第五讲 数学方法和思想(二)
内容概述
学习数学的一个重要方面就是要掌握一定的解题方法，数学的题型千变万化，如果仅靠题海战术，而不去
总结
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规律，寻找解题方法，将永远是大海捞针，失去方向！遇到题型发生变化，就会一筹莫展，这节课我们将介绍几种重要的解题方法，希望同学能体会贯通，举一反三。
从简单情况考虑
有时候我们碰到的题目很复杂，乍一看似乎无从入手，这时候我们往往可以先从简单的情况出发，看看有什么规律。很多情况下我们可以通过这种方法解决一些看起来很难的问题。
【例1】 3×3的末位数字是9，3×3×3的末位数是7，3×3×3×3的末位数字是1．求35个3相乘的结果的末位数字是几?
分析：从简单情况做起，列表找规律：
仔细观察可发现，乘积的末位数字出现有周期性的规律，4个一组，35个3相乘是其第34项，所以末位数字是7。
【例2】 444444444888888888÷666666666的商是_____________
分析：这个题目我们当然可以列一个竖式来做，但这样是不是太麻烦了，观察算式的特点，4，8，6都有9个，那我们就先来看一下如果4，8，6分别各有1个，2个，3个商分别是多少，这个计算起来是非常简单的：48÷6=8 ，4488÷66=68 ，444888÷666=668 … 同学们找到规律了吗？
对了，444444444888888888÷666666666=666666668（8个6 ，一 个8）。
【例3】 ① 12345678987654321是_________的平方
② 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1是_______的平方？
③ 12345678987654321×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1）是_______的平方，
分析：（1）从简单得情况入手，找规律：
1的平方是1；
11的平方是121；
111的平方是12321；
1111的平方是1234321；
因此111111111的平方是12345678987654321；
（2）再来看小括号里的数，从1加到9再加到1，我们从简单情况入手，
1+2+1=4=2的平方
1+2+3+2+1=9=3的平方
1+2+3+4+3+2+1=12=4的平方
发现规律后就知道：1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9的平方。
（3）因此原来的算式12345678987654321×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1），
就是111111111×9即999999999的平方 。
【例4】 （第三届“华杯赛”决赛）将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分
成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线?请说明．
分析：我们来一条一条地画直线．画第一条直线将圆形纸片划分成2块．画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块(增加了2块)，否则只能划分成3块．类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同(即没有3条直线交于一点)，则将圆形纸片划分成7块(增加了3块)，否则划分的块数少于7块．下图是画3条直线的各种情形
由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同．这时增加的块数等于直线的条数．这样划分出的块数，列表如下：
直线条数 纸片最多划分成的块数
1 1+1
2 1+1+2
3 1+1+2+3
4 l+1+2+3+4
5 1+1+2+3+4+5
……
不难看出，表中每行右边的数等于1加上从l到行数的所有整数的和．因为1+1+2+3+…+10=56，1+1+2+3+…+9=46，可见第9行右边还不到50，而第lO行右边已经超过50了．所以至少要画10条直线．
【例5】 用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后，推断第20行的各数之和是多少？
分析：要求第20行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。
至此，我们可以推断，第20行各数之和为219。[本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用]
从极端情况考虑
从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。
【例6】 新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的20个门，他最多要开多少次？
分析：从最不利的极端情况考虑：打开第一个房间要20次，打开第二个房间需要19次……共计最多要开20＋19＋18＋…＋1=210（次）。
【例7】 某轮船往返于两港之间，设该轮船在静水中的速度不变，那么当水的流速增大时，轮船往返一次所用时间（ ）。
A、不变 B、减少 C、增加
分析：由于题目并未交代水流速度增加多少，因此我们可以考虑从极端情况考虑，假设水速非常大，大到非常接近轮船的静水速度，那么当轮船逆水行进的时候，逆水速度将“非常”小，因此所用时间将“非常”多，所以轮船往返一次所用时间一定增加了，故选C。例6的考虑方法多用于不需要步骤的填空题或选择题，在解答题时尽量不要使用。
从特殊情况考虑
对于一个一般性的问题，如果觉得难以入手，那么我们可以先考虑它的某些特殊情况，从而获得解决的途径，使问题得以“突破”，这种方法称为特殊化。其实从问题的极端情况考虑，也是从特殊情况考虑。对问题的特殊情况进行研究，一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易；另一方面是因为特殊的情况含有一般性，所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解决问题的思路，它是探索问题的一种重要方法。运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤，即先由一般到特殊，再由特殊到一般。通过第一步骤得到的信息，还要回到一般情况予以解答。但我们能熟练使用这种方法后，就只需在特殊状态下得到
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
即可。
【例8】 如右图，四边形ABCD和EFGH都是正方形，且边长均为2cm。又E点是正方形 ABCD的中心，求两个正方形公共部分（图中阴影部分）的面积S。
分析：我们先考虑正方形EFGH的特殊位置，即它的各边与正方形ABCD的各边对应平行的情况。此时，显然有S=2×2×1/4=1。
【例9】 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少?
