四年级 奥数 讲义 591学子 教案库 四年级 第二讲 数字谜问题（一） 提高班 教师版

讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 提高班 第二讲 教师版 Page 9 第二讲 数字谜问题（一） 本节课主要讲横式数字谜的解题 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，学会通过找突破口来解决问题． 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ： 1、巧填方框里的数，通过运算法则，把不完整的算式补充完整． 2、巧解数字谜，通过找关键位置进行突破推理出不同的汉字或字母 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的数，使算式成立． 最后通过例题的学习， 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 方法解数字谜问题的关键是找到合适的解题突破口．在确定各数位上的 数字时，首先要对填写的数字进行估算，这样可以缩小取值范围，然后再逐一检验，去掉不符合题意的 取值，直到取得正确的解答． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：8888÷8＋888＋8＋8＋8÷8－8×8÷8＝2008 数字谜，一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．这种不完整的算式，就像“谜”一样， 要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的位数，数的整除性、奇偶性、尾数 规律等）来进行正确的推理、判断． 解数字谜，一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口．推理时应注意： （1）数字谜中的文字、字母或其它符号，只取 0～9 中的某个数字； （2）要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件； （3）必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字； （4）数字谜解出之后，最好验算一遍． 想 挑 战 吗 ？ 北京 2008 年就要举办奥运会了，请你在 15个 8 之间合适 的地方添上＋、－、×、÷或者（），使得结果等于 2008： 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8＝2008 教学目标 专题精讲 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 提高班 第二讲 教师版 Page 10 （一）巧填方框中的数 【例1】 （学而思题库）在下面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150．那 么所填的 3 个数字之和是多少？ □ ，□8，□97 分析：（方法一）这 3 个数的平均数是150，所以三个数的和是 150×3＝450，三个数的和的个位数字 是 0，即□＋8＋7＝□＋15 的和的个位数字是 0，所以第一个方框里填的数是 5．同理，因为第二个数 的十位数□＋9＋2＝11＋□，这个数的个位数字是 5，所以第二个□是 4，三位数的百位上□加 1 等于 4，所以第三个□填 3，则三个数之和为 3＋4＋5＝12． （方法二）由于 150×3－8－97＝345，所以我们可以在三个空格中填上：5、4 和 3，则 3 个数之 和为 3＋4＋5＝12． 