拓扑

点集拓扑练习题 一、单项选择题（每题1分） 1、已知 ,下列集族中，（ ）是 上的拓扑. ① ② ③ ④ 答案：③ 2、设 ，下列集族中,（ ）是 上的拓扑. ① ② ③ ④ 答案：② 3、已知 ,下列集族中，（ ）是 上的拓扑. ① ② ③ ④ 答案：① 4、设 ，下列集族中,（ ）是 上的拓扑. ① ② ③ ④ 答案：② 5、已知 ,下列集族中，（ ）是 上的拓扑. ① ② ③ ④ 答案：④ 6、设 ，下列集族中,（ ）是 上的拓扑. ① ② ③ ④ 答案：③ 7、已知 ，拓扑 ,则 =（ ） ①φ ② ③ ④ 答案：④ 8、 已知 ，拓扑 ,则 =（ ） ①φ ② ③ ④ 答案：④ 9、 已知 ，拓扑 ,则 =（ ） ①φ ② ③ ④ 答案：② 10、已知 ，拓扑 ,则 =（ ） ①φ ② ③ ④ 答案：④ 11、已知 ，拓扑 ,则 =（ ） ①φ ② ③ ④ 答案：② 12、已知 ，拓扑 ,则 =（ ） ①φ ② ③ ④ 答案：④ 13、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：② 14、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：② 15、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：① 16、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③ 17、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④ 18、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：② 19、在实数空间中，有理数集 的内部 是（ ） ① ② Q ③ R -Q ④ R 答案：① 20、在实数空间中，有理数集 的边界 是（ ） ① ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④ 21、在实数空间中，整数集 的内部 是（ ） ① ② ③ R-Z ④ R 答案：① 22、在实数空间中，整数集 的边界 是（ ） ① ② ③ R-Z ④ R 答案：② 23、在实数空间中，区间 的边界是（ ） ① ② ③ ④ 答案：③ 24、在实数空间中，区间 的边界是（ ） ① ② ③ ④ 答案：③ 25、在实数空间中，区间 的内部是（ ） ① ② ③ ④ 答案：④ 26、设 是一个拓扑空间，A,B 是 的子集,则下列关系中错误的是（ ） ① ② ③ ④ 答案: ③ 27、设 是一个拓扑空间，A,B 是 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① ② ③ ④ 答案: ① 28、设 是一个拓扑空间，A,B 是 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① ② ③ ④ 答案: ④ 29、已知 是一个离散拓扑空间，A是 的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① ② ③ ④ 答案：① 30、已知 是一个平庸拓扑空间，A是 的子集,则下列结论中不正确的是（ ） ① 若 ,则 ② 若 ,则 ③ 若A={ },则 ④ 若 , 则 答案：④ 31、已知 是一个平庸拓扑空间，A是 的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① 若 ,则 ② 若 ,则 ③ 若A={ },则 ④ 若 ,则 答案：① 32、设 ，令 ,则由 产生的 上的拓扑是（ ） ① { , ,{c},{d},{c,d},{a,b,c}} ② { , ,{c},{d},{c,d}} ③ { , ,{c},{a,b,c}} ④ { , ,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}} 答案：① 33、设 是至少含有两个元素的集合， , 是 的拓扑，则（ ）是 的基. ① ② ③ ④ 答案：③ 34、 设 ,则下列 的拓扑中（ ）以 为子基. ① { , ,{a},{a,c}} ② { , ,{a}} ③ { , ,{a},{b},{a,b}} ④ { , } 答案：② 35、离散空间的任一子集为( ) ① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③ 36、平庸空间的任一非空真子集为( ) ① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④ 37、实数空间 中的任一单点集是 ( ) ① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：② 38、实数空间R的子集A ={1, , , ,……},则 ＝（ ） ①φ ② R ③ A∪{0} ④ A 答案：③ 39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ） ① 整数集 ② ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：① 40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ） ① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集 答案：④ 41、已知 上的拓扑 ,则点1的邻域个数是（　　） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④ 42、已知 ,则 上的所有可能的拓扑有（　　） ① 1个　　　② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④ 43、已知 ={a,b,c},则 上的含有４个元素的拓扑有（　　）个 ① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④ 44、设 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) ① ② ③当 时, ④ 当 