第4章 正弦交流电路

nullnull第4章 正弦交流电路4.2 正弦量的相量表示法4.3 电阻、电感和电容元件4.4 单一参数的交流电路4.6 复杂交流电路的计算4.7 交流电路的功率4.1 正弦交流电的基本概念4.8 电路中的谐振4.5 简单交流电路的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 null ti0正弦波一、学习本章的意义二、本章内容三、学习本章要注意的问题 正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分 所产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。概 述交流电路 的分类单相正弦交流电路（第三章）三相正弦交流电路（第四章）非正弦交流电路（第五章）交流电路与直流电路的最主要差别：具有相位差。交流电路的分析方法：用相量表示后，即可用直流电路 的分析方法。null4.1 正弦电压与电流 ti, u0正弦电流和电压 t I, U0直流电流和电压电路图上所标的方向均为电压、电流 的参考方向,即代表正半周时的方向。实际 方向 正弦量的三要素i = Imsin( t+i)null4.1.1 频率与周期T周期T：正弦量变化 一周所需要的时间i0= 2 f例：我国和大多数国家的电力 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 频率是 f = 50Hz， 试求其周期和角频率。解：  = 2 f =314 rad/s ( 弧度/秒 )null4.1.2 幅值与有效值 瞬时值 是交流电任一时刻的值。 用小写字母表示如: i, u, e分别表示电流、电压电动势的瞬时值。最大值是交流电的幅值。 用大写字母加下标表示, 如: Im, Um, Em有效值 交流电流通过一个电阻时在一个 周期内消耗的电能, 与某直流电流在同一 电阻、相同时间内消耗的电能相等, 这一直流电流的数值定义为交流电的有效值，用大写字母表示, 如: I、U、E。i0Imi = Imsin( t+i)Ri2dt = RI2Tnull ti0t = 0 时的相位角称为初相位角或初相位。4.1.3 初相位i = Imsin( t +)i = Imsin t 正弦量所取计时起点不同，其初始值(t=0)时的值及到达幅值或某一特定时刻的值就不同。i (0)= 0i (0) = Imsin t 和 ( t+) 称为正弦量的相位角或相位,它表明正弦量的进程。若所取计时时刻不同，则正弦量的初相位不同。null0 ti4.1.4 相位差u = Umsin( t +1) ui = Imsin( t +2)两个同频率正弦量的相位角 之差或是初相角之差，称为 相位差，用 表示。 = ( t +1) – ( t +2)= 1 –2u 和 i 的相位差当两个同频率的正弦量计时 起点改变时，它们的初相位 角改变，但相位差不变。iu21 图中1 >2u 超前 i,  角或称 i 滞后 u,  角i1i2i3i1与i3反相i1与i2同相null0t = t1, i(t1) = Imsin ( t1+) t1+ t1••A t1AA 有向线段长度是Im，t=0时，与横轴的夹角是，以 角速度逆时针方向旋转，它在虚轴上的投影，即为正弦电流的瞬时值4.2 正弦量的相量表示法1. 正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。•nullaA0bra = r cos b = r sin  cos  +jsin  =e j 由欧拉公式，得出：A= a + jb = r (cos +jsin) = r e j = r 代数式三角式指数式极坐标式复数在进行加减运算时应采用代数式， 实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。复数在进行乘除运算时应采用指数式或 极坐标式，模与模相乘除，幅角与幅角 相加减。2. 有向线段可用复数表示模幅角null = Ia + jIb = I (cos +jsin) = I e j = I最大 值相量有效 值相量0 = Ia m + jIbm = Im(cos + jsin) = Ime j = Im 相 量 图 相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电 是时间的函数，所以二者之间并不相等。