高等数学I02-07级期末试卷

南京理工大学-紫霞湖畔BBS：www.zxhp.net 请注明出处 紫霞湖畔 2002级高等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 I 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 （A卷） 一．填空题（每小题2分，共26分） 1．设 ，则 = 。 2. 已知 , 则 = 。 3. 设 在[1, 3]上具有连续导数，则 ________。 5. 当 时，已知 和 是等价无穷小，则 =_____， 6、 (1 , 3 )为曲线 的拐点，则 =____，b=______。 7. 是函数 的_________间断点。 8. 已知 , 则 =___________. 9. 设 是由方程 所确定的隐函数，则 =_________. 12. 曲线 上曲率最大的点为__________________。 13. 极限 的结果为_________。. 二、计算题(每小题4分，共24分) 1. 2 3. 4 5. 6. 三、(6分)求 在 上的最大与最小值，并证明： 。 五、(6分)已知曲线 的参数方程 ，求 。 六、(6分)求由曲线 所围图形的面积。 七、(6分)设 ，证明： ，其中 满足不等式 。 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 一、1. 2. 3. 5. 6. 7. 跳跃 8. 9. 12. 13. 二、1 2 3. 4. 5. 6. 令 原式= 三、 ,得 ， ，又 EMBED Equation.3 ， 所以，最大值为 ,最小值 ，从而有 ，在[0,2]上积分得： 。 五、 ， . 六、交点： ，S= 。 七、由拉格朗日定理：设 ,则 ,其中 ， 解出 ， ,(因 ) 所以 单增， ， ，从而 2002级高等数学I试题（B卷） 1． 填空题（每小题3分，共30分） 1． 极限 = 2． 设 =___________________________ . 3． 的n阶麦克劳林展开式为(带皮亚诺型余项)____________________. 4. =______________ 7. =__________(p>0)。 8、当 为___________________时, 广义积分 收敛 。 9. 极限 的结果是_________。 10. 是函数 的_________间断点(请填:跳跃、可去、无穷、振荡之一)。 二、计算题: (每小题5分，共30分) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 已知 ，求 三、(6分)求由曲线 所围图形的面积。 四、(6分)求函数 的极值，并说明是极大值，还是极小值。 五、(7分)设 ，求 。 六、(7分)求证不等式： 。 八、(7分)设 在区间[0, 1]上可导，且满足关系式 ,证明在 内存在一点 EMBED Equation.3 使得 。 答案 一、1、 ; 2、 ; 3、 ; 4、 ; 7、1; 8、 ; 9、0; 10、跳跃 二、1、 2、 ; 3、 ; 4、 ; 5、令 ， ; 6、 三、交点为(0 ,0), (3, -3), S= 四、 ,令 ,得 不取极值, 取极小值, 取极大值 五、 , 六、令 ,即证 令 , 即证 八、令 ,由 ,得 ,使 从而 ,由Rolle定理, ,使得 ,即 2003级高等数学(I)试题（A卷） 图1 图2 图3 一．单项选择题（每小题2分，共12分） 1．当 时， 是_______. （A）无穷大量；（B）无穷小量；（C）无界量；（D）有界量，但不是无穷小量。 2． 在 上是 的原函数，则下列式子正确的是_______. （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 3．已知 ，则下列说法正确的是_______. （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 4．已知函数 在 的图形(如图1），则下列说法正确的是_______. （A） ， ； （B） ， （C） ， ； （D） ， 。 5．曲线 与x轴、 、 所围成的三部分为A、B、C（如图2），它们的面积分别为2、12、4，设 =M， =N，则下列说法正确的是_______. （A） 函数f(x)未知，M，N不可求； （B）M=18，N=6； （C）M=12，N=18； （D）M=6，N=18。 6. 是函数 的 。 （A）. 连续点；（B）. 可去间断点；（C)..