null可靠性分析可靠性分析刘志祥
liulzx@mail.csu.edu.cn
13207475458教学计划与管理教学计划与管理《可靠性理论》课程：
32学时
9-16周
2.0学分
必修课程
成绩：平时成绩30%：作业和到课
考试成绩70%：闭卷第一章 绪论第一章 绪论1.1 可靠性基本概念
(1)可靠性定义 系统或设备在规定的条件下，在规定的时间内，完成规定功能的能力。三
个
规
定规定
条件是指系统或产品所处的使用环境与维护条件，包括：机械条件、气候条件、生物条件、物理条件和使用维护条件等。规定
时间规定
功能是指系统或设备(产品)执行任务的时间。一般指由用户提出的指标和要求。null1.1 可靠性基本概念 可靠性就是系统在时间t内不失效的概率P(t)。如果T为系统从开始工作到首次发生故障的时间，系统无故障工作的概率有下式：
P(t)=P(T>t)
P(t)具有下面三条性质：
(1)P(t)为时间的递减函数；
(2)0≤ P(t) ≤ 1；
(3)P(t=0)=1；P(t=∞)=0
系统或设备的可靠性是一个与时间有密切关系的量，使用时间越长，系统越不可靠。(2)可靠性的定量定义null1.2 可靠性研究的意义 (1)提高系统或产品的可靠性，防止故障和事故发生。随着科技进步，系统或产品的规模越来越大，产品的复杂性增加。 一台600MW的发电机由于故障停运一天，使电厂的收入减少432万元；
最为惨痛的教训是乌克兰的切尔诺贝利核电站，1986年4号反应堆因核泄漏导致爆炸，直到2000年12月完全关闭，14年里乌克兰共有336万人遭到核辐射侵害。波音747喷气客机有4百5拾万个部件，当单个元件可靠性为99.999%时，若系统由10个、100个、…，元件组成串联系统，可靠性为：
系统个数(个) 产品可靠性
1 99.999％
10 99.99％
100 99.90％
1000 99.01％
1万 90.48%
10万 36.79%
100万 <0.1%null1.2 可靠性研究的意义 (2)提高系统或产品的可靠性，能使产品的总费用降低。
(3)提高系统或产品的可靠性，能提高设备的使用率。
(4)提高系统或产品的可靠性，能提高企业信誉，提高经济效益。null1.3 可靠性内函 (1)可靠性按学科分类：
一般可分为：可靠性数学；可靠性工程；可靠性管理；可靠性物理等。
(2)可靠性的技术基础：
概率论和数理统计；材料、结构、物理学；故障物理学；基础试验技术；环境技术等。
(3)可靠性学科特点：
可靠性学科特点是：管理与技术高度结合；众多学科的综合；反馈和循环(通过反馈与循环不断提高产品的可靠性)。 null1.4 可靠性研究的数理特征 可靠性研究的是随机事件或随机现象。世界上有些事件是确定的，只要满足了一定条件，这些事件的结果是不变的，如水由两个氢原子和一个氧原子组成;地球是自西向东旋转的等等。但世界上有些事是不确定的，每次观测的结果是不同的，是有差异的。如测量同一批规格零件尺寸，会出现不同的结果。事件或现象确定性不确定性即随机性介于确定性与不确定性之间是混沌现象null1.5 该课程要掌握的内容基础是概率论1、可靠性的概率统计知识2、系统可靠性分析：包括串联系统、并联系统、表决系统、旁联系统、混联系统和复杂系统可靠性分析与计算方法。
3、故障模式影响和故障树分析。重点内容第二章 可靠性的概率统计知识第二章 可靠性的概率统计知识 可靠性是“产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的能力”。我们把表示和衡量产品的可靠性的各种数量指标统称为可靠性特征量。 产品的可靠性特征量主要有：
(1)可靠度；(2)失效概率密度；
(3)累积失效概率；(4)失效率；
(5)平均寿命；(6)可靠寿命；
(7)中位寿命；(8)特征寿命等。2.1 可靠性特征量1、可靠度1、可靠度可靠度是“产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率”。显然，规定的时间越短，产品完成规定的功能的可能性越大；规定的时间越长，产品完成规定功能的可能性就越小。 可靠度是时间t的函数，故也称为可靠度函数，记作R(t)R(t)是一递减函数null可靠度函数可写成：
R(t)=P(T>t)
式中：t为规定时间，T为产品寿命。
有：
null 假如在t=0时有N件产品开始工作，而到t时刻有，n(t)个产品失效，仍有N-n(t)个产品继续工作，则可靠度R(t)的估计值为:2、累积失效概率和失效概率密度2、累积失效概率和失效概率密度(1)累积失效概率也称为不可靠度，记作F(t)。它是产品在规定的条件下和规定的时间内失效的概率，通常表示为： 注意：累积失效概率F(t)与可靠度R(t)是相反关系：R(t)+F(t)=1 或者：F(t)=1-R(t)有：null (2)失效概率密度是产品在包含t的单位时间内发生失效的概率，是累积失效概率对时间t的导数，记作f(t)。可用下式表示： null假设n(t)表示t时刻失效的产品数，△n(t)表示在(t, t+△t)时间内失效的产品数。失效概率密度为:3、失效率3、失效率(1)失效率定义 失效率(瞬时失效率)是：“工作到t时刻尚未失效的产品，在该时刻t后的单位时间内发生失效的概率”，也称为失效率函数，记为λ(t)。由失效率的定义可知，在t时刻完好的产品，在(t，t+△t)时间内失效的概率为： 上式表示B事件(T>t)发生的条件下，A事件(t