3. 正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段 可用复数表示，所以正弦量可以用复数来表 示，称之为相量。用大写字母上打“•”表示。null454. 正弦量与相量的关系欧拉公式 e j=COS +jsin i = Imsin(t+)=Im [ Ime j e jt]=Im[ Ime j(t+)]取虚部例 1 写出有效值相量，作出相量图i = sin(t+45) Au = 7.07cos314 t V相量是正弦量的表示, 但不相等。 i  I  I结论.nulle1ue2+j120º30º+1e1 = 220sin(100t-120 ) Ve2 = 220sin(100t+120 ) V例 2 已知：电路如图求：u =？u = 380 sin(100t - 90 ) Vu = e1 - e2解：= 220-120 - 220120null若已知 i1= I1 msin( t+ i1)、 i2= I2 msin( t+ i2)， 求 i1 + i2解：（1）用相量图法求解i1i2 正弦电量（时间函数）正弦量运算所求正弦量变换相量 (复数)相量结果反变换相量运算 （复数运算)（2）用复数式求解null4.3 电阻元件、电感元件与电容元件电阻、电感与电容元件都是组成电路模型的理想元件。电阻元件：消耗电能电感元件：通过电流要产生磁场而储存磁场能量电容元件：加上电压要产生电场而储存电场能量耗能元件储能 元件 本节讨论不同参数的元件中电压与电流的一般 伏安关系及能量的转换问题。4.4.1 电阻元件Ri2dt = u i dtu = iR或null4.4.2 电感元件e 若感应电动势的参考方向与磁通 的参考方向符合右手螺旋定则，则当通过线圈的磁通发生变化时， 线圈中要产生感应电动势，其 大小等于磁通的变化率，即：单位： e —伏 (V) t — 秒 (S)  —韦伯(Wb)即其实际方向与参考方向相反。即其实际方向与参考方向相同。nulli =N =Li若电路的某一部分只具 有储存磁场能量的性质 称它为理想电感元件。若L为大于零的常数则称为线性电感N电感磁链4.4.2 电感元件线圈的电感与线圈的尺寸 匝数及介质的导磁性能等 有关。一密绕的长线圈S —横截面积(m2) l —长度 (m) N —匝数(匝)  —磁导率(H/m)符 号nullWL=瞬时功率电压电流关系P>0, L把电能转换为磁场能，吸收功率。P<0，L把磁场能转换为电能，放出功率。储存的磁场能在直流稳态时，电 感相当于短路。 L为储能元件 =L iu + e = 04.4.2 电感元件iLnulluCqq若电路的某一部分只具有 储存电场能量的性质时， 称它为理想电容元件。若C为大于零的常数, 则称为线性电容。4.4.3 电容元件电容器的电容与极板的尺寸 及其间介质的介电常数有关。S —极板面积(m2) d —板间距离 (m)  —介电常数(F/m)符 号nulliuC瞬时功率电压电流关系P >0，C把电能转换为电场能，吸收功率。P <0 ，C把电场能转换为电能，放出功率。储存的电场能在直流稳态时，I=0 电容隔直流。 C为储 能元件4.4.3 电容元件+–null 电压与电流同频率、同相位设 i = Imsin t 则 u = R i = R Imsin t = Umsin t 1.电压电流关系R 电压与电流大小关系 U=R Ii波形图 电压与电流相量表达式4.4 单一参数的交流电路ui+– u = R i相量图4.4.1 电阻元件的交流电路null 瞬时功率 i = Imsin t u = Umsin t 平均功率 P = I U = I2 R 4.4.1 电阻元件的交流电路2.功率Rui+–P = U Ip = u i =UI(1– cos2 t )转换成的热能W= P tnull 设 i = Imsin tXLXL=2 fLu = L Imcos t = Umsin( t + 90) Um= Im L XL =  L = 2 f L 感抗= Im XL1.电压电流关系iL电感线圈对高频电流的阻碍作 用很大，而对直流可视为短路。4.4.2 电感元件的交流电路第4章4.4 null1.