跳跃间断点；（D）. 第二类间断点 二．填空题（每小题2分，共12分） 1．设 ，则 = ______ 。 2. 的n阶麦克劳林展开式为_______。 3. ________________。4. ___________。 5. 曲线y=sinx在点（ ，1）处的曲率=__________。 6.函数 在 上的最大值为__________。 三、求极限(每小题4分，共8分) 1. 2. 四、求导数 (每小题4分，共8分) 1． ； 2. . 五、求积分(每小题4分，共8分） 1． ；2. . 六、(8分)求函数 的极值。 七、(8分)设 ，计算积分 。 八、(10分)阿基米德（Archimedes,公元前287-212)很早就发现了螺线 （后人称之为阿基米德螺线）的一周与极轴所围成的图形面积S1和圆的面积S2（半径为 ）之间的关系（如图3），请你计算S1的大小以及图中螺线一周的弧长，并指出S1是S2的几分之几。 九、(6分)设函数 在 上具有连续导函数 ，且 ， 证明： ，其中 。 2003级高等数学（I、A）答案 一、B、C、C、C、D、C 二、1． ； 2. (Langrange余项也对）; 3. 1; 4. ; 5.1; 6. 8. 三、1． ； 2. . 四、1． ； 2. 五、1． ； 2. 令 , 原式= . 六、令 ，得驻点 ，极大值： ；极小值： 七、 ，原式= 。 八、 = 或 九、 ； ； 故 2003级高等数学(I)试题（B卷） 一．单项选择题（每小题2分，共10分） 1．当 时， 是_______. （A）无穷大量；（B）无穷小量；（C）无界量；（D）有界量，但不是无穷小量。 2． 在 上是 的原函数，则下列式子正确的是_______. （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 3．已知 , 且 ，则下列说法正确的是_______. （A） ；（B） ；（C）;（D） 很小 4．广义积分 =（ ） （A） ； （B） ； （C） ； （D）发散. 5. 是函数 的 。 A . 连续点； B. 可去间断点； C. 跳跃间断点； D. 第二类间断点 二．填空题（每小题2分，共14分） 1．设 ，则在x=3处的微分 ________。 2. _______。 3. 曲线y=cosx在点（ ，0）处的曲率=__________。 4. =_________。 5. 曲线 的水平渐近线为_____________。 6. EMBED Equation.3________________。 7．设 ，则 __________. 三、求极限(每小题4分，共8分) 1. 2. 四、求导数 (每小题4分，共8分) 1． ； 2. . 五、求积分(每小题4分，共8分） 1． ；2. . 六、(6分)已知 ，求 。 七、(6分)求证不等式： 。 八、（6分）求函数 的极值。 九、(8分)求由曲线 与 所围图形的面积。 十、(6分)设函数 在[0，1]上二阶可导，并且 ， ， 证明：在[0，1] 上必有 。 2003级高等数学（I、B）答案 一、B、C、C、C、B 二、1．5 ；2. 1; 3. 0; 4. ; 5. ; 6. ；7. 三、1．16； 2. . 四、1． ； 2. 五、1． ； 2. 令 , 原式= . 六、原式= 七、令 ， . 单增， ，得证。 八、令 ，得 ，定义域为： 极大值为： ；极小值为： 。 九、交点为 和 。 。 十、 ； 两式相减，得 EMBED Equation.3 2004级高等数学I试题（A卷） 一．单项选择题（每小题2分，共10分） 1． 在原点_______. 不连续； 连续，但不可导； 可导但导数不为零； 导数为零。 2 在 取得极小值，则_______. 以上都不正确。 3 是 的_______. 连续点； 可去间断点； 跳跃间断点； 第二类间断点。 4 设 在区间 上有定义，下列说法正确的是_______. 若 在 内连续，则 在 上可积； 若 在 上可积，则 在 上连续； 若 在 上恒大于零，则 在 上可积； 若 在 上可积，则 在 上有界。 5 对广义积分 ，下列说法正确的是_______. 当 时，收敛； 当 时，发散； 一定收敛； 当 时，收敛 二填空题（每小题3分，共15分） 1 函数 的微分是_______. 2 设 的拐点_______. 3 当 时， 和 是同阶无穷小，则 4 积分 5 设 是 在 上的最大值， 则极限 三 求极限（每小题5分，共10分） 1 已知 证明 存在，并且求此极限。 