1
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材料力学习题详细解答
教师用书
(第 4 章)
2006-01-18
范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室
FAN Qin-Shan’s Education & Teaching Studio
2
习题 4-1 习题 4-2
习题 4-3 习题 4-4
习题 4-5 习题 4-6
习题 4-7 习题 4-8
习题 4-9
3
材料力学习题详细解答之四
第 4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
4-1 扭转剪应力公式 p/)( IM xρρτ = 的应用范围有以下几种,试判断哪一种是正确
的。
(A)等截面圆轴,弹性范围内加载;
(B)等截面圆轴;
(C)等截面圆轴与椭圆轴;
(D)等截面圆轴与椭圆轴,弹性范围内加载。
解:推导公式 p)( IM x ρρτ = 时利用了等截面圆轴受扭后,其横截面保持平面的假定,
同时推导过程中还应用了剪切胡克定律,要求在线弹性范围加载。所以正确
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
是(A) 。
4-2 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后,轴表面上母线转过相同
的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大剪应力分别为 max1τ 和 max2τ ,剪切弹
性模量分别为 G1 和 G2。试判断下列结论的正确性。
(A) max1τ > max2τ ;
(B) max1τ < max2τ ;
(C)若 G1>G2,则有 max1τ > max2τ ;
(D)若 G1>G2,则有 max1τ < max2τ 。
解:因两圆轴等长,轴表面上母线转过相同角度,指切应变相同,即 γγγ == 21 由剪切
胡克定律 γτ G= 知 21 GG > 时, max2max1 ττ > 。因此,正确答案是(C)。
4-3 承受相同扭矩且长度相等的直径为 d1 的实心圆轴与内、外径分别为 d2、
)/( 222 DdD =α 的空心圆轴,二者横截面上的最大剪应力相等。关于二者重之比(W1/W2)有
如下结论,试判断哪一种是正确的。
(A) 234 )1( α− ;
(B) )1()1( 2234 αα −− ;
(C) )1)(1( 24 αα −− ;
(D) )1/()1( 2324 αα −− 。
解:由 max2max1 ττ = 得
)1(π
16
π
16
43
2
3
1 α−
=
D
M
d
M xx
即
3
1
4
2
1 )1( α−=
D
d
(a)
二者重量之比
( )222
2
1
2
1
2
1
1 α−== D
d
A
A
W
W
(b)
(a)代入(b),得
4
2
3
24
2
1
1
)1(
α
α
−
−=
W
W
所以,正确答案是(D)。
4-4 变截面轴受力如图所示,图中尺寸单位为 mm。若已知 Me1=1765 N·m,Me2
=1171 N·m,材料的切变模量 G=80.4 GPa,求:
1.轴内最大剪应力,并指出其作用位置;
2.轴内最大相对扭转角 maxϕ 。
解:1、确定最大剪应力
AB 段:
( ) ( )
e1 e2
max 3 3-3
1P
1765 1171 2936 N m
2936 43 6 MPa
π π 70 10
16 16
.
xAB
xAB xAB
AB
M M M
M MAB
dW
τ
= + = + = ⋅
= = = =
× ×
BC 段:
( ) ( )
e2
max 3 33
2P2
1171 N m
1171 47 7 MPa
π π 50 10
16 16
xBC
xBC xBC
M M
M MBC
dW
τ
−
= = ⋅
= = = = ⋅
× ×
2、确定轴内最大相对扭转角 maxϕ
( ) ( )
max
1 2
P1 P2
3 3
4 49 -3 9 -3
2 2 2
2936 700 10 32 1171 500 10 32
80 4 10 π 70 10 80 4 10 π 50 10
1 084 10 1 187 10 2 271 10 rad
AB BC
xAB xBCM l M l
GI GI
ϕ ϕ ϕ
− −
− − −
= +
= +
× × × × × ×= +
× × × × × × × ×
= × + × = ×
. .
. . .
习题 4-4 图
5
习题 4-5 图
4-5 图示实心圆轴承受外加扭力矩 T,已知 T = 3kN·m。试求:
1.轴横截面上的最大剪应力;
2.轴横截面上半径 r = 15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比;
3.去掉 r = 15mm 以内部分,横截面上的最大剪应力增加的百分比。
解:
1、轴横截面上的最大剪应力
MPa770
060π
16103
16
π 3
3
3
PP
max1 ..
