快速子空间迭代法、迭代RITZ向量法与迭代LANCZOS法的比较

第 18卷第 2期 2005年 6月 振 动 工 程 学 报 Journal of Vibration Engineering Vo1．18 No．2 Jun．2005 快速子空间迭代法、迭代 Ritz向量法与 迭代 Lanczos法的比较 宫玉才，周洪伟，陈 璞，袁 明武 (北京大学力学与m程科学系，北京 100871) 摘要 ：以高效的细胞稀疏直接快速解法为核心步骤，实现了快速的固有振动广义特征值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解法。并在相 同的允 许模态误差 的意义下检验了三种常用的大型矩阵特征模态算法—— 子空间迭代法、迭代 Ritz向量法和迭代 Lanc． ZOS法的计算效率。迭代 Ritz向量法平均最快 ，子空间迭代法最慢，三种解法效率相差不是太大。与 ANSYS的子空 间迭代和 Lanczos法相 比。本文的子空间迭代比ANSYS的效率高很多 ，Lanczos法和 ANSYS的效率差不多。大量 较大规模的例题显示 。本文对特征值算法的改进是十分有效的。算法的健壮性 ，通用性都达到了高水平 。 关键词：结构振动 ；特征值 ；子空间；迭代法 中图分类号 ：O327；0151．21 文献 标识 采样口标识规范化 下载危险废物标识 下载医疗器械外包装标识图下载科目一标识图大全免费下载产品包装标识下载 码 ：A 文章编号：1004—4523(2005)02·0227—06 1 振动特征值问题 在工程有限元分析中常常要求解广义代数特征 值问题 K 一 一 0 (1) 的部分低阶特征值与特征向量。对于矩阵阶数超过 1 000的大型 问题，子空间迭代法、Ritz向量法和 Lanczos法被公认为求解部分低阶极端特征值和特 征向量的有效方法。尽管国内外的有限元软件都提 供广义代数特征值问题(1)的多种解法 ，但结果仍然 不能令人完全满意，漏根与多根、自由模态误判都时 有发生。 传统上，低端特征值问题求解过程极度依赖于 谱变换的线性方程组 ( 一 ／．zM )x — LDL — My (2) 的解法 ，移轴矩阵 一 M 的 LDL ‘三角分解是计算 量最大的。在以变带宽解法为核心步骤的特征值解法 中，它常常占到特征值问题计算时间的 7O％～90 。 本文采用了文[1]提出的一个效率非常高的有限元解 法——细胞稀疏直接快速解法(简称细胞解法)替换 变带宽解法 ，极大地提高了三角分解的效率。 如果要求不太多的特征模态，例如 10个 ，通常 认为 Ritz向量法和 I．anczos法具有 比子空 间迭代 法更高的计算效率，Ritz向量法和 Lanczos法比子 空 间迭代法平均快 4～1O倍 。但是 ， 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的 Ritz 向量法和 Lanczos方法对收敛的判定是相对 含糊 的，在实际工程计算中可能造成漏根或多根。 传统上，子空间迭代用特征值的两次迭代的相 对误差不等式 I 1 ≤ (3) 】(，+)I ^ 、 控制收敛，而 Lanczos法用其过程中的不等式 I,17 一 I≤ I ，I< (4) 控制收敛。在大量的工程计算中，发现在允许误差 一￡ 一10 的情形下 ，除最低的 10多阶模态之外， 子空间迭代与 I．anczos法所得到的特征向量精度都 可能不令人满意。这一现象对 Lanczos方法尤为严 重，原因是采用逆迭代技术时，高阶的、密集的特征 值不易分离。 关于特征模态的收敛 ，不同的算法往往采用不 同的标准，相对速度的比较不是很客观。对于特征模 态的近似( ， )，在各种算法中可以统一用模态误 差 (5)代替特征值误差作为收敛判据 ，来衡量算法 的效率。 堕 ≈ ≤ 5， 模态误差有明显的物理意义， 珏是振型 珏的最大 弹性节点力，而 M 是振型 珏的最大惯性节点 力。式(5)的最左端是非平衡节点力与最大弹性节点 收稿 日期 ：2004—08—23；修订 日期：2004—12-15 基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金资助项 目(20030001l12) 维普资讯 http://www.cqvip.com 228 振 动 工 程 学 报 第 18卷 力之比，中间是非平衡节点力与最大惯性力之比L3]。 大量算例表明，在模态误差的意义之下，收敛过 程平稳，三种解法效率相差不是太大。迭代 Ritz向 量法平均最快，子空间迭代法最慢。 本文最后还与 ANSYS 8．1的子空间迭代法和 块 Lanczos法进行了比较。 2 算法描述 2．1 子空间迭代法 子空间迭代法最初是 由 Clint和 Jennings提 出，是反幂法的推广[4]。稍后，Bathe和 Wilson在其 中加入了子空间上的Rayleigh～Ritz过程 。