微积分思想及简史

序 中国战国时代（公元前 7 世纪），我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下 篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可 分性和极限思想；公元前 4 世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、 无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极 限概念。而极限理论便是微分学的基础。 古希腊时期（公元前 3 世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周 长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形， 以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。 17 世纪，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题 作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、 瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为 微积分的创立做出了贡献。 17 世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱 布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十 分初步的工作。 19 世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认 真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化， 使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 1874 年，德国数学家外尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构 造了一条没有切线的连续曲线，这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概 念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。外尔斯 特拉斯最终完成了对实数系更深刻的性质的理解，使得数学分析完全由实数系导 出，脱离了知觉理解和几何直观。 人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学科在现代也一直在发展着， 人类认识微积分的水平在不断深化。 微积分学 (Calculus, 拉丁语意为用来计数的小石头) 是研究极限、微分学、 积分学和无穷级数的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。历 史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的科 学，正如几何学是研究空间的科学一样。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此 在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的 数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学 发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一 个创造。 微积分学在科学、经济学和工程学领域被广泛的应用，来解决那些仅依靠代 数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建 立起来，并包括微分学、积分学两大分支。微分学包括求导数的运算，是一套关 于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的 符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一 套通用的方法。微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理 论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分 学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。在更深的数学领域中，微积分学通 常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学。 微积分的主要内容及其他 研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫 做数学分析。 本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在 一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一 提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。 积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。 微积分是与科学应用联系着发展起来的。最初，牛顿应用微积分学及微分方 程对第谷浩瀚的天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步 导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学成了推动近代数学发展强大的引 擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自 然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛 的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学。微积分的基本理论 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明 了微分和积分是互逆运算。牛顿和莱布尼茨发现了这个定理以后才引起了其他学 者对于微积分学的狂热的研究。这个发现使我们在微分和积分之间互相转换。这 个基本理论也提供了一个用代数计算许多积分问题的方法，该方法并不真正进行 极限运算而是通过发现不定积分。