五角星

EduMath 21 (12/2005) 耐人尋味的圖案 —— 五角星 任景業 山東省茌平縣實驗中學 有一個傳說，畢達哥拉斯學派的一個門徒，在遊學的路上得了重病， 奄奄一息，眼看性命難保。好在一個好心人將他救到家中，餵湯餵藥，精 心照料。數天後，門徒身體痊愈，康健如初，打點行裝，要告別恩人上路 了，門徒想給恩人一點答謝，摸摸身上實在拿不出有價值的禮物。噢！有 了，學派剛剛發現了一個奇特的圖形，就用這個圖形做作為答謝的禮物吧。 於是，他畫了一個五角星，對恩人說：「您把這個圖形掛在門上，他會給您 帶來幸福和吉祥。」 那時的五角星還鮮為人知，門徒以五角星相贈，可見其彌足珍貴。 五角星給這家好心人帶來了怎樣的幸福和吉祥，我們不得而知，在上 古，人們崇拜五角星，賦予五角星種種神秘的色彩，把它用作祈求幸福的 魔法符號卻是事實。 圖 1：五角星，又稱五芒星 圖 2：大天使米達倫（Metatron）的封印上繪製的五角星 圖 2 是大天使米達倫（Metatron）的封印上繪製的五角星 [1]。 由於五角星可以一筆畫出，因此古人認為用它可以防止惡魔的侵犯。 其線條的五個交匯點被認為是可以封閉惡魔的「門」。於是，五芒星便用在 了天使的封印上。 97 數學教育第二十一期 (12/2005) 圖 3：五角星， 耐人尋味的圖案 A C B D E F G H J O R 歷史長河奔流不息，沖刷去人類多少記 憶，耐人尋味的是人們對五角星的崇拜依舊。 世界上許多國家的國旗上有五角星。在某網站 上我找到了《世界各國國旗觀賞》，數了數， 好傢伙，在 199 個國家的國旗中，帶有五角星 圖案的竟然有 54 個！[2] 一個普通的幾何圖案，為什麼受到如此高 的禮遇？ 我們不妨從數學的角度作一探討。 (1) 軸對稱性。它是一個軸對稱圖形。有五條對稱軸。 (2) 旋轉不變性。繞中心 O 旋轉 72°，所得的圖形與原圖形重合。 (3) 黃金分割點。構成五角星的五條線段兩兩相交得到的五個點，恰是原 五條線段的黃金分割點，均衡分佈的諸多黃金分割點，使其圖形勻稱、 和諧、美觀。 (4) 五角星的每一個角都是黃金三角形。如果一個等腰三角形的底角為 72°、頂角為 36°，這樣的三角形叫黃金三角形。作出兩個底角的平分 線，會得到兩個新的黃金三角形。如果按此程式繼續作下去，會得到 無數黃金三角形。由此，我們可以得到許許多多的五角星。 (1) (2) 圖 4：黃金三角形 98 EduMath 21 (12/2005) 當然，在圖 3 中，連結 CD，得到的三角形 ACD，三角形 GCD 也是黃 金三角形。 (5) 如圖 5，CG 的延長線與 AN 的交點 E，DF 的延長線與 AM 的交點 B， 以及點 A、點 C、點 D 又構成一個正五角星。 A B M F C D G N E 圖 5：自生的五角星 圖 6：巴西 FURNAS電力公司標誌 圖 6 是巴西FURNAS電力公司的標誌。有趣的是，作者用一大一小兩 顆星巧妙地重疊組合，自然地把高壓輸電塔與五角星 —— 這一光明的象 徵 —— 聯繫在一起，很好地 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 達了主題，形象逼真，簡潔明瞭，不用言 傳，即可會意。[3] 千百年來，全世界的男男女女，老老少少，平民百姓，達官賢貴，對 它的興趣不減。 圖 7 是從三星堆出土的太陽輪，距今已 有三千多年。太陽輪是標誌太陽的多輻輪， 對太陽的崇拜幾乎是全世界的人所共有的， 在印度半島古代的太陽輪常常是六輻，在以 色列是八輻或六輻。但是在三星堆出土的太 陽輪卻都是五輻 [4]。吳官正在三星堆見到太 陽輪後不禁發出這樣的感慨：「四分法容易， 五分法是很難的啊！」在三星堆，這個重要 的太陽崇拜標誌竟然都變成了五輻太陽輪！ 由此，更引來很多人的猜想：「5」在三星堆 人那裏是不是還有神聖的出處？這個數目字 是不是還有其他我們未知的涵義？ 圖 7： 三星堆出土的太陽輪 99 數學教育第二十一期 (12/2005) 19 世紀末，英國數學遊戲大師杜登尼寫了一本書，名叫《520 個趣味 數學難題》，其中有這樣一道題：「16 棵樹栽成 15 行，每行栽 4 棵，問如 何栽？」乍看此題似乎無解，其實不然，圖 8 給出了一個美麗的解答。 