第六讲 数阵图
数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种
数学
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知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：
1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；
2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学
方法
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；
3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；
4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力.
答案（右图）：
分析：因为每个角都属于两面，所以四面的武器的威力系数之和，等于所有武器的威力系数之和，再加上四个角的武器威力系数.推知四个角的武器威力系数应尽量大.因为1+2+…+10=55，当四个角的威力系数为10，9，8，7时，55+10+9+8+7=89，89不是4倍数，所以四个角只能是10，9，8，6，由此可得每一面的威力系数应是（55+10+9+8+6）÷4=22.分配如下图：
数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：
第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）
第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.
第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.
第四步：运用已经得到的信息进行尝试：
数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.
（一）封闭型数阵问题
【例1】 （★★★）小青蛙不小心爬到一个正方形数阵图中，必须把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13才能通过这个数阵图，你能帮它吗？
或
分析：因为每边上的和为13，那么四条边上的数字之和为13×4=52，而1+2+…+7+8=36，所以四个角上的四个数之和等于52-36=16．在1～8中选四个数，四数之和等于16，且其中相邻两个的和与任意三个的和不等于13的只有：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6．经试验，只有右上图的两种填法．
亮点
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
：(1)求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键数的方法是最重要的.
（2）设计问题：正方形每条边之和是13，13×4=52，但是所有数的和是：1+2+…+7+8=36，为什么会出现结果不同的问题呢？仔细观察这个数阵，四条边上所有数相加的过程中四个角上的数都被重复加了一次，也就是四个角上的数是重复数，52-36=16即为这四个重复数的和.
（3）强调分组法与试验法：知道了四个数的和之后，下一步就要先确定这四个数，采用分组法和试验法.分组法是将这个和根据要求拆成四个数，例如本题中要求其中相邻两个的和与任意三个的和不等于13，根据要求将16分成4个数的和：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6，但是未必每一组都是合适的，这就需要采用试验法，将它们一一进行试验.
（4）小结：对于封闭型的数阵，重复数基本上都是两条线相交的点，这在后面的例题中有大量体现.
[前铺]将1～6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11．
分析：因为每边上的和为11，那么三条边上的数字之和为11×3=33，而1+2+…+5+6=21，所以三个角的三个数之和等于33-21=12，在1～6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5，经试验，填法见右上图.
[拓展]将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.
k=9 k=10 k=11 k=12
分析：设三角形三个顶点的数字之和为s.因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍.于是有（1+2+3+4+5+6）+s=3k，化简后为s+21=3k.由于s是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出9≤k≤12.s和k有四组取值：
通过试验，每组取值都对应一种填数方法（见右上图）.
【例2】 （★★★）小乌龟被困在五个圆里面（如下图），五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，它必须找出规律，并求出x所代表的数才能脱困，你知道该怎么办吗？
分析：经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如：
（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.所以x+18=17×2，x=16.经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.
[拓展]找规律求x
分析：经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的差的2倍.比如：
（26-18）×2=16.（30-26）×2=8.（30-24）×2=12.因为52÷2=26>24，所以x=26+24=50.经检验，
（50--18）×2=64.
【例3】 （★★★）1～9分别填入小三角形内(每个小三角形内只填一个数)，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等．想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些?
分析：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，用s表示靠近大三角形三条边的五个数的和．因为有三个小三角形所填的数在求和时只用了一次(用a，b，c来表示这三个数)，其余均用了两次．于是，45×2-(a+b+c)=3 s．要使s尽可能大，只要a+b+c尽可能小．所以a+b+c=1+2+3=6，于是90-6=3 s，s=28．剩下的六个数分成三组，并且每组中两数的和是三个连续自然数，那么：4+8=12；6+7=13；5 +9=14．经过调配可得到几十种填法，右上图是填法之一．
[拓展一]如图是奥林匹克的五环标志，其中a，b，c，d，e，f，g，h，i处分别填入整数1至9，如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少?
