焊接机器人操作臂空间路径的数学建模

图 1 某一关节的几种 可能的路径曲线 焊接机器人操作臂空间路径的数学建模 颜伟 （四川交通职业技术学院 自动化工程系，成都 611130） 1 引 言 焊接机器人操作臂空间路径是指机器人操作臂在多 维空间中的期望运动轨迹，空间路径也是操作臂每个关 节点自由度、位置、速度和加速度的时间历程。空间路径 的计算包括如何通过人机交互来确定操作臂在空间的一 条轨迹或路径。焊接机器人操作臂控制系统的设计应该 便于用户通过简单的描述来指定机器人的期望运动，然 后由系统完成相关计算。例如，用户可能只需给定操作臂 的目标位姿，而由控制系统来确定到达目标的准确路径、 时间历程、速度曲线等。 在路径描述时，可以将操作臂的运动看作是工具坐 标系｛T｝相对于工作台坐标系｛S｝的姿态变化。路径描述 要定义出一系列中间点的位置坐标，即初始位置和最终 期望位置之间的一系列过渡点位置坐标，为了提高所描 述路径的平滑度，应该对这些中间点的空间和时间特性 给出相关约束条件。关节空间规划方法主要以关节角的 函数来描述路径（在空间和时间）的生成，在描述时可以 将关节点运动的描述与任何具体的机器人结构或末端执 行器相分离；由此得到的数学模型，可以运用于不同用途 的机器人操作臂运动分析和设计。 2 空间路径的三次多项式模型 空间路径的描述，一般 采用三次多项式来定义一定 时间段内操作臂从初始位置 移动到目标位置的中间点坐 标。根据逆运动学原理与方 法，可以定义不同目标位姿 时各个关节角的坐标。如图 1 所示，操作臂在 to时刻的坐标，即为该关节的初始位置坐 标；在 tf时刻的坐标，即为该关节的期望目标位置坐标。 图中光滑运动曲线可以用下式描述： θ（t）=a0+a1t+a2t2+a3t3 （1） 通过选择初始值和最终值可得到对函数值的两个约 束条件： θ（0）=θ0，θ（tf）＝θf （2） 保证关节速度函数连续性（即：在初始时刻 to和终止 时刻 tf的关节速度为零）的另外两个约束条件是： θ觶（0）=0，θ觶（tf）＝0 （3） 对应于该路径的关节速度和加速度是： θ觶（t）＝a1+2a2t+3a3t2，θ咬（t）＝2a2+6a3t （4） 把式（2）、（3）代入式（4）可得： θ0=a0，θf=a0+a1tf+a2t2f +a3t3f a1=0，a1+2a2tf +3a3t2f =0 （5） 解出方程中的系数，可以得到 a0=θ0，a1=0 a2= 3t2f （θf -θ0），a3= 2t3f （θf -θ0） （6） 操作臂关节需要连续经过每个中间点，这些中间点 可以被“转换”成一组期望的关节角，然后，用三次多项式 来定义这些关节角，将这些中间点平滑地连接起来。 这种情况下的约束条件变成： θ觶（0）=θ觶，θ觶（tf）＝θ觶 f （7） 描述这个一般三次多项式的四个方程为： θ0=a0，θf=a0+a1tf +a2t2f +a3t3f a1=θ觶 0，a1+2a2tf +3a3t2f =θ觶 f （8） 求解方程组中的系数可以得到： 摘 要：通过对焊接机器人操作臂关节自由度的位置、速度和加速度的时间历程计算，利用关节空间规划方法逆运动学 理论，将运动路径的中间点转换成一系列期望的关节角，推演出经过各中间点并终止于目标点的 n个关节的高阶多项 式函数，从而获得机器人操作臂在多维空间中所期望的运动模式，为机器人运动仿真和结构设计提供依据。 关键词：机器人操作臂；路径描述；高阶多项式 中图分类号：TP242 文献标识码：A 文章编号：1002－2333（2011）09－0079－03 Descriptions on Welding Robot Manipulator YAN Wei （Sichuan Vocational and Technical College of Communication，Chengdu 611130，China） Abstract： By commutating weld robot manipulators angular position，angular velocity as well as angular acceleration，the paper transfers via- points into a serious of joints angular，imputes out higher-order polynomials from via- points to end points based on inverse kinematics theory of joints space schemes. This study descript movement model on weld robot manipulators in multi-D space and provides a way for movement emulation and structure design. Key words： robots manipulator； descriptions of paths； high order polynomials 79机械工程师 2011年第 9期 θ（t） θf θ0 t0 tf t 制造业信息化 仿真 / 建模 /CAD/CAM/CAE/CAPP MANUFACTURING INFORMATIZATION a0=θ0，a1=θ觶 0 a2= 3t2f （θf -θ0）- 2tf θ觶 0-θ觶 f （9） a3=- 2t3f （θf -θ0）＋ 1t2f （θ觶 f＋θ觶 0） 应用式（9），可定义出三次多项式来描述关节点的起 始和终止位置、关节点的任何起始和终止速度。 