它可以明 显地改善收敛速度~4．53。以下是一个子空间迭代算法 的主要步骤 。 I．初始化 (1)确定子空间的维数 q； (2)选取初始向量矩阵 ∈RⅣ× ； (3)设定每次移轴的最大迭代次数 ，m。 。 Ⅱ．移轴与 Sturm序列校核 (1)计算移轴 ，应设法保证它不是特征值 ； (2)分解移轴刚度矩阵 一,uM=LDL ； (3)Sturm序列校核。 Ⅲ．迭代 Ira,,次，完成后转向 I (1)将 进行 M～正交归一化； (2)解试向量矩阵 X 一(LDL )_。MX； (3)计算 和 M 在 上的投影， K 一 l，M ： xTM Xl； (4)求 解 q阶 广 义 特 征 值 问 题 一 M 。 。A ； (5)形成新 的近似特征向量 —X ； (6)按模态误差判断特征值和特征向量的收敛， 移出已收敛的特征向量 ，并在 中加人随机 向量或 减缩子空间的大小。 子空间迭代法假设 q个初始 向量同时进行迭 代，求得前 P个特征值和特征 向量。传统上 ，q— min(2p，P+8)，但模态数需求较多时，这种取法显 然是不 现实 的。经验表 明，子 空间维数可取 q— max( ，4)，其中 S为 L中一行的平均非零元个 数 ，由第 Ⅱ与 Ⅲ步计算量之 比确定。 2．2 迭代 Ritz向量法 Ritz向量 法 是 由 Wilson，Yuan(袁 明武)和 Dickens在 1982年提出的[6]，也称为 wYD—Ritz向 量法，最初用来求解地震的动力响应问题。后来，袁 明武等将其用于大型特征值问题 的计算 ，使它成为 一 种极为有效的特征值算法[7]。 引人迭代可以改善特征值与特征向量的精度 ， 具体步骤如下： I．初始化 (1)确定块 Ritz向量法块宽 q与生成步数 r； (2)选取初始向量矩阵 Q0∈RⅣ× ； (3)设定每次移轴的最大迭代次数 ， 。 Ⅱ．移轴 (1)计算移轴 ，应设法保证它不是特征值； (2)分解移轴刚度矩阵 一 =LDL ； (3)Sturm序列校核。 Ⅲ．迭代 ， 次，完成后转向 Ⅱ (1)x,-t 一0，1，⋯，r一1解 LDL +l=MQI，然 后将 + 对已收敛的特征向量以及 Q ，Q ，⋯， 作 M一正交归一化，并形成 Q·+ ； (2)计算 在 Q一(Q ，Qz，⋯，Q，)上 的投 影， K 一Q XQ； (3)求解 q×， 阶标 准 特征 值 问题 一 。A (4)形成新的近似特征向量 X=Q ； (5)按模态误差判断特征值和特征向量的收敛 ， 移出已收敛的特征向量 ； (6)如果达到了预期的特征值个数 ，退出；否则 将未收敛的前 q个近似向量作为初始向量进行下一 次迭代。 2．3 迭代 Langzos方法 Lanczos方法是在 2O世纪 5O年代初提出的， 它用正交向量组约化对称矩阵为三对角矩阵。70年 代 以前它被认为不稳定，用于实际计算不多。1972 年，Paige证明了失去 了正交性的充分必要条件是 其投影矩阵的特征值收敛到原矩阵的特征值 。此后 ， Wilkinson等建议了重正交化 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，Golub，Cullum 和 Donath，Underwood等建议了块 Lanczos方法 ， Underwood建议了迭代 Lanczos方法[8 ]。 本文采用一个带重正交 的迭代块 Lanczos方 法，向量生成步骤与上面的迭代 Ritz向量法一致， 其差别是 Lanczos方法利用 了 Ritz向量生成过程 中的正交归一化系数。迭代 Lanczos方法的第 1，Ⅱ 步与迭代 Ritz向量法完全一致，为了节省篇 幅，仅 给出第 Ⅲ步中的第(1)，(2)步。 Ⅲ．迭代 ， 次，完成后转向 Ⅱ (1)对 k一0，1，⋯，r解 LDL +1一MQ,，然后 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 2期 宫玉才 ，等 ：快速子空间迭代法、迭代 Ritz向量法与迭代 Lanczos法的比较 229 将 + 对 已收敛 的特征向量 以及 Q ，Q ，⋯， 作 M一正交归一化，并形成 +。。在此过程中依次形成 T。； (2)求 解 q X r阶标 准 特征 值 问、题 。 一 。以。。 文献上一般都将 Krylov空间 Span(Q ，Q ，⋯， Q )的维数取得较大，例如为待求特征值个数的 2 倍 ，以期一次完整的 Lanczos过程得到全部想要的 模态。本文是在较小的 Krylov空间上完成 I．anczos 过程，然后用最好的 q个近似特征向量作为下一次 Lanczos过程的初始向量。这样的方案是一个子空 间迭代与 Krylov空间结合的算法，具有与子空间迭 代法同样的可靠性，在文献上还较为少见。 2．4 程序实现 在程序实现中，移轴三角分解，向前消元和向后 回代采用 了细胞解法[】]，它的综合效率是变带宽解 法的数倍至数百倍。