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离心率材料(1)椭圆离心率的解法.doc

离心率材料(1)椭圆离心率的解法

陸仴雪飛
2011-12-09 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《离心率材料(1)椭圆离心率的解法doc》,可适用于高中教育领域

离心率材料()椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中对于离心率和离心率的取值范围的处理同学们没有方向性。题型变化很多难以驾驭。以下总结一些处理问题的常规思路以帮助同学们理解和解决问题。、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目:如图O为椭圆的中心F为焦点A为顶点准线L交OA于BP、Q在椭圆上PD⊥L于DQF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e则①e=EQf(|PF|,|PD|)②e=EQf(|QF|,|BF|)③e=EQf(|AO|,|BO|)④e=EQf(|AF|,|BA|)⑤e=EQf(|FO|,|AO|)评:AQP为椭圆上的点根据椭圆的第二定义得①②④。∵|AO|=a,|OF|=c,∴有⑤∵|AO|=a,|BO|=EQf(a,c)∴有③。题目:椭圆EQf(x,a)EQf(y,b)=(a>b>)的两焦点为F、F以FF为边作正三角形若椭圆恰好平分正三角形的两边则椭圆的离心率e?思路:A点在椭圆外找a、b、c的关系应借助椭圆所以取AF的中点B连接BF,把已知条件放在椭圆内构造△FBF分析三角形的各边长及关系。解:∵|FF|=c|BF|=c|BF|=EQr(,)ccEQr(,)c=a∴e=EQf(c,a)=EQr(,)变形:椭圆EQf(x,a)EQf(y,b)=(a>b>)的两焦点为F、F点P在椭圆上使△OPF为正三角形求椭圆离心率?解:连接PF,则|OF|=|OF|=|OP|,∠FPF=°图形如上图e=EQr(,)变形:椭圆EQf(x,a)EQf(y,b)=(a>b>)的两焦点为F、FAB为椭圆的顶点P是椭圆上一点且PF⊥X轴PF∥AB,求椭圆离心率?解:∵|PF|=EQf(,)EQf(b,a)|FF|=c|OB|=b|OA|=aPF∥AB∴EQf(|PF|,|FF|)=EQf(b,a)又∵b=EQr(,ac)∴a=ce=EQr(,)EQf(,)点评:以上题目构造焦点三角形通过各边的几何意义及关系推导有关a与c的方程式推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目:椭圆EQf(x,a)EQf(y,b)=(a>b>)A是左顶点F是右焦点B是短轴的一个顶点∠ABF=求e解:|AO|=a|OF|=c|BF|=a|AB|=EQr(,ab)aba=(ac)=aaccacac=两边同除以aee=e=EQr(,)EQf(,)e=EQr(,)EQf(,)(舍去)变形:椭圆EQf(x,a)EQf(y,b)=(a>b>)e=EQr(,)EQf(,),A是左顶点F是右焦点B是短轴的一个顶点求∠ABF?点评:此题是上一题的条件与结论的互换解题中分析各边由余弦定理解决角的问题。答案:°引申:此类e=EQr(,)EQf(,)的椭圆为优美椭圆。性质:、∠ABF=°、假设下端点为B,则ABFB四点共圆。、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结:焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义找各边的表示结合解斜三角形公式列出有关e的方程式。题目:椭圆EQf(x,a)EQf(y,b)=(a>b>)过左焦点F且倾斜角为°的直线交椭圆与AB两点若|FA|=|BF|,求e解:设|BF|=m则|AF|=aam|BF|=am在△AFF及△BFF中由余弦定理得:ADVANCEuEQBlc{(aal(a–c=m(ac),(ac)=m(ac),))两式相除EQf(:ac,ac)=e=EQf(,)题目:椭圆EQf(x,a)EQf(y,b)=(a>b>)的两焦点为F(c)、F(c,)P是以|FF|为直径的圆与椭圆的一个交点且∠PFF=∠PFF,求e分析:此题有角的值可以考虑正弦定理的应用。解:由正弦定理:EQf(|FF|,sinFPF)=EQf(|FP|,sinFFP)=EQf(|PF|,sinPFF)根据和比性质:EQf(|FF|,sinFPF)=EQf(|FP||PF|,sinFFPsinPFF)变形得:EQf(|FF|,|PF||FP|)=EQf(sinFPF,sinFFPsinPFF)==EQf(c,a)=e∠PFF=°∠PFF=°e=EQf(sin°,sin°sin°)=EQr(,)EQf(,)点评:在焦点三角形中使用第一定义和正弦定理可知e=EQf(sinFPF,sinFFPsinPFF)变形:椭圆EQf(x,a)EQf(y,b)=(a>b>)的两焦点为F(c)、F(c,)P是椭圆上一点且∠FPF=°求e的取值范围?