第四章 向量的线性相关性

null§4.1 向量组及其线性组合§4.1 向量组及其线性组合或aT(a1 a2  an) 向量 n个有次序的数a1 a2   an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 其中a称为列向量(即列矩阵) aT称为行向量(即行矩阵) 由数组a1 a2   an所组成的n维向量可记为上页下页结束返回首页null (1)列向量用黑体小写字母a、b、、等 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 行向量则用aT、bT、T、T等表示 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时 都当作列向量 说明 下页null (2)分量全为实数的向量称为实向量 分量为复数的向量称为复向量 或aT(a1 a2  an) 向量 n个有次序的数a1 a2   an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 由数组a1 a2   an所组成的n维向量可记为说明 (3) 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算 其中a称为列向量(即列矩阵) aT称为行向量(即行矩阵)下页null向量 n个有次序的数a1 a2   an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组 向量举例 在空间直角坐标系中 点P(x y z)与3维向量r(x y z)T之间有一一对应的关系 我们把3维向量的全体所组成的集合 R3{ r | r(x y z)T x y zR} 叫做三维向量空间下页null 在空间直角坐标系中 点集 {P(x y z)|axbyczd} 是一个平面(a b c不全为0) 在三维向量空间中 向量集 { r | r(x y z)T axbyczd} 也叫做向量空间R3中的平面 并把作为它的图形 向量 n个有次序的数a1 a2   an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组 向量举例 下页null n维向量的全体所组成的集合 Rn{ x | x(x1 x2  xn)T x1 x2  xnR} 叫做n维向量空间 n维向量的集合 {x | x(x1 x2  xn)T a1x1a2x2  anxnb} 叫做n维向量空间Rn中的n1维超平面 向量 n个有次序的数a1 a2   an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组 向量举例 下页null向量 n个有次序的数a1 a2   an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组 向量举例 线性方程Amnx0的全体解当R(A)n时是一个含无限多个n维列向量的向量组 下页null向量 n个有次序的数a1 a2   an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组 向量举例 一个mn矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行向量组 下页null向量 n个有次序的数a1 a2   an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组 向量举例 一个mn矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行向量组 下页null向量 n个有次序的数a1 a2   an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组 向量举例 一个mn矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行向量组 今后 由列向量组A a1 a2  am所构成的矩阵简记为A或(a1 a2  am)下页null线性组合与线性表示 设A a1 a2  am是一向量组 表达式 k1a1k2a2  kmam 称为向量组A的一个线性组合 其中k1 k2  km是一组实数 称为这线性组合的系数 如果向量b是向量组A的线性组合 b1a12a2  mam 则称向量b能由向量组A线性表示 定理1 向量b能由向量组A a1 a2  am线性表示的充分必要条件是矩阵A(a1 a2  am)与矩阵B(a1 a2  am b)的秩相等 即R(A)R(B) >>> 下页null 例1 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求出表示式 设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b)因为 所以R(A)R(B) 因此向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 由上列行最简形 可得方程(a1 a2 a3)xb的通解为 从而得表示式 b(a1 a2 a3)x (3c2)a1(2c1)a2ca3 其中c可任意取值 下页null注 bj k1ja1k2ja1  kmjam(j1 2  l) 向量组的等价 若向量组B b1 b2  bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2  am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组B组能由向量组A线性表示 则存在矩阵K(kij) 使 矩阵K称为这一线性表示的系数矩阵 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 下页null 因此 若CAB 则 (1)矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示 >>>>>> (2)矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示 向量组的等价 若向量组B b1 b2  bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2  am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组B组能由向量组A线性表示 则存在矩阵K(kij) 使 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 下页null提示 若矩阵A与B行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 矩阵等价与向量组等价的关系 这是因为 矩阵A经初等行变换变成矩阵B 则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合 反之 由初等变换的可逆性 A的行向量组也能由B的行向量组线性表示 向量组的等价 若向量组B b1 b2  bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2  am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 下页null 若矩阵A与B列等价 则这两个矩阵的列向量组等价 若矩阵A与B行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 矩阵等价与向量组等价的关系向量组的等价 若向量组B b1 b2  bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2  am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 下页null向量组的等价 若向量组B b1 b2  bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2  am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 定理2 向量组B b1 b2  bl能由向量组A a1 a2  am线性表示的充分必要条件是R(A)R(A B) 注 (A B)(a1 a2  am b1 b2  bl) 推论 向量组A a1 a2  am与向量组B b1 b2  bl等价的充分必要条件是R(A)R(B)R(A B)>>> >>>下页null 例2 设a1(1 1 1 1)T a2(3 1 1 3)T b1(2 0 1 1)T b2(1 1 0 2)T b3(3 1 2 0)T 证明向量组a1 a2与向量组b1 b2 b3等价 记A(a1 a2) B(b1 b2 b3) 证明 将(A B)化为行最简形又R(B)R(A B)2 于是知R(B)2 因此 R(A)R(B)R(A B) 根据定理2的推论 知向量组a1 a2与向量组b1 b2 b3等价可见 R(A)2 R(A B)2 故R(B)2 容易看出矩阵B中有不等于0的2阶子式下页null定理3 设向量组B b1 b2  bl能由向量组A a1 a2  am线性表示 则R(b1 b2  bl)R(a1 a2  am) 证明 记A(a1 a2  am) B(b1 b2  bl) 按定理的条件 根据定理2有R(A)R(A B) 而R(B)R(A B) 因此 R(B)R(A) 例3 证明 n维单位坐标向量组E e1 e2  en能由n维向量组A a1 a2  am线性表示的充分必要条件是R(A)n 证 根据定理2 向量组e1 e2  en能由向量组A线性表示的充分必要条件是R(A)R(A E) 而R(A E)R(E)n 又矩阵(A E)含n行 知R(A E)n 合起来有R(A E)n  因此条件R(A)R(A E)就量R(A)n结束§4.2 向量组的线性相关性 §4.2 向量组的线性相关性 上页下页结束返回首页向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2  am 如果存在不全为零的数k1 k2  km 使 k1a1k2a2  kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 null向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2  am 如果存在不全为零的数k1 k2  km 使 k1a1k2a2  kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 显然有 (1)含零向量的向量组必线性相关 (2)一个向量a线性相关  a0 (3)两个非零向量a1 a2线性相关  a1ka2(即对应分量成比例) 向量组a1 a2线性相关的几何意义是这两个向量共线 下页null向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2  am 如果存在不全为零的数k1 k2  km 使 k1a1k2a2  kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 向量组A a1 a2  am(m2)线性相关 也就是在向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示 这是因为 如果向量组A线性相关 则有 k1a1k2a2  kmam0 其中k1 k2  km不全为0 不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2  kmam) 即a1能由a2  am线性表示 下页null向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2  