2 四 求导数（每小题5分，共10分） 1 已知 求 2已知 求 五 求积分（每小题5分，共10分） 1 2 六 （8分）设 EMBED Equation.3 ，把 展开成带 型余项的 阶麦克劳林 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ，并求 七 （8分）计算由曲线 和 轴所围平面区域的面积；并求此平面区域绕 轴旋转而得立体体积。 八 （5分）设 的导函数 在 上连续，证明： 九（4分）若 用极限定义证明 答案 一 二 1 2 3 4 4 5 三 1 注意到 ，假设 ，则 ，故数列 单调增加。 注意到 ，假设 ，则 由单调有界原理，数列 的极限存在。 2 四 1 2 五 1 2 六 七 面积 ；体积 2005级高等数学I试题（A卷） 一 填空题（每小题2分，共20分） 1 若 , 则 ____________。 2 的拐点为 ____________。 3 设 ， 为可微函数，则 ____________。 4 已知 ，当 时， 比 是________无穷小（填 高阶、低阶、同阶）。 5 极限 ＝_____________。 6 设 ，则 _________________。 7 心形线 弧长为 _______________（用积分 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出来即可）。 8 积分 ＝ __________________。 9 设 在 处的 阶Taylor公式是 ，则 当 时 系数 __________________。 10 已知 则极限 ＝______________。 二 计算（每小题6 分,共 12分） 1 已知 ，求极限 。 2 找出函数 的间断点，并且指出间断点的类型。 三 计算（每小题6 分,共 12分） 1 若 ， 求 。 2 若圆 与 均过（0，0）点，且在（0，0）点有相同的一阶和二阶导数，试确定此圆的方程。 四 计算（每小题6 分,共 12分） 1 求 的单调区间和极值。 2 曲线 与直线 在 处相切，其中 ，求 使得 ， ， 所围区域的面积最小。 五 计算（每小题6 分,共 12分） 1 。 2 已知 ，试用A 表示定积分 。 六 证明 （每小题6 分,共 12分） 1 若数列 ，证明 数列 极限存在。 2 设函数 在 上连续，在 内可导，且 ，试证明存在 使得 。 七 附加题（10分）本题目不记入总分，本题目分数仅供培优班选拔学生参考 下面证明中可直接用“若 存在，则 一定存在”这一事实。设 在 点附近有定义， 1 若 存在，则 。 2 若 和 都存在，则 。 3 举例说明 当 存在时， 可以不存在。 4 举例说明当 存在时， 可以不存在。 答案 一1 ； 2 ； 3 ； 4 同阶；5 ； 6 ；7 ； 8 ； 9 ； 10 。 二 1 解 2解 函数 的间断点是全体整数， ，所以 是跳跃间断点； ，所以 是可去间断点；其他间断点是第二类间断点。 三1 解 ； 2解 由于 在圆上，因此 ， 在（0，0）点有相同的一阶和二阶导数分别为 ， 圆的方程两边对x 求导得 于是圆的方程为 四1 ， ，因此 在 上单调下降， 因此 在 单调上升， 因此 EMBED Equation.DSMT4 上单调下降。 是极小值点，极小值为 0； 是极大值点，极大值为 2 设切点为 ，则切线的方程为 因此 时面积最小，最小值点为 五 1 2 分部积分可得 ＝ 六 1 证明 由于被积函数为正的连续函数，因此 单调增加，又 由单调有界必有极限原理，数列 极限存在。 2 证明 设 在 上最大值和最小值分别为 ，于是 由连续函数的性质，存在 使得 。 在 满足罗尔定理的条件，于是存在 使得 。 七1 证明 由于 存在，则 一定存在。令 ，则 2 证明 又若 都存在则 在 点右连续，于是 3 例如 ， 存在，但 不存在。 4 例如 ， 存在，但 不存 2005级高等数学I试题（B卷） 一 填空题（每小题3分，共30分） 1设 则 _____________ 2设函数 为可微函数， ，则 ____________。 3 函数 的拐点为_____________ 4 已知 ，当 时 比 是________无穷小（填 高阶、低阶、同阶）。 5 已知 ，则 ＝_____________。 6 积分 = _________________ 7 设 在 处的 阶Taylor公式是 ，则 __________________. 8 曲线 弧长为 ______________（用积分表示出来即可）。 9 广义积分 ＝__________________________。 10 已知 ，则极限 ＝______________。 二 计算 （每小题 7分，共 14 分） 1 求极限 。 