
若方程有实根 , 求证 , , ‘ 不能成为一个三
角形的三条边长
若方程有实根 二。 , 求证 而 十‘
当方程有实根 , 时 , 求正整数 , ,
三 、 。分 在坐标平面上 , 纵板坐标都是整数的
点称为整点 , 而顶点均为整点的多边形称为整点多
边形 求证 整点凸五边形上必可找到一个四边形至
少夜盖 个整点
参 考 答 案
第 一 试
正数 。 , , ‘ 满足
十 ,
, , 气
则 的最大
值为
有两 条 公路 , 相交成 。角 , 沿 公路
方 向 米 处有一所小学 , 当拖拉机沿 方
一 、
由条件与结论宇母次数上 的差异知 , 应对条件
升次或结论式降次 分解
由已知有 一 了而百,
平方得 户一 二
年 第 期
移项 扩
·
平方得 ‘一
设三 角形 的三边为 , , 显然 , 。的对边不
是最长边
若 的对边为 , 则 的对角为 , △月刀
为直角三角形
若 的对边为 , 则 的对角小于 , 从而
的对角大于 , △ 为钝角三角形
若 的对边为 , 由 知 , 则
的对角小于 从而 , 的对角大于 , △ 为
钝角三角形
故三种情况下都不是锐角三角形
二 , , , ,
, 其十位数取遍 , , , , ,
苦 , 舍 , 忍 , ,
, 其十位数取遍 , , , ,
二 、
设 边形有 个锐角 , 则
一 沐
一
得
如图 , 作一个 的扇
形 二 当 二 时 ,
△ 儿 的三个 内角 均
十 , 一
二二二
—
呀‘ 曰 ‘
十 十 一 一 一
一 一 一 一
由 一 , 平方得
, 刁 少苦 一 砂 夕 ,
即
故点 在 、 象限
由已知有
△ , ‘ △, ‘ , △, 。 △ , ,
△ £
,
△就 △ , 。一 △ , 肚 ,
△ ‘ △ 祀
有 。 , 一 △, , 一 △ 二
一 △ 一 △初。一 △配。
一 △ , 雀一 △ 一 △
△月 一 △月 £ 一 △凡£。
‘
设 , 其中 ‘ 取 自 , , , ⋯ , , 将 。 写成
两位数的形式为 , , , , , , , , ,
其中只有 ‘ , 时其十位数为奇数
又 。 艺
‘气
可见 , 护的十位数是一个偶数加上 ‘ 的十位数
当 护的十位数为奇数 , , , , 时 , 的个位数
只能取 ,
又 当 的个位数为 , 时 , 有
为锐角 当 时 , 在 上取 一 个点 , 组成多边
形 ⋯ 一 , 其 中 艺 , 艺 , , ,
匕 均为锐角 , 故 的最大值为
一 了万
以 , , ‘ 为边可作一个 △ , 其周长为
由于周长为定值的直角三角形 中 , 以等腰直角三角
形的面积最大 , 故当
。 一 。一 卜 丫万
, 了一牙一
时 。。有最大值为 一 丫飞
如图 , 设拖 拉机行
进到 处 时开 始产 生
影响 , 行进到 处时脱
离影响 , 则
。米 , 过 作 土
, 由匕 知 ,
, 。一 音。 , 一 。米
·
故
有 丫历面万二又酥 米 , 从而 米 又 因
为拖拉机的速度为 千米 小时 米 秒 , 所以 噪音
影响的时间为 , 一馨一 秒一‘ ’ ‘ 一 ‘ ’ 一 ” ‘ 资 一 一 护
“ 一 ‘ ”一 ‘一 或 一‘一 一‘
表示方法很多 , 较方便的有两种
先 , 一 , 一 , 然后把奇数写成两个相
邻数之和 , “ 一‘ , 一 ‘一
先 , 一 , 然后把偶数 ’一 写成相
差为 的两个奇数之和 , ’ 一 ’一 ”一 ‘
由于 一 ’ 与 ·“ ‘一 的差为 , 若 一 ’ , 一 ‘
中 等 数 学
一 有大于 的公因数 , 则 必为 的约数 , 只能取
或 , 但奇数不能有偶约数 , 所以 “ 一‘ 与 一‘一 互
质
第 二 试
一 、 首先假定两个三 角形能相似 , 看哪条边是
的对应边
若 与 工℃成对应边 , 则相似 比为 , 两个
三角形全等 , 其对应角匕 乙 。召 , 但由
知 , 艺 艺 灭了, 故 艺 艺 ,
△ 是等腰三 角形 , 从而 △ 也是等腰三 角
形 , 或为 或为 , 两种情况下均与两三角形全
等矛盾 , 故 与 石心 不能成为对应边
若 与 成 对 应 边 , 则 匕
乙 , 但 艺 艺 犯 , 故 艺 艺 〕,
△ 是等腰三 角形 , 从而 △ 也是等腰三 角
形 , 或为 或为 若 ,
,
则 △ 为正
三角形 , 不可能与 △ 相似 若 刀 , 则
, 与 , 成对应边矛盾
若 与 成对应边 , 则只有
万万一 万万一丽
,
‘ 一 了了《 。《
‘ 了了
其中 △ ‘ 一
一 一 一
一 一
而由第一问知 一 一 。, 故
了云
,
一 一 。 ,
有 蕊
‘ 。 了了
十 一 一
一 一 一 一 ,
艺 。
。 一 丫了
一 一 一
一
丝 丝
刀刀一 丽牙万弓一 ,
综上所述 , 对角线 可以把梯形分成两个相
似的三角形 , 此时有唯一解 , 一
·
说 明 若直接考虑 与 成对应边 , 不能肯
定解的唯一性 讨论是必要的
二 、 由方程有实根知判别式非负 , 即
簇 △ 一 十
一 一 一
一 一 一 一 一 一
“ 一 一‘
但 , 故得 “ 一 一 。 。, 即
这表 明 , , 不能成为一个三角形的三条边
也可把判别式整理成
毛 △ 十 一 一
一 一 一 一
一 一
由 。为二次方程的实根知
合并得 。 ‘
·
由根与系数的关系有
,
,
得 一
一 二 气
又 由第 问知 , 故得
, 艺 ,
只有 一 。, 从而
,
七 一
但 , 故 二 ,‘ 得
即有
一一
护一一
一一
,,人任
一一一一一一口之
‘
三 、 设五边形 儿 ’ 。的每个顶 点均为整
点 由于坐标的奇偶性共有四类
奇 、奇 , 奇 、偶 , 偶 、奇 , 偶 、 偶 , 故五个顶
点 中必有两点属于 同一类 , 记为 ‘ , 街 《 笋 簇
由中点
公式
小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载
知 , 线段 儿 , 的中点 也是整点
由于五边形的五个顶点中除 ‘ , 人 外还有 个
顶 点 , 所 以在直线 儿 , 的某一侧至少有两个顶 点
月 , , 笋
蕊 , 则 以 ‘ , , , , 为顶点可以作一个 凸 四 边
形 , 它至少贾盖了五个整点 ‘ , 人 , , , ‘ ,
进一步可以证明 , 凸五边形内部有整点
罗增儒 提供