t)累积失效概率(不可靠度)与失效概率密度关系：null系列关系式：其
推
导
过
程null 设t=0时有N个产品正常工作，到t时刻有N-n(t)个产品正常工作，至t+△t时刻，有N-n(t+△t)个产品正常工作注意：失效率λ(t)与失效概率密度f(t)的区别null 失效率λ(t)是一个非常重要的特征量，它的单位通常用时间的倒数表示。但对目前具有高可靠性的产品来说，就需要采用更小的单位来作为失效率的基本单位，因此失效率的基本单位用菲特(Fit)来定义，1菲特=10-9/h=10-6 /1000h，它的意义是每1000个产品工作106 h，只有一个失效。(2)失效率的单位null 产品的可靠性取决于产品的失效率，根据长期以来的理论研究和数据统计，发现由许多零件构成的机器或系统，其失效率曲线的典型形态如图2.4所示，由于它的形状与浴盆的剖面相似，所以又称为浴盆曲线(Bathtub—curve)，它明显地分为三段，分别对应元件的三个不同阶段或时期。(2)失效率曲线
(浴盆曲线)null第一段曲线是元件的早期失效期，表明元件开始使用时，它的失效率高，但迅速降低。
第二段曲线是元件的偶然失效期，其特点是失效率低且稳定，往往可近似看成是一常数。
第三段曲线是元件的耗损失效期，失效率随时间延长而急剧增大。null重要规律：偶然失效期设λ(t)=λ，系统的可靠度为： 4、平均寿命4、平均寿命不可修产品的平均寿命是指产品失效前的平均工作时间，记为MTTF(Mean Time To Failure)；
可修产品的平均寿命是指相邻两次故障间的平均工作时间，称为平均无故障工作时间或平均故障间隔时间，记作MTBF(Mean Time Between Failures)。null 如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，那么可将不可修和可修产品统称为平均寿命，记作θ。若产品失效密度函数f(t)已知，由概率论中数学期望的定义，有：平均寿命的意义是可靠度函数R(t)与t轴所形成的面积null不可修产品平均寿命MTTF估计值为：式中：n为测试产品的总数；
ti为第i个产品失效前的工作时间。可修产品平均寿命MTBF估计值为：式中：N为测试产品所有的故障数；
ni为第i个测试产品的故障数；
tij为第i个产品第j-1次故障到第j次故障的工作时间，单位为h。如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，两者平均寿命θ估计值为：5、寿命方差与
标准
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差5、寿命方差与标准差 平均寿命能够说明一批产品寿命的平均水平，而寿命方差和寿命标准差则能够反映产品寿命的离散程度。产品寿命方差的定义为：如果n个产品抽样测试的寿命分别为t1，t2，…，tn，产品寿命平均值与方差分别为：寿命的标准差为寿命方差的平方，即：5、可靠寿命、中位寿命和特征寿命5、可靠寿命、中位寿命和特征寿命可靠寿命是指可靠度等于给定值r时产品的寿命，表达式为：式中：R-1(r)是R(t)的反函数当R=0.5时产品的寿命为中位寿命，表达式为：当R=e-1=0.368时产品的寿命为特征寿命，即：null可靠性特征的数学表达式及其关系可靠性特征的数学表达式及其关系可靠性特征的数学表达式及其关系可靠性特征的数学表达式及其关系null习题1：一组元件的故障密度函数为：式中：t为年。
求：累积失效概率F(t)，可靠度函数R(t)，失效率λ(t)，平均寿命MTTF，中位寿命T(0.5)和特征寿命T(e-1)。null习题2：已知某产品的失效率为常数，λ(t)=λ=0.25×10-4/h。求：可靠度R=99%的可靠寿命，平均寿命MTTF，中位寿命T(0.5)和特征寿命T(e-1)。null习题3：50个在恒定载荷运行的零件，运行
记录
混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载
如下表：求：(1)零件在100h和400h的可靠度；(2)100h和400h的累积失效概率；(3)求10h和25h时的失效概率密度；(4)求t=25h和t=100h的失效率。null习题1：一组元件的故障密度函数为：式中：t为年。求：累积失效概率F(t)，可靠度函数R(t)，失效率λ(t)，平均寿命θ ，中位寿命T(0.5)和特征寿命T(e-1)。
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