分析：法1：找H点的特殊点，不妨研究H点在D时的状态。那么图形可变为右下图：
那么阴影部分的面积就是三角形DEF的面积。设长方形的宽为x ，那么长为36/x ，则有
法2：我们可以找到长方形ABCD的特殊状态正方形ABCD，再找H点在D时的状态，则原图可看成右图：
正方形边长为6 ，那么极易得：阴影面积=36-9-4.5-9=13.5 cm2 。
这种方法找了两次特殊情况，大大简化了计算。
我们上节课学习的例2 ，也是从特殊情况考虑，教师在此要提到此点，附加题目中也有相似类型。
从反面考虑问题
解数学题，需要正确的思路。对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结论。但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到解决。
【例10】 某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分。问：此次测验至多有多少种不同的分数？
分析：最高的得分为50分，最低的得分为0分。但并不是从0分到50分都能得到。从正面考虑计算量较大，故我们从反面考虑，先计算有多少种分数达不到，然后排除达不到的分数就可以了。最高的得分为50分，最低的得分为0分。
列表分析：
答对
不答
答错
得分
10
0
0
50
9
1
0
46
9
0
1
45
8
2
0
42
8
1
1
41
8
0
2
40
7
3
0
38
7
2
1
37
7
1
2
36
7
0
3
35
…
不答相对与答对少的4分，答错相对与答对少得5分，这样的话不答和答错之间少1分，所以比38分少的分数的情况都存在。所以，在从0分到50分这51个分数中，有49，48，47，44，43，39这6种分数是不能达到的，故此次测验不同的分数至多有51-6=45（种）。
【例11】 一次考试有4道题，100人参加了考试，考试结果，第一题有91人答对，第二题有83人答对，第三题有89人答对，第四题有95人答对，请问四道题全答对的至少有多少人？
分析：从反面考虑问题，题目要我们求全答对的人数至少是多少，我们考虑每个题目分别有几人答错，第一题有9人答错，第二题17人答错，第三题11人答错，第四题5人答错。所以所有人错的题目之和为9+17+11+5=42题
要使得全答对的人最少，那么应该尽量让每人错1题，42个错题最多可以使42个人无法全对，因此四道题全答对的至少有100-42=58人
当我们计算阴影部分面积时，常常不能直接计算出结果，可从反面思考，从整体中去除空白部分面积，就是阴影部分面积。
从整体考虑问题
有时候具体的去分析局部的细节会感到却少条件，无从下手，这时候如果我们站的高一点，看的远一点，从整体出发去考虑问题，往往会起到意想不到的效果。
【例12】 现有一个3×4的长方形，现在任意横着切2刀，竖着切4刀，把长方形分成了15个小长方形，求这15个小长方形的周长之和是多少？
分析：很明显，这15个小长方形中任何一个的周长我们都求不出，如果从局部出发，是不可能求出来的。因此我们要从整体出发去考虑
观察发现，每横着切一刀，那么长方形就增加了两条长为4的边，即周长和增加8，而每竖着切一刀，那么长方形就增加了两条长度为3的边，即周长和增加6。因为长方形的周长为2×（3+4）=14，所以横着切2刀，竖着切4刀后周长和为：
14+2×8+4×6=54 。
注：这个题目也可以用从特殊情况考虑，考虑每个长方形都一样的特殊情况那么长和宽分别为1和0.8 周长和为(1+0.8)×2×15=54
这与我们的第一种方法的答案是一致的。
【例13】 某杂志每期定价2元，全年共出12期。某班部分同学订半年，其余同学订全年，共需订费480元；如果订半年的改订全年，订全年的改订半年，那么共需120元。问：这个班共有多少名学生？
分析：从总体考虑（480＋120）元是全班同学订1年半的钱，所以有25名同学。
附加题目
【附1】 平面上有101条直线，它们最多有多少个不同的交点？
分析：题目条件里的直线太多，因此我们从简单情况出发，先考虑2条，3条……直线的情况，
直线条数 交点最多的个数
2 1
3 3=1+2
4 6=1+2+3
5 10=1+2+3+4
从上面的简单情况可以看出，平面上n条直线最多有：[1+2+3+4+……+（n-1）]个不同的交点，本题中是101条直线，因此最多有1+2+3+……+100=5050条直线。
【附2】 如果一对成熟的兔子第一个月后能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，那么1年后一共有多少对小兔？
分析：规律为：1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233，一年后共有233对小兔。
【附3】 把若干个苹果分给幼儿园的小朋友，如果同时分给大班和小班，那么每个小朋友将分到6个苹果，如果只分给大班，那么每个小朋友将分到10个苹果，那么如果只分给小班，每个小朋友分到几个苹果？
分析：看了这个题目，我们会想，如果知道有几个苹果就好了。可惜条件没告诉我们，可是，仔细想一想会发现，无论有多少个苹果，题目的答案应该是一定的。因此我们从特殊情况考虑，假设有30个苹果，那么大班和小班一共有30/6=5人，大班有30/10=3人，因此小班有5-3=2人，每人可以分到30/2=15个苹果。问题得到了顺利的解决，如果题目是解答题不允许我们这么做怎么办呢？既然知道苹果数就好求了，我们不妨设有x个苹果，下面的做法是完全类似的，请同学们自己试一下。
【附4】 满满一杯牛奶，小明先喝了半杯；然后添水加满，之后再喝去半杯；再一次添水加满，最后把它全部喝完．请问小明一共喝了多少杯牛奶多少杯水?