在其它方面，循环展开也广泛地 应用于各种计算加速中，例如正交归一化等。算法中 需要多次计算的乘积 KX采用稀疏总体刚度矩阵与 向量乘积的方案计算，它的计算量与计算时间比求 解方程(2)小一个量级以上，因而不影响整体的计算 效率。 如果在正交化过程中，一个向量正交化以前的模 与正交化以后的模之比超过了某一阈值，将对此向量 实施双正交化，即对已正交化的向量再实施正交化。在 下面的数值试验中，这一阈值取为 1 0 。 为节省计算量 ，Ritz向量法与 I anczos法 的第 Ⅲ步在形成新的特征向量时 ，未计算全部 Rayleigh— Ritz特征值相对应的近似特征向量。 在子空间迭代法中，投影特征值问题的解法选 用 了广 义 Jacobi方法[3]，允许 误差 取为 2 。在 I anczos方法和 Ritz向量法 中，求解投影特征值 问 题采用了 Householder变换与 QI 方法的组合n 。 根据经验 ，子空间迭代法中与一次移轴三角分 解相应的最大迭代次数取为 = max(0．5Ns。／(3Nq 十 2Nq十 10q。)，6) 迭代 Ritz向量法与迭代 Lanczos法块 的大小一般 取 q一4，步数 r=6；这相当于 Krylov子空间的维数 是 24。类 比于子空间迭代法，与一次移轴三角分解 相应 的最大迭代次数取为 =max(0．5Ns。／(3Nq。r。+2Nqr+10q。r。)，4) 三个算法的 Sturm校核均取后验方式，移轴的 首选为下两个待收敛特征值之中点，即 一 0．5( + 十 + ) 若失败，则选为 = 十 0．98(~k+l一 九) 式中 凡是最后一个 已收敛的特征值 ， + ， + 是 下两个待收敛的特征值。 3 算例与讨论 大量的实际工程问题被用来检验本文的三种方 法，限于篇幅仅在表 1和表 2中列出一小部分，其中 PKUSTK系列在以前的研究中已多次使用【1 。必 须强调，基于半带宽解法或变带宽解法的特征值算法 求解这些阶数的问题时，在时间和空间上都是十分困 难的，特别是求解数十个特征模态时。 算例与讨论 的第一部分是三个解法 自身的 比 较，第二部分是本文的方法 与 Windows NT AN— SYS 8．1的速度比较。 测试 平 台是 Window 2000或 Windows XP， CPU均为 Pentium IV系列 ，编译器选用的是 Corn— paq Visual Fortran 6．5，编译中未对特定处理器优 化。测试程序接受Harwell—Boeing RSA矩阵交换格 式 。 3．1 三种广义特征值解法的比较 这一部分的数值试验都在一台带 IDE磁盘、内 存为 512 MB、操作 系统为 中文 Windows 2000的 Pentium IV 2．0机器上进行的。目标是在相同的精 度要求下 ，比较三种解法在模态误差意义下的求解 效率 ，即计算量与求解时间。三种方法的数据区大小 均控制在 384 MB，所有计算可在内存中完成。表 1 给出了例题的工程背景以及大小，表 2则是计算时 间、移轴次数和迭代次数。这部分试验例题是 由 SAP84生成的，并间接转换成 Harwell—Boeing RSA 格式[1 33。 表 1 试验例题以及其说明 维普资讯 http://www.cqvip.com 23O 振 动 工 程 学 报 第 18卷 表 2 计算 l0个与 80个特征模态所需的 CPU时间(单位 ：s)与计算次数 10 53．53 3 41 28．95 2 7 28．88 2 8 PKUSTKO3 8O 330．84 11 201 154．42 8 26 133．85 9 3O 一 ． 10 73．2O 1 11 50．91 1 3 50．86 1 4 PKUSTK13 8O 504．18 4 75 375．18 6 21 416．45 7 25 1O 3．59 2 PALACE 8O 39．01 7 15 2．7O 1 126 19．93 7 4 3．61 2 24 19．84 7 5 25 表 1中 neq是方程组的大小 ，而 l l与 lL1分别 是刚度矩阵与它的三角因子的存储量。表 2中的 8 个算 例中，PKUSTK03，PKUSTK13，MM一08特征 值分布密集。 计算过程中，除 PKUSTK03的允许模态误差 选为 一10 之外，其它各例题的允许模态误差均 取为 一10_。。三种算法求得的固有振动特征值的 前 6位有效数字完全一致。各算例的各阶特征值最 大相对误差为 2．56×10一，平均为 1．56×10一。这 间接说明了三种迭代方法的可靠性。平均意义下 ，迭 代 Ritz向量法最快 ，它的计算速度是子空间迭代法 的 2倍左右。迭代 Lanczos法比迭代 Ritz向量法稍 慢一点，但仍然比子空间迭代法快。 算例 PKUSTK03的对象是一个 内有 24个互 相连接的筒仓大方钢仓，它的固有振动特征值十分 密集。在 70．