解：上式中不知道∞是多少，但有R(∞)=0，即： 解得t1=t2=8年，表明8年后元件将全部失效解得r1=2.243年(r2=13.66年>8年舍去)。解得r1=3.147年(r2=12.85年>8舍去)。null习题2：已知某产品的失效率为常数，λ(t)=λ=0.25×10-4/h。求：可靠度R=99%的可靠寿命，平均寿命θ ，中位寿命T(0.5)和特征寿命T(e-1)。解：null习题3：50个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表：求：(1)零件在100h和400h的可靠度；(2)100h和400h的累积失效概率；(3)求10h和25h时的失效概率密度；(4)求t=25h和t=100h的失效率。解：要点：f(t)、 λ(t)是研究t时间后单位时间的失效产品数， f(t) 是除以试验产品总数，λ(t)是除以t时仍正常工作的产品数。注意单位。 2.2 维修性特征量2.2 维修性特征量维修性定义：维修性是指在规定的条件下使用的可维修产品，在规定的时间内，按规定的程序和方法进行维修时，保持或恢复到能完成规定功能的能力。----对应产品应可靠性维修性特征量有三个：
维修度M(t)；
修复率μ(t)；
平均修复时间MTTR。null 把产品维修时间Y所服从的分布称为维修分布，记为G(t)。维修度是指在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的时间(0，t)内完成修复的概率，记为M(t)。2.2.1 维修度维修度(Maintainability)定义 维修度是时间(维修时间t)的函数，故又称为维修度函数M(t)，它表示当t=0时，处于失效或完全故障状态的全部产品在t时刻前经修复后有百分之多少恢复到正常功能的累积概率。
所以维修度M(t)对应产品的累积失效概率F(t)null 修复率指修理时间已达到某一时刻但尚未修复的产品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率，可表示为μ(t)。---对应于产品的失效率λ(t)。2.2.2 修复率修复率定义 维修度M(t)对应产品的累积失效概率F(t) ，m(t)为维修时间的概率密度函数。--对应于产品的失效概率密度f(t)。null 平均修复时间是指可修复的产品的平均修理时间，其估计值为修复时间总和与修复次数之比，记作MTTR(Mean Time To Repair)。---对应于可修产品的平均工作时间(平均寿命)MTBF。2.2.3 平均修复时间平均修复时间(MTTR)定义两个重要规律null可靠度与维修度之间的关系可靠度或不可靠度维修度null平均修复时间例题：2.3 有效性特征量2.3 有效性特征量有效性定义：有效性也称可用性，表示可维修产品在规定的条件下使用时具有维持规定功能的能力。规定条件包括产品的工作条件和维修条件。有效性是一个反映可维修产品使用效率的广义可靠性尺度。2.2.3 有效度和可用度 有效度定义：有效度(也叫可用度)是指可维修的产品在规定的条件下使用时，在某时刻具有或维持其功能的概率。对于不可维修的产品，有效度等于可靠度。 有效度是时间的函数，故又可称为有效度函数，记为A(t)。它又分为瞬时有效度、平均有效度、稳态有效度和固有有效度四形式。null1 、瞬态有效度 瞬态有效度定义：瞬态有效度指在某一特定瞬时，可维修的产品保持正常工作的概率，又称瞬时利用率，记为A(t)。瞬时有效度常用于理论分析，而不便用于实践。 平均有效度定义：平均有效度是指可维修产品在一时间区间的平均值。又称任务有效度。2 、平均有效度null3 、稳态有效度 稳态有效度定义：稳态有效度是时间t趋近于∞的瞬时有效度。记为A(∞)或A，又称为时间有效度或可工作时间比。U—可维修产品平均能正常工作的时间，单位为h；D—产品平均不能工作的时间，h；MTBF—可修产品平均无故障工作时间；MTTR—可修产品的平均修理时间，即平均修复时间。null4 、固有有效度 固有有效度是事后维修，它分析的是实际不能工作的时间。MADT(mean active down time)—平均实际不能工作的时间。 其与稳态有效度的区别：稳态有效度是时间t趋近于∞的瞬时有效度。null瞬时有效度、平均有效度(即任务有效度)和稳态有效度之间的关系。null习题4：一设备从以往的经验知道，平均无故障时间为20天，如果出了故障需2天方能修复，假定该设备发生故障时间及修复时间服从指数分布。求：(1)该设备5天和15天的可靠度各为多少?；(2)该设备的稳态有效度为多少?提示：null习题4答案：一设备从以往的经验知道，平均无故障时间为20天，如果出了故障需2天方能修复，假定该设备发生故障时间及修复时间服从指数分布。求：(1)该设备5天和15天的可靠度各为多少?；(2)该设备的稳态有效度为多少?解：(1)该设备平均无故障时间时间为20天，即MTBF=20
因MTBF=1/λ，λ=1/20；
同理平均修复时间为2天，MTTR=1/μ，μ=1/2
R(5)=exp(- λt)=exp(-5/20)=0.779
R(15)=exp(- λt)= exp(-15/20)=0.472
