四年级 奥数 讲义 603学子 教案库 四年级 第一讲 整数与数列 精英班 教师版

讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 精英班 第一讲 教师版 Page 1 第一讲 整数与数列 本节课主要学习数列以及数列的运算．数列作为小奥竞赛的重要内容，学习数列以及数列的运算， 需要仔细观察，归纳总结规律．教师通过带领学生复习等差数列求和以及其他数列的规律及运算，引导 学生归纳总结规律，发现其中的内在联系，并熟练运用规律进行计算． 知识点：1． 等差数列求和以及改变运算顺序计算； 2． 利用乘法分配律以及公式进行运算． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：原式＝1＋（3－2）＋（5－4）＋（7－6）＋…＋（1993－1992）＝997 1. 复习等差数列求和以及相关内容：一个等差数列的和＝(首项＋末项)×项数÷2． 我们还有求等差数列之和的另一个公式：一个等差数列的和＝首项×项数＋项数×(项数－1)×公差 ÷2． 2. 改变运算顺序也是简化运算的常用手段．不仅 加减法 十以内的加减法题目100道100以内加减法练习题100以内加减法混合题十以内加减法100道题10以内加减法题目100道 的算式中可以用到，乘除法的算式也可以用．也 就是通过分组、交换、结合等手段简化整数的混合运算． 3. 这个公式大家一定要熟记，在今后的学习中经常用到： (a×a)－(b×b)＝(a＋b)×(a－b)． 4. 在乘法与加减法混合的算式中，利用乘法分配律来简化运算是一种常用的手段，特别是当某些乘法 项中有相同的乘数时更要注意，有时还需要通过补项来利用分配律． 5. 123123＝123×1001， 12341234＝1234×10001…… 想 挑 战 吗 ？ 大海和小刚无意中闯入一个数字迷宫，只有答对 6 道题，开启 6 扇门才可以顺利出去，他们已经答对了5 道题，还剩最后一道， 题目是： 求 1－2＋3－4＋5－6＋…＋1991－1992＋1993 的值， 你能帮助大海和小刚快速走出迷宫吗？ 教学目标 专题精讲 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 精英班 第一讲 教师版 Page 2 （一）等差数列求和以及改变运算顺序计算 【例1】 如下图所示的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 中有55 个数，那么它们的和加上多少才等于 1994？ 1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 2 8 14 20 26 32 38 44 50 56 62 3 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 4 10 16 22 28 34 40 46 52 58 64 5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 分析：（方法一）需先求出所给数列的和，然后看和 1994 差多少．故可以先交给学生让大家用基本公 式算所给数列的和， 可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加．（比较慢） （方法二）利用等差数列和＝中间数×个数 （1）第 6 列作为中间项，求和再乘以项数：（31＋32＋33＋34＋35）×11＝1815 （2）第 3 行为中间数列．求和再乘以项数：（3＋9＋15＋21＋27＋33＋39＋45＋51＋57＋63）×5＝1815 因此所求的差是 1994－1815＝179． 【例2】 计算（2＋4＋6＋…＋996＋998＋1000）－（1＋3＋5＋…＋995＋997＋999） 分析：题目要求的是从2 到 1000 的偶数之和减去从 1 到 999 的奇数之和的差，如果按照常规的运算法 则取求解，需要计算两个等差数列之和，比较麻烦，但是观察两个括号内的对应项，可以发现 2－1＝4 －3＝6－5＝…＝1000－999＝1，因此可以对算式进行分组运算． （方法一）等差数列求和 原式＝（2＋1000）×500÷2－（1＋999）×500÷2＝1002×250－1000×250＝（1002－1000）×250 ＝500 （方法二）分组法 原式＝（2－1）＋（4－3）＋（6－5）＋…＋（996－995）＋（998－997）＋（1000－999） ＝ 500 1 1 1 1 1 1 1  个 ＝500 【例3】 计算：1000＋999－998－997＋996＋995－994－993＋……＋108＋107－106－105＋104＋103 －102－101． 