该理论也可以解决一些微分方程的问题，解决 未知数的积分。微分问题在科学领域无处不在。 微积分的基本概念还包括函数、无穷序列、无穷级数和连续等，运算方法主 要有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数学归纳法紧密相连。 微积分被延伸到微分方程、向量分析、变分法、复分析、时域微分和微分拓 扑等领域。微积分的现代版本是实分析。 极限 微积分中最重要的概念是“极限”。微商（即导数）是一种极限。定积分也 是一种极限。 从牛顿实际使用它到制定出周密的定义，数学家们奋斗了 200 多年。现在使 用的定义是维斯特拉斯于 19 世纪中叶给出的。 数列极限就是当一个有顺序的数列往前延伸时，如果存在一个有限数（非无 限大的数），使这个数列可以无限地接近这个数，这个数就是这个数列的极限。 数列极限的表示方法是： lim n n x L→∞ = 其中 L 就是极限的值。例如当 1 2 nx n = 时，它的极限为 L = 0。就是说 n 越大(越往前延伸)，这个值越趋近于 0。 导数 我们知道在运动学中，平均速度等于通过的距离除以所花费的时间，同样在 一小段间隔的时间内，除上其走过的一小段距离，等于这一小段时间内的速度， 但当这一小段间隔的时间趋于零时，这时的速度为瞬时速度，无法按照通常的除 法计算，这时的速度为时间的导数。得用求导的方法计算。也就是说，一个函数 的自变量趋近某一极限时，其因变量的增量与自变量的增量之商的极限即为导 数。在速度问题上，距离是时间的因变量，随时间变化而变化，当时间趋于某一 极限时，距离增量除以时间增量的极限即为距离对时间的导数。 导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。 微分学 微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率(或 微分)。换言之，计算导数的方法就叫微分学。微分学的另一个计算方法是牛顿 法，该算法又叫应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率。费马常被 称作“微分学的鼻祖”。 积分学 积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出原函数。又分为定积分与不定积 分。一个一元函数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和，约等于函数曲线 下包含的实际面积。根据以上认识，我们可以用积分来计算平面上一条曲线所包 含的面积、球体或圆锥体的表面积或体积等。 而不定积分，用途较少，主要用 于微分方程的解。 微积分的符号 微分学中的符号“dx”、“dy”等，系由莱布尼茨首先使用。其中的 d 源自拉 丁语中“差”（Differentia）的第一个字母。积分符号“∫”亦由莱布尼茨所创， 它是拉丁语“总和”（Summa）的第一个字母 s 的伸长(和Σ有相同的意义)。 微积分学的应用 微积分学的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域。它与大部分科学分支，特别是 物理学，关系密切，而经济学亦经常会用到微积分学。几乎所有现代技术，如建筑、航空等 都以微积分学作为基本数学工具。 微积分学课程在高校理、工科教学中，微积分是“高等数学”的主要内容之一。 其教学法由学科创立一开始就受到人们重视。 微积分的基本介绍 微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算，把上下限代入 不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积，这也是两种理 论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分 学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。 微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是 微分，“无限求和”就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数 学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发 点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用 已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立 了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。 学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为， 代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须 要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限” 的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以 0 的麻烦，相反引入了 一个过程任意小量。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以 取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该 数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ，这样的定义还算比较 完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。 微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、 工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛 的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此 在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的 数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学 发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一 个创造。 Differential and Integral Calculus 数学中的基础分支。