(2)A= μ/(μ+λ)=0.909或A=MTBF/(MTBF+MTTR)=20/22=0.909 稳态有效度定义2.4 概率的基本运算2.4 概率的基本运算2.4.1 随机事件 随机事件的定义：凡是事先不能确定结果的现象称随机现象，我们将一定条件下可能发生也有可能不发生的事件称为随机事件。随机事件的一个基本结果称为基本事件，随机事件的若干个结果也可组成一个事件，这种事件称为复合事件(如从扑克牌中抽一张，抽出1、2、….、或13等都是基本事件，抽出偶数牌是复合事件)。 在一定的条件下，必然会发生的事件是必然事件，记为Ω ；一定不可能发生的事件为不可能事件，记为Ø 。null2.4.2 随机事件的概率 概率的统计定义：假定在相同条件下进行n次重复试验，事件A发生了k次，当试验次数n趋向无穷时，发生频率的极限定义为事件A发生的概率，记为P(A)。 随机事件就其单独一次试验的结果是无法确定的，但只要同样的试验在同一条件下重复多次，各种结果出现的次数占总次数的比例将会趋近于一个稳定的数值，这是平稳随机过程及随机现象的一个重要特征。null2.4.3 事件间的关系与运算 1、事件间的关系 如果事件A包含事件B，且事件B包含事件A，则称事件A与B相等。记为A=B。(1)包含与相等关系：如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，即：null(2)事件的和：“n个事件A1，A2，…，An中至少有一个发生”这一事件，称为Al，A2，…，An的和事件。记为：null(3)事件的积：“n个事件A1，A2，…，An同时发生”，称为Al，A2，…，An的积事件。记为：(4)事件的差：“事件A发生，但事件B不发生”，称为事件A与B的差。记为：A-Bnull(5)对立事件或逆事件：“事件A不发生”，称为事件A的对立事件或逆事件。记为：(6)互斥事件或互不相容事件：“如果事件A和事件B不能同时发生”，称事件A与B是互不相容事件(互斥事件)，有AB=Ø 。null事件间的运算规律null2.4.4 概率运算的基本公式 1、概率的加法公式设A与B是任意两个事件，则
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
特别地：(2)当A与B为互不相容事件：P(AB)=P(Ø )=0，P(A+B)=P(A)+P(B)
推广到n维，若A1、A2、A3、…、An为互不相容事件，有：null例题：null 2、条件概率公式设A与B是任意两个事件，如果P(B)>0，P(A|B)(在事件B发生的条件下，A事件发生的概率)为特别地：null 3、概率的乘法公式设A与B是任意两个事件，如果P(B)>0，由条件概率公式：P(A|B)=P(AB)/P(B)，对于A，B，C三个事件：特别地：
(1)如果A与B相互独立(事件A的发生不受事件B的影响，事件B的发生也不受事件A的影响)，(2)当事件A1,A2,…,An相互独立，概率的乘法公式可推广到n维null概率乘法公式例题：null例题：null 4、全概率公式如果事件A1,A2,…,An满足： (1) A1,A2,…,An两两互不相容，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n)
(2) A1+A2+…+An=Ω 即A的全事件
对于任一事件B都有：全概率公式的常用形式：重要公式 在实际应用中，如果能分析一个事件的发生是由几种原因引起的，或者说该事件的发生受到几种因素的影响，并且这几种原因或因素构成了一个完备事件组，那么可考虑使用全概率公式。只要知道了各种原因Ai发生条件下事件B发生的概率，该事件B的概率就可通过全概率公式求得。null 5、贝叶斯公式(逆概率公式)设事件 A1,A2,…,An为一完备事件，B为任一事件，且P(B)>0，则：
证明
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：null 贝叶斯公式所解决的技术问题 贝叶斯公式解决：如果已知各种原因的概率(Aj)，设在随机试验中该事件B已发生，问在这个条件下，各种原因Aj发生的概率是多少? 如在可靠性工程中，已知某产品有n种故障模式A1，A2，…，An，知道各故障模式发生的概率P(Aj)，现在该产品发生了故障(事件B)，那么是故障模式Ai引起的概率是多少?在这n种故障模式中，最大可能的是哪种故障模式引起的?null例题：贝叶斯公式null概率运算公式汇总表2.5 随机变量的概率分布及其数字特征2.5 随机变量的概率分布及其数字特征2.5.1 随机变量的概念 在实际问题中，常用的随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量两种类型：
(1)如果随机变量所可能取的值能够一一列出来，即它的取值是有限个或无限个但可列出来，则称X为离散型随机变量。如掷骰子，出现的点数X是能够一一列出来的(X=1，X=2，…，X=6)，X是一个离散型随机变量。
(2)如果随机变量X的所有可能取值充满某个区间(a,b）。a可以是-∞，b可以是+∞ ，则称X为连续型随机变量。如一批零件的测量直径，规定其偏差不超过1mm，则偏差是一个连续型随机变量。null2.5.2 离散型随机变量的概率分布 1、分布律 对于离散型随机变量X，其概率分布就是指它的概率分布律，简称分布律。离散型随机变量X的一个可能取值，它取该值的概率为pi，则X的分布律可用下式表示： 离散型随机变量X的分布律满足以下两条性质：
(1)X的每个取值的概率A非负；
(2)X的所有可能取值对应的概率之和为1，即∑pi=1。判断离散型随机变量的条件例题例题解：必须满足两个条件:
(1)pk≥ 0；
(2)null 2、累积分布函数或分布函数累积分布函数定义：X取值不大于x的概率为累积分布函数或分布函数，离散型随机变量X的分布函数可表示为：离散型随机变量的分布函数F(x)具有以下三条性质：