2 找函数 的间断点，并且指出间断点的类型。 三 计算 （每小题 7分，共 14 分） 1 求 曲线 在 处的切线方程。 2 已知 确定隐函数 ，求 。 四 计算 （每小题 7分，共 14 分） 1 2 五计算（每小题 7分，共 14 分） 1 已知 函数 ，确定 使得 在 区间上满足Lagrange中值定理的条件。 2 求 的极值点和极值 六 计算或证明（每小题 7分，共 14 分） 1 求 曲线 所围平面区域的面积。 2 如果函数 在 内可导，且当 时， （M是常数），证明 答案 一 1 2 3 （0，0） 4 同阶 5 二 计算 1 2 为第二类间断点； 为跳跃间断点 三 1 2 四 1 2 五 1 2 为驻点； 为导数不存在的点。 时， ； 时， ， 故 在 取得极小值 时， ，故 在 不取极值。 六 1 该曲线的参数方程为 ，由对称性 注：06级本科 高等数学试题A卷 1． 填空题 （每题3分，共30分） 1． 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）。 2．当 时 与 是等价无穷小量，则 （ ）。 3．设 ，则 （ ）。 4． （ ）。 5．函数 单调增加区间是（ ）。 6．曲线 的斜渐近线为（ ）。 7． 是 的一个原函数， 。则 （ ）。 8．设 具有连续的二阶导数， ，则 （ ）。 9． （ ）。 10． （ ）。 二．计算题（每题6分，共36分） 1．求 2求 3．设 可微，且 ， ，试求 。 4．设函数 由下述参数方程确定 ，求 。 5．求积分 6 求积分 三．解答题（10分） 试讨论方程 的实根。 四．应用题（15分） 1．（8分）已知 是周期为5的连续函数，它在 的某邻域内满足关系式 － ，其中 是当 时比 高阶的无穷小，且 在 处可导，求曲线 在点 处的切线方程。 2．（7分）设曲线 与 轴的交点为P，过P点作该曲线的切线，求切线与该曲线及 轴围城的区域绕 轴旋转一周所成的旋转体体积。 五．证明题（9分） 设 在 上不恒为零，且其导数 连续，并且有 ，试证明存在 ，使 。 A卷答案 一填空题 1. 2. 3. 4. EMBED Equation.3 5. 6. 7. 8. 2 9. 10. 二．计算题 EMBED Equation.3 2． 3． 4． 5．令 ， ， 则 EMBED Equation.3 6． 三．解答题 解 令 ，则 ，由 得 当 ；当 。所以 是 在 的极大值点，且极大值 。因为 是 在 但唯一驻点，则极大值 是最大值。 （1） 若 时， 没有零点，即方程无根。 （2） 若 时， 有唯一零点，即方程有唯一的根。 （3） 若 时， ， 在 有唯一零点，即方程唯一的根； ， 在 有唯一零点，即方程唯一的根。这时方程有两个根。 四．1．由连续性，有 即 ，故 因此 又 即 也即 ，故 由函数的周期性， ，故所求切线方程为 2． 五．证明题 （1）当 时， 上任一点均可取做 。 （2）当 时，因为 在 上连续，所以 在 上连续。于是，存在 ，使得 。 又由题设有 从而 ， 。 EMBED Equation.3 又 ，且 ，故结论成立。 2006级高等数学试卷B 1． 填空题（每题3分，共30分）: 1．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）。 2．当 时，把以下的无穷小：（1） （2） （3） （4） 按 的低阶至高阶重新排列是（ ）（以编号表示）。 3．函数 的间断点为 （ ），它是（ ）间断点。 4．设 可导，且满足条件 ，则曲线 在 处的切线斜率为（ ）。 5．设 ，则 （ ）。 6．已知 在 内可导，且 ，又设 ，则 （ ）。 7．曲线 的斜渐近线为（ ）。 8．设 有一个原函数 ，则 （ ）。 9． （ ）。 10． （ ）。 二．计算题（每题6分，共36分）: 1．求极限 2．求极限 3．设 ， 存在， ，求 。 4．设函数 是由方程组 确定的，求 。 5．求积分 6．求积分 三．解答题（10分）: 讨论函数 在 内零点的个数。 四．应用题（15分）: 1．已知两曲线 与 在点 处的切线相同，写出此切线方程，并求极限 。 2．设有曲线 ，过原点作其切线，求由此曲线，切线及 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积。 五．证明题（9分）: 证明: 。 高等数学B试题答案 一．填空题 1. 2. (4),(1),(3),(2) 3. ,第一类间断点。 4.－2 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二．计算题 1．