内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用。 函数是微积分研究的基本对象，极限是微积分的基本概念，微分和积分是特定过 程特定形式的极限。17 世纪后半叶，英国数学家 I.牛顿和德国数学家 G.W.莱布 尼兹，总结和发展了几百年间前人的工作，建立了微积分，但他们的出发点是直 观的无穷小量，因此尚缺乏严密的理论基础。19 世纪 A.L.柯西和 K.魏尔斯特拉 斯把微积分建立在极限理论的基础上；加之 19 世纪后半叶实数理论的建立，又 使极限理论有了严格的理论基础，从而使微积分的基础和思想方法日臻完善。 极限的思想方法可追溯到古代，3 世纪，中国数学家刘徽创立的割圆术用圆 内接正九十六边形的面积近似代替圆面积，求出圆周率π的近似值 3.141024，并 指出：“割之弥细，所失弥少 ，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”。 刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法，正是极限思想的具体体现 。数列极 限是函数极限的基础， 一个数列 an 如果当 n 无限增大时，an 与某一实数无限接 近，就称之为收敛数列，a 为数列的极限，记作例如，数列的极限为 0。 微分学的基本概念是导数。导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概 念。牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发，希望用数学工具来刻画这一事 实。导数作为一个数学工具无论在理论上还是实际应用中，都起着基础而重要的 作用。例如在求极大、极小值问题中的应用。 积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分。主要内容包括积分的性 质、计算，以及在理论和实际中的应用。不定积分概念是为解决求导和微分的逆 运算而提出来的。如果对每一 x∈I ，有 f(x)＝F′（x），则称 F(x)为 f(x)的一个 原函数，f(x)的全体原函数叫做不定积分，记为，因此，如果 F(x)是 f(x)的一个 原函数，则＝F(x)＋C，其中 C 为任意常数。定积分概念的产生来源于计算平面 上曲边形的面积和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题。解决这些问题 的基本思想是用有限代替无限；基本方法是在对定义域[a，b]进行划分后，构造 一个特殊形式的和式，它的极限就是所要求的量。具体地说，设 f(x)为定义在[a， b]上的函数，任意分划区间[a，b]:a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，记，｜｜Δ｜｜＝ ， 任取 xi ∈Δxi，如果有一实数 I，有下式成立 ： ，则称 I 为 f(x)在[a，b]上的 定积分，记为 I＝f(x)dx。当 f(x)≥0 时，定积分的几何意义是表示由 x＝a，x＝b， y＝0 和 y＝f(x)所围曲边形的面积。定积分除了可求平面图形的面积外，在物理 方面的应用主要有解微分方程的初值问题和“微元求和”。 联系微分学和积分学的基本公式是：若 f(x)在[a，b]上连续，F(x)是 f(x)的原 函数，则 f(x)dx＝F(b)－F(a)。通常称之为牛顿-莱布尼兹公式。因此，计算定积 分实际上就是求原函数，也即求不定积分。但即使 f(x)为初等函数，计算不定积 分的问题也不能完全得到解决，所以要考虑定积分的近似计算，常用的方法有梯 形法和抛物线法。 微积分学的建立 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古 代就已经产生了。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面 积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作 为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周 所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。 三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于 不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产 生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直 接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三 类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面 积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的 引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题 作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、 瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为 微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱 布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十 分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个 是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期 也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究 微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿在 1671 年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到 1736 年才出版，它 在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为 的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导 数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给 定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684 年，他发表了现在世界上认 为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极 小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计 算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的 微分符号和基本微分法则。