分析：计算五个圈内各数之和的和，其中b，d，f，h被计算了两遍，所以这个和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+b+d+f+h，而这个和一定能被5整除，所以b，d，f，h中填入大数时能使这个和取得最大值，最大是6、7、8、9，各圆圈内的和也取得15，由于15=6+9=7+8，所以满足条件的所有数无法配成15，当和为14时可以找出满足条件的填法，所以和最大为14，当b，d，f，h取1、2、3、4时这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值11.
[拓展二]有10个连续的自然数，9是其中第三大的数．现在把这10个数填到下图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个2×2的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少?
分析：9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数是2、3、4、5……9、10、11，计算三个正方形中的和的和，这个和能被3整除，其中a和b被重复计算了两次，所以2+3+……11+a+b=65+a+b=3s，当a+b=1，4，7……时，65+a+b可以被3整除，因为要取最小值，所以a+b的值越小越好，但是不可能取1与4，所以，a+b=7时，这个和取得最小值，每个正方形中的和也取得最小值（65+7）÷3=24.
【例4】 （★★★）能否将数0，1，2，…，9分别填人下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等?
分析：0+…+9=45，45-中心数=3个阴影三角形的3个顶点上的数字之和，所以中心数必须是3的倍数，只能是0，3，6，9.枚举法实验，中心数只能是3，6，答案如右上图.
[拓展一]将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值.
SHAPE \* MERGEFORMAT
分析：先确定中间5个重复数，它们的和为（20+16+12+13+10）-（1+2+…+10）=16，所以中间5个重复数只能是1，2，3，4，6的组合.又因为有1个和为20，相应三角形上的三个数只能是4，6，10，逐一试验，答案如右上图.
[拓展二]图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个顶点上．
(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．
(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，给出填数方法；如果不能，请说明理由．
分析：（1）不能，如果能，则8个三角形顶点和的总和应该是8的倍数，但是这个总和有三组1、2、3、4组成，其中一组数被重复计算三次，一组数被重复计算两次，一组数仅被计算一次，因此该总和的值为6×（1+2+3+4）=60，不是8的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使8个三角形顶点上数字之和都相等.
（2）能，见右上图.
【例5】 （★★★），小熊和妈妈去外婆家要过一条河，必须要按照下面的要求填数才可以顺利通过，要求如下：20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已经填好），使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.
分析：3组数都包括左右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等.现在还有1、5、7、11、13、17、19七个数供选择，两两之和相等的有1＋19＝7＋13，只有两组，淘汰这一组；还有1+17=5+13+7+11，于是得到右上图的填法.
（二）辐射型数阵
【例6】 （★★★）将1～7这七个数字，分别填人图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等．
（1） （2） （3）
分析：设中心○内填a，由于三条线上的数字和相加应是3的倍数，其中a一共加了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a一定是3的倍数．而28÷3—9余1，那么2a÷3的余数应该是2，因此，a=1，4或7．
(1)当a=1时，28+2=30，30÷3=10，10-1=9，除中心外，其他两数的和应是9，只要把2，3，4，5，6，7六个数按“和”是9分成三组填入相应的○内就可以了．填法如图（1）
(2)当a=4时，28+8=36，36÷3=12．填法如图（2）
(3)当a=7时，28+14=42，42÷3=14．填法如图(3)．
亮点设计：（1）建议教师首先让学生进行试做，并让学生尝试多种填法。
（2）当要求将2、4、6、8、10、12、14七个数字填入数阵，应该怎么填？
（3）[拓展]将这个数阵进行变形，变为如下形式：如图 “学、而、思、未、来、命、运”这7个汉字分别代表1至7这7个数字．已知3条直线上的3个数相加、2个圆周上的3个数相加，所得的5个和相同．那么，“学”字代表多少?
分析：计算5个和的和，这个和一定是5的倍数，其中“学”字计算了三遍，其它数只是被计算了2遍，因此这个和等于（1+2+3+4+5+6+7）×2＋“学”=56+“学”，这个“学”只能是4才能保证这个和能被5整除.
【例7】 （★★★）把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法．请写出所有可能的填法．
分析：将五条边上的和相加，得数一定是5的倍数，其中中间的数被重复计算了5次，而10+11+12+……20=165，所以中间的数必须是5的倍数，才能使在中间的数多被计算了4次后，总和仍能被5整除.所以中间的数只能是10、15、20.