(1)F(x)是不连续的，是一个非减的跳跃函数；
(2)F(-∞ )=0，F(+∞ )=1; (3) 0≤F(x)≤1。 例如：null2.5.3 连续型随机变量的概率分布 1、分布密度函数 连续型随机变量的取值充满某个区间(a，b)，可以证明：连续型随机变量取任一确定值的概率为0，即P(X=c)=0，c∈(a,b)。因此连续型随机变量的概率分布就不能用分布律来描述。实际上，所以我们只有知道X在任一区间上取值的概率，才能掌握其概率分布规律，所以必须引入分布密度函数的概念。null例题：如何根据试验得出系统分布密度函数移0.5避免落在边界上null例题：如何根据试验得出系统分布密度函数(续)null 连续型分布密度函数的性质(判断密度函数的条件) 分布密度函数f(x)在任一点xo处的函数值f(xo)不是概率而是分布密度。
随机变量X落在一个区间[a,b]上的概率等于分布密度函数f(x)在该区间上的定积分，即null 2、连续型随机变量分布函数 由右图不难得出：如果△x较小null2.5.4 随机变量的数字特征--均值与方差 在可靠性工程中，常用的数字特征为数学期望(平均值)与方差。如平均寿命MTBF就是产品寿命的平均值，寿命方差是产品寿命与平均寿命之间的离差。数学期望反映了随机变量取值的平均值，而方差则反映了随机变量的各个取值与平均值的离散程度。null 2、数学期望(均值) 设X是离散型随机变量，其分布律为P(X=xi)=pi (i=1，2，…)，如果和∑xipi存在，则称∑xipi为X的数学期望，记为E(X)。即: 设X是连续型随机变量，其分布密度为f(x)，(f(x) ≥ 0)，如果：离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望null 2、方差与标准差 设X是离散型随机变量，其分布律为P(X=xi)=pi (i=1，2，…)，则X的方差D(X)为: 设X是连续型随机变量，其分布密度为f(x)，(f(x) ≥ 0)，则X的方差为：离散型随机变量的方差与标准差连续型随机变量的方差与标准差D(x)的平方为X的标准差或均方差。无论是离散型随机变量或连续型随机变量，计算方差有一个较为简便的公式。例题例题方差计算简易公式2.6 可靠性中常见的概率分布2.6 可靠性中常见的概率分布2.6.1 二项分布(离散型) 二项分布所解决的问题：
二项分布适用于一次试验中只能出现两种结果的场合，如成功与失败，或命中与未命中，次品与合格品等，这两种结果的事件分别用A与 表示，设它们发生的概率分别为
P(A)=p，P( )=1-p，现在独立地重复做n次试验，那么在n次试验中事件A恰好发生k次的概率是多少? 可靠性中常见的概率分布有：二项分布，泊松分布，指数分布，正态分布，截尾正态分布，对数正态分布和威布尔分布七种，其中二项分布和泊松分布是离散型概率分布，后面五种是连续型概率分布。 null例如null 如果用X表示在n次重复试验中事件A发生的次数，显然，X是一个随机变量，X的可能取值为0,1,2,…n，则随机变量X的分布律为：随机变量X的取值不大于k次的累积分布函数为：二项分布的随机变量X的均值和方差为：null 二项分布是一种离散型分布，广泛应用于可靠性和质量控制领域。 常用于“有放回”地抽取，进行重复试验(无放回地抽取不是重复试验，如果试验品数目大无放回抽取可近似看成是有放回试验)，如检验一批产品是否合格常用二项分布来计算。例题null2.6.2 泊松分布(离散型)随机变量X的取值不大于k次的累积分布函数为：null泊松分布随机变量X的均值和方差是：在可靠性分析中，常用下式 将泊松分布引入与时间的关系，且单位时间产品失效次数为常数。例题例题0~5次的累积分布函数null习题6习题7null习题6解：必须满足两个条件:
(1)pk≥ 0；
(2)null习题7解：null习题8习题9 一架飞机有三个着陆轮胎，如果不多于一个轮胎爆破，飞机能安全着陆。试验表明，每一千次着陆发生一次轮胎爆破。用二项分布求飞机安全着陆的概率。习题10 某一大型网络系统的平均故障是每三个月一次，设系统故障服从泊松分布，求一年发生5次以上故障的概率。null习题8解：X的可能取值为F(x)分段点，由分布函数F(x)的表达式可知，X的可能取值为1,2,3；而F(x)是一跳跃函数，X的分布律为：
P(X=1)=F(1)-F(0)=0.2-0=0.2
P(X=2)=F(2)-F(1)=0.5-0.2=0.3
P(X=3)=F(3)-F(2)=1-0.5=0.5null习题9 一架飞机有三个着陆轮胎，如果不多于一个轮胎爆破，飞机能安全着陆。试验表明，每一千次着陆发生一个轮胎爆破。用二项分布求飞机安全着陆的概率。解：null习题10 某一大型网络系统的平均故障是每三个月一次，设系统故障服从泊松分布，求一年发生5次以上故障的概率。解：λ=4 /年，有：
一年发生5次故障的概率是：
1-F(5)=1-P(X≤5)
=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)-P(X=5)
=1-e-4-4e-4-42e-4/2-43e-4/3!- 44e-4/4!-45e-4/5!