am 如果存在不全为零的数k1 k2  km 使 k1a1k2a2  kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 向量组A a1 a2  am(m2)线性相关 也就是在向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示 这是因为 如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m1个向量线性表示 即有1 2  m1 使 am1a12a2  m1am1 于是 1a12a2  m1am1(1)am0 因为1 2  m1 1不全为0 所以向量组A线性相关 下页null向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2  am 如果存在不全为零的数k1 k2  km 使 k1a1k2a2  kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 定理1 向量组a1 a2  am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A(a1 a2  am)的秩小于向量个数m 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m 这是因为 向量组A a1 a2  am线性相关  x1a1x2a2  xmam0即Ax0有非零解 R(A)m 下页null n维单位坐标向量组构成的矩阵为 E(e1 e2  en) 是n阶单位矩阵 由|E|10 知R(E)n 即R(E)等于向量组中向量个数 所以此向量组是线性无关的 例1 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性 解 向量组a1 a2  am线性无关R(a1 a2  am)m 下页null提示 例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 即可同时看出矩阵(a1 a2 a3)及(a1 a2)的秩 解 n维单位坐标向量组e1 e2  en是线性无关的 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 向量组a1 a2  am线性无关R(a1 a2  am)m 下页null可见R(a1 a2 a3)2 R(a1 a2)2 故向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a1 a2线性无关 例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 n维单位坐标向量组e1 e2  en是线性无关的 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 向量组a1 a2  am线性无关R(a1 a2  am)m 下页null 设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30 即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0 亦即 (x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因为a1 a2 a3线性无关 故有 例3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法一 由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解 x1x2x30 所以向量组b1 b2 b3线性无关下页null 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 例3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法二 因为矩阵A的列向量组线性无关 所以可推知Kx0 又因|K|20 知方程Kx0只有零解x0 所以矩阵B的列向量组b1 b2 b3线性无关 记作BAK 设Bx0 以BAK代入得A(Kx)0 下页null 例3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法三 因为A的列向量组线性无关 所以R(A)3 从而R(B)3 因此b1 b2 b3线性无关因为|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A) 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 记作BAK 下页null定理2 (1)若向量组A a1 a2  am线性相关 则向量组B a1 a2  am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关 这是因为 记A(a1 a2  am) B( a1 a2  am am1) 有 R(B)R(A)1 若向量组A线性相关 则有R(A)m 从而 R(B)R(A)1m1 因此向量组B线性相关 下页null定理2 (1)若向量组A a1 a2  am线性相关 则向量组B a1 a2  am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关 这个结论可一般地叙述为 一个向量组若有线性相关的部分组 则该向量组线性相关 一个向量组若线性无关 则它的任何部分组都线性无关 特别地 含零向量的向量组必线性相关下页null定理2 (1)若向量组A a1 a2  am线性相关 则向量组B a1 a2  am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关 (2)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关 