电压电流关系 电压超前电流90  i = Imsin tu = Umsin( t+90)iL 电压与电流大小关系 U = I XL4.4.2 电感元件的交流电路i波形图相量图第4章4.4 nulli2.功率iLp = u i =UI sin2 t瞬时功率 i = Imsin tu= Umsin( t+90)u t0++––当u、i 同号时（i 增长）p>0 , 电感吸收功率； 当u、i 异号时（i 减小）p<0, 电感提供功率。 波形图第4章4.4 null2.功率iLp = u i =UI sin2 t瞬时功率i = Imsin tu = Umsin( t + 90)i0u++––平均功率 P =0无功功率电感与电源之间能量交换的规模 称为无功功率。其值为瞬时功 率的最大值，单位为(Var) 乏。Q =UI=XLI2 = 电感不消耗功率，它是储能元件。 波形图第4章4.4  tnullXC=1 / 2 fCi = C Umcos t = Imsin( t +90)容抗= Im XC设u = Umsin t1.电压电流关系iuC+–电容对高频电流的所呈现的容 抗很小，而对直流可视作开路。4.4.3 电容元件的交流电路第4章4.4 null u1.电压电流关系 电流超前电压 90  电压与电流大小关系 U = I XCi = Imsin( t + 90)u = Umsin tiuC+– 电压与电流相量式 = XC 4.4.3 电容元件的交流电路波形图相量图第4章4.4 null波形图2.功率p = u i =U I sin2 t瞬时功率 u = Umsin ti = Imsin( t+90)i t0++––当 u、i 同号时（u 增长）p>0 , 电容吸收功率； 当 u、i 异号时（u 减小）p<0, 电容提供功率。 iuC+–u第4章4.4 null2.功率p = u i =UI sin2 t瞬时功率平均功率 P =0无功功率电容与电源之间能量交换的规模 称为无功功率。其值为瞬时功 率的最大值，单位为(Var) 乏。Q =UI=XC I2 = 电容不消耗功率，它是储能元件。 iuC+– u = Umsin ti = Imsin( t+90)第4章4.4 i0u++––波形图 tnull4.4 单一参数的交流电路4.4.4 相量模型CuiuiRuiLu = iR第4章4.4 null4.5.1 克希荷夫定律的相量形式i1= I1 mSin( t+1)i2= I2 mSin( t+2)i3= I3 mSin( t+3)由KCL，对节点A i1 + i2 – i3 = 0节点A的电流 相量表达式为克希荷夫定律 相量形式 KCL注意4.5 简单交流电路的分析 KVL  I  0 ，即 第4章4.5 null 设 i = I msin tuRuLuc根据KVL1.电压电流关系iu+–+–+–+–u = uR + uL + uCuL = Im Lsin( t + 90) = ULm sin( t + 90) uR = uR msin t= UCm sin( t – 90)则u = uR + uL + uC = Um sin( t + ) 用相量图可求出Um 和 4.5.2 RLC串联交流电路第4章4.5 nulluRuLuC1.电压电流关系iu+–+–+–+–相量图阻抗模阻抗三角形 XL-- XCR阻抗角若 > 0，则电压超前电流，电路呈电感性。若 < 0，则电流超前电压，电路呈电容性。(1) 用相量图法分析电路第4章4.5 nullj LRX = XL – XC1.电压电流关系uRuLuCiu+–+–+–+–+–+–+–+–= |Z | 定义:阻抗其中(2) 用相量法分析电路单位: Z是复数运算量第4章4.5 null解： 1. 感抗XL=  L=314×127 ×10-3 = 40 = 50 复阻抗模uRuLuCiu+–+–+–+–复阻抗模第4章4.5 null第4章4.5 解：1. XL=40  XC= 80 2. =22045 V电压相量====4.498 A I =4.4 Ai =4.4 sin(314 t+98 )A电流有效值瞬时值I•j LR+–+–+–+–求：1. 感抗、容抗及复阻抗的模；2. 电流的有效值和 瞬时值表达式；3 .各元件两端电压瞬时值表达式。null第4章4.5 解：1. XL=40  XC= 80 2. = 22045 V电压相量====4.498 A I•j LR+–+–+–+–求：1. 感抗、容抗及复阻抗的模；2. 