时, 答案：③ 45、在实数下限拓扑空间 中，区间 是（ ） ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③ 46、设 是一个拓扑空间， ,且满足 ,则 是（ ） ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：② 47、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓扑为( ) ① ② ③ ④ 答案：③ 48、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓扑为( ) ① ② ③ ④ 答案：② 49、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓扑为( ) ① ② ③ ④ 答案：② 50、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓扑为( ) ① ② ③ ④ 答案：① 51、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓扑为( ) ① ② ③ ④ 答案：② 52、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓扑为( ) ① ② ③ ④ 答案：④ 53、设 是实数空间， 是整数集，则 的子空间 的拓扑为（ ） ① ② ③ ④ 答案：② 54、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射，则 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 55、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射，则 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 56、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射，则 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 57、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射，则 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 58、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射，则 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 59、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射，则 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 60、设 和 是两个拓扑空间， 是它们的积空间, ， ，则有（ ） ① ② ③ ④ 答案：② 61、有理数集 是实数空间 的一个（ ） ① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集　　 ④ 以上都不对 答案：① 62、整数集 是实数空间 的一个（ ） ① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：① 63、无理数集是实数空间 的一个（ ） ① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 　 ④ 以上都不对 答案：① 64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若 , 则Z为( ) ①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 答案：② 65、设 是平庸空间，则积空间 是（　　　） ① 离散空间 ② 不一定是平庸空间 ③ 平庸空间 　④ 不连通空间 答案：③ 66、设 是离散空间，则积空间 是（　　　） ① 离散空间 ② 不一定是离散空间 ③ 平庸空间 　④ 连通空间 答案：① 67、设 是连通空间，则积空间 是（　　　） ① 离散空间 　② 不一定是连通空间 ③ 平庸空间 　④ 连通空间 答案：④ 68、实数空间R中的连通子集E为( ) ① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对 答案：④ 69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为( ) ① 开区间 ② 闭区间 ③　区间 ④ 以上都不对　　 　答案：③ 70、实数空间R中的连通子集E为( ) ① 开区间 ② 闭区间 ③　区间 ④ 区间或一点　　 　　答案：④ 71、下列叙述中正确的个数为（ ） （Ⅰ）单位圆周 是连通的； （Ⅱ） 是连通的 （Ⅲ） 是连通的 （Ⅳ） 和 同胚 ① 1 ② 2 ③　3 ④ 4 答案：② 72、实数空间 ( ) ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 73、整数集 作为实数空间 的子空间（ ） ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 74、有理数集 作为实数空间 的子空间（ ） ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 75、无理数集作为实数空间 的子空间（ ） ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 76、正整数集 作为实数空间 的子空间（ ） ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 77、负整数集 作为实数空间 的子空间（ ） ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 78、2维欧氏间空间 （ ） ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 79、3维欧氏间空间 （ ） ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） ① 平庸性 ② 连通性 ③ 离散性 ④ 第一可数性公理 答案：② 81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） ① 第一可数性公理 ② 连通性 ③ 第二可数性公理 ④ 平庸性 答案：② 82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） ① 第一可数性公 ② 可分性 ③ 第二可数性公理 ④ 离散性 答案：② 83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） ① 平庸性 ② 可分性 ③ 离散性 ④ 第二可数性公理 答案：② 84、设 是一个拓扑空间，若对于 ,均有 ,则 是( ) ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对 答案：① 85、设 ， ，则 是( ) ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对 答案：① 86、设 ， ，则 是( ) ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 道路连通空间 答案：① 87、设 ， ，则 是( ) ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对 答案：④ 88、设 ， ，则 是( ) ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对 答案：④ 89、设 ， ，则 是( ) ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对 答案：④ 90、设 ， ，则 是( ) ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对 答案：④ 91、设 ， ，则 是( ) ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对 答案：① 92、设 是一个拓扑空间，若 的每一个单点集都是闭集， 则 是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间 答案：③ 93、设 是一个拓扑空间，若 的每一个有限子集都是闭集， 则 是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间 答案：③ 94、设 是一个拓扑空间，若对 及 的每一个开邻域 ，都存在 的一个开邻域 ,使得 ,则 是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间 答案：① 95、设 是一个拓扑空间，若对 的任何一个闭集 及 的每一个开邻域 ，都存在 的一个开邻域 ,使得 ,则 是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间 答案：② 96、设 ， ，则 是( ) ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正规空间 答案：④ 97、设 ， ，则 是( ) ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正规空间 答案：④ 98、设 ， ，则 是( ) ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正则空间 答案：④ 99、设 ， ，则 是( ) ① 空间 ② 正则空间 ③ 空间 ④ 正规空间 答案：④ 100、设 ， ，则 是( ) ① 空间 ② 正则空间 ③ 空间 ④ 正规空间 答案：④ 101、设 ， ，则 是( ) ① 空间 ② 正则空间 ③ 空间 ④ 正规空间 答案：④ 102、若拓扑空间 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间 是一个（ ） ① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间　　　 　 答案：③ 103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ） 　 ① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对　　 答案：③ 104、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（ ） ① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对　　 答案：③ 105、紧致的Hausdorff空间中的紧致子集是（ ） ① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③ 106、拓扑空间 的任何一个有限子集都是（ ） ① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集　 　答案：② 107、实数空间 的子集 是（ ） ① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集　 　答案：② 108、实数空间 的子集 是（ ） ① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集　　　　答案：② 109、如果拓扑空间 的每个紧致子集都是闭集，则 是（ ） ① 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案：① 二、填空题（每题1分） 1、设 ,则 的平庸拓扑为 ;答案： 2、设 ,则 的离散拓扑为 ;答案： 3同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;答案：拓扑不变性质 4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是___________.