分析： （方法一）1000＋999－998－997＋996＋995－994－993＋……＋108＋107－106－105＋104＋103－102 －101 ＝（1000＋999－998－997）＋（996＋995－994－993）＋……＋（108＋107－106－105）＋（104 ＋103－102－101） ＝4＋4＋……＋4＋4 （一共有（1000－101＋1）÷4＝900÷4 个 4相加） ＝900÷4×4 ＝900 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 精英班 第一讲 教师版 Page 3 （方法二 ）原式＝ 1000＋（999－998）－（997－996）＋（995－994）—（993－992）……＋（107 －106）－（105－194）＋（103—102）－101 ＝1000＋1－1＋1－1……＋1－1＋1－101 ＝1000＋1－101 ＝900 （方法三）1000－998＝999－997＝996－994＝995－993＝2，观察到这一点就好办了，改变原来的运算 顺序不难发现每两个数放在一起就是 2，就等于说每一个数都看成1 就行了，但原式有多少项呢？1000 －101＋1＝900（别忘了加 1），所以最后答案就是 900．让学生体会观察数列规律动脑思考的重要性． [巩固]计算：2004＋2002－2000－1998＋1996＋1994－1992－1990＋1998＋1986－1984－1982＋……－ 8－6＋4＋2． 分析：本题可采用两种方法，第一种方法是注意到 2004＋2002－2000－1998＝8，1996＋1994－1992－ 1990＝8，1988＋1986－1984－1982＝8，……，12＋10－8－6＝8，总共有 250 个 8，再加上 2＋4 即得 答案；第二种方法是 观察式子发现：2002－2000－1998＋1996＝0，1994－1992－1990＋1988＝0．1986－1984－1982＋1980 ＝0，……，10－8－6＋4＝0，最后就剩下 2004＋2可得答案为 2006． 第二种方法是凑 0，而第一种方法是凑 8，我们把这样的方法统称为凑整．本题是以第二种解法来 解的． （方法一）2004＋2002－2000－1998＋1996＋1994－1992－1990＋1988＋1986－1984－1982＋…－8－6 ＋4＋2 ＝（2004＋2002－2000－1998）＋（1996＋1994－1992－1990）＋（1988＋1986－1984－1982） ＋…＋（12＋10－8－6）＋4＋2 ＝ 250 8 8 8 8 8 8 8    个 ＋6 ＝8×250＋6 ＝2006 （方法二）2004＋2002－2000－1998＋1996＋1994－1992－1990＋1988＋1986－1984－1982＋…－8－6 ＋4＋2 ＝2004＋(2002－2000－1998＋1996)＋(1994－1992－1990＋1988)＋(1986－1984－1982＋ 1980)＋…＋(10－8－6＋4)＋2 ＝2004＋ 250 0 0 0 0 0   个 ＋2 ＝2006． 【例4】 求 1～1 000 这 1 000 个数中不能被 7 整除的整数之和． 分析：由于 1 000÷7＝142…6，所以 1～1000 中 7 的倍数有：7，14，21，28，…，994，共(994－7) ÷7＋1＝142 个，这是一个首项为 7，公差为 7 的等差数列，我们可用等差数列求和公式求出这一列数 的和，再用 1～1000这 1000个数的和减去上述数列的和即可． 解题过程为： 1 000÷7＝142…6， 1～1000 中能被 7 整除的数有：7，14，21，28，…，994． 由等差数列求和公式可知： 7＋14＋21＋28＋…＋994 ＝(994＋7)×142÷2 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 精英班 第一讲 教师版 Page 4 ＝1001×71 ＝71071． 又1＋2＋3＋4＋…＋1000＝(1000＋1)×1000÷2＝1001×500＝500500， 1～1 000 中不能被 7 整除的整数之和为：500500－71071＝429429． [注意]整数数列的有关题目中，求第 n 项是一类常见的题目．此类题关键在于抓住规律求出其通项公 式．如果需要求和时再利用基本数列求和公式计算． （二）利用乘法分配律以及公式进行运算 【例5】 两个十位数1111111111 与 9999999999的乘积中有几个数字是奇数? 