电流的有效值和 瞬时值表达式；3 .各元件两端电压瞬时值表达式。 = 45 – 98 = – 53 — 容性电路nullXC= 8 例2：电路如图, 已知 R=3 , 电源电压u =17 sin314 t V j XL = j 4 。求：1 .容抗为何值 (设容抗不等于零) ？ 开关S闭合前后, 电流的有效值不变, 其值等于多少？ 2. 当S打开时, 容抗为何值使电流 I最大, 其值为多少？I = 2.4A XL– XC  = XL第4章4.5 nullZ1Z2Z =Z1+ Z2若Z1= R1+jX1 Z2 = R2+jX2则Z = R1 + jX1 + R2+jX2 = (R1+ R2 )+ j(X1 + X2)一般1. 阻抗的串联U  U1 + U2+–4.5.3 阻抗的串联与并联第4章4.5 null2. 阻抗的并联Z1Z2+–一般I  I1 + I2定义:导纳单位: S第4章4.5 nullba653H0.5FZab例3 求电路的 Zab ，(设  = 2 rad/s)Zab = 6.2–10.2R=6.1C=0. 455F若  =1 rad/s  =5 rad/s Zab , R, C =？= 6.1–j1.098 第4章4.5 nullj4Z1321-j7Z2I1求： I1， I2并画出相量图解： I2 = 10180 A = 10 A例4:由KCL第4章4.5 nulljXLRIUULI1I2-jXCU1•••••例5 （习题3-20） 设 I1=I2=10A,U=100V，求：I, R, XC , XL解：用相量图法 第4章4.5 •null解：Z1 = R∥(R－ jXC )= 6.325－18.4 = 6－ j2= 0.47245 V= 0.33390 V第4章4.6 null 和计算复杂直流电路一样，复杂交流电路也可 以用支路电流法、节点电位法、叠加原理和戴维南 定理等方法来分析和计算。 所不同的是电量 U、I、E、IS 应以相量表示， 元件 R、L、C 应以阻抗或导纳来表示。4.6 复杂交流电路的分析直流电路和交流电路的对应关系为直流电路： U I E IS R第4章4.6 null例7：求Va，I=？..a2-j12-+j20V100AE1.1解：利用：1. 电压源与电流源的 等效变换2. 弥尔曼定理100VR1R2第4章4.6 null= 6.7-64.4 A解：2. 弥尔曼定理= 1054.1 V100V1a22-+j20VE1.-j1-+E2.R1R2第4章4.6 nullu = Usinti = I sin(t –  )u、i 同号，p > 0，网络吸收电功率u、i 异号，p < 0，网络放出电功率uip4.6 交流电路的功率4.6.1 瞬时功率p = u i =UIcos - UIcos (2t – )一个周期内，p  0的面积大于p  0的面积。表明平均功率不为0。网络内部有电阻（耗能）元件。u第4章4.6 iunulliup4.6.2 有功功率、无功功率和视在功率一、有功功率、无功功率p = ui =UIcos  - UIcos (2 t -  ) = UIcos  P第4章4.6 null4.6.2 有功功率、无功功率和视在功率二、视在功率无功功率 Q =UIsin  视在功率 S =UI S2 = P2 + Q2第4章4.6 iunullSQ阻 抗 三 角 形电 压 三 角 形功 率 三 角 形功率、电压、阻抗 三角形PX = XL – XCQ = QL – QC 在三个相似三角 形中，只有电压 三角形为相量。第4章4.6 null功率因数低引起的问题功率因数1. 电源设备的容量将不能充分利用2. 增加输电线路和发电机绕组的功率损耗在P、U一定的情况下， cos 越低， I 越大损耗越大。情况下，cos 越低，P越小，设备得不到充分利用。4.7 功率因数的提高P=UI cos P = r I2电压与电流的相位差角 (功率因数角)在电源设备UN、IN一定的第4章4.7 null提高功率因数的方法已知感性负载的功率及 功率因数cos  1 若要求把电路功率因数 提高到cos ，则应并联 电容C为+–uiiRL1P =UIRLcos 1=UIcos IC = IRLsin 1 –Isin 第4章4.7 null解：1. 发电机提供的电流 I1发电机额定电流 IN发电机提供的电流 I1超过了IN，不允许。