3 空间路径的高阶多项式模型 在求解操作臂运动路径段起始点和终止点的位置、 速度和加速度时，可以采用高阶多项式数学模型： θ（t）=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5 （10） 其约束条件为: θ0=a0，θf=a0+a1tf+a2t2f +a3t3f +a4t4f +a5t5f， θ觶 0=a1，θ觶 f=a1+2a2tf +3a3t2f +4a4t3f +5a5t4f （11） θ咬 0=2a2，θ咬 f=2a2+6a3tf +12a4t2f +20a5t3f 这些约束条件确定了一个具有 6个方程和 6个未知 数的线性方程组，其解为： a0=θ0，a1=θ觶 0，a2=θ 咬 0 2 a3= 20θf -20θ0-（8θ 觶 f +12θ觶 0）tf -（3θ咬 0-θ咬 f）t2f 2t3f a4= 30θ0-30θf +（14θ 觶 f +16θ觶 0）tf +（3θ咬 0-2θ咬 f）t2f 2t4f a5= 12θf -12θ0-（6θ 觶 f +6θ觶 0）tf -（θ咬 0-θ咬 f）t2f 2t5f （12） 对于一条途经多个指定位置中间点的空间路径来 说，描述该空间路径的高阶多项式数学模型（五阶多项 式或其他函数），可用不同的算法来求解。具体求解时，可 以在每个路径点的两端增加一段抛物线拟合区域，以保 证生成一条位置和速度都连续的、平滑的空间运动轨迹。 在该段拟合区域内，若加速度恒定，则可平滑地改变运动 速度。 每个路径点两端增加的一段抛物线拟合区域若具有 相同的持续时间，则可在这两个拟合区段的中间点设定 符号相反、数值相同的加速度，所以有： θ咬 tb= θh-θbth-tb （13） 式中，θb是拟合段终点的角度值，而θ咬是拟合区段的 角加速度值，其中： θb＝θ0+ 12 θ 咬 t2b （14） 联立式（13）和式（14），且 t=2th，可以得到： θ咬 t2b-θ咬 ttb+（θf -θ0）＝0 （15） 在拟合区段使用的加速度约束条件为： θ咬≥4（θf -θ0）/t2 （16） 当上式的等号成立时，整个空间路径由两个抛物线 拟合区段组成；若加速度的取值越来越大，则拟合区段的 长度将随之越来越短。当加速度无穷大时，路径又回复到 简单的线性插值情况。 具有中间点的路径与 抛物线拟合的路径如图 3 所示。某个关节 θ在关节空 间的一组中间点之间使用 线性函数相连，而各中间点 附近使用抛物线拟合。 与单段路径的情形相 似，存在许多可能解，这取决于每个拟合区段的加速度 值。已知所有的路径点 θk、期望的时间间隔 tdjk以及每个路 径点处加速度的大小为|θ咬 k|，则可计算出拟合区段的时间 间隔 tk。对于那些内部的路径点，可直接使用下列公式计算： θ觶 jk= θk-θjtdjk ，θ咬 k=SGN（θ觶 kl-θ觶 jk）|θ咬 k| tk= θ 觶 kl-θ觶 jk θ咬 k ，tjk=tdjk- 12 tj- 1 2 tk 对于第一个路径段，令线性区段速度的两个速度表 达式相等来求解 t1： θ2-θ1 t12- 12 t1 ＝θ咬 1t1 （18） 由此可解出起始点处的拟合时间 t1，然后容易解出θ觶 12 和 t12： θ咬 1=SGN（θ2-θ1）|θ咬 1|，t1=td12- t 2d12- 2（θ2-θ1） θ咬 1姨 θ觶 12= θ2-θ1 td12- 12 t1 ，t12=td12-t1- 12 t2 （19） 同样，对于最后一个路径段（连接点 n-1到 n），有： θn-1-θn td（n-1）n- 12 tn ＝θ咬 ntn （20） 根据上式可求出： θ咬 n=SGN（θn-1-θn）|θ咬 n|，tn=td（n-1）n- t 2d（n-1）n- 2（θn-θn-1） θ咬 n姨 θ觶 （n-1）n= θn-θn-1 td（n-1）n- 12 tn ，t（n-1）n=td（n-1）n-tn- 12 tn-1 式（17）~（21）可用来求出多段轨迹中各个拟合区段 的时间和速度。 4 结 语 按照上述介绍的几种拟合方法描述的关节点空间路 径，其结果都是有关各个路径段的一组数据。这些数据被 路径生成器用来实时计算 θ、θ觶和θ咬并且将这些信息传送到 操作臂的控制系统，实现焊接机器人操作臂的空间路径 控制。 大多数机器人操作臂控制系统都具有关节空间和笛 卡儿空间的路径生成功能。但是使用笛卡儿空间路径存 在一定困难，所以一般都默认使用关节空间路径模型。本 文研究的焊接机器人操作臂空间路径的数学模型，为该 机械工程师 2011年第 9期80 图 2 多段带有拟合区段 的直线路径 θ θj tjk 斜率=θ觶 jk θk 斜率=θ觶 kl θt θi td12 tdjk t tk 仿真 / 建模 /CAD/CAM/CAE/CAPP 制造业信息化 MANUFACTURING INFORMATIZATION （17） （21） 类机器人的运动分析和设计提供了理论依据。 ［参考文献］ ［1］ 诸静.机器人与控制技术［M］.杭州：浙江大学出版社，1991. ［2］ 陈善本.智能化焊接机器人技术［M］.