【例2】 在下列各等式的方框中填入恰当的数字，使等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称： （1）12×23□＝□32×21， （2）□3×6528＝8256×3□． （3）6□□4÷56＝□0□， （4）8□□□÷58＝□□6 分析：（1） 从个位上考虑，在等式右边结果的个位是 2，所以左边结果的个位也是2，那么左空格处 只能填写 1，并且算式中的数字关于等号左右对称，即得 12×231＝132×21 ，最好要求学生再验算一 遍； （2）从个位上考虑，在等式左边结果的个位是 4，所以右边结果的个位也是 4，那么右空格处可以填写 4 或者 9，但是又因为算式中的数字关于等号左右对称，左空格处不可以是 9，那么空格里只能是 4，即 得 43×6528＝8256×34． （3）当碰到除法时，我们最好将除法转换成乘法，则有 6□□4＝56×□0□，从个位上考虑： □0□中的个位只能填写 4 或 9 ，从总体观察估计，56×200 就是五位数了，所以□0□只可能是 104 或 109，我们再近一步进行验算发现: 56×109＝6104 符合题意，即 6104÷56＝109； （4）8□□□＝58×□□6 ，考虑个位可得：8□□8＝58×□□6 ，总体估值可得：8□□8＝58×1□6 ， 试验填数，最好从0～9 的中间数字 5 开始考虑，58×156＝9048 ，9048＞8□□8，接下来试：58×146 ＝8468，符合题意，所以 8468÷58＝146 ． 【例3】 在下面的○内填人1～9 这 9 个数字(数字不重复出现)，使两个等式都成立． ○＋○—○＝○ (1) ○×○÷○＝①⑧ (2) 分析：因为(2)式中有已知数，很明显是解决问题的突破口． 由(2)式可知，○×○是 18的倍数．下面我们逐一分析两数相乘是 18的倍数的各种情况． 2×9＝18 (2×9÷1＝18)有重复数字； 3×6＝18 (3×6÷1＝18)有重复数字； 4×9＝36 (4×9÷2＝18)符合； 6×6＝36 有重复数字； 6×9＝54 (6×9÷3＝18)符合； 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 提高班 第二讲 教师版 Page 11 8×9＝72 (8×9÷4＝18)有重复数字． 根据上面的分析，有两种情况满足(2)式． ①4×9÷2＝18，还余下 3，5，6，7 四个数字，而这四个数字无法使(1)式成立，所以不能按这种 情况来填． ②6×9÷3＝18，还余下 2，4，5，7 四个数字，这四个数字使(1)式成立有 4 种填法，所以本题共 有下面4 组答案（加数之间和乘数之间也可互换）：      18396 5472      18396 4572      18396 7254      18396 2754 [前铺]把 1 至 9 这 9 个数字分别填入下面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有 3 个数字已经填 好． □×□＝5□ 12＋□－□＝□ 分析：根据第一个等式，只有两种可能：7×8＝56，6×9＝54；如果为 7×8＝56，则余下的数字有：3、 4、9，显然不行；而当 6×9＝54 时，余下的数字有：3、7、8，那么，12＋3－7＝8 或 12＋3－8＝7 都 能满足． 【例4】 只允许添两个“－”号、一个“＋”号和一个括号，不改变顺序，把 1，2，3，4，5，6，7， 8，9 这 9 个数字连成结果为 100的算式． 1 2 3 4 5 6 7 8 9＝100 分析：要在左边数字之间添“－”、 “＋”号和括号使结果等于 100，关键在于怎样根据等号左边 9 个数字的特征，凑出一个接近结果 100的基数．在数字较多时，用凑数法可以简化问题． 先用左边前三个数连成 123 作接近结果的基数，这个基数与 100 相差 23．余下的 6 个数字可分别 连成 3 个两位数：45，67和 89，用“＋”、“－”试算，逐步凑成相关数，从而组成符合题意的等式． 基数：123 相差数：123－100＝23 基数减去相差数组成题目所求： 123－(45＋67－89)＝100． [拓展]（南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛）在下面的数字之间添上五个加号“＋”，组成算 式，算出的结果最小＝＿＿＿． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 分析：要使结果最小，必须在 6 与 7、7 与 8、8 与 9 之间添“＋”号，因此有 12＋34＋56＋7＋8＋9＝126． 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 提高班 第二讲 教师版 Page 12 【例5】 （学而思题库）将 0，1，3，5，6，8，9 这 7 个数字填在圆圈和方框里，每个数字恰好出现一 次，组成一个整数算式． ○×○＝□＝○÷○ 分析：题目要求用7 个数字组成 5 个数，分别填入圆圈和方框里，可知这 5 个数中有 3 个是一位数，有 2 个是两位数．