A' B ' C ' D ' E ' F G H I J A B C D E 圖 8： 英國數學遊戲大師杜登尼的栽樹法 圖 9：五點共圓 如果你隨手畫一個五角星（不一定是正五角星），再作出這個五角星的 五個角上的三角形的外接圓，這五個圓除了在五角星上的那五個交點外， 在五角星外面還有另外五個交點。有趣的是，不管五角星是什麼樣的，後 五個交點一定在同一個圓上。如圖 9，五角星的五個角的外接圓的交點A'、 B'、C '、D '、E ' 五點共圓。 這是中國科學院張景中院士的最新著作中的「五圓定理」，它引起了江 澤民總書記的濃厚興趣。2000 年 12 月 20 日是澳門回歸一周年紀念日，江 澤民主席參加澳門慶典時，把這道幾何題留給了濠江中學的師生。 如果是正五角星，也還算罷了，而偏偏你這五角星可以是任意的。一 時間，引起社會各界人士的濃厚興趣。加入到這道幾何題的求解行列之中 的，有正在刻苦攻讀的中學生，也有風華正茂的中青年教師，還有離退休 老工人、老幹部、老專家等。其中年齡最大的 69 歲，最小的只有 13 歲。[5] 下面是一種證法提示，要用到四點共圓的判定，四點共圓判定其實也 不難理解，我們知道，圓內接四邊形的對角互補。反過來，我們可以得到： 對角互補的四邊形內接於圓。這是一個真命題，可以用來判定四點共圓。 100 EduMath 21 (12/2005) A' B ' C ' D ' E ' F G H I J A B C D E α α α β β β 圖 10：五點共圓的證明 圖中相等的角分別用 α、β 表示，∠A'E 'D ' = α + β，∠A'B 'D ' = 180° − (α + β) (*)。所以，∠A'E 'D ' + ∠A'B 'D ' = 180°。所以，A'、B '、D '、E ' 四點 共圓。同理，可以得到A'、B '、C '、D ' 四點共圓。由此得，A'、B '、C '、 D '、E ' 五點共圓。 對五角星不僅人類如此厚愛，許多病毒也偏愛五角星（五邊形），2000 年 9 月 25 日中國家庭網訊：美國和瑞典科學家發現一種噬菌體 HK97 病毒 的頭由 72 個蛋白環構成，其中 12 個呈五邊形，60 個呈六邊形。 有生命的偏愛五邊形，沒生命的也來湊熱鬧。碳的基本形態，除了金 剛石和石墨外，還有另一種形態C60，它是由 60 個碳原子構成的分子，是 形如足球的多面體。這個多面體有 60 個頂點，以每個頂點為一端都有 3 條 (*) 編者按： 易證F、C、D '、I四點共圓及F、B '、C、I亦四點共圓。由此得F、B '、D '、 I四點共圓。 101 數學教育第二十一期 (12/2005) 棱，面的形狀只有五邊形和六邊形，如圖 11。 圖 11：C60結構模型 這一重大發現，使克羅托、柯爾和斯莫利三位科學家獲得了 1996 年的 諾貝爾化學獎。1997 年的全國高考化學試題第 36 題即以此為背景： 1996 年諾貝化學獎授予對發現C60有重大貢獻的三位科學 家。C60分子是形如球狀的多面體，該結構的建立基於以下考慮： (1) C60分子中每個碳原子只跟相鄰的 3個碳原子形成化學鍵； (2) C60分子只含有五邊形和六邊形； (3) 多面體的頂點數（V）、棱邊數（E）和面數（F）的關係，遵 循歐拉定理：V − E + F = 2。 據上所述，可推知C60分子有 12個五邊形和 20個六邊形。請 回答以下問題： C70分子也已製得，它的分子結構模型可以與C60同樣考慮而推 知。通過計算確定C70分子中五邊形和六邊形的數目。C70分子中所 含五邊形數為____________，六邊形數為_________。 這題可用初中的知識來解決： 解 設C70分子中五邊形數為x，六邊形數為y。依題意可得方程組： 2 1 (5x + 6y) = 21 (3 × 70) 及 70 − 21 (3 × 70) + (x + y) = 2 解得，五邊形數 x = 12，六邊形數 y = 25。 102 EduMath 21 (12/2005) 我們通常切蘋果，多是採用縱向的剖開方式，看到的果心是蝴蝶狀紋 路，有個孩子偏偏異想天開，橫向一切，果心處卻是五角星的形狀。自然 界也是如此的偏愛五角星！ 從古至今，人們探索宇宙的好奇心是如此的強烈，一代一代人為此傾 注畢生心血，雖然無法使這種好奇 心得 信息技术培训心得 下载关于七一讲话心得体会关于国企改革心得体会关于使用希沃白板的心得体会国培计划培训心得体会 到滿足，探尋其奧秘的腳步卻從沒 有停止過，不但沒有停止，人們的熱情反而愈來愈烈。