=1-0.01832-0.07326-0.14653-0.19537-……
=1-0.78514=0.21486null2.6.3 指数分布(连续型)null(7)特征寿命指数分布平均寿命与特征寿命相同双参数分布特征寿命 t(e-1)=γ +1/λ (与平均寿命相同)null指数分布曲线与双参数指数分布曲线对比提出双参数指数分布曲线的目的是考察产品在保证寿命后的可靠性。平均寿命或特征寿命例题例题null2.6.4 正态分布(连续型) μ实际上就是试验数据的均值，σ为方差。如果我们对一个系统进行寿命可靠性试验，得出了该系统寿命的μ和σ，用上式即可得出系统寿命的分布密度函数。 由式：
可得出系统寿命的分布函数。 μ null分布密度函数：分布函数：根据右图标准正态分布的对称特征，计算中经常用到下列公式：null根据试验结果查表可方便地得出系统可靠度函数由正态分布变成标准正态分布由正态分布变成标准正态分布 在正态分布公式中令z=(t-μ)/σ，可将随机变量X标准化，标准化后的随机变量z服从标准正态分布。则： t=μ+σz 必须清楚正态分布的图形及图形位置与μσ的关系。 标准正态分布的图形是一定的。 例题例题由标准正态表
Ø (z)=0.95
反查得z=1.64485
Z= (x-μ)/σ
x= μ+σz2.6.5 截尾正态分布(连续型2.6.5 截尾正态分布(连续型该分布的意义是很多工程实际中t≥0，不能为负，正态分布t为
(-∞,+∞ )，所以截尾正态分布存在调节参数a。正态分布null截尾正态分布特征量例题例题工作时间非负采用截尾正态分布ø (1)是分布密度函数，是算出来的。
2.6.6 对数正态分布(连续型)
2.6.6 对数正态分布(连续型)
注意：μ、σ是随机变量的对数的均值和标准差。 注意：μ、σ是对数的均值和标准差。 该分布的意义是通过对数变换，可以使较大的数缩小为较小的数，常用于把几个数量级的数据用对数分布去拟合分析。正态分布null对数正态分布特征量例题例题2.6.7 weibull分布(连续型)
2.6.7 weibull分布(连续型)
指数分布、双参数指数分布和正态分布均可看成是weibull分布的特例。null双参数weibull分布的可靠性特征向量伽玛函数可以通过查表得出null2.6.7 极值型分布 在结构可靠度分析中，极值随机变量的概率分布及其统计参数特别有用，比如对结构抗力要研究其极小值的概率分布，对于结构荷载则要研究其在设计基准内最大值的概率分布，如结构材料的最小强度值，桥可能承载的最大载荷。null2.6.7 极值型分布 (1) 极值型随机变量的确切分布相互独立null2.6.7 极值型分布 (1) 极值型随机变量的确切分布相互独立null2.6.7 极值型分布 (2) 极值型随机变量的渐进分布 a、指数型原始分布—极值I型分布
指数型分布的概率密度函数的导数满足条件null2.6.7 极值型分布 (2) 极值型随机变量的渐进分布 a、指数型原始分布—极值I型分布 极值I型分布的分布函数为： null2.6.7 极值型分布 (2) 极值型随机变量的渐进分布 b、哥西型原始分布—极值II型分布 null2.6.7 极值型分布 (2) 极值型随机变量的渐进分布 c、有界型原始分布—极值III型分布 null2.6.7 极值型分布 (2) 极值型随机变量的渐进分布极值I型、极值II型和极值III型分布的相互转换 null例题 设办公楼楼面活载荷的统计参数分别为μ=38620MPa，σ=17810MPa。经检验，此活荷载服从极值I型分布，求其分布函数。 常见概率分布的数字特征常见概率分布的数字特征null习题12习题11 彩色电视机的平均寿命为15000小时，假设其服从指数分布，如果我们每天使用2小时，5年的可靠度和10年的可靠度各为多少？ null习题13 某城市日电能供应服从对数正态分布，μ=1.2，σ=0.5，供应量以GWh计算。该城市发电厂最大供电量为9GWh/d。求该城市电力供应不足的概率。 null解习题11 彩色电视机的平均寿命为15000小时，假设其服从指数分布，如果我们每天使用2小时，5年的可靠度和10年的可靠度各为多少？ null习题12解null习题13 某城市日电能供应服从对数正态分布，μ=1.2，σ=0.5，供应量以GWh计算。该城市发电厂最大供电量为9GWh/d。求该城市电力供应不足的概率。 null2.7 随机变量的数字特征 随机变量的分布函数完整地描述了随机变量的统计规律，然而在一些实际问题中要确定一个随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一些实际问题，并不要求全面考察随机变量的统计规律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数．