这是因为 m个n维向量a1 a2  am构成矩阵 Anm(a1 a2  am) 有R(A)n 若nm 则R(A)nm 故m个向量a1 a2  am线性相关下页null定理2 (1)若向量组A a1 a2  am线性相关 则向量组B a1 a2  am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关 (2)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关 (3)设向量组A a1 a2  am线性无关 而向量组B a1 a2  am b线性相关 则向量b必能由向量组A线性表示 且表示式是唯一的 这是因为 记A(a1 a2  am) B( a1 a2  am b) 有即向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一有唯一解(a1 a2  am)xb因此方程组 即有R(B)R(A)m mR(A)R(B)m1 下页null (2)用反证法 假设a4能由a1 a2 a3线性表示 而由(1)知a1能由a2 a3线性表示 例4 设向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a2 a3 a4线性无关 证明 (1) a1能由a2 a3线性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3线性表示 (1)因为a2 a3 a4线性无关 所以a2 a3也线性无关 证明 因此a4能由a2 a3线性表示 这与a2 a3 a4线性无关矛盾又a1 a2 a3线性相关 所以a1能由a2 a3线性表示 下页§4.3 向量组的秩 §4.3 向量组的秩 上页下页结束返回首页 上两节在讨论向量组的线性组合和线性相关性时 矩阵的秩起了十分重要的作用 为使讨论进一步深入 下面把秩的概念引进向量组 null最大无关组及向量组的秩 设有向量组A 如果在A中能选出r个向量a1 a2  ar 满足 (1)向量组A0 a1 a2  ar线性无关 (2)向量组A中任意r1个向量都线性相关 那么向量组A0称为向量组A的一个最大无关组 最大无关组所含向量的个数r称为向量组A的秩 记作RA注 最大无关组也称为最大线性无关向量组 只含零向量的向量组没有最大无关组 规定它的秩为0 下页null最大无关组及向量组的秩 设有向量组A 如果在A中能选出r个向量a1 a2  ar 满足 (1)向量组A0 a1 a2  ar线性无关 (2)向量组A中任意r1个向量都线性相关 那么向量组A0称为向量组A的一个最大无关组 最大无关组所含向量的个数r称为向量组A的秩 记作RA 只含零向量的向量组没有最大无关组 规定它的秩为0 向量组的最大无关组一般不是唯一的 例如 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 因为a1 a3和a2 a3都是线性无关组 而a1 a2 a3线性相关 所以a1 a3和a2 a3都是向量组a1 a2 a3的最大无关组>> 下页null定理1 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量组的秩 设A( a1 a2  am) R(A)r 并设r阶子式Dr0 由Dr0知Dr所在的r列线性无关 又由A中所有r1阶子式均为零 知A中任意r1个列向量都线性相关 因此Dr所在的r列是A的列向量组的一个最大无关组 所以A的列向量组的秩等于r 类似可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A) 证明 注 由上述证明可知 若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式 则Dr所在的r列即是A的列向量组的一个最大无关组 Dr所在的r行即是A的行向量组的一个最大无关组 下页null 我们知道n维单位坐标向量构成的向量组 E e1 e2  en 是线性无关的 例1 全体n维向量构成的向量组记作Rn 求Rn的一个最大无关组及Rn的秩 解 因此 向量组E是Rn的一个最大无关组 且Rn的秩等于n 又知Rn中的任意n1个向量都线性相关 显然 Rn的最大无关组很多 任何n个线性无关的n维向量都是Rn的最大无关组 下页null注 今后向量组A a1 a2  am的秩RA也记为R(a1 a2  am)定理2(最大无关组的等价定义) 设向量组A0 a1 a2  ar是向量组A的一个部分组 且满足 (1)向量组A0线性无关 (2)向量组A的任一向量都能由向量组A0线性表示 那么向量组A0便是向量组A的一个最大无关组 只要证向量组A中任意r1个向量线性相关 设b1 b2  br1是A中任意r1个向量 由条件(2)知这r1个向量能由向量组A0线性表示 所以有 R(b1 b2  br1)R(a1 a2  ar)r 证 从而r1个向量b1 b2  br1线性相关 因此向量组A0是向量组A的一个最大无关组 下页null 解 线性方程组的通解为 >>> 因为1 2的四个分量显然不成比例 故1 2线性无关 又因为S能由向量组1 2线性表示 所以1 2是S的最大无关组 从而RS2 把上式记作xc11c22 知 S{x| xc11c22 c1 c2R}下页null提示 今后记号R(a1 a2  am)既可理解为矩阵的秩 也可理解成向量组的秩 设向量组A a1 a2  am构成矩阵A(a1 a2  am) 则有 RAR(a1 a2  am)R(A) (1)向量b能由向量组a1 a2  am线性表示的充要条件是 R(a1 a2  am)R(a1 a2  am b) (2)向量组b1 b2  bl能由向量组a1 a2  am线性表示的充要条件是 R(a1 a2  am)R(a1 a2  am b1 b2  bl)改用向量组的秩陈述的几个定理 下页null注 在定理(1)、(2)、(3)中 向量组只含有限个向量 事实上 我们可以把有限个向量换成无限个向量 (4)向量组a1 a2  am线性相关的充要条件是 R(a1 a2  am)m (3)若向量组b1 b2  bl能由向量组a1 a2  am线性表示 则 R(b1 b2  bl)R(a1 a2  am) (1)向量b能由向量组a1 a2  am线性表示的充要条件是 R(a1 a2  am)R(a1 a2  am b) (2)向量组b1 b2  bl能由向量组a1 a2  am线性表示的充要条件是 R(a1 a2  am)R(a1 a2  am b1 b2  bl)改用向量组的秩陈述的几个定理 下页null注 例如 把有限个向量换成无限个向量 定理(3)可叙述为 (3)若向量组B能由向量组A线性表示 则RBRA (4)向量组a1 a2  am线性相关的充要条件是 R(a1 a2  am)m (3)若向量组b1 b2  bl能由向量组a1 a2  am线性表示 则 R(b1 b2  bl)R(a1 a2  am) (1)向量b能由向量组a1 a2  am线性表示的充要条件是 R(a1 a2  am)R(a1 a2  am b) (2)向量组b1 b2  bl能由向量组a1 a2  am线性表示的充要条件是 R(a1 a2  am)R(a1 a2  am b1 b2  bl)改用向量组的秩陈述的几个定理 >>> 下页null提示 例3 设向量组B能由向量组A线性表示 且它们的秩相等,证明向量组A与向量组B等价 设向量组A和B合并成向量组C 因为B组能由A组表示 所以RARC 又已知RBRA 故有RARBRC 因此A组与B组等价 证 向量组A a1 a2  am与向量组B b1 b2  bl等价的充分必要条件是R(A)R(B)R(A B)下页null可见R(A)3 故列向量组的最大无关组含3个向量 因为在A的行阶梯形矩阵中 三个非零行的首非零元在1、2、4列 故a1 a2 a4为列向量组的一个最大无关组 解 对A施行初等行变换变为行最简形矩阵 这是因为 知R(a1 a2 a4)3 故a1 a2 a4线性无关 下页null三个非零行的首非零元所对应的列向量a1 a2 a4为列向量组的一个最大无关组 解 对A施行初等行变换变为行最简形矩阵 把A的行最简形矩阵记作 B(b1 b2 b3 b4 b5) 由于方程Ax0与Bx0同解 因此向量a1 a2 a3 a4 a5之间与向量b1 b2 b3 b4 b5之间有相同的线性关系 现在 b3b1b2因此 a3a1a2 a54a13a23a4 b54b13b23b4下页§4.4 线性方程组的解的结构 §4.4 线性方程组的解的结构 n个未知数的齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)n  n个未知数的非齐次线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(A b) 且当R(A)R(A b)n时方程组有唯一解 当R(A)R(A b)n时方程组有无限多解上页下页结束返回首页下页null齐次线性方程组解的性质 性质1 若x1 x2为方程Ax0的解 则x12也是Ax0的解 这是因为000A1A2A(12)下页null齐次线性方程组解的性质 性质1 若x1 x2为方程Ax0的解 则x12也是Ax0的解 性质2 若x1为方程Ax0的解 k为实数 则xk1也是Ax0的解 这是因为A(k1)k00k(A1)下页null齐次线性方程组解的性质 性质1 若x1 x2为方程Ax0的解 则x12也是Ax0的解 性质2 若x1为方程Ax0的解 k为实数 则xk1也是Ax0的解 设S是方程Ax0的解的集合 S0 1 2  t是S的一个最大无关组 那么 一方面 方程Ax0的任一解都可由S0线性表示 另一方面 S0的任何线性组合 xk11k22  ktt 都是方程Ax0的解 因此上式便是方程Ax0的通解 说明 下页null说明 当R(A)rn时方程组Ax0的任何nr个线性无关的解都可构成它的基础解系 齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系 齐次线性方程组的基础解系 设1 2  t为方程Ax0的基础解系 则方程Ax0的通解为 xc11c22  ctt (c1 c2  ctR) 定理 设mn矩阵A的秩R(A)r 则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩RSnr >>> 下页null 用初等行变换把n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A化为行最简形则方程组Ax0的通解为 其中xr1   xn为自由未知数 求基础解系的方法 下页null求基础解系的方法 其中xr1   xn为自由未知数 方程组Ax0通解可以写成 令(xr1 xr2  xn)T(10 0)T (01 0)T  (00 1)T 得到nr个解向量这就是方程组的基础解系 1(b11  br1 1 0  0)T 2(b12  br2 0 1  0)T        nr(b1 nr  br nr 0 0  1)T 下页null 对系数矩阵A作初等行变换变为行最简形 解 于是方程组的通解为其中x3 x4为自由未知数 令(x3 x4)T(7 0)T 得 1(2 5 7 0)T 令(x3 x4)T(0 7)T 得 2(3 4 0 7)T  故方程组的基础解系为1 2 方程组的通解又可表示为 xc11c22 (c1 c2R)下页null 例2 设AmnBnl0 证明R(A)R(B)n  证 记B(b1 b2  bl) 则 A(b1 b2  bl)( 0 0  0) 即 Abi0(i1 2  l) 表明矩阵B的l个列向量都是齐次方程Ax0的解 设方程Ax0的解集为S 由biS 知有R(b1 b2  bl)RS 即R(B)RS 所以 R(A)R(B)n R(A)RSn 又因为 RSnR(A)下页null 例3 证明矩阵Amn与Bln的行向量组等价的充分必要条件是齐次线性方程Ax0与Bx0同解 证 条件的必要性是显然的 下面证明条件的充分性 