分析:上题公式直接应用。解:设∠FFP=α则∠FFP=°αe=EQf(sinFPF,sinFFPsinPFF)=EQf(sin°,sinαsin(°α))=EQf(,sin(α°))≥EQf(,)∴EQf(,)≤e<变形:已知椭圆EQf(x,)EQf(y,t)=(t>)FF为椭圆两焦点M为椭圆上任意一点(M不与长轴两端点重合)设∠PFF=α,∠PFF=β若EQf(,)<tanEQf(α,)<tanEQf(β,)<EQf(,),求e的取值范围?分析:运用三角函数的公式把正弦化正切。解根据上题结论e=EQf(sinFPF,sinFFPsinPFF)=EQf(sin(αβ),sinαsinβ)=EQf(αβ,)EQf(sincosEQf(αβ,),sinEQf(αβ,)cosEQf(αβ,))=EQf(α,)EQf(coscosEQf(β,)sinEQf(α,)sinEQf(β,),cosEQf(α,)cosEQf(β,)sinEQf(α,)sinEQf(β,))=EQf(α,)EQf(tantanEQf(β,),tanEQf(α,)tanEQf(β,))=e∵EQf(,)<EQf(e,e)<EQf(,)∴EQf(,)<e<EQf(,)、以直线与椭圆的位置关系为背景用设而不求的方法找e所符合的关系式题目:椭圆EQf(x,a)EQf(y,b)=(a>b>)斜率为且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点EQo(sup(→),sdoup(OA))EQo(sup(→),sdoup(OB))与EQo(sup(→),sdoup(a))=(,)共线求e法一:设A(x,y),B(x,y)EQBlc{(aal(bxay=ab,y=xc,))(ab)xacxacab=xx=EQf(ac,ab)yy=EQf(ac,ab)c=EQf(bc,ab)EQo(sup(→),sdoup(OA))EQo(sup(→),sdoup(OB))=(xx,yy)与()共线则(xx)=(yy)即a=be=EQr(,)EQf(,)法二:设AB的中点N则EQo(sup(→),sdoup(ON))=EQo(sup(→),sdoup(OA))EQo(sup(→),sdoup(OB))EQf(x,a)EQBlc{(aal(EQf(y,b)=①,,EQf(x,a)EQf(y,b)=②,))①②得:EQf(yy,xx)=EQf(b,a)EQf(xx,yy)∴=EQf(b,a)()即a=be=EQr(,)EQf(,)、由图形中暗含的不等关系求离心率的取值范围。题目:椭圆EQf(x,a)EQf(y,b)=(a>b>)的两焦点为F(c)、F(c,)满足EQo(sup(→),sdoup(MF))·EQo(sup(→),sdoup(MF))=的点M总在椭圆内部则e的取值范围?分析:∵EQo(sup(→),sdoup(MF))·EQo(sup(→),sdoup(MF))=∴以FF为直径作圆M在圆O上与椭圆没有交点。解:∴c<ba=bc>c∴<e<EQr(,)EQf(,)题目:椭圆EQf(x,a)EQf(y,b)=(a>b>)的两焦点为F(c)、F(c,)P为右准线L上一点FP的垂直平分线恰过F点求e的取值范围?分析:思路,如图FP与FM垂直根据向量垂直找a、b、c的不等关系。思路:根据图形中的边长之间的不等关系求e解法一:F(c)F(c,)P(EQf(a,c),y)M(EQf(a,c)EQf(c,),EQf(y,))即(EQf(b,c),EQf(y,))则EQo(sup(→),sdoup(PF))=(EQf(a,c)c,y)EQo(sup(→),sdoup(MF))=(EQf(b,c)c,EQf(y,))EQo(sup(→),sdoup(PF))·EQo(sup(→),sdoup(MF))=(EQf(a,c)c,y)·(EQf(b,c)c,EQf(y,))=(EQf(a,c)c)·(EQf(b,c)c)EQf(y,)=ac≤∴EQr(,)EQf(,)≤e<解法:|FF|=|PF|=c|PF|≥EQf(a,c)c则c≥EQf(a,c)cc≥EQf(a,c)c≥a则EQr(,)EQf(,)≤e<总结:对比两种方法不难看出法一具有代表性可谓通法而法二是运用了垂直平分线的几何性质巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现对于它的应用方法值得大家注意。离心率为高考的频考点多以选择题或解答题的第一问形式出现望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。DBFOBBBAPQBAFFOOOOOOOOOOOOOOOOOOOPFFFFBAFFPOFBAOB(X,Y)A(X,Y)OFMFOMPFFOPAGEunknown

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