随机变量往往可以用一个或几个数字来描述其分布的性态，这种数字称为随机变量的数字特征(或统计参数)。数字特征虽不能完整地描述它的统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重要特征，它们在理论和实践上都具有重要的意义．常用的数字特征有期望，方差、标准差、变异系数、偏度系数，峰度系数和矩。null2.7 随机变量的数字特征 1、期望(均值)null2.7 随机变量的数字特征 2、方差null2.7 随机变量的数字特征 3、标准差4、变异系数方差、标准差和变异系数均反应随机变量的离散程度。null2.7 随机变量的数字特征 5、矩null2.7 随机变量的数字特征 6、偏度系数和峰度系数null例题 设随机变量X1、X2、X3相互独立，其中X1在[0,6]上服从均匀分布，X2服从λ=0.5的指数分布，X3服从λ=3的泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3，求D(Y)。null习题14 设随机变量X服从均值为1，方差为4的正态分布，且Y=1-3X，求E(Y)和D(Y)。经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：
10.3 15.2 8.4 12.2 18.5 7.8 11.2 13.6
求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异系数，2阶原点矩，偏度系数和峰度系数。习题15 null习题14 设随机变量X服从均值为1，方差为4的正态分布，且Y=1-3X，求E(Y)和D(Y)。null习题15 经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：
10.3 15.2 8.4 12.2 18.5 7.8 11.2 13.6
求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异系数，2阶原点矩，偏度系数和峰度系数。第三章 系统可靠性分析第三章 系统可靠性分析 所谓系统，是为了完成某一特定功能，由若干个彼此有联系而且又能相互协调工作的单元所组成的综合体。系统可以是机器、设备、部件和零件；单元也可以是机器、设备、部件和零件。系统和单元的含义是相对而言的，由研究的对象而定。 系统可以分为可修复系统与不可修复系统两类。3.1 不可修复系统可靠性分析3.1 不可修复系统可靠性分析1、系统可靠性框图 可靠性框图则是表示系统的功能与组成系统的单元之间的可靠性功能关系。建立可靠性框图首先要了解系统中每个单元的功能，各单元之间在可靠性功能上的联系，以及这些单元功能、失效模式对系统的影响。
系统的最基本类型为串联系统和并联系统两种类型。
如果系统中任何一个单元失效，系统就失效，或者系统中每个单元都正常工作，系统才能完成其规定的功能，那么称这个系统为串联系统。
只有当所有的单元都失效，系统才丧失其规定的功能，或者只要有一个单元正常工作，系统就能完成其规定的功能，这种系统称为并联系统。null可靠性框图使水流出系统属串联系统，使水关闭系统属并联系统。并—串联系统框图串--并联系统框图null2、串联系统 由n个单元组成的串联系统表示当这n个单元都正常工作时，系统才正常工作，换句话说，当系统任一单元失效时，就引起系统失效。 串联系统任一单元失效时，就引起系统失效，其失效是和事件，串联单元每一个可靠时系统才能可靠，是积事件。串联系统可靠度是组成该系统的各独立单元可靠度的乘积。串联系统可靠度计算如下串联系统失效率计算如下：λi(t)是第i个单元的失效率null当串联系统由两个单元构成时失效率为：nλ null (1)串联系统的可靠度低于该系统的每个单元的可靠度，且随着串联单元数量的增大而迅速降低；
(2)串联系统的失效率大于该系统的各单元的失效率；
(3)串联系统的各单元寿命服从指数分布，该系统寿命也服从指数分布。
串联的单元数越多，系统的可靠度越低。因此，要提高系统的可靠度，必须减少系统中的单元数或提高系统中最低的单元可靠度，即提高系统中薄弱单元的可靠度。串联系统的特征：提高系统可靠性方法null3、并联系统由n个单元组成的并联系统表示当这n个单元都失效时，系统才失效，换句话说，当系统的任一单元正常工作时，系统正常工作。 并联系统所有单元均不可靠时，才会引起系统不可靠，其不可靠是积事件。并联系统不可靠度是组成该系统的各独立单元不可靠度的乘积。并联系统不可靠度(累积失效概率)计算如下并联系统可靠度计算如下nullnull (1)并联系统的失效概率低于各单元的失效概率；
(2)并联系统的可靠度高于各单元的可靠度；
(3)并联系统的平均寿命高于各单元的平均寿命。这说明，通过并联可以提高系统的可靠度；
(4)并联系统的各单元服从指数寿命分布，该系统不再服从指数寿命分布。并联系统的特征并联与串联对比图并联与串联对比图R(t)tnull习题16:现有n个相同的元件，其寿命为F(t)=1-e-λt，组成并联系统，试求该系统的故障率。习题17:假设一串联系统由n个MTTF=1000h(指数分布)的相同元件组成，试求当n=1,n=2,n=3,n=5,n=10时，系统的MTTF，并画出元件个数与平均寿命的关系图。null习题16:现有n个相同的单元，其寿命不可靠度函数为F(t)=1-e-λt，组成并联系统，试求系统的故障率。null习题17:假设一串联系统由n个MTTF=1000h(指数分布)的相同元件组成，试求当n=1,n=2,n=3,n=5,n=10时，系统的MTTF，并画出元件个数与平均寿命的关系图。null4、m/n(G)表决系统n中取m系统是指由n个单元组成的系统中，至少有m个单元正常工作系统才正常工作，记为m/n(G)。