分析：小明共喝了一杯牛奶和一杯水．因为原来就有一杯牛奶，最后喝光了；后来又加了两次水，每次半杯，合起来是一杯水，最后也喝光了．
【附5】 甲、乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行．甲每小时走3.5千米，乙每小时走2.5千米．与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，……这只狗就这样往返于甲、乙之间直到二人相遇而止，则相遇时这只狗共跑了多少千米？
分析：从整体思考：当甲、乙相会时，甲、乙和狗走路的时间都是一样的．30÷（3.5+2.5）=5（小时），
5×5=25（千米）。
【附6】 在前1000个自然数中不是8的倍数的有多少个？
分析：反面考虑，是8的倍数的有1000÷8=125 ，不是8的倍数的有1000-125=875个。
习题五
1.11111112222222÷3333333=？
解答：12÷3=4，1122÷33=34 ，111222÷333=334 …… 11111112222222÷3333333=3333334 。
2． 求222……2(共2005个2)被7除所得的余数
解答：(利用规律)2÷7=0……2，22÷7=3……1 ，222÷7=31……5 ，2222÷7=317……3 ，22222÷7=3174……4 ，222222÷7=31746……0 ；2005÷6=334……1，所以余数是2 。
3．下面这枚色子, 1和5相对,2和6相对,3和4相对, 先向前转16次，再向右转4次，向上的一面应该是几个黑点？
解答：无论怎样翻转,四次一循环,上面的黑点还是1。
4．有一个四边形ABCD(任意四边形)面积为1，连接各边的中点得到四边形DEFG
求四边形DEFG的面积？
解答：从特殊情况考虑1/2。
5．如右图，正方形ABCD的边长为12,P是边AB上的任意一点，M，N，J，H分别是边BQ AD上的三等分点，E，F．G是边CD上的四等分点，图中阴影部分的面积是
解答：特殊值方法 因为P是边AB上的任意一点，那么我们可以找P与B重合时的状态如右下图：
6． 把若干个苹果分给幼儿园的小朋友，如果同时分给大班和小班，那么每个小朋友将分到4个苹果，如果只分给大班，那么每个小朋友将分到6个苹果，那么如果只分给小班，每个小朋友分到几个苹果？
解答：设有12个苹果,同时分给大班和小班,12÷4=3人,只分给大班,12÷6=2人，3-2=1人，12÷1=12个。
7．现有1个立方体，其棱长为2厘米，从横、竖、纵3个方向各切1刀，将其分成了8个小长方体，此时这8个小长方体的表面积的和是多少？
解答：从整体考虑，原立方体表面积是：6×2×2=24平方厘米，总的表面积为：2×24=48平方厘米。
数学童话
八戒卖醋
八戒开了一家副食小店。一天，猴侄小猕猴来为家里打一斤醋。小猕猴来到师叔的小店，喊道：“师叔，打醋！”八戒问小猕猴打多少醋。小猕猴说：“不多，就打一两。”八戒吃惊地问道：“打一两醋干啥？”小猕猴说：“当然是吃呗！”八戒又问：“一两够吗？”小猕猴说：“不够，再打一两吧！”八戒又问：“二两也不多呀？”小猕猴说：“那再打一两吧。”八戒又打了一两。小猕猴说：“还打一两，再打一两……”这样，小猕猴共计打了十两醋，也就是一斤醋。八戒打完醋，说：“共计一斤醋，8角4分钱。”小猕猴不慌不忙地掏出8角钱给了师叔八戒。八戒接过钱，说：“不要耍赖，还差4分钱呢！”小猕猴问：“师叔，打一两醋多少钱？”八戒说：“一两醋当然是8分4厘，4厘钱就舍去。收8分钱。”小猕猴说：“这么说来，一两醋就是8分钱了。”八戒说：“那当然。”小猕猴又说：“十两醋就是8角钱了！”八戒说：“算得正确。”小猕猴说：“我给了你8角钱，你怎么说还差4分钱呢？”八戒无言以对，只好又亏了4分钱，望着小猕猴提着醋走了。
� EMBED Equation.DSMT4 ���
_1228998722.unknown
_1229005602.unknown
浙公网安备 33021202002483