答案： R 5、 当且仅当对于 的每一邻域 有 ;答案： 6、设 是有限补空间 中的一个无限子集，则 = ;答案： 7、设 是有限补空间 中的一个无限子集，则 = ;答案： 8、设 是可数补空间 中的一个不可数子集，则 = ;答案： 9、设 是可数补空间 中的一个不可数子集，则 = ;答案： 10、设 , 的拓扑 ,则 的子集 的内部为 ;答案：{2} 11、设 , 的拓扑 ,则 的子集 的内部为 ;答案：{1} 12、设 , 的拓扑 ,则 的子集 的内部为 ;答案：{1} 13、设 , 的拓扑 ,则 的子集 的内部为 ;答案： 14、设 ,则 的平庸拓扑为 ;答案： 15、设 ,则 的离散拓扑为 ;答案： 16、设 , 的拓扑 ,则 的子集 的内部为 ;答案：{3} 17、设 , 的拓扑 ,则 的子集 的内部为 ;答案：{1} 18、 是拓扑空间 到 的一个映射，若它是一个单射，并且是从 到它的象集 的一个同胚，则称映射 是一个 .答案：嵌入 19、 是拓扑空间 到 的一个映射，如果它是一个满射，并且 的拓扑是对于映射 而言的商拓扑，则称 是一个 ;答案：商映射 20、设 是两个拓扑空间， 是一个映射，若 中任何一个开集 的象集 是 中的一个开集，则称映射 是一个　　　　　　;答案：开映射 21、设 是两个拓扑空间， 是一个映射，若 中任何一个闭集 的象集 是 中的一个闭集，则称映射 是一个　　　　　　;答案：闭映射 22、若拓扑空间 存在两个非空的闭子集 ,使得 ,则 是一个 ；答案：不连通空间 23、若拓扑空间 存在两个非空的开子集 ,使得 ,则 是一个 ；答案：不连通空间 24、若拓扑空间 存在着一个既开又闭的非空真子集，则 是一个 ；答案：不连通空间 25、设 是拓扑空间 的一个连通子集， 满足 ，则 也是 的一个 ; 答案：连通子集 26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质 27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质 28、若任意 个拓扑空间 ,都具有性质 ,则积空间 也具有性质 ，则性质 称为 ; 答案：有限可积性质 29、设 是一个拓扑空间，如果 中有两个非空的隔离子集 ,使得 ,则称 是一个 ；答案：不连通空间. 30、若 满足第一可数性公理，则积空间 满足 ;答案：第一可数性公理 31、若 满足第二可数性公理，则积空间 也满足 ;答案：第二可数性公理 32、如果一个拓扑空间具有性质 ,那么它的任何一个子空间也具有性质 ,则称性质 为 ;答案：可遗传性质 33、设 是拓扑空间 的一个子集，且 ,则称 是 的一个 ；答案：稠密子集 34、若拓扑空间 有一个可数稠密子集，则称 是一个 ；答案：可分空间 35、设 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称 是一个 ；答案：LindelÖff空间 36、如果一个拓扑空间具有性质 ,那么它的任何一个开子空间也具有性质 ,则称性质 为 ;答案：对于开子空间可遗传性质 37、如果一个拓扑空间具有性质 ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质 ,则称性质 为 ;答案：对于闭子空间可遗传性质 38、设 是一个拓扑空间，如果 则称 是一个 空间; 答案： 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点 39、设 是一个拓扑空间，如果 则称 是一个 空间; 答案： 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点 40、设 是一个拓扑空间，如果 则称 是一个 空间; 答案： 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交 41、正则的 空间称为 ；答案： 空间 42、正规的 空间称为 ；答案： 空间 43、完全正则的 空间称为 ；答案： 空间或Tychonoff空间 44、设 是一个拓扑空间.如果 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间 是一个 . 答案：紧致空间 45、设 是一个拓扑空间， 是 的一个子集.如果 作为 的子空间是一个紧致空间，则称 是拓扑空间 的一个 .答案：紧致子集 46、设 是一个拓扑空间. 如果 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间 是一个 .答案：可数紧致空间 47、设 是一个拓扑空间. 如果 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间 是一个 .答案：列紧空间 48、设 是一个拓扑空间. 如果 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间 是一个 .答案：序列紧致空间 三．判断（每题4分，判断1分，理由3分） 1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√ 理由：设 是离散空间， 是拓扑空间， 是连续映射，因为对任意 ，都有 ,由于 中的任何一个子集都是开集，从而 是 中的开集，所以 是连续的. 2、设 是集合 的两个拓扑，则 不一定是集合 的拓扑( )答案:× 理由：因为（1） 是 的拓扑，故 T1， T２，从而 EMBED Equation.DSMT4 ； （２）对任意的 T1 T２，则有 T1且 T２，由于T1, T2是 的拓扑，故 T1且 T2，从而 T1 T２； （３）对任意的 ，则 ，由于T1, T2是 的拓扑，从而 U T’U T1, U T’U T2,故 U T’U T1 T２；综上有T1 T２也是 的拓扑． 3、从拓扑空间 到平庸空间 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√ 理由：设 是任一满足条件的映射，由于 是平庸空间，它中的开集只有 ,易知它们在 下的原象分别是 ,均为 中的开集，从而 连续. 4、设 为离散拓扑空间 的任意子集，则 （ ）答案:√ 理由：设 为 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以 是 的开子集，且有 ，即 ,从而 . 