null第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法求积分
重要抽样
俄国轮盘赌和分裂
半解析方法
系统抽样
分层抽样第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用 计算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用领域之一。本章着重介绍计算定积分的蒙特卡罗方法的各种基本技巧，而这些技巧在粒子输运问题中也是适用的。蒙特卡罗方法求积分蒙特卡罗方法求积分 蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下：任何一个积分，都可看作某个随机变量的期望值，因此，可以用这个随机变量的平均值来近似它。null 设欲求积分
其中，P＝P(x1，x2，…，xs)
表
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示 s 维空间的点，Vs表示积分区域。取Vs上任一联合概率密度函数 f (P)，令
则
即θ是随机变量 g(P) 的数学期望，P的分布密度函数为 f (P) 。 现从 f (P) 中抽取随机向量 P 的 N 个样本：Pi，i＝1，2，…，N， 则
就是θ的近似估计。重要抽样重要抽样偏倚抽样和权重因子
取Vs上任一联合概率密度函数 f1(P)，令
则有
现从 f1(P) 中抽样 N 个点：Pi，i＝1，2，…，N， 则
就是θ的又一个无偏估计。
null重要抽样和零方差技巧
要使 最小，就是使泛函I[f1] 极小。
利用变分原理，可以得到最优的 f1(P) 为
null 特别地，当 g(P)≥0 时，有
这时
即 g1的方差为零。实际上，这时有
不管那种情况，我们称从最优分布 fl(P)的抽样为重要抽样，称函数 | g(P) | 为重要函数。 俄国轮盘赌和分裂俄国轮盘赌和分裂分裂
设整数 n≥1，令
则
于是计算θ的问题，可化为计算 n 个θi 的和来得到，而每个 gi(P) 为原来θ的估计 g(P) 的 1/ n ，这就是分裂技巧。null俄国轮盘赌
令 0 ＜ q＜1，
则
于是θ变为一个两点分布的随机变量ζ的期望值，
ζ的特性为：
这样就可以通过模拟这个概率模型来得到θ，这就是俄国轮盘赌。null重要区域和不重要区域
我们往往称对积分θ贡献大的积分区域为重要区域，或感兴趣的区域；称对积分θ贡献小的区域为不重要区域，或不感兴趣的区域。
考虑二重积分
令R是V2上 x 的积分区域，表为 R＝R1+R2，其中R1是重要区域，R2是不重要区域，两者互不相交。又命Q为V2上相应于 y 的积分区域。则null 通常蒙特卡罗方法，由f (x,y)抽样 (x,y)的
步骤
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是：从 fl(x) 中抽取 xi，再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，然后用
作为θ的一个无偏估计。
现在，改变抽样
方案
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如下：
当x∈R1时，定义一个整数n(xi)≥1，对一个xi，抽取
n(xi)个yij，j＝1，2，…，n(xi)。以平均值
代替上述θ估计式中的 g(yi, xi) 。null当 x∈R2时，定义一个函数q(xi)，0＜ q(xi) ＜1，
以抽样值
代替上述θ估计式中的 g(yi, xi) 。这里ξ是随机数。
显然，这种抽样估计技巧，就是对 x∈R1时，利用分裂技巧，而对 x∈R2时，利用俄国轮盘赌，而使估计的期望值不变。由于对重要区域多抽样，对不重要区域少观察，因此能使估计的有效性增高。
半解析（数值）方法半解析（数值）方法 考虑二重积分
令
则θx为θ的无偏估计。
null θx 的方差为
而由 f (x,y)抽样 (x,y)，用 g (x,y)作为θ的估计，其方差为系统抽样系统抽样 我们知道，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是：
从 fl(x) 中抽取 xi，
再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，
现在改变 xi 的抽样方法如下：null yi 的抽样方法不变。
其方差为
与通常蒙特卡罗方法相比，方差减少了约分层抽样分层抽样 考虑积分
在（0，1）间插入J－1个点
0＝α0＜ α1＜ …＜ αJ-1＜ αJ＝1
令null 则有
现在，用蒙特卡罗方法计算θj ，对每个θj 利用 fj(x)中的nj 个样本xij ，那么有null
浙公网安备 33021202002483