1686 年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他 是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号， 这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布 尼茨精心选用的。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的 问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少 人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。 微积分也是这样。 不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的 创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学 家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛 顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。 其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完 成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早 10 年左右，但是正式公开 发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处， 也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从 1699 年始 延续了一百多年。 应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样， 牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上， 其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的 小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数 学危机的产生。 直到 19 世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行 了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严 格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积 分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝 努利、欧拉、法国的拉格朗日、柯西…… 欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才 是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是 局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数 不清的丰功伟绩。 微积分历史 积分的起源很早，古希腊时期就有求特殊图形面积的研究；用的是穷尽的方 法。 阿基米德（Archimedes）用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周 率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积； 这些都是穷尽法的古典例子。 文艺复兴之后，基于实际的需要及理论的探讨，积分技巧有了进一步的发展。 譬如为了航海的方便，杰拉杜斯·麦卡托（Gerardus Mercator）发明了所谓的麦 氏投影法，使得地图上的直线就是航海时保持定向的斜驶线。 17 世纪的前半，是微积分学的酝酿时期。确实划分微积分学这门学科是在 17 世纪由戈特弗里德·威廉·莱布尼茨和艾萨克·牛顿几乎同时创立的，对此 学界曾有极大的争论，两人曾为争夺微积分的发明权诉诸皇家学会仲裁。 在他 们创立微积分以前，人们把微分和积分视为独立的学科。而微积分之名与其符号 之使用则是莱布尼茨所创。 虽说微积分是莱布尼茨和牛顿发明的，但是指的是他们两人使微积分观念成 熟，澄清微、积分之间的关系，使计算系统化，并且把微积分大规模使用到几何 与物理上。在他们之前，微积分是萌芽时期，观念在摸索中，计算是个别的，应 用也是个别的。 在牛顿、莱布尼茨以前，对微分、积分最有贡献的大概要算皮埃尔·德·费 马了，可惜他未能体会两者之间的密切关系。而牛顿的老师伊萨克·巴罗（I. Barrow, 1630～1677）虽然知道两者之间有互逆的关系，但他不能体会此种关系 的意义，其原因之一就是求导数还没有一套有系统的计算方法。古希腊平面几何 的成功，予西方数学非常深远的影响，一般认为，唯有几何的论证方法才是严格 的，才是真正的数学，代数也不过是辅助的工具而已。直到笛卡儿及费马倡导以 代数的方法研究几何的问题。这种态度才渐有转变。可是一方面几何思维方式深 植人心，而另一方面代数方法仍然未臻成熟，实数系统迟迟未能建立，所以许多 数学家仍然固守几何阵营而不能有有效的计算方法，如巴娄就是。牛顿虽然背叛 了他老师的纯几何观点，发展了有效的微分方法，可是他的方法迟迟未敢发展。 虽然他用了微积分的技巧，由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系，但 因害怕当时人的批评，在他 1687 年的巨著《自然哲学的数学原理》中，却把微 积分的痕迹抹去，而仍以古典的几何论证方式论述。 微积分实际被许多人不断地完善，也离不开巴罗、笛卡尔、费马、惠更斯和 沃利斯的贡献。 牛顿、莱布尼茨虽然把微积分系统化，但它还是不严格的。可是微积分被成 功地用来解决许多问题，却使十八世纪的数学家偏向其应用性，而少致力于其严 格性。当时，微积分学的发展幸而掌握在几个非常优越的数学家，如欧拉（L. Euler, 1707～1783）、拉格朗日（J.U. Lagrange, 1736~1813）、拉普拉斯（P.S. de Laplace, 1749~1827）、达朗贝尔（J.de R. d'Alembert, 1717~1783）及白努利（D. Bernoulli, 1700~1782）世家等人的手里。 