5、设 为平庸空间 （ 多于一点）的一个单点集，则 （ ）答案：× 理由：设 ,则对于任意 , 有唯一的一个邻域 ，且有 ,从而 ，因此 是 的一个凝聚点，但对于 的唯一的邻域 ，有 ,所以有 . 6、设 为平庸空间 的任何一个多于两点的子集，则 （ ）答案：√ 理由：对于任意 因为 包含多于一点，从而对于 的唯一的邻域 ，且有 ，因此 是 的一个凝聚点，即 ，所以有 . 7、设 是一个不连通空间，则 中存在两个非空的闭子集 ,使得 （ ）答案：√ 理由：设 是一个不连通空间，设 是 的两个非空的隔离子集使得 ,显然 ，并且这时有: 从而 是 的一个闭子集，同理可证 是 的一个闭子集，这就证明了 满足 . 8、若拓扑空间 中存在一个既开又闭的非空真子集，则 是一个不连通空间( )案：√ 理由：这是因为若设 是 中的一个既开又闭的非空真子集，令 ，则 都是 中的非空闭子集，它们满足 ，易见 是隔离子集，所以拓扑空间 是一个不连通空. 9、设拓扑空间 满足第二可数性公理，则 满足第一可数性公理（ ）答案：√ 理由:设拓扑空间 满足第二可数性公理， 是它的一个可数基，对于每一个 ,易知 是点 处的一个邻域基，它是 的一个子族所以是可数族，从而 在点 处有可数邻域基，故 满 足第一可数性公理. 10、若拓扑空间 满足第二可数性公理，则 的子空间 也满足第二可数性公理（ ）答案：√ 理由：由于 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基 ，因为 是 的子空间，则 是 的一个可数基，从而 的 子空间 也满足第二可数性公理. 11、若拓扑空间 满足第一可数性公理，则 的子空间 也满足第一可数性公理（ ）答案：√ 理由：由于 满足第一可数性公理，所以对 , 在点 处有一个可数邻域基 ，因为 是 的子空间，则 是 在点 的一个可数邻域基，从而 的子空间 也满足第一可数性公理. 12、设 ， ，则 是 空间.( 　 )答案：× 理由：因为 是 的一个闭集，对于点２和 没有各自的开邻域互不相交，所以 不是正则空间，从而不是 空间. 注：也可以说明 不是 空间． 13、设 ， ，则 是 空间.( 　 )答案：× 理由：因为 是 的一个闭集，对于点１和 没有各自的开邻域互不相交，所以 不是正则空间，从而不是 空间.注：也可以说明 不是 空间． 14、设 ， ，则 是 空间.( 　)答案：× 理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而 不是 空间． 注：也可以考虑点２和点３. 15、设 ， ，则 是 空间.( 　)答案：× 理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而 不是 空间．故 是 空间. 注：也可以考虑点２和点３. 16、 空间一定是 空间.（ ）答案：√ 理由：因为 空间是正则的 空间，所以对于 空间 中的任意不同的两点 ， 是 中的闭集，由于 是正则空间，从而对于 它们有各自的开邻域 使得 ，所以 是 空间. 17、 空间一定是 空间.（ ）答案：√ 理由：因为 空间是正规的 空间，所以对于 空间 中的任意点 和不包含 的闭集 ，由于 也是一个闭集及 是正规空间，故存在 的开邻域 使得 ，这说明 是正则空间，因此 是 空间. 18、设 是拓扑空间 的两个紧致子集，则 是一个紧致子集.( )答案：√ 理由：设A 是一个由 中的开集构成的 的覆盖，由于 和 都是 的紧致子集，从而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分别是 和 的覆盖，故 是A 的有限子族且覆盖 ，所以 是紧致子集. 19、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案：√ 理由：设 是Hausdorff空间 的一个紧致子集，则对于任何 ，若 ，则易知 不是 的凝聚点，因此 ，从而 是一个闭集. _1127717173.unknown _1127719487.unknown _1127720373.unknown _1127722002.unknown _1129450122.unknown _1129450146.unknown _1129456337.unknown _1129987239.unknown _1129988871.unknown _1130134585.unknown _1130359533.unknown _1137599026.unknown _1137599472.unknown _1137599601.unknown _1137599416.unknown _1130359776.unknown _1130360982.unknown _1130361087.unknown _1130360974.unknown _1130359547.unknown _1130306287.unknown _1130355831.unknown _1130355832.unknown _1130355829.unknown _1130355830.unknown _1130355828.unknown _1130248691.unknown _1130248717.unknown _1130249229.unknown _1130134586.unknown _1129989761.unknown _1130071852.unknown _1130072311.unknown _1130073041.unknown _1130134583.unknown _1130134584.unknown _1130073066.unknown _1130073089.unknown _1130072533.unknown _1130072562.unknown _1130072720.unknown _1130072766.unknown _1130072575.unknown _1130072349.unknown _1130072366.unknown 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