我们不难发现，这两个两位数，一个是两数之积，即方框里的数；另一个是被除数．因 数和除数分别为一位数． 因为0 和 1 不宜作因数，更不能作除数．于是有 3×9＝27(7个数字中没有 7)，不合题意．3×8＝24(7 个数字中没有 4)，也不合题意．3×5＝15(5 出现 2 次)，仍不合题意．经 试验可得：3×6＝18＝90÷5． [拓展]将 0，1，2，3，4，5，6 七个数字分别填入下面算式的方框中，使等式成立． □×□＝□□＝□□÷□ 分析：为了讨论方便，将本题写成两个式子并分别用字母代替方框．      用字母表示为      ced cba 其中，d 与 c 为两位数． 首先看“0”的填写位置，“0”不能是因数 a 或 b，也不能是除数 e，它只可能是 c 的个位数和被除 数 d 的个位数．但是，如果“0”是 c的个位数，那么，被除数的个位数也一定是“0”，因此，c 的个位 数不能是“0”．所以“0”只能是被除数 d的个位数． 其次，再看“1”的填写位置．“1”不能是因数 a 或 b，也不能是除数 e，否则会有数字的重复．因 此，“1“只能是被除数 d 的十位数或积的某一位数．但是，被除数为 1□时，就得不到商为两位数，因 此“1”只能是 c中的某一位数，而 c 的另一位可认为是 2 和 5 两个数．如果认为 c是 12，就有：12＝3 ×4，余下的两个数 5 和 6 就可填入除法算式，即 60÷5＝12． 如果 c 是 15，就有15＝3×5，余下的两个数 2和 6无法填入除法算式中． 于是正确答案是： 3 × 4 ＝ 1 2 ＝ 60 ÷ 5 【例6】 下面的算式是由 1～9 九个数字组成的，其中“7”已填好，请将其余各数填入□，使得等式成 立： □□□÷□□＝□－□＝□－7 分析：因为左端除法式子的商必大于等于 2，所以右端被减数只能填 9，由此知左端被除数的百位数只 能填 1，故中间减式有 8－6，6－4，5－3 和 4－2 四种可能． （1）当是 8－6 时，有 1□□＝2×□□，我们不妨记为：1ab＝2×cd ，空格处可填的数字有：2、3、 4、5 ，从个位开始考虑，①d 处填 2，则 b 处填4 ，a 处填 3 或 5 ，c 处填 5 或 3 ，检验无符合题意 的填法；②d 处填 3，则 b处无数字可填；③d 处填 4，则 b 处无数字可填；④d 处填5，则 b 处无数字 可填． （2）当是 6－4 时，空格处可填的数字有：2，3，5，8，从个位开始考虑，①d 处填2，则 b 处无数字 可填；②d 处填 3，则 b 处无数字可填；③d 处填 5，则 b 处无数字可填；④d 处填 8，则 b 处无数字可 填．（3）当中间减式为 5－3 时，空格处可填的数字有：2，4，6，8，从个位开始考虑，①d 处填 2， 则 b 处填 4 ，c 处填 6 或 8．当 c 处填6 时，a无数字可填；当 c 处填 8时，a 处填 6，算式成立，为 164÷82＝5－3＝9－7；②d处填 4，则 b 处填 8 ，c 处只能填 6，a处填 2，算式成立，为 128÷64＝5－3＝9－7． 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 提高班 第二讲 教师版 Page 13 （4）当是 4－2 时，空格处可填的数字有：3，5，6，8，从个位开始考虑，①d处填 3，则 b 处填 6，c 处只能填 8，则 a 处无数字可填；②d 处填5，则 b 处无数字可填；④d 处填 6，则 b 处无数字可填；③ d 处填 8，则 b 处填 6，a 处填 3 或 5 ，c 处填 5 或 3 ，检验无符合题意的填法． 所以有如下两组解：128÷64＝5－3＝9－7，或 164÷82＝5－3＝9－7． [拓展]（□＋□＋□＋□）÷（□＋□＋□）＝□ 将 2，3，4，5，6，7，8，9这 8个数字分别填入上面算式的方框中，使等式成立． 分析：将原式表示为a＝b×c，因为 a＋b＋c＝2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝44；所以 b×c＋b＋c＝44， （b＋1）×（c＋1）＝45＝3×15＝5×9；c＝2、b＝14或 c＝4、b＝8，由于 2＋3＋4＝9>8，因此只能 c＝2、b＝14；那么，3＋4＋7＝14、3＋5＋6＝14， 所以，满足要求的等式有：（5＋6＋8＋9）÷（3＋4＋7）＝2，（4＋7＋8＋9）÷（3＋5＋6）＝2． （二）巧解数字谜 【例7】 （学而思题库）已知 A，B，C，D，E，F，G，H，I，J 分别代表 0 至 9 中的不同数字，且有下 列 4 个等式成立： D－J×I＝F，E×E＝HE ，C÷J＝G， = H H H H B   J个 ，求 A＋C． 