null附录Ⅰ： 张量的概念与坐标变换附录Ⅰ： 张量的概念与坐标变换张量张量是对矢量的一种描述：一个矢量如果能用30=1个分量描述则称为零阶张量，即标量。一个矢量如果能用31=3个分量描述则称为一阶张量，如速度、位移等；一个矢量如果能用32=9个分量描述则称为二阶张量，如应力、应变等。1.定义：
一些矢量的分量（如力）和坐标轴的选取有关，这种与坐标变换有关，满足坐标变换
公式
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的物理量称为张量。null 把 x, y , z 轴，记为x1, x2, x3, 矢量的三个坐标通常可简记为 xi（i=1，2，3）,各轴的基矢量记为e1,e2,e3,可简记为ei, 在此坐标系中的矢量v的分量记为v1, v2, v3, 可简记为vi, 应力分量记为可简记为σij.力 f在位移s上做功最后一个等式在符号∑ 下fi si有两个同样的指标i。 约定凡在一项中有一对相同的指标，就认为是对这一指标全程求和，求和符号略去不写：3. Einstein 求和约定2. 指标符号null 求和所得到的结果，不再含有这一指标，这一指标换为其它的指标也不会影响其结果，这一指标称为哑标。但重复次数超过两次则不再具有求和意义。 一项中有其它符号的指标，通常有泛指的意义，称为自由标。应特别强调以下几点：
(1)对于不只重复一次的指标，求和约定无效，如要
表
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示求和，仍需借助求和符。当自由指标恰好在同一项中重复出现一次时，为避免混淆，应声明对该指标不求和。 (2)哑标的有效范围仅限于本项。 (4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名，即把表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字，而不会影响它的含义。null将求导符号简记为梯度可记为则散度可记为3．求导数的简记方法微分算符简记为null记基矢的标积为 4. Kronecker 符号具有如下性质： 矢量的点积：一个矢量和另一个矢量的点积可以决定一个标量，也可以用指标符号标记null5.置换符号（1）矢量的叉积用置换符号两基矢量的混合积记为(ei×ej）·ek= eijk（2）行列式null（非和）null 设新坐标系的新坐标轴的基矢 e1‘ 、 e2’ 、e3‘对原基矢e1、e2和e3的变换矩阵为[lij]= l，矢量为一阶张量，矢量分量的坐标变换公式为
[vi’] = l [vi]变换式用指标符号记为 6.张量的坐标变换(1)矢量的坐标变换null(1)应力的坐标变换应力的坐标变换公式为null则坐标变换公式
[σi'j']=l [σij] lTnull 平面应力状态的主应力和主方向可按照材料力学的方法求得，空间应力状态可按照线性代数的方法。 应力分量根据切应力互等
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
，为对称张量。
当坐标系变化时，应力分量也发生变化，当坐标系转动到某些位置时，应力分量中切应力为零，仅有正应力不为零，这些正应力称为主应力。这时坐标系所指方向为主方向。从变换的角度来说，主应力是应力矩阵的特征值，主方向是特征向量的方向。
可参看Mathcad.
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