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天津大学电气与自动化工程学院
十2. 模糊集合天津大学自动化学院*2. 模糊集合2.3 模糊集合与普通集合的关系
截集 设A是在论域X上的模糊集合，任取 ，记
称 为A 的 截集。其中 称为阈值或置信水平。又记
称 为 A 的 强截集 。截集是经典集合。
例 设 是有限论域X上的一个模糊集，则
2. 模糊集合天津大学自动化学院*2. 模糊集合分解定理 （任意一个模糊集，可由一类集合套来
表
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示）
设A是普通集合， ，做数量积运算，得到一个特殊的模糊集 其隶属度函数为
设A是论域X上的模糊集合， 是 的截集，则有
2. 模糊集合天津大学自动化学院*2. 模糊集合例： 将其使用分解定理分解
2. 模糊集合天津大学自动化学院*2. 模糊集合
3.模糊关系与模糊关系合成天津大学自动化学院*3.模糊关系与模糊关系合成3.1 模糊关系
关系
关系是指对两个普通集合的直积施加某种条件限制后得到的序偶集合。常用R表示。
关系： 对于集合X和Y，它们的直积X×Y的一个子集
R叫做X到Y的二元关系，简称关系。
如果(x,y)∈R，则称x和y有关系R，记作 xRy
如果(x,y)∈R，则称x和y没有关系R，记作 xRy
3.模糊关系与模糊关系合成天津大学自动化学院*3.模糊关系与模糊关系合成例：A=（1，3，5），B=（2，4，6）则直积集合为：
A×B ={(1，2) (1，4) (1，6) (3，2) (3，4) (3，6) (5，2)
(5，4) (5，6)}
对其施加a>b的条件限制，则满足条件的集合为：
A×Ba>b={(3，2) (5，2) (5，4)}
对A×B施加a>b的条件后得到的新的集合定义为关系，记做R
Ra>b={(3，2) (5，2) (5，4)}。
3.模糊关系与模糊关系合成天津大学自动化学院*3.模糊关系与模糊关系合成经典集合的关系用特征函数可表示为
关系矩阵：当X和Y都是有限集合时，关系R可以用关系矩阵形式来表示。如：
3.模糊关系与模糊关系合成天津大学自动化学院*3.模糊关系与模糊关系合成例：A=（1，3，5），B=（2，4，6）则直积集合为：
A×B ={(1，2) (1，4) (1，6) (3，2) (3，4) (3，6) (5，2)
(5，4) (5，6)}
Ra>b={(3，2) (5，2) (5，4)}
Ra>b=A1 0 0 03 1 0 05 1 1 0 2 4 6B3.模糊关系与模糊关系合成天津大学自动化学院*3.模糊关系与模糊关系合成练习：设X=Y={1，2，3，4，5，6}，求表示X>Y关系的R矩阵。
映射 : 设有集合X和Y，如果有一个对应关系存在，对于任意
x∈X,有唯一的y ∈ Y与之对应，则我们称这个关系为一
个由X到Y的映射，记作
f: X→Y
X: 定义域 f(x): 值域
单射，满射，一一映射
3.模糊关系与模糊关系合成天津大学自动化学院*3.模糊关系与模糊关系合成模糊关系
模糊关系指对普通集合的直积施加某种模糊条件限制后得到的模糊集合，记作R。
模糊关系： 所谓 两集合的直积
中的一个模糊关系 ，是指以 为论域的一个模糊子集，序偶 的隶属度为
注意：模糊关系是一种模糊集合。
3.模糊关系与模糊关系合成天津大学自动化学院*3.模糊关系与模糊关系合成模糊关系矩阵
当论域元素有限时，模糊关系R可用扎德表示法或模糊关系矩阵表示。
模糊关系矩阵 设 是m个元素组成的有限论域， 是n个元素组成的有限论域，则对于从 到 的一个模糊关系 ，可用一个 阶矩阵表示
3.模糊关系与模糊关系合成天津大学自动化学院*3.模糊关系与模糊关系合成 例：设A和B为两个不同论域上的普通集合，A=（1 2 3），B=（1 2 3 4 5），对A×B施加 a<
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