研究的问题由自然现象而来，所以能以自然现象的数据来验合微积分的许多 推论。使微积分学不因基础不稳而将之错误。在这些众数学家的手中，微积分学 的范围很快地超过现在大学初阶段所授的微积分课程，而迈向更高深的解析学。 发展现代微积分理论的一个动力是为了解决“切线问题”，另一个是“面积 问题”。 18 世纪的分析学 驱动 18 世纪的微积分学不断向前发展的动力是物理学的需要，物理问题的 表达一般都是用微分方程的形式。18 世纪被称为数学史上的英雄世纪。他们把 微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。在 数学本身又发展出了多元微分学、多重积分学、微分方程、无穷级数的理论、变 分法，大大地扩展了数学研究的范围。 其中最著名的要数最速降线问题：即最快下降的曲线的问题。这个曾经的难 题用变分法的理论可以轻而易举的解决。 微积分发明优先权大争论 历史上，微积分是由两位科学家，牛顿和莱布尼茨几乎同时发现的。在创立 微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。这两位数学家在微积分学领域中的卓越 贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法，认识到求积问题 与切线问题互逆的特征，并揭示出微分学与积分学之间的本质联系；他们都各自 建立了微积分学基本定理，他们给出微积分的概念、法则、公式和符号理论为以 后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。总之，他们创立了作为一 门独立学科的微积分学。 微积分这种数学分析方法正式诞生以后，由于解决了许多以往靠初等数学无 法作答的实际问题，所以逐渐引起科学家和社会人士的重视。同时，也带来了关 于“谁先建立微积分”问题的争论。从牛顿和莱布尼茨还在世时就开始出现这种 争论，英国和欧洲大陆各国不少科学家都卷入这场旷日持久的、尖锐而复杂的论 战。这场论战持续了 100 多年的时间。 就创造与发表的年代比较，牛顿创造微积分基本定理比莱布尼茨更早。前者 奠基于 1665—1667 年，后者则是 1672—1676 年，但莱布尼茨比牛顿更早发表微 积分的成果。故发明微积分的荣誉应属于他们两人。 中国古代数学中微积分的萌芽 微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微 分的互逆关系 。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲 的大批数学家一直追溯到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的 工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希 腊数学不能比拟的。公元前 7 世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元 前 4 世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外） 的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元 263 年首创的割圆术求圆面积和方锥体积， 求得 圆周率约等于 3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想 的深刻体现。 微积分思想虽然可追溯古希腊，但它的概念和法则却是 16 世纪下半叶，开 普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些 思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元 5 世纪祖恒求球 体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、 “会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。 南宋大数学家秦九韶于 1274 年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创 举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解， 比西方早 500 多年。 特别是 13 世纪 40 年代到 14 世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的 高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开 方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等 差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、 “四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技 术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了 微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。 中国已具 备了 17 世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜 中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目 排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。 第二次数学危机及微积分逻辑上的严格化 微积分诞生之后，数学迎来了一次空前繁荣的时期。对 18 世纪的数学产生 了重要而深远的影响。但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻辑 基础，这在初创时期是不可避免的。科学上的巨大需要战胜了逻辑上的顾忌。他 们需要做的事情太多了，他们急于去攫取新的成果。基本问题只好先放一放。正 如达朗贝尔所说的：“向前进，你就会产生信心！”数学史的发展一再证明自由创 造总是领先于形式化和逻辑基础。 于是在微积分的发展过程中，出现了这样的局面：一方面是微积分创立之后 立即在科学技术上获得应用，从而迅速地发展；另一方面是微积分学的理论在当 时是不严密的，出现了越来越多的悖论和谬论。数学的发展又遇到了深刻的令人 不安的危机。