49到 130．82的区间内分布了 79个特 征值，两个相邻特征值之间的相对差有的在 10 的 量级。如采用式(3)的特征值相对误差控制子空间迭 代 的收敛 ，在取 一10 时，仍不能很好地控制 收 敛。用 一10 计算时也出现了收敛到不正确特征 值与特征向量的例子，三种方法的同阶特征值计算 结果的最大相对误差达 1．47×10_。。在取 一10 后 ，三个方法 的特征值结果的最后相对误差降为 1．12×10一。一般来说 ，取更小的 需更长的求解 时间。测试表明： 一10 与 一10 的求解时间的 相对差为 10 到 17 ，但也有例外 ，MM一08的子空 间迭代法用 一10 作为收敛判据 的求解时间为 885．43 S，而用 一10 时的求解时间为 1 098．28 S，这可能是由于低阶模态的精度提高所引起的。 子空间迭代法的实际测试 中发现 ， 一10 大 致相 当于 一10 或更小 ， 一10 则相 当于 一 10_。。。 另外，本文的 Lanczos方法与 wYD—Ritz向量 法采用的方案基本上是一致的，所以它们的计算时 间大致相同。 3．2 与 ANSYS的比较 为 了说 明本文方法与国际先进水平的相对速 度，与 Window NT ANSYS 8．1的子空间迭代法和 块 Lanczos方法进行了对比。表 3所列的有限元模 型是在 ANSYS中形成的，并通过 DUMP命令导出 Harwell—Boeing RSA格式的总体刚度矩阵与聚集 总体质量矩阵。 所 有 的 比较 是 在 Pentium IV 2．4，512 MB RAM 的机器上进行的，操作系统为 Windows XP。 在测试中，本文的三种算法仍采用 一10 作为收 敛判据 ，ANSYS的子空间迭代法的收敛判据应为 式(3)， 一10一。ANSYS与 NASTRAN的块 Lanc— ZOS法均采用了文献 [-143上的一个精巧方法。表 3 与表 4分别给出了试验例题以及计算所用的 CPU 时间。 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 2期 宫玉才，等：快速子空间迭代法、迭代 Ritz向量法与迭代 LanczOS法的比较 231 表 3 ANSYS试验例题 以及它们的说明 表 4 ANSYS与本文特征值计算方法的 CPU时间 比较 (单位 ：s) 算 例 TABT 的 特 征 值 分 布 不 密 集 ；算 例 BUAA1为一具有 1个刚体 自由度结构，特征值分 布较密集 ；算例 BUAA2为一具有 6个刚体 自由度 结构，重根、特征值分布较密集。 除 BUAA2之外，ANSYS与本文几种算法 的 周 期 结果 在 6位有 效 数字 的范 围 内完全 一致。 BUAA2为一具有 6个刚体 自由度的轴对称结构 ， 它有多对二重根。计算中，ANSYS的 I．anczos算法 未能正确识别全部 6个刚体 自由度。ANSYS的子 空间迭代则不能发现全部重根；在计算 10个特征值 时遗漏了 4个重根从而导致迭代失败，计算 20个特 征值时出现不收敛的现象。 与 ANSYS的子空间迭代 比较 ，本文的子空间 迭代法不仅具有明显的速度优势，而且在计算控制 上也更胜一筹 。与 ANSYS的块 I anczos法相 比，本 文的迭代 Ritz向量法 与迭代 I anczos法是相 当保 守和安全的，算法上还不够精巧。本文方案的迭代次 数与三角分解次数明显多于 ANSYS的，但由于采 用的细胞解法的三角分解速度以及消元回代速度比 ANSYS的相应算法快一些 ，才使得本文 的方案在 整体上略有优势。在计算少量特征模态时，三角分解 的计算时间起控制作用 ，本文的方法比 ANSYS快 ， 但求较大数量的特征值时，迭代 占去较大部分的计 算时间，与 ANSYS之间的差距缩小。 ANSYS的块 I．anczos方法采用 了多 Lanczos 步的方案[1 ，它对特征值不密集的结构相当有效， 但 当特征值密集时，本文采用的少 I．anczos步骤的 方案更为有利。 如只采用类似式(3)的特征值不等式控制迭代 I anczos方法收敛，本文的方法速度可以提高 30 到 70 ，但求解大量特征值时出现数个“幽灵”特征 值。 4 结 论 本文在广义特征值计算 中实现了以下几个改 进： (1)用细胞解法替代 了变带宽解法 ； (2)用模态误差替代 了特征值相对误差 ； (3)循环展开用于特征值解法的各个环节。 本文的改进使得固有振动广义特征值计算的速 度提高 1个量级以上。细胞解法的引人改变了特征 值解法 中三角分解与迭代的计算量之 比，多次移轴 在大中型实用计算上成为可能；模态误差收敛判据 使固有振动特征模态计算的过程变得平稳。 经验表明，模态误差比特征值误差更能反映特 征值问题计算的精度。在计算较多模态时，模态误差 应该作为首选的收敛判据。在实际工程计算中可将 式(5)与式(3)的逻辑“或”作为收敛判据 ，并取 ￡ 一 10 《。