z_ch3_频谱分解法

null第三章 频谱分解法第三章 频谱分解法null 输入 输出 扰动（信号） 运动（信号） 简单扰动（信号） 简单运动（信号）线性分解线性综合线性系统线性系统§3.1 有界弦的自由振动§3.1 有界弦的自由振动长为l、两端固定的弦的自由振动 null驻波法： 基本思想：有界弦中形成驻波 驻波的特征 弦的内在振动规律 弦振动 驻波的叠加 具体步骤： 由内在振动规律求可能的驻波 （分离变量的特解） 特解的叠加 由初始条件定解null分离变量 分离常数null两常微分方程 边界条件的分离变量形式 分离结果null本征值问题 本征函数和本征值 通解 null定解（求本征值和本征函数） 线性无关本征函数系null含时间的方程 分离变量形式的解 null物理意义 本征振动：可能的驻波解 基波：（基频 音调） 谐波：（谐频 音色） null定解问题的一般解 确定线性叠加系数（定解）null正交性 可得 定解问题的解为 null分离变量若干常微分方程本征值问题中的附加条件本征值问题分离形式的特解定解问题的一般解定解null分解综合线性系统 （同上）线性系统§3.2 函数空间和它的正交坐标系§3.2 函数空间和它的正交坐标系线性矢量空间 三维欧氏空间 n维欧氏空间 内积 子空间：个数小于n的正交矢量系 完备null线性函数空间 矢量 函数 函数内积的定义 欧氏空间和酉（幺正）空间(unitary space) 如： 本征函数的模null函数正交性 正交完备系 空间中任意函数的展开及其系数 nullSturm-Liouville问题 S-L方程 S-L本征值问题null正交性定理： 假定在开区间(a, b)上实值函数k(x), k’(x), q(x), r(x)连续，在闭区间[a, b]上 k(x) ≥0, r(x) ≥0，且只可能在端点处取零；设ym和yn为本征值问题 相应于不同本征值lm和ln的平方可积本征函数；又若 其中 称为函数 和 的Wronski行列式。则ym和yn在区间上带权重正交，即null正则型S-L本征值问题： 其中 本征函数系具有正交性质。null展开定理（正则型S-L本征值问题）： 本征值问题存在本征值序列ln , n=1(1) ∞和相应的本征函数系ym(x)，若f(x)和其导数f’(x)在区间[a, b]上分段连续。则有逐点收敛展开公式 若f(x)是平方可积函数则有平均收敛展开公式 简记为 这里§3.3 分离频谱分解法§3.3 分离频谱分解法散热片的稳定温度分布 null作变换 ，定解问题化为 分离变量null本征值问题 解得 含y的方程null一般解为 定解null利用正交性nullnull长为l 的传输线 远端开路 近端接恒压源，断开并短路 null分离变量 分离常数null两常微分方程 边界条件的分离变量形式 分离结果null本征值问题 本征函数和本征值 通解 null定解（求本征值和本征函数） 线性无关本征函数系null含时间的方程 分离变量形式的解 null定解问题的一般解 确定线性叠加系数（定解）null利用正交性，可得 定解问题的解为null无限长理想圆柱导体在匀强静电场中的静电感应 实际问题： 水平架设的输电线处在云和大地之间形成的静电场中输电线离云和大地较远且只考察带电云中心部分垂直正下方的输电线附近的静电场null物理模型： 在匀强静电场中放置一其轴和电场强度E0方向垂直，半径为r0的无限长理想圆柱导体，设导体单位长度所带电量为s0，求圆柱外场强null数学模型： null渐近边界条件： 均匀电场 导体表面带电所产生的场 导体表面感应电荷产生的场（在r很大时很小）null数学模型的求解 分离变量 null电势应满足周期条件 本征值问题 或 解为null径向方程（Euler方程） m=0时 nullm≠0时，作变换 方程化为 一般解为 null代入边界条件 null利用正交性，得null物理意义 感应电荷产生场的电势 电场强度 柱体表面电场强度与导体表面垂直null若导体不带电则在导体表面 感应电荷密度 null有限物体的一维有源输运 当泛定方程为齐次时，分离变量的本征值问题 null把源函数展开 利用正交性，得null当源为 时，定解问题为 得与时间有关的方程 null 解得 原定解问题的解为null非齐次边界条件问题 物理问题：一端作用已知外力，另一端按已知规律振动的弦的横振动问题 基本思想：通过变换使非齐次边界条件齐次化 作变换：nullnull§3.4 连续频谱分解法§3.4 连续频谱分解法一维无界空间中的热传导问题 分离变量，得null本征值问题为 本征值和本征函数连续谱null本征函数系： 正交性： 关于时间的方程 分离变量形式的特解null一般解 定解： 定解问题的解：nullnull分解综合线性系统 （同上）线性系统null正变换逆变换null半导体掺杂问题 ①预沉积 ②主扩散 null①预沉积 null奇延拓nullnullnullnull到t时刻进入硅内部单位截面内的杂质总量： null②主扩散偶延拓nullnull无界弦的自由横振动问题 空间Fourier变换nullnullnullnullnullnull三维空间中的标量波动 分离变量 得null本征值问题 本征函数 解关于时间的方程 得null分离变量形式的特解 一般解为null定解 正交性null 解为null§3.5 小波变换和Hilbert-Huang变换*§3.5 小波变换和Hilbert-Huang变换*短时（加窗）Fourier变换 局部分析 Gabor变换 时频分析null小波变换（Wavelet Transform） 定义（CWT & DWT） 基本小波 null小波变换基本要求 完备性 逆变换存在且稳定 展开系数易求得（正交性或双正交性） 无条件收敛 基本小波具有有限空宽 基本小波具有有限频宽 基本小波的正则性 基本小波的振荡性null小波变换的应用 时频分析特征提取 求解数学物理问题 nullnullHilbert-Huang变换 时频分析方法： 非线性非平稳信号、自适应的 经验模式分解 Empirical Mode Decomposition Intrinsic Mode Functions 不同时间尺度的信号分解 Hilbert变换 谱空间的基函数 正交完备性小结小结频谱分解法是重要的函数变换之一 频谱分解法的核心是本征函数系的获得和求解按本征函数系展开的展开系数 函数空间和普通矢量空间 本章基本要求： 掌握频谱分解法的基本思想和方法 掌握本章介绍的几类本征值问题 理解函数空间的基本概念