为n中取m表决系统。(1) 2/3(G)表决系统null2null2/3表决系统MATLAB模拟分析2/3表决系统MATLAB模拟分析2/3表决系统与单个元件可靠度相交的点的时间：t= [ln(0.5)]/λ =13.8629交点为中位寿命2/3表决系统模拟分析2/3表决系统模拟分析t= 693.15h后2/3表决系统可靠度开始小于单个元件的可靠度。可靠性数值模拟2/3表决系统特征2/3表决系统特征(1)相同条件下，2/3表决系统的可靠度高于两个或三个单元组成的串联系统，低于两个或三个单元组成的并联系统。
(2)相同条件下， 2/3表决系统的平均寿命为一个单元的平均寿命的5/6倍，低于一个单元的平均寿命。
(3)指数分布的相同元件组成的2/3表决系统与一个单元组成的系统相比：
(a)两个系统的中位寿命相同；
(b)当可靠水平r小于0.5时，一个单元系统的可靠寿命高于2/3(G)表决系统的可靠寿命；
(c)当可靠水平r大于0.5时，2/3(G)表决系统的可靠寿命高于一个单元系统的可靠寿命，且r越接近1，采用2/3(G)系统结构对提高可靠寿命的效果越显著。
因此，在对系统可靠水平要求很高的情况下，采用2/3(G)表决系统结构可提高系统的可靠寿命。null(1) m/n(G)表决系统nullm/n(G)表决系统与串联和并联系统的关系 m/n(G)表决系统中，如果m=n，则系统变为串联系统，如果m=1则变为并联系统。m/n(G)表决系统定义：
n中取m系统是指由n个单元组成的系统中，至少有m个单元正常工作系统才正常工作，null5、混联系统 由串联系统和并联系统混合而成的系统称为混联系统，最典型的是串---并联系统和并---串联系统。(1) 串---并联系统 串---并联系统的可靠性框图如右图所示，是由一部分单元先串联组成一个子系统，再由这些子系统组成一个并联系统。nullnull当λ=0.001时null(2) 并---串联系统 并---串联系统是由一部分单元先并联组成一些子系统，再由这些子系统组成一个串联系统，如右图。null当λ=0.001时null在相同的条件下，并—串联系统的可靠度高于串—并联系统。null串-并并-串null习题18:试比较下列五个系统的可靠度，设备单元的可靠度相同，均为R0=0.99
(1)四个单元构成的串联系统；
(2)四个单元构成的并联系统；
(3)四中取三储备系统；
(4)串-并联系统(N=2，n=2)
(5)并-串联系统(N=2，n=2)习题19:
系统的可靠性框图如下图所示，R1=R2=0.9，R3=R4=0.8，R5=R6=0.7，R7=R8=0.6
求系统的可靠度。56172348null习题18:设各单元可靠度相同，均为R0=0.99(6)比较:(略)null习题19:
系统的可靠性框图如下图所示，R1=R2=0.9，R3=R4=0.8，R5=R6=0.7，R7=R8=0.6
求系统的可靠度。56172348解：R78=1-(1-R7) (1-R8)=1-0.4*0.4=0.84
R34=R3*R4=0.8*0.8=0.64
R56=R5*R6=0.7*0.7=0.49
R3456=1-(1-R34)*(1-R56)=1-(1-0.64)*(1-0.49)=0.8164
R总= R78*R3456*R2*R1=0.84*0.8164*0.9*0.9=0.5555null6、旁联系统 为了提高系统的可靠度，除了多安装一些单元外，还可以储备一些单元，以便当工作单元失效时，能立即通过转换开关使储备的单元逐个地去替换，直到所有单元都发生故障时为止，系统才失效，这种系统称为旁联系统。旁联系统的可靠性框图如下图。 旁联系统与并联系统的区别在于：并联系统中每个单元一开始就同时处于工作状态，而旁联系统中仅用一个单元工作，其余单元处于待机工作状态。
旁联系统可分为两种情况，一是储备单元在储备期内失效率为零，二是储备单元在储备期内也可能失效。null(1)储备单元完全可靠的旁联系统 储备单元完全可靠是指：备用的单元在储备期内不发生失效也不劣化，储备期的长短对以后的使用寿命没有影响；转换开关完全可靠是指：使用开关时，开关完全可靠，不发生故障。null泊松分布随机变量X的取值不大于k-1次的累积分布函数为：λ --λtnull不同系统MATLAB模拟比较分析不同系统MATLAB模拟比较分析 串联系统的寿命为单元中最小的寿命，并联系统的寿命为单元中最大的寿命，而转换开关与储备单元完全可靠的旁联系统的寿命为所有单元寿命之和，这说明转换开关、储备单元均完全可靠的旁联系统的可靠性最佳，串联系统的可靠性最差。旁联系统特征不同系统MATLAB模拟比较分析不同系统MATLAB模拟比较分析旁联系统MATLAB模拟比较分析旁联系统MATLAB模拟比较分析旁联系统与并联系统模拟比较旁联系统与并联系统模拟比较null(2)储备单元不完全可靠的旁联系统 在实际使用中，储备单元由于受到环境因素的影响，在储备期间失效率不一定为零，当然这种失效率不同于工作失效率，一般要小得多。
如果两个单元组成的旁联系统，其中一个为工作单元，另一个为备用单元，又假设两个单元工作与否相互独立，储备单元进人工作状态后的寿命与其经过的储备期长短无关。设两个单元的工作寿命分别为Xl，X2，且相互独立，均服从指数分布，失效率分别为λl，λ2；第二个单元的储备寿命为Y，服从参数为μ的指数分布。
当工作的单元1失效时，储备单元2已经失效，即X1>Y，表明储备无效，系统也失效，此时系统的寿命就是工作单元1的寿命X1；当工作的单元1失效时，储备单元2未失效，即X1
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