【例8】 （★★★）左图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等.
分析：每个正三角形顶点的三数之和为（1＋2＋…＋9）÷3＝15，每条直线上的三数之和为
（45+15）÷3=20.将1～9九个数分为三个一组，且每组三个数的和为15只有如下两种分法：
（1）1，5，9；2，6，7；3，4，8；（2）1，6，8；2，4，9；3，5，7.
对于（1），中心小正三角形三个顶点数为1，5，9时，可得中间图的解；
对于（2），中心小三角形三个顶点数为3，5，7时，可得右上图的解.
[巩固]将1～9填入右上图的九个○内，使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上.
分析：每个圆周和每条直线上三数之和应为15，其中有9的只有9＋1＋5和9＋2＋4，分别对应右上图的两个解.
【例9】 （★★★）在下图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x是多少？
分析： 为了便于说明问题，我们用字母表示各个圆圈内所表示的数，如上右图所示：根据题意，我们观察：因为每一条直线上的三个数中，当中的数是两边的两个数的平均数.所以可以得出：D=（13+17）÷2=15.还可以得出以下三式：C=（B+15）÷2 —（1），A=（13+B）÷2 —（2），C=（A+17）÷2 —（3）
将上述三个算式进行变形，成下面三个算式：2C=B+15 —（4），2A=13+B—（5），2C=A+17—（6）
用（4）式减去（5）式得出：2C-2A=2，C-A=1，C=A+1，将C=A+1代入（6）式得到：2（A+1）=A+17，A=15.则C=16，因此，16=（13+x）×
，所以x=19.
[拓展]将l，2，3，…，9，10这10个数分别填人下图中的圆圈内，使得每条线段两端的数相乘的积，除以13都余2．问这5个商数的和是多少?
分析：这10个数两两相乘除以13余2的数对有（1，2）、（3、5）、（4，7）、（8，10）、（6，9），将他们成对分别填入圆圈即可满足条件，这五个商数的和为13.
（三）其它类型的数阵图
【例10】 （★★★）在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得按顺时针循环式成立：
分析：五个等式中有四个减式，设四个减数为a，b，c，d，五个等式的值为k，则有（0＋1＋2＋…＋9）－2（a＋b＋c＋d）＝5k，即9-2×（a+b+c+d）÷5=k，所以（a＋b＋c＋d）必能被5整除，故k为奇数.又a＋b＋c＋d≥0＋1＋2＋3＝6＞5，所以k的可能取值为1，3或5.经试算，当k＝1或5时有如右上图两解.
[拓展] 在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立：
分析：共有五个和式，其中两式的和大于另三式的和.设较大的和为a，较小的和为b，则有
2a＋3b＝0＋1＋2＋…＋9＝45，由上式知b必为奇数，又由b最小为5，最大为7，可得如右上图两解.
【例11】 （★★★★）将1～8这八个自然数填入左下图的空格内，使四边形组成的四个等式都成立：
分析：（方法一）除式只有四种可能：8÷4＝2，6÷3＝2，8÷2＝4和6÷2＝3，其中后两种情况乘法式子将无法满足，前两种情况对应着如右上图两种填法.
（方法二）小于10且能表示成两个不同的数的乘积的数只有6和8，如此可确定左下角的数为2，左上角和右下角的数可以是6或8,左边和下边对应填上3和6，剩下1、5、7如此即可试出结果.
[前铺]在下列各图中，分别从1～8中选择六个数填入□内，使得按顺时针方向计算的各关系式成立：
分析：能被2和4整除的数有4与8，左上角的数为4或8，如果为8，为一种情况，如果是4是另一种情况，答案见右上图.
【例12】 （★★★★）下图包括6个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使6个算式都成立．那么最右边的圆圈中的数最少是多少?
分析：仔细观察可以发现，最右边的数等于最左边三个数以及中间的数的和，当这四个数分别取1、3、6、2时可以不出现重复数字，而且和最小，等于1+2+3+6=12.