最近有人又提出宇 宙模型與五邊形有關： 據 2003 年 10 月 9 日英國《自然》雜誌網路版介紹，美國紐約數學家 傑弗裏‧維克斯領導的研究小組提出：宇宙是有限的，外表是由 12 個五邊 形曲面構成龐加萊 12 面體，像個足球。圖 12 [6]。「宇宙到底是什麼樣的？」 這一問題已經爭論了幾千年，至今沒有定論。人們曾經提出過龜宇宙模型、 托勒密體系、黑洞理論、暴脹宇宙、弦理論 …… 等等，圖 13 [7]。如今又 有了與五邊形有關的足球宇宙模型。看來「宇宙到底是什麼樣的？」的問 題一時半時是解決不了的。 圖 12：威克斯提出的宇宙模型 龜宇宙 托勒密體系 黑洞理論 暴脹宇宙 圖 13：人們提出過各種各樣的宇宙模型 103 數學教育第二十一期 (12/2005) 五角星的知識大家已瞭解了許多，大家想不想自己也做一個五角星， 閒暇時慢慢尋味它的無窮奧秘呢？ 畫一個圓，把圓心角（圓）五等分，連接各分點即可得到正五邊形。 如圖 14。 圖 14 如果你手旁有兩邊平行的紙帶，按圖 15 也可以折一個五角星： 圖 15 五角星有如此多的文化內涵，自然也會吸引中考命題專家的青睞，下 面幾道中考題都直接或間接地與五角星有關，搜集於此，留給大家慢慢玩 味： 1. （南京市中考試題）如圖 16，圓內接正五邊形 ABCDE 中，對角線 AC 和 BD 相交於點 P，則 ∠APB 的度數是多少？ A. 36° B. 60° C. 72° D. 108° 2. （2003年哈爾濱中考試題）如圖 17，在 ΔABC 中，AB = AC，點 D 在 AC 邊上，且 BD = BC = AD，則 ∠A 的度數為多少？ A. 30° B. 36° C. 45° D. 70° 104 EduMath 21 (12/2005) A B C E P D A B C D A B C D E F 圖 16 圖 17 圖 18 3. （2003年天津中考試題）如圖 18，在 ΔABC 中，AB = AC，∠A = 36°， BD、CE 分別為 ∠ABC 與 ∠ACB 的角平分線，且相交於點 F，則圖中 的等腰三角形有多少個？ A. 6 個 B. 7 個 C. 8 個 D. 9 個 4. （2003年黔東南州考試題）如圖 19，我國國旗上的五角星的每一個頂 角（∠A、∠B、∠C、∠D、∠E）都相等，其度數是多少？ A C B E D A B C D E F G H I J 圖 19 圖 20 5. （2003年貴陽中考試題）如圖 20，五邊形 ABCDE 是正五邊形，曲線 EFGHIJ 叫做「正五邊形 ABCDE 的漸開線」，其中 ) FG、 ) GH 、 ) EF 、) HI 、 ) IJ 的圓心依次按 A、B、C、D、E 迴圈，它們依次相連接。如 果 AB = 1，那麼曲線 EFGHIJ 的長度為多少（結果保留以 π 表示）？ 105 數學教育第二十一期 (12/2005) 6. （2003年安徽省中考試題）圖 21 是五角星，已知 AC = a，求五角星 外接圓的直徑（結果用含三角函數的式子表示）。 A B E C D O 圖 21 參考答案 1. C 2. B 3. C 4. 36° 5. 6π 6. 連結 AO，並延長交☉O 於 F，連結 CF，則∠ACF＝90°。 Q A、B、C、D、E 是☉O 的五等分點， ∴ ∠CAD = 51 × 180° = 36°，∠CAF = 21 × ∠CAD = 18° 在直角 ΔACF 中，AC = a， ∴ AF = °=∠ 18coscos a CAF AC 主要參考資料 [1] http://www.globetown.net/~tblnwieio_vill/Library/Satanology/006.htm [2] http://88gg.com/001/gp/00gp.htm [3] 王汀、張力平（2001）。《成功 logo 暢想》。廣東人民出版社。 [4] http://www.bashu.net/travel/deyang/museum_sanxingdui.htm [5] http://www.pyedu.myetang.com/edu_club/math/py/py4-6.htm [6] http://www.dayoo.com/content/2003-10/10/content_1247381.htm [7] 史蒂芬‧霍金（2002）。《時間簡史》。湖南科學技術出版社。 聯絡地址：山東省茌平縣實驗中學（郵政編碼：252100） 106