分析：考察 4个算式，首先可以发现第二个为：5×5＝25，或 6×6＝36； 如果是 5×5＝25，则 E＝5、H＝2；再看第 4 个算式，只能是：2×2×2＝8，于是 J＝3、B＝8； 再看第三个算式，这是可以发现已经不行了． 这样第二个就只能是 6×6＝36，于是：E＝6、H＝3； 再看第四个算式，只能是：3×3＝9，于是 J＝2、B＝9； 再看第三个算式，应该是：8÷2＝4，于是：C＝8、G＝4； 最后看第一个算式，只有7－2×1＝5，于是：D＝7、I＝1、F＝5；那么，A＝0，A＋C＝8． [拓展]算式AB CC DEE C C F F      中，A、B、C、D、E、F 分别代表 1—9的不同数字．那么 六位数 ABCDEF 等于多少？ 分析：因为AB CC DEE  ，所以可知 D 必为 1，C×C×F×F＝DEE 即 2( )C F DEE  ，DEE 是 一个完全平方数，100～200 之间的完全平方数有 121、144、169、196，从而知 E＝4， DEE 代表三位 数 144．又 144＝122，12＝3×4＝2×6，所以C、F 的取值有如下四种情况： （1）当 C＝3 时，F＝4 ；（2）当 C＝4 时，F＝3；（3）当 C＝2 时，F＝6；（4）当 C＝6 时，F＝2． 观察式子： AB CC ＝144 可以判断CC 必大于 44，从而前三种情况都被否定，也就是说C 只能 为 6，这时 F＝2．最后可以推出 A＝7，B＝8，即所求六位数ABCDEF ＝786142． 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 提高班 第二讲 教师版 Page 14 【例8】 （第六届《小数报》数学竞赛决赛）等式“学学×好好＋数学＝1994”，表示两个两位数的乘 积，再加上一个两位数，所得的和是1994．式中的“学、好、数”3 个汉字各代表 3 个不同数字，其中 “数”代表______． 分析：由于“学学”、“好好”都是11 的倍数，从而它们的积是121(＝11×11)的倍数， 1994÷121＝16…58 ，58即“数学”，从而“数”代表 5． 【例9】 （学而思题库）在下面的算式里，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字， 问：每个汉字各代表什么数字？ 红花映绿叶×春＝叶绿映花红 分析：如果“春”≥5，那么“红”＝1，此时“叶”没有合适的数字； 如果“春”＝2，那么“红”只能是小于 5 的偶数，，“红”无论取 2 还是 4，“叶”都没有合适的 数字； 如果“春”＝3，那么“红”＝1 或 2，此时“叶”也取不到合适的数字； 如果“春”＝4，那么“红”＝2，可得“叶”＝8，“花”＝1，“绿”＝7，“映”＝9 【例10】 下面算式中，每一汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字． 数数×科学＝学数学 ， 那么“数学”两字代表的两位数是________． 分析：“学数学”是“数数”的倍数，因而是“数”与 11的倍数． 学数学＝学×101＋数×10，“学数学”是“数”的倍数，而 101 是质数，所以“学”一定是“数” 的倍数． 又“学数学”是 11的倍数，因而学＋学－数＝11，因为“学”是“数”的倍数，从上式推出“数” 是 11的约数，所以“数”＝1，“学”＝(11＋1)÷2＝6． “数学”所代表的两位数是 16． 本讲主要学习了横式数字谜问题，我们在四年级暑假班将继续数字谜和数阵图问题．请大家继续关 注，愿同学们能成为数字谜通！ 1. （例 2）在下列算式的□中填上适当的数字，使得等式成立： （1）12×46□＝□64×21； （2）□8×891＝198×8□； （3）7□□8÷37＝□1□； （4）3□□3÷2□＝□17． 专题展望 练习二 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 提高班 第二讲 教师版 Page 15 分析：（1） 12×462＝264×21； （2） 18×891＝198×81； （3）7918÷37＝214； （4）3393÷29＝117． 