[拓展]在左下图的七个○中填入互不相同的自然数，要求所填的自然数中最小的是1，并且相邻两个○内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个○之间标出的数字.
分析：从某个○内的数开始，顺时针依次加或减两个○之间标出的数，最后回到这个○时，还要等于○内的数，所以加上的数之和与减去的数之和应相等.将1～7分为和相等的两组，有四种分法：
（1）1＋2＋4＋7＝3＋5＋6；
（2）1＋2＋5＋6＝3＋4＋7；
（3）1＋3＋4＋6＝2＋5＋7；
（4）1＋6＋7＝2＋3＋4＋5.
经试验，由（4）可得符合题意的两种填法：
数阵图问题千变万化，在下一讲中我们还将对数阵图中经典而又古老的形式——幻方进行深入一步的研究和了解.
1. （例2）请分别将1，2，4，6这4个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15．
分析：三个圆中数的和与15的差分别是3、5、7，只有1和其他三个数的和分别是3、5、7，所以中间数一定是1.
2. （例6） 把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等.
（1） （2） （3）
分析：知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和.本例是这两样什么都不知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和＝(15+重叠数)÷2.因为每条直线上的三数之和是整数，所以“15+重叠数”只能是偶数，重叠数只可能是1，3或5.
若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为 (15+1)÷2=8.填法见右上图（1）；
若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为 (15+3)÷2=9.填法见右上图（2）；
若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为 (15+5)÷2=10.填法见右上图（3）.
3. （例6）把1至6分别填入下图的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等．
分析：数阵中左右两个数与下边三个数的和相等，所以这5个数和是偶数，第一行最中间的数是奇数，确定中间的数后经过尝试可得解.
4. （例8）将1～7七个数字填入左下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等.
分析：设中心数为a，各条直线和各个圆周上的三数之和均为k.因为a属于三条直线公有，其余数各属于一条直线和一个圆周，于是得到2×（1+2+…+7）+a=5k，化简为a+56=5k.因为1≤a≤7，a+56又是5的倍数，所以a=4，k=12.填数方法见右上图.
5. （例12）将1～8八个数分别填入右上图的八个○内，使得图中的六个等式都成立.△代表几？
分析：如中间图所示，三个虚线框中的数字之和都与△相等，所以△＝（1＋2＋…＋8）÷3＝12.
填法如右上图.
古希腊有位伟大的哲学家叫做柏拉图，他在他的书中曾根据另一位大政治家梭伦的回忆录，记载了一个叫做大西岛的地方的传说.而这个故事又是梭伦在游历的时候，一些埃及的祭司告诉他的： 在比梭伦还要早9000年的时候，大西岛上有着非常发达的文明.但是，有一次，巨大的灾难降临了大西岛，这个岛连同它的全体居民突然沉到海里去了.据说，这个岛的面积是800000平方英里，而这比在古希腊所濒临的地中海整个的面积都要大，因此，柏拉图只有猜测，这个岛的位置在大西洋里，大西洋的名字最早就是这么来的. 可是，从柏拉图的时代开始，世世代代的人们不断地寻找，始终都没有找到这个神秘的“大西岛”.而在近代，根据地质考察表明：地中海里确实发生过这样一次火山爆发，也确实毁灭了一种文化.但是，这个事件发生在比梭伦那个时代早900年的时候，而不是9000年，不但如此，柏拉图在书里描述过的那个岛的面积，原来说是长3000斯达提亚(古希腊长度单位)，宽2000斯达提亚，面积折合约800000平方英里，但是如果把这个大小减成300x200，就正好和希腊的克里特岛上的一个平原相符了.原来，从梭伦到柏拉图，都犯了一个错误，他们读错了古埃及的数字，把位值提高了一位，把100读成了1000.其实，大西岛就是希腊南
部的克里特岛.
数学知识
练习六
专题展望
有座一长方形城堡，四周有10个掩体（如下图）.守城的士兵有10件武器，各种武器的威力系数如下表.为了使每一面武器威力系数都相同，并且尽量大，应如何在10个掩体中配备武器？
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教学目标
专题精讲
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