这一做法保证了绝大部分特征向量是按模 态误差收敛的。 在没有移轴的情形下，许多研究都认 为 I anc— ZOS方法 与 Ritz向量 法 比子空 间 迭 代快 5～10 倍[9 引，但在允许以较小的代价实施移位时 ，本文的 I anczos方法与 Ritz向量法仅 比子空间迭代法快 2 倍左右。 致谢 感谢美国 Virginia大学的秦钧博士关于 I anczos方法的通信以及部分源代码 ，作 者感谢北 京航天航空大学 504教研室的硕士生陈展同学提供 了ANSYS的算例 BUAA1和 BUAA2，并帮助进行 计算。 参考文献： [1] Chen P，Zheng D，Sun S L，et a1．High performance sparse static solver in finite element analysis with loop—unrolling[J]．Advances in Engineering Soft． 维普资讯 http://www.cqvip.com 232 振 动 工 程 学 报 第 18卷 [23 [3] [43 [53 [63 [73 [83 ware·2003，34：Z03——Zl5． Yuan M W ，Chen P，Sun S L．et a1．Fast sparse stat． ic and eigenvalue solvers for finite element Analysis 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University．Beijing 1 0087 1．China) Abstract：Based on the cell sparse fast solver and loop—unrolling． this paper implements three efficient eigenvalue algo— rithms-- subspace iteration．iterative Ritz method and iterative Lanczos method．Slight modifications are made for iterative Ritz method and iterative Lanczos method．These eigenvalue algorithms are examined under the mode error，i．e．the ratio of out--of--balance nodal point forces that is the difference of maximum elastic nodal point forces and maximum inertia nodal point forces，and the maximum elastic nodal point．Averagely·iterative Ritz method is the most effcient one among them．Engi— neering projects are used as examples to verify the methods．Under the mode error convergence criterion the eigenvalue ex．． tracting processes are more stable than eigenvalue convergence criteria．Compared with ANSYS’s subspace iteration and block Lanczos approaches，the subspace iteration of this paper is much more efficient．and Lanczos approach has almost equal effi— ciency．The methods proposed are of industrial strength and efficient．Large scale tests show that the improvement in terms of CPU time and storage request is tremendous． Key words：structural vibration；eigenvalue；subspace；iteration methods 作者简介：宫玉才 (198O一 )．男 ．硕士研究生 。电话 ：(010)51605333；E—mail：gongyc@pku．edu．cn 通讯作者 ：陈 璞(1962一)．男 ，博士．副教授。电话 ：(01o)62751828；E—mail：chenpu@pku．edn．cn 维普资讯 http://www.cqvip.com