例：某小水电站有一台额定容量为10kVA的发电机， 额定电压为220V，额定频率 f = 50Hz，今接一感性负 载，其功率为8kW，功率因数cos 1 = 0.6，试问： 1. 发电机的电流是否超过额定值？ 2. 若要把功率因数提高到 0.95，需并多大的电容器？ 3. 并联电容后，发电机的电流是多大？第4章4.7 null解：2. cos 1=0.6 1= 54.6o tg 1 =1.33 cos  = 0.95  =18.2o tg =0.329 4. 并联电容C后，发电机的电流 I例：某小水电站有一台额定容量为10 kVA的发电机， 额定电压为220V，额定频率 f =50HZ，今接一感性负 载,其功率为8 kW，功率因数 cos1 = 0.6，试问： 2. 若要把功率因数提高到0.95，需并多大的电容器？ 3. 并联电容后，发电机的电流是多大？第4章4.7 null4.8 电路中的谐振 响应与频率的关系称为电路的频率特性或频率响应。电压和电流都是时间的函数，也是频率的函数， 谐振是一种很重要的物理现象, 只有在交流激励时 才可能发生。在无线电技术中有着非常广泛的应用。 谐振分为串联谐振和并联谐振两类。 本节主要分析谐振条件和谐振特征。电路的阻抗也是频率的函数 Z = Z( ) 。在时间领域内对电路进行分析，称为时域分析， 在频率领域内对电路进行分析，称为频域分析。第4章4.8 null 在具有电感和电容的串联交流电路中，若调节 电路的参数(L或C)或电源的频率，使电压与电流同 相，则称电路发生串联谐振现象。4.8.1 串联谐振串联谐振条件由阻抗 Z = R + jX = R + j (XL– XC）当 Z = R 即 XL= XC — 电路谐振串联谐振频率或    u –  i  0 — u与 i 同相第4章4.8 null4.8.1 串联谐振串联谐振电路的特征I0R L(1) 阻抗模最小,为 |Z| = R。电路电流最大, 为I0 =U / R。当XL=XC>R时，电路中将出 现分电压大于总电压的现象 — 称为过电压现象。(2)电路呈电阻性,电源供给电 路的能量全部被电阻消耗掉， 没有能量转换。f0f0(当电路电压有效值U =常数 )第4章4.8 null串联谐振曲线f0I01I02容性感性R2R1R2> R1（1）串联谐振电路的 品质因数Q, 定义：I00.707I0f0f2f1通频带 f2– f14.8.1 串联谐振（2）通频带定义：Δf = f2 – f1（3）Q与Δf 的关系：表明电路 的选择性第4章4.8 null1. 如果天线上接收的信号有三个，其频率分别为： f1= 820×103 Hz、f2= 620×103 Hz、f3=1200×103 Hz。 要收到 f1 = 820×103 Hz信号节目, 电容器的电容C应 调节到多大？对 f1发生谐振时，在L2中产生的三个信号电流各是多少毫安？对频率为 f1的信号在电感L2上产生的电压是多少伏？2.如果接收的三个信号幅值 均为10V, 在电容调变到例：图示电路中, 电感L2=250H, 其导线电阻 R=20。第4章4.8 null例：下图电路中，电感L2=250H，其导线电阻R=20。解：1.C = 150 pF要收听频率为f1信号的节目应该使谐振电路 对f1发生谐振，即2.当C=150 pF， L2=250H时， L2 —C 电路对三种信号 的电抗值不同，如下表所示第4章4.8 nullUL=(XL/R)U = 645 V 其它频率在电感上的电压 不到 30 V, 而对 f1 信号则 放大了64.5 倍 !C = 150 pF， L2=250H第4章4.8 null4.8.2 并联谐振电感线圈和电容器并联谐振电路由于 L >> R，所以由此可得并联谐振频率或LRC+–uii1iC第4章4.8 null并联谐振电路特征(1) 阻抗模为(2) 电路呈电阻性。(3)支路电流可能会大于总电流。4.8.2 并联谐振比非谐振情况下阻抗要大， 电流 I 为最小值。Rf0I所以并联谐振又称为电流谐振。Q值越大，谐振时阻抗模越大，选择性也就越强。品质因数第4章4.8 null4.8.4.带通滤波电路RCCRU1(j )U2(j )+–+–=第4章4.8 nullRCCRU1(j )U2(j )+–+–式中4.8.4.带通滤波电路第4章4.8 null = 0o=32 +( )2100 0 ( ) = – arctg3 0第4章4.8