例如，有时把无穷小量看作不为零的有限量而从等式两端消去，而 有时却又令无穷小量为零而忽略不计。由于这些矛盾，引起了数学界的极大争论。 如当时爱尔兰主教、唯心主义哲学家贝克莱嘲笑“无穷小量”是“已死的幽灵”。 贝克莱对牛顿导数的定义进行了批判。 当时牛顿对导数的定义为： 当 x 增长为 x+o 时，x 的立方（记为 x^3）成为（x+o）的立方（记为(x+o） ^3)。即 x^3+3 x^2o+ 3x o^2+ o^3。x与 x^3的增量分别为 o和 3 x^2o+ 3x o^2+ o^3。 这两个增量与 x 的增量的比分别为 1 和 3 x^2+ 3x o+ o^2，然后让增量消失，则 它们的最后比为 1 与 3 x^2。我们知道这个结果是正确的，但是推导过程确实存 在着明显的偷换假设的错误：在论证的前一部分假设 o 是不为 0 的，而在论证的 后一部分又被取为 0。那么 o 到底是不是 0 呢？这就是著名的贝克莱悖论。这种 微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机，而这次危机的引发 与牛顿有直接关系。历史要求给微积分以严格的基础。 第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在 1754 年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本 人未能提供这样的理论。最早使微积分严格化的是拉格朗日。为了避免使用无穷 小推理和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒展 开式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也 无法讨论无穷级数的收敛问题，所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也 未能解决微积分的奠基问题。 到了 19 世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基工作而 努力，其中包括了捷克的哲学家 B.Bolzano.曾著有《无穷的悖论》，明确地提出 了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了较深入的了解。 分析学的奠基人，法国数学家柯西在 1821—1823 年间出版的《分析 教程 人力资源管理pdf成真迷上我教程下载西门子数控教程protel99se入门教程fi6130z安装使用教程 》 和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。在那里他给出了数学分析一系 列的基本概念和精确定义。 对分析基础做更深一步的理解的要求发生在 1874 年。那时的德国数学家外 尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没有切线的连续曲 线，这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛 性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。黎曼发现，柯西没有必要把他的定 积分限制于连续函数。黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。也 就是将柯西积分改进为 Riemann 积分。 这些事实使我们明白，在为分析建立一个完善的基础方面，还需要再深挖一 步：理解实数系更深刻的性质。这项工作最终由外尔斯特拉斯完成，使得数学分 析完全由实数系导出，脱离了知觉理解和几何直观。这样一来，数学分析所有的 基本概念都可以通过实数和它们的基本运算表述出来。微积分严格化的工作终于 接近封顶，只有关于无限的概念没有完全弄清楚，在这个领域，德国数学家 Cantor 做出了杰出的贡献。 总之，第二次数学危机和核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将 微积分建立在极限论的基础上。外尔斯特拉斯的贡献在于逻辑地构造了实数论。 为此，建立分析基础的逻辑顺序是 实数系——极限论——微积分 微积分的现代发展 人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学科在现代也一直在发展着。 以下列举了几个例子，足以说明人类认识微积分的水平在不断深化。 在 Riemann 将 Cauchy 的积分含义扩展之后，Lebesgue 又引进了测度的概念， 进一步将 Riemann 积分的含义扩展。例如著名的 Dirichilet 函数在 Riemann 积分 下不可积，而在 Lebesgue 积分下便可积。 前苏联著名数学大师所伯列夫为了确定偏微分方程解的存在性和唯一性，建 立了广义函数和广义导数的概念。这一概念的引入不仅赋予微分方程的解以新的 含义，更重要的是，它使得泛函分析等现在数学工具得以应用到微分方程理论中， 从而开辟了微分方程理论的新天地。 我国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几何领域，便是利用微积分的理论 来研究几何，这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥的巨大的作用。并且这 门学科至今仍然很活跃。由我国数学家朱熹平、曹怀东完成最后封顶的庞加莱猜 想便属于这一领域。 在多元微积分学中，Newton—Leibniz 公式的对照物是 Green 公式、 Ostrogradsky—Gauss 公式、以及经典的 Stokes 公式。无论在观念上或者在技术 层次上，他们都是 Newton—Leibniz 公式的推广。随着数学本身发展的需要和解 决问题的需要，仅仅考虑欧式空间中的微积分是不够的。有必要把微积分的演出 舞台从欧式空间进一步拓展到一般的微分流形。在微分流形上，外微分式扮演着 重要的角色。于是，外微分式的积分和微分流形上的 Stokes 公式产生了。而经 典的 Green 公式、Ostrogradsky—Gauss 公式、以及 Stokes 公式也得到了统一。 微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始，进而达到抽象思 维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有 相对性，受到时代的局限。随着人类认识的深入，认识将一步一步地由低级到高 级、由不全面到比较全面地发展。人类对自然的探索永远不会有终点。 微积分的诞生及其重要意义 微积分的诞生是继 Euclid 几何建立之后，数学发展的又一个里程碑式的事 件。微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。