北京：机械工业出版社， 2006. ［3］ KAVRAKI L，et al. Probability Roadmaps for Path Planning in High-Dimensional Configuration Spaces［J］.IEEE Transaction on Robotics and Automation，1996，12（4）：566-580. ［4］ BARRAQU J， et al.A Random Sampling Scheme for Path Planning［J］.International Journal of Robotics Research，1997，16 （6）：759-774. ［5］ CRAIG J. Introduction to Robotics：Mechanics and Control［M］. New York：Pearson Education，Inc，2005. （编辑明 涛） 作者简介：颜伟（1957－），男，硕士学位，副教授，主要研究方向为机械 制造及其自动化、机器人应用技术。 收稿日期：2011-04-14 !!!!!!!!!! 基于 SolidWorks 2011 异型孔简化标注的设置方法 柳建锋 （宝鸡机床集团有限公司，陕西 宝鸡 721013） 1 引 言 我们在使用 SolidWorks 2011 软件绘制机械工程图 纸时，经常会遇到异型孔的标注，这些异型孔的标注非常 复杂，如果每个异型孔都要完全按照国家 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 标注，不仅 使整个工程图纸的图面显得杂乱，而且给设计者带来繁 重的重复性劳动。出于上述原因，各个企业在国家标准基 础上相继制定了适合本企业实际情况的异型孔的简化标 法，这样不仅简化了图面，而且提高了设计者的制图效 率。在 SolidWorks 2011软件中异型孔的标注方法有两种 命令，第一是智能尺寸标注，这种标注效率比较低，有时 需要设计者输入相关参数，容易出错。第二是异型孔孔标 注命令，所有数据全部一次标出，制图效率和准确度相对 较高，但是标注结果复杂。我们在使用 SolidWorks 2011 软件中异型孔标注命令时，为了能让软件输出适合自己 企业简化后的异型孔标注 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 ，使用以下设置方法可轻 松输出自己想要的结果。 2 SolidWorks 2011 中异型孔标注命令简化标注的设 置方法 由于 SolidWorks 2011 中异型孔的定义标准有很多 种，且异型孔也是多种 多样的，为了说明问 题，下面就以 ISO标准 为例，介绍常见的沉头 孔、埋头孔、螺纹孔、直 孔的简化标注。图 1所 示为没有简化前使用 SolidWorks 2011 中异 型孔标注命令标注上 述四种异型孔的结果。 从图 1中可以看到，沉头孔、埋头孔、直孔标注中出 现“完全贯穿”，而对我公司而言，简化标注为“通”，这时 通常需要我们手动将“完全贯穿”修改为“通”，每标注一 次就要修改一次，制图效率低；再来看螺纹孔的标注结 果，按照我公司的标准只需要标注 2×M12以及螺纹深度 即可，因为一般情况下螺纹孔的底孔尺寸和螺纹尺寸精 度等级都是执行国家标准中的默认值，所以在我公司可 以省略。如果按照上述标注格式，在异型孔的种类和数量 较多的情况下，显然设计者的重复性劳动将会变的非常 摘 要：机械工程图纸中异型孔的标注国家标准已给出相应的规范标注格式，但在实际生产中，各个企业为了简化图纸 的标注，将异型孔的标注在国家标准基础上制定了一些简化标注。文中着重介绍了笔者所在公司在基于 SolidWorks 2011软件制图中对常见孔简化标注的设置方法。 关键词：SolidWorks 2011软件；异型孔；标注格式；简化 中图分类号：TP391.7 文献标识码：A 文章编号：1002－2333（2011）09－0081－02 Simplified Marking for Drawing Irregular Holes Based on SolidWorks 2011 LIU Jian-feng （Bochi Machine Tool Group Co., Ltd., Baoji 721013, China） Abstract： A specification on how to mark or indicate irregular holes on engineering drawings in a standard format has been given in state standards. However in order to mark holes in an easy way all corporations have set a series of simplified standards on the basis of the state standards. This paper describes how to use the simplified methods during making engineering drawings in software SolidWorks 2011. Key words： software SolidWorks 2011; irregular holes; marking format; simplify 81机械工程师 2011年第 9期 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 图 1 正常使用 SolidWorks 2011异型孔标注命令时 输出的结果 2×准12完全贯穿2×准13.50完全贯穿 准20 12 2×准13.50完全贯穿 M12-6H 24 2×准10.20 32.75 准26.88×90° 制造业信息化 仿真 / 建模 /CAD/CAM/CAE/CAPP MANUFACTURING INFORMATIZATION