分析：（方法一）1111111111×9999999999 ＝1111111111×（10000000000－1） ＝11111111110000000000－1111111111 ＝1111111110888888889 有 10个数为奇数． （方法二） 1×9＝9 奇数的个数为 1 11×99 ＝ 1089 奇数的个数为 2 111×999 ＝110889 奇数的个数为 3 1111×9999 ＝11108889 奇数的个数为 4 … … 11111111111×999999999＝1111111110888888889 奇数的个数为 10 显然其奇数的个数为 10． 这几道题要注意给学生总结巧算方法，哪些数经常被利用来凑整(9999999，1000001) [前铺]计算：222222×999999 分析：：999999 比 1000000 少 1，所以999999＝1000000－1，根据乘法分配律： 原式 ＝222222×(1000000－1) ＝222222×1000000－222222×1 ＝222222000000－222222 ＝222221777778 【例6】 计算 98766×98768－98765×98769 分析：将乘数进行拆分后可以利用乘法分配律，将 98766 拆成 98765＋1，将 98769 拆成 98768＋1，这 样就保证了减号两边都有相同的项 原式＝（98765＋1）×98768－98765×（98768＋1） ＝98765×98768＋98768－（98765×98768＋98765） ＝98765×98768＋98768－98765×98768－98765 ＝98768－98765＝3 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 精英班 第一讲 教师版 Page 5 [巩固]计算34×3535－35×3434 分析：我们可以把 3535 看成是 3500＋35，也可以把 3535 看成是 35×101；同样，3434 也可以看作 3400 ＋34 或 34×101． （方法一）34×3535－35×3434 ＝34×(3500＋35)－35×(3400＋34) ＝(34×3500＋34×35)－(35×3400＋35×34) ＝(34×35×100＋34×35)－(35×34×100＋35×34) ＝0 （方法二）34×3535－35×3434 ＝34×(35×101)－35×(34×101) ＝34×35×101－35×34×101 ＝0 【例7】 计算20×20－19×19＋18×18－17×17＋……＋2×2－1×1． 分析：做这个题的时候，可能有些以前记住了 20以内平方数的同学就高兴了，但是其实并不需要，大 家看：20×20－19×19＝20＋19，18×18－17×17＝18＋17，…，2×2－1×1＝2＋1，于是最后结果＝ 20＋19＋18＋17＋…＋2＋1＝20×21÷2＝210，这儿需要老师带领学生找规律，例如 20×20－20×19 ＝20， 20×19－19×19＝19 所以20×20－19×19＝20＋19如果熟悉平方差公式 ))((22 bababa  那么就可以直接利用了． 原式＝20 2 －19 2 ＋18 2 －17 2 ＋…＋2 2 －1 2 ＝（20＋19）×（20－19）＋（18＋17）×（18－17）＋……＋（2＋1）×（2－1） ＝20＋19＋18＋…＋3＋2＋1 ＝(20＋1)×20÷2 ＝210 【例8】 计算20082008×2008－20082007×2007－20082007 分析：原式＝20082008×2008－（20082007×2007＋20082007） ＝20082008×2008－20082007×2008 ＝2008×（20082008－20082007）＝2008 [前铺]（1997 年夏令营计算竞赛题）1997×20002000－2000×19971997 分析：本题只要对 20002000和 19971997这两个数进行分解转化，计算结果便显而易见． 20002000 可转化为2000×10001，199971997可转化为 1997×10001， 原式＝1997×2000×10001－2000×1997×10001＝0 [拓展]（《小学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 报》第五届小学数学邀请赛初赛）1991×199219921992－1992×199119911991 分析：原式＝1991×1992×100010001－1992×1991×100010001＝1992×1991×（100010001－ 100010001）＝0 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 精英班 第一讲 教师版 Page 6 【例9】 计算 9039030÷43043 