解析几何的诞生是新时 代到来的序曲，但还不是新时代的开端。它对旧数学作了总结，使代数与几何融 为一体，并引发出变量的概念。变量，这是一个全新的概念，它为研究运动提供 了基础 推导出大量的宇宙定律必须等待这样的时代的到来，准备好这方面的思想， 产生像牛顿、莱布尼茨、拉普拉斯这样一批能够开创未来，为科学活动提供方法， 指出方向的领袖，但也必须等待创立一个必不可少的工具——微积分，没有微积 分，推导宇宙定律是不可能的。在 17 世纪的天才们开发的所有知识宝库中，这 一领域是最丰富的，微积分为创立许多新的学科提供了源泉。 微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分发展史，是人类一 步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科 学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。 恩格斯说： “在一切理论成就中，未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分的 发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯 粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。” 有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命， 有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机。宇宙飞船等现代化交通工 具都是微积分的直接后果。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了，牛顿用同 一个公式来描述太阳对行星的作用，以及地球对它附近物体的作用。从最小的尘 埃到最遥远的天体的运动行为。宇宙中没有哪一个角落不在这些定律的所包含范 围内。这是人类认识史上的一次空前的飞跃，不仅具有伟大的科学意义，而且具 有深远的社会影响。它强有力地证明了宇宙的数学 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 ，摧毁了笼罩在天体上的 神秘主义、迷信和神学。一场空前巨大的、席卷近代世界的科学运动开始了。毫 无疑问，微积分的发现是世界近代科学的开端。 旋转液体的液面 以等角速度 ω旋转的液体，液面的形状如何求得？ 解答： 假设它的剖面是一条曲线，Y 轴是转轴，旋转面以 Y 轴为对称轴，此时在 液面会得到一正压力 R，R 可以同时提供向心力 ， ，和重力 因此 其中 、 都是常数，因此该剖面的曲线是拋物线，液面 形状是该拋物线绕 Y 轴的旋转面。 直接求 sin(x)的导函数 从几何上如何找到 sin(x)的微分呢？解答：直接求 sind d θ θ 把 θ变动△θ，sinθ从 变到 ，我们要了解 与△θ之比，△θ是一小 段弦长，是斜线区域这个近似直角三角形的斜边，此 与△θ之比之比可 以想成是 cosθ 四只苍蝇飞行问题 有四只苍蝇 A,B,C,D 分别位于平面上的﹙1,1﹚，﹙-1,1﹚，﹙-1,-1﹚，﹙1, -1 ﹚，之后它们一起以每秒 1 单位的速度行动，行动的方式为： A 苍蝇一直向着 B 苍蝇靠近， B 苍蝇一直向着 C 苍蝇靠近， C 苍蝇一直向着 D 苍蝇靠近， D 苍蝇一直向着 A 苍蝇靠近，试问： ﹙1﹚四只苍蝇会在何处相遇？ ﹙2﹚它们多久会相遇？ ﹙3﹚找出 A 苍蝇的行动轨迹，并大致画出。 ﹙4﹚计算 A 苍蝇从开始到相遇的路径长。 ﹙5﹚苍蝇 A 会有什么样的生理反应？ 解答： 从物理相对运动的点来看 A 的行进方向始终和 B 的行进方向保持垂直，你 可以想象苍蝇移动了瞬间之后，方向就立即修正﹙参照图一、二、三﹚，由于四 只苍蝇是做等速运动，所以每一时刻以四只苍蝇围出来的四边形会是正方形，﹙ 行进方向垂直加上等速﹚于是当时间愈久的时候，苍蝇愈来愈靠近，正方形愈来 愈小，最后会内缩成一点，这一点会是原点，这就是他们相遇的地方。此外，A 靠近 B 是垂直方向靠近，所以从 B 苍蝇看来，A 还是以 1 单位 / 秒 的等速向 B 靠近，原来 A、B 的距离是 2 单位，因此需要 秒的时间四只苍蝇会相 遇﹙ ， ， 的推论都一样，∴四只会一起相遇﹚ 图一 图二 我们将苍蝇 A 的坐 标位置用极坐标的方式表达， ，而 B 的位置就是 要注意的是： 和 都 是 的函数 而 A 的速度是 此向量要与 平行，于是﹙如 果 ﹚ ，初始值 ， ， 。 ( ) 其轨迹如下图所示 事实上我们必须注意到，在 的情形下会有 的推论， 我们不妨用积分式算出 时刻走了多少路： ﹙等式 右边是速度乘上时间﹚ ，在 的 时候， ，" "。所以其实苍蝇 A 的轨迹应为 上述讨论要表达的是说，加上 这一点是需要的，并且加上 那一点后，轨迹还是连续的﹙可以想一下如何定义在端点的连续性﹚ ﹙4﹚： 由﹙3﹚ ﹙5﹚： 由﹙3﹚得知在 到 2 的时候， ，换言之，在之前已转了无限多圈， 于是苍蝇会“头昏”。 雪球融化 假设雪球融化的速率与表面积成正比，若有一个半径为 10 公分的雪球，在 气温气压皆固定的情况之下，在 5 分钟后融化为一个半径 5 公分的雪球，请问雪 球完全融化需要多少时间？ 解答： 假设此雪球在时间 分钟时的半径为 公分，由题意可知 ， ，又雪球融化的速率与表面积成正比，雪球融化的速率即雪球体积的 变化率，雪球的体积为 ， 表面积为 ，所以有 为一比例常数，由于体积随时间经过而减少，可知 为常数，由 ， ，可解出 ，由此可看出 雪球的半径随时间经过等速率减少，雪球完全融化时 ， 所以雪球在 10 分钟后完全融化。 雨中行车 若你驾驶一辆风玻璃与地面垂直的吉普车欲从甲地到乙地，此时天正下着 雨，假设所有雨滴皆以速度 u 垂直落下，且均匀的分布在空气中，请问你是该 开的快一点或是慢一点，才能使落在挡风玻璃的雨水总量最少？ 解答： 图一 假设每立方公尺中有 α 克的雨水，若车子以速度 v 前进，以车子为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 坐 标来看，则雨水以水平速度 v，垂直速度 u 朝车子而来,假设速度与水平夹角 θ， 则对单位面积的挡风玻璃来说，在 到 间，落在其上的雨水正好是 时，单位面积上高为 ，倾斜角度 θ的圆柱内的水﹙如图二﹚ 图二 总共有 克，所以单位时间内单位面积所接收的雨水为 ，若甲到乙地距离 ，挡风玻璃总面积 ，则从甲以等速 v 开车 到乙挡风玻璃所接收的雨水共有 为一常数，与 无关。 若并非以等速行车，结果又会是如何呢？假设 v 为 t 的函数，写成 ， 单位时间内单位面积接收的雨水为 ，假设在 时间后从甲到达乙，则 。 