2. （例 6）将 0，1，2，3，4，5，6 这 7 个数字填在圆圈和方框里，每个数字恰好出现一次，组成一 个只有一位数和两位数的整数算式． ○×○＝□＝○÷○ 分析：通过观察，在题目给出的七个数字中，有两个比较特殊的数字，一个是 0，另一个是 5，不是每 一个位置上都可以填这两个数字，先确定这两个数字的位置，就很容易解决这道题了． 再看题目，这道含有乘法与除法的整数横式题给我们提供了七个数字，要求我们填入五个空格内， 因此必有两个空格内要填两个数字，也就是两位数．又因为这是一个整数算式，所以○÷○必须除尽， 而且被除数是两位数，进一步观察可以知道，数字 0只能作为被除数的个位数字，否则0 将重复出现， 而数字1 也只能成为积或商的十位数字，否则会让别的数字重复出现．同学们可以试试看 由于被除数的个位数字是 0，所以除数必须为 5，否则商□中的个位数字含有 5，这样迫使○×○ 的两个○中其中一个内必含 3、5，就出现重复，违背题意． 其它位置上的数经过试算，很容易可以确定：3×4＝12＝60÷5． 3. （例 3）把＋、－、×、÷分别填在适当的圆圈中，并在正方形中填上适当的整数，可以使下面的 两个等式都成立，此时，正方形中的数是几？ 9○13○7＝100 ① 14○2○5＝□ ② 分析：这是两个联系十分密切的横式，他们共同分享四个运算符号＋、－、×、÷（每个只允许用一次）．第 ①个等式中只缺少两个运算符号，显然应从这个等式入手，想一想，如何利用 9、13、7 凑出 100呢？ 仔细观察①式的数字特点，可以发现“×”必须填在①式中，这时因为①式中的两个“○”内填＋、－、 ÷中的任何两个都不会使等式成立（因为右边的值是 100），而且经过试算可知第一行的算式是：9＋13 ×7＝100．很自然“÷”、“－”只能填在②式中了，又因为②式中右边□内必须填整数，所以②式填法 如下： 14÷2－5＝2 4. （例 7）A，B，C，D，E，F 分别表示 0、1、2、3、4、5 中的哪一个数时，才使下面的等式成立． E＋A＝A，C－D＝B，B×C＝C，F÷D＝D A＝_____，B＝_____，C＝______，D＝______， E＝______，F＝______． 分析：由 E＋A＝A 可知，E＝0； 由 B×C＝C 可知，B＝1； 由 F÷D＝D 可知，D×D＝F，在剩下的四个数 2，3，4，5 中，只有 2 和 4 符合，即 F＝4，D＝2； 最后剩下 C＝3，A=5． 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08年寒假 四年级 提高班 第二讲 教师版 Page 16 5. （例 9）在下面的算式里，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，问：每个汉 字各代表什么数字？ 巧解趣题×9＝题趣解巧 分析：因为巧解趣题×9＝题趣解巧，即一个四位数乘以 9 还是一个四位数，所以“巧”只能为 1．由 于积的个位数等于 1，所以“题”为 9．此时，请同学们注意乘数的百位数“解”乘以 9 之后不可以进 位，即仍然是一个个位数，所以“解”只能为 0或 1，而“巧”字为 1，所以“解”字为0．此时．“趣” ×9＋8 的积的个位数等于 0，经过试验，“趣”＝8． 数学谜语 ——乾隆皇帝的数字谜 乾隆曾出过一个以数字为谜底的词谜．乾隆皇帝很欣赏纪晓岚的渊博学识，有时候故意出难题考 他． 有一次，乾隆出了这样一个颇为有趣的词谜： 下珠帘焚香去卜卦，问苍天，侬的人儿落在谁家？ 恨王郎全无一点真心话．欲罢不能罢，吾把口来压！ 论文字交情不差，染成皂难讲一句清白话． 分明一对好鸳鸯却被刀割下，抛得奴力尽手又乏．细思量口与心俱是假． 乾隆得意洋洋地问纪晓岚：“老爱卿，你可知道这个词谜的谜底是什么？” 纪晓岚沉思了片刻答道：“圣上才高千古，令人敬佩！这表面上是一首女子绝情词，实际上各句都 隐藏着一个数字．” 原来谜底是“一二三四五六七八九十”． 解法是： “下”去“卜”是一；“天”不见“人”是二；“王”无“一”是三；古时候“一”(也 可竖写成“1”) 繁体中“罢”为四字下面加一能字 ，“吾”去了“口”是五； “交”不要差(叉谐时， 意指×)是六； “皂”去了“白”是七； “分”去了“刀”是八； “抛”去了“力”和“手”是九； “思”去了“口”和“心”是十． 数学故事