设方程Ax0与Bx0同解 从而也与方程即 R(AT)R(BT)R(AT BT) 知AT与BT的列向量组等价 即A与B的行向量组等价 同解 设解集S的秩为t 则三个系数矩阵的秩都为nt 故提示(推论) 向量组A a1 a2  am与向量组B b1 b2  bl等价的充分必要条件是R(A)R(B)R(A B)下页null 例4 证明R(ATA)R(A) 证 设A为mn矩阵 x为n维列向量 若x满足Ax0 则有 ATAx0 即 (ATA)x0 反之 若x满足(ATA)x0 则 xT(ATA)x0 即 (Ax)T(Ax)0 从而推知 Ax0 因此R(ATA)R(A) 综上可知方程组Ax0与(ATA)x0同解下页null非齐次线性方程组解的性质 性质3 设x1及x2都是方程组Axb的解 则x12为对应的齐次线性方程组Ax0的解 这是因为 bb0A1A2A(12)下页null非齐次线性方程组解的性质 性质3 设x1及x2都是方程组Axb的解 则x12为对应的齐次线性方程组Ax0的解 性质4 设x是方程组Axb的解 x是方程组Ax0的解 则x仍是方程组Axb的解 0bbAAA() 这是因为下页null非齐次线性方程组解的性质 性质3 设x1及x2都是方程组Axb的解 则x12为对应的齐次线性方程组Ax0的解 性质4 设x是方程组Axb的解 x是方程组Ax0的解 则x仍是方程组Axb的解 若*是方程组Axb的某个解 1 2  nr是方程组Ax0的基础解系 则方程组Axb的通解为 xk11k22  knr nr* (k1   knr R) 非齐次线性方程组解的结构 >>> 下页null 因为增广矩阵 解 可见R(A)R(B)2 所以方程组有无限多解 其通解为 令x2x40 得非齐次方程组的令(x2 x4)T(1 0)T (0 1)T 得对应齐次方程组的基础解系 1(1 1 0 0)T 2(1 0 2 1)T 非齐次方程的通解又可写为 xc11c22* 其中c1 c2为任意实数 B 一个解(特解) *(1/2 0 1/2 0)T 对应齐次方程组的通解为结束§4.5 向量空间 §4.5 向量空间 向量空间的定义 设V为n维向量的集合 如果集合V非空 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭 那么就称集合V为向量空间 所谓封闭 是指在集合V中可以进行加法及乘数两种运算 具体地说就是 若aV bV 则abV 若aV R 则aV  上页下页结束返回首页null 例1 3维向量的全体R3 就是一个向量空间 举例 这是因为 任意两个3维向量之和仍然是3维向量 数乘3维向量也仍然是3维向量 它们都属于R3 我们可以用有向线段形象地表示3维向量 从而向量空间R3可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体 由于以原点为起点的有向线段与其终点一一对应 因此R3也可看作取定坐标原点的点空间 类似地 n维向量的全体Rn 也是一个向量空间 不过当n3时 它没有直观的几何意义 下页null 例2 集合 V{x| x(0 x2  xn)T  x2  xnR} 是一个向量空间 例1 3维向量的全体R3 就是一个向量空间 举例 这是因为 若a(0 a2  an)T V b(0 b2  bn)T  则 ab(0 a2b2  anbn)TV a(0 a2  an)TV下页null 例2 集合 V{x| x(0 x2  xn)T  x2  xnR} 是一个向量空间 例1 3维向量的全体R3 就是一个向量空间 举例 例3 集合 V{x| x(1 x2  xn)T  x2  xnR} 不是向量空间 这是因为 若a(1 a2  an)TV 则 2a(2 2a2  2an)T V下页null举例 例4 齐次线性方程组的解集 S{x| Ax0} 是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间) 这是因为解集S对向量的线性运算封闭 下页null举例 例4 齐次线性方程组的解集 S{x| Ax0} 是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间) 例5 非齐次线性方程组的解集 S{x| Axb} 不是向量空间 这是因为 当S为空集时 S不是向量空间 当S非空间 若S 则A(2)2bb 知2S 下页null举例 例6 设a b为两个已知的n维向量 集合 L{x| xab  R} 是一个向量空间(称为由向量a b所生成的向量空间) 这是因为 若x11a1b x22a2b 则 x1x2(12)a(12)bL kx1(k1)a(k1)bL下页null 一般地 由向量组a1 a2  am所生成的向量空间为 L{x| x1a12a2  mam 1 2  mR}举例 例6 设a b为两个已知的n维向量 集合 L{x| xab  R} 是一个向量空间(称为由向量a b所生成的向量空间)下页null 例7 设向量组a1 a2  am与向量组b1 b2  bs等价 记 L1{x| x1a12a2  mam 1 2  mR} L2{x| x1b12b2  sbs 1 2  sR} 试证L1L2 设xL1 则x可由a1 a2  am线性表示 因为a1 a2  am可由b1 b2  bs线性表示 故x可由b1 b2  bs线性表示 所以xL2 这就是说若xL1 则xL2 因此L1L2 类似地可证：若xL2 则xL1 因此L2L1 因为L1L2 L2L1 所以L1L2 证 下页null子空间 设有向量空间V1及V2 若V1V2 就称V1是V2的子空间 例如 任何由n维向量所组成的向量空间V 总有VRn 所以这样的向量空间总是Rn的子空间 下页null子空间 设有向量空间V1及V2 若V1V2 就称V1是V2的子空间 向量空间基、维数 设V为向量空间 如果r个向量a1 a2  arV 且满足 (1) a1 a2  ar线性无关 (2)V中任一向量都可由a1 a2  ar线性表示 那么 向量组a1 a2  ar就称为向量空间V的一个基 r称为向量空间V的维数 并称V为r维向量空间