因为当 时， ～ ～ 。所以 2． 3．两边对x求导得 （1） 再将（1）式两边对x求导，得 故 将 代入，得 4． 5．令 ，则 EMBED Equation.3 6． ＝ 三．解答题 解：令 ， ， 在区间 单调减少，在区间 单调增加，在点 达到最小值 ，于是当时 ，方程 在 和 各有一个根，即 有两个零点。 四．应用题 1．由于两曲线在 处相切，故有 于是切线方程为 2．解：设切点为 ，则过原点的切线方程为 再把点 代入，解得 则切线方程为 故 五．证明：令 , , , , 求和得 . 2007级高等数学（I）试题（A） 一 填空 (每小题3分，共15分) 1． 当 时， 关于 是三阶无穷小 ，则 ____, ____。 2． 若曲线为 ，则曲线在 相应的点的切线方程为__________。 3． 设 ，则 _______。 4 .积分 _________。 5 .曲线 上相应于 从 到 的一段弧长为___________。 二选择填空(每小题2分，共10分) 1 .函数 的定义域是（ ）。 A、 ； B、 ； C、 ； D、 。 2．方程 在区间 内（ ）。 A、无实根； B、有唯一实根； C、有两个实根； D、有三个实根。 3. 已知函数 ，下面说法正确的是（ ）。 A、 和 都存在； B、 和 都不存在； C、 不存在，但 存在； D、 存在，但 不存在。 4. 定积分 作适当变换后应等于（ ）。 A、 ； B、 ； C、 ； D、 5. 若 是 上的可微函数，且 ，则 A、 2 ； B、 ； C、 1 ； D、 。 三 极限计算(每小题6分，共12分) 1 计算数列极限 。 2 计算 。 四 计算(每小题6分，共12分) 1 求由方程 所确定的函数 的二阶导数。 2 求 在区间 内间断点，并指出间断点的类型。 五 积分计算(每小题6分，共12分) 1 计算 。 2 用代换 求积分 。 六 (6分) 求由 和 轴所围区域绕 轴旋转一周的旋转体体积。 七 (6分) 相互垂直相交的两条河道宽分别为 米、 米，问能在两条河道中顺利行驶的船只最长不得超过多少米？ 八 (7分) 函数 在 上有二阶导数, 且 ， 曲线 与 在 内有一个交点, 证明存在 使得 。 2007级高等数学（I）试题（A）答案 一 填空 1． ； 2． ，3． ， 4 . 5 . 二选择填空 B D D A C 三 1 ＝ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 2 计算 ＝ EMBED Equation.DSMT4 四 1 解 方程两边对 求导得 ，而 ，于是 于是 2 解 当 时函数无定义，且 ，于是 是可去间断点当 时函数无定义，且 ，于是 是可去间断点当 时函数无定义，且 ，于是 是第二类间断点 五 1解 令 得 于是 2 解 令 得 于是 六 解 EMBED Equation.DSMT4 七 船的最大长度是l的最小值 令 得 当 取最小，求出最小值即可。船的最大长度为 八 证明 令 则 ，由已知存在 使得 于是由罗而定理存在 使得 再次使用罗而定理存在 使得 南京理工大学-紫霞湖畔BBS：www.zxhp.net 请注明出处 紫霞湖畔 � EMBED Visio.Drawing.5 ��� � EMBED Visio.Drawing.5 ��� 2πa ρ=aθ θ b a l PAGE 2 _1197822883.unknown _1229454221.unknown _1259751949.unknown _1259756932.unknown _1260602182.unknown _1260804903.unknown _1261163503.unknown _1261164153.unknown _1261164560.unknown _1261165881.unknown _1261166300.unknown _1261166424.unknown _1261166619.unknown _1261196572.unknown _1261166514.unknown _1261166362.unknown _1261166226.unknown _1261166277.unknown _1261165958.unknown _1261165250.unknown _1261165491.unknown _1261165567.unknown _1261165258.unknown _1261164726.unknown _1261164902.unknown 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