分析：原式＝903×10010÷43÷1001 ＝903÷43×10010÷1001 ＝210 [拓展]12121212÷3030303 分析：因为12121212 可以转化为 12×1010101，3030303 可以转化为 3×1010101，所以 原式＝12×1010101÷（3×1010101） ＝（12÷3）×（1010101÷1010101） ＝4×1＝4 【例10】 计算 100 1 100 2 100 3 11 1122 22 33 33    个 个 个 分析：（方法一）原式＝ 100 1 100 2 100 3 11 1122 22 11 11 3     个 个 个 ＝ 99 0 100 00 2 3 个 ＝ 99 3 33 334 个 （方法二）由 3×4＝12 33×34＝1122 333×334＝111222 …… 进而可以得到答案． 整数有关的计算是数学的基本功，在寒假班的一开始，希望同学们积极认真的学习，为以后打下坚 实的基础．以后有更多精彩内容，同学们，再接再厉，加油哦！ 1. （例 2）计算：（1＋3＋5＋……＋1989）－（2＋4＋6＋……＋1988） 分析：（方法一）让学生用等差数列求和公式分别计算前后两部分，然后讲方法二，这样可以让学生体 会观察数列规律，动脑思考的重要性． 原式＝（1＋1989）×995÷2－（2＋1988）×994÷2＝1990×995÷2－1990×994÷2＝995×（995－994） ＝995 专题展望 练习一 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 精英班 第一讲 教师版 Page 7 （方法二）把括号去掉，两两结合，简便计算． 原式＝1＋（3－2）＋（5－4）＋……＋（1989－1988） ＝1＋994＝995 2. （例 3）计算：25＋26－12－13＋27＋28－14－15＋29＋30－16－17＋31＋32－18－19＋33＋34－ 20－21＋35＋36－22－23 分析：（方法一）原式＝（25＋26＋27＋28＋29＋30＋…＋35＋36）－（12＋13＋14＋15＋16＋…＋22 ＋23）＝（25＋36）×12÷2－（12＋23）×12÷2 ＝61×12÷2－35×12÷2＝（61－35）×12÷2＝26×12÷2＝26×6＝156 （方法二）原式＝（25＋26－12－13）＋（27＋28－14－15）＋（29＋30－16－17）＋（31＋32 －18－19）＋（33＋34－20－21）＋（35＋36－22－23）＝26＋26＋26＋26＋26＋26＝26×6＝156 3. （例 6）计算999×222＋333×334 分析：看到此题的结构，应感觉到也许可以用乘法分配律进行简算，但是4 个乘数中并没有相同项，仔 细观察可以发现 999＝333×3，这样我们就制造出一个相同的乘数，然后再利用乘法分配律 原式＝333×3×222＋333×334 ＝333×666＋333×334 ＝333×（666＋334） ＝333×1000 ＝333000 4. （例 5）计算：333333×333333 分析：原式＝3×111111×3×111111 ＝999999×111111 ＝(1000000－1) ×111111 ＝111111000000－111111 ＝111110888889 5. （例 8）计算：19931993×1993－19931992×1992－19931992． 分析：原式＝19931993×1993－（19931992×1992＋19931992） ＝19931993×1993－19931992×（1992＋1） ＝19931993×1993－19931992×1993 ＝1993×（19931993－19931992） ＝1993 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 精英班 第一讲 教师版 Page 8 数字妙联 大年三十晚上，一个贪婪的县官在县衙门前贴出一副红纸写的对联． 上联：一心为民，两袖清风，三思而行，四方太平，五谷丰登； 下联：六欲有节，七情有度，八面兼顾，久（九）居德苑，十分廉明． 横批是：福荫百姓． 初一早晨，衙门口的人围得水泄不通，还有人在不断地喝彩：“太好了！写 得妙极了！”贪官听了，以为人们在称赞他写的对联，心中十分得意．正在这时， 有一衙役进来向他报告，说有人在红对联旁又贴了一副白对联．贪官急忙出去 一看，只见白对联的上联写道：“十年寒窗，九载熬油，八进科场，七品到手， 六亲不认． 下联：五官不正，四蹄不羁，三餐饮食，二话不说，一心捞钱． 横批是：苦煞百姓． 贪官看罢，气得脸色苍白，浑身发抖． 数学 故事 滥竽充数故事班主任管理故事5分钟二年级语文看图讲故事传统美德小故事50字120个国学经典故事ppt