则 从 甲 到 乙 所 接 收 的 总 雨 量 为 依然是一个常数，与 v 无关，也就是说不管怎么开， 落在挡风玻璃上总雨量都是固定的。 工人拉船 码头上，有一个圆筒状铁柱，从船上抛出一根绳子，一端固定在船尾，另一 端绕铁柱三圈后由一工人拉着，假设工人施力 10 公斤，绳子与铁柱的磨擦系数 是 1/3，请问船尾受力多大？ 解答：在绳子与铁柱有 的接触时，拉力 会提供 ﹙接近 ﹚的正压力给铁柱，所以有 ，积分得 ，其 中 就是 10 公斤， ，而 ，所以 。 录音带 如果你曾注意过收音机带动录音带的情形，相信你会发现在收听﹙或者快转 ﹚的时候，在左方的轮子会逆时针旋转，以带动磁带，而原本在右方的磁带地方 就会被一直带动，最后会绕到左方的轮子上。 现在我们考虑二个问题：两个轮子磁带半径的变化率之比为多少？ 如果我 知道录音带从一开始﹙左方的轮子没有磁带，所有磁带都在右方的轮子上﹚转到 一半 (左方的磁带量＝右方的磁带量﹚时，需要一分钟，并且轮 1 的转速始终 保持一定值，那么录音带全部转完的时候需要几分钟呢？ 解答： 如果你曾注意过收音机带动录音带的情形时，就会发现到，在收听﹙或者快 转﹚的时候，在 1 处的轮子会逆时针旋转，以带动磁带，而磁带原本在 2 的地 方就会被一直带动，最后会绕到轮子 1 上。 现在我们想要考虑两个问题： 1. 记 为 1 号轮子在 时刻所绕出的磁带的半径， 为 2 号轮子在 时 刻磁带形成圆形的半径，它们会随 而变化，那么两半径的变化率之比﹙ 即 ﹚为何？ 2. 如果我知道录音带从一开始﹙轮 1 没有磁带，所有磁带都在轮 2 上﹚转 到一半﹙轮 1 的磁带量＝轮 2 的磁带量﹚时，需要一分钟，并且轮 1 的 转速始终保持一定值，那么录音带全部转完的时候需要几分钟？ 第一个问题其实并不难，如果注意到磁带的总量始终保持一定，另一个角度 想 就 是 两 磁 带 所 绕 出 的 两 个 圆 形 面 积 总 和 是 固 定 的 ， 于 是 会 有 常数，对 微分后得到 第二个问题我们可以试着用积分的方法解决，首先注意到由于转速是一定﹙ 记为 ω﹚，所以半径 是和 成正比，于是不妨令 ﹙比方说轮子每秒 转 10 圈，那么一秒后半径就多了 10 个磁带的厚度，两秒后半径就多了 20 个磁 带 的 厚 度 ﹚ 另 外 ， 我 们 同 样 是 以 圆 面 积 代 表 磁 带 量 ， 所 以 ﹙一分钟时转了总长的一半， 是一比 例常数﹚欲解 时的 α值。 所以带子全部转完需要 分钟。 撞球问题 你知道撞球的时候球杆应该打在哪里最好吗？ 解答： 观察 1： 如果球杆打在撞球的中央﹙如图 A 处﹚则球有速度，但是无旋转的角速度， 如此一来球和布会有摩擦， 布会坏掉，可见这不是最佳的点。 球杆应打在让球产生全滚动而不滑动，这是最佳的点。 观察 2： 若球一开始有滑动，不久球会开始滚动，滚速会增加，移动速度会减少，而 质心速度会增加，到最后会有 ，即滚动而不滑动，而摩擦力会消失。 一些记号： ：球的质心速度 ω：球转动的角速度 ：球的半径 ：球的转动惯量 ：球的质量 由物理学的角度来看，一刚性物体的角动量变化率等于力矩之和，写成数学 式即为 ，另外，角动量等于物体的转动惯量乘上角速度，也就是说 ，于是，用到撞球的例子上即为： 注： 1.因为撞球的滚动是以贯穿球心的轴而转动，所以其转动惯量为 (质心) 2.力矩 ，其中 是转动轴到施力点的方向向量，如果只关 心力矩的大小，则 3.要达到全滚动而不滑动，则 ，动量的变化率最后必须全部转变 为 ，瞬间达成。 所以 最后，计算出 的值： 1.先计算空心球壳的转动惯量： (球壳上的点到轴的距离) (均匀球壳, 质量与面积成正比) ， 。 2.计算实心球壳的转动惯量： 对球壳 r ，从 O 到 R 积分： ，而 所以 结论：球杆应打在距球心高 处为最佳。 ☆ 补充： 为何滚动而不滑动的时候会有 ？ ∵滚动而不滑动 ∴质心的位移等于弧长 ， 牛吃草问题 有一头牛，被栓在一个半径为 r 的木桩上﹙如下图所示﹚绳子的一端被固定在 A 点，而牛能够走到木桩的对面 B。木桩的外部都是草地，请问牛有办法吃到多 少草呢？ 解答： 图一 经由观察我们发现牛能吃到草的范围如右图的斜线部份﹙见图二﹚。 由题意知绳长为 ，而在 点左边的区域会是一个半圆。至于剩下的区域怎 么求得呢？当绳子被木桩" 拌住 "的时候﹙见图三﹚。 牛所达到的最远处为 ，其中弧长 加直线长 为 ﹙绳子的长度﹚， 而曲线即所有这种点所形成的轨迹。 图二 图三 我们可以利用解析几何将轨迹描述出来： 取木桩的中心为原点 ，令 与 的夹角为 θ﹙如图四﹚，于是 点坐标为 ，而 ？ 是圆在 点上的切线段，所以 ， 待定， 而 长度要等于弧长 ，于是 ，解得 ， 所以 点坐标即确定： 图四 图五 我们可先计算图五的斜线面积，它会是以下所表示的积分值： ﹙其中 为周期函数，故 ﹚ ∴ Area 至此可得吃草的范围 ＝上下两块 Area 加上左半圆扣掉木桩面积 ＝ ﹙平方单位﹚ 补充：图五中弧 称为圆的渐伸线﹙involutes﹚ 对微积分学发展历史的认识 早在几千年前的古代科学家的脑海里，微积分的思想雏形便已出现。之后的 几千年中，在许多数学家的不懈努力下，微积分学的创立积累了愈加多的材料， 基础一步步奠定，终于在 17 世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家 牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创 立工作，虽然这只是十分初步的工作。此后，微积分学定义严格化，有了较为完 善的定义，接着不断拓宽、深化，为我们展开了一扇又一扇数学未知世界的大门。 人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学科在现代也一直在发展着，人类 认识微积分的水平在不断深化。在此期间，18 世纪所发生的对微积分发明优先 权的长时间争论，毫无疑问的成为我们注意力的焦点。由于人们在欣赏微积分的 宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波， 造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关 锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展 整整落后了一百年。而其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相 近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早 10 年左 右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们 的研究各有长处，也都各有短处。 这一事件，让我们认识到了在学习、研究的进程中，我们应该更着眼于对知 识理论的深挖掘，而非对荣誉名声的追求，本着科学的精神不断前进。 微积分学的重要性 微积分