=×
××====
d
T
W
T
W
M xτ
2、轴横截面上半径 r = 15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比
4
π2
dπ2d
4
pp01
r
I
M
I
MAM xx
r
A
r ⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫ ρρρρτρ
%25.6
16
1)
60
15(1616
32
π4
π2
4
π2 4
4
4
4
4
p
4
==×==
⋅
==
d
r
d
r
I
r
M
M
x
r
3、去掉 r = 15mm以内部分,横截面上的最大剪应力增加的百分比
75.4MPa
2
11
16
π 43p
2 =
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
==
d
T
W
M x
maxτ
%67.6
15
1
)
2
1(1
)
2
1(
1 4
4
4
4
max1
max1max2 ==
−
=−=
−=∆ α
α
τ
ττ
τ
τ
4-6 同轴线的芯轴 AB 与轴套 CD,在 D 处二者无接触,而在 C 处焊成一体。轴的 A
端承受扭转力偶作用,如图所示。已知轴直径 d=66 mm,轴套外直径 D=80 mm,厚度δ =
6 mm;材料的许用剪应力 [ ]τ =60 MPa。求:结构所能承受的最大外力偶矩。
6
习题 4-7 图
习题 4-6 图
解:1、轴的强度计算
6
3
1
1p
max 1060
16
π
×≤==
d
T
W
M x
轴τ
mN338710
16
66π1060 9
3
6
1 ⋅=××××≤ −T
2、轴套的强度计算
62
max 3
4p2
60 10
π 681 ( )
16 80
xM T
DW
τ = = ≤ ×⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
套
mN2883
20
17110
16
80π1060
4
9
3
6
2 ⋅=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−××××≤ −T
3、结论
mkN2.883mN28832max ⋅=⋅=≤ TT
4-7 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为 D、壁厚均为δ ,横截面上的扭
矩均为 T = Mx。试:
1.证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力
7
习题 4-7 解图
2max π
2
D
M x
δτ ≈
2.证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力
D
M x
π
3
2max δτ ≈
3.画出两种情形下,剪应力沿壁厚方向的分布。
解:1.证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力
由于是薄壁,所以圆环横截面上的剪应力可以认为沿壁厚均匀分布(图 a1),于是有
δττ DDADM
A
x π2d2 ⋅⋅=⋅= ∫
由此得到
2π
2
D
M x
δτ = 即: 2max π
2
D
M x
δτ =
2.证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力
根据狭长矩形扭转剪应力公式,有
D
M
D
M
hb
M xxx
π
3
π
33
222max δδτ =⋅==
3.画出两种情形下,剪应力沿壁厚方向的分布
两种情形下剪应力沿壁厚方向的分布分别如图 a1 和 b2 所示。
4-8 由同一材料制成的实心和空心圆轴,二者长度和质量均相等。设实心轴半径为
R0,空心圆轴的内、外半径分别为 R1 和 R2,且 R1/R2 = n,二者所承受的外扭转力偶矩分别
为 Ts 和 Th。若二者横截面上的最大剪应力相等,试证明:
2
2
h
s
1
1
n
n
T
T
+
−=
解:因为长度和质量相等,所以面积也相等。于是有
)(ππ 212220 RRR −= (a)
实心轴:
2
π
16
π 30
s
3
s
max R
T
d
T
⋅
==τ (b)
空心轴:
)1(
16
)2(π 432
h
max
nR
T
−
=τ (c)
由(b)、(c)二式,得
)1( 432
3
0
h
s
nR
R
T
T
−= (d)
8
习题 4-9 图
由(a)式有
2
1
2
2
2
0 RRR −=
将其代入(d)式,最后得到所要证明的结论:
2
2
22
2
3
2
4
2
3
2
43
2
2
3
2
1
2
2
h
s
1
1
)1)(1(
)1(
1
)1(
)1(
)(
n
n
nn
n
n
n
nR
RR
T
T
+
−=+−
−=−
−=−
−=
4-9 直径 d = 25mm 的钢轴上焊有两个凸台,凸台上套有外径 D = 75mm、壁厚
δ =1.25mm 的薄壁管,当杆承受外扭转力遇矩 T = 73.6N·m 时,将薄壁管与凸台焊在一起,
然后再卸去外力偶。假定凸台不变形,薄壁管与轴的材料相同,剪切弹性模量 G = 40MPa。
试:
1.分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力,二者如何平衡?
2.确定轴和薄壁管横截面上的最大剪应力。
解:1.分析卸载后轴和薄壁管横截面上的内力
焊接前,轴承受扭矩,轴发生扭转变形。这时,如果卸载,轴的扭转变形将全部恢复,
因而轴的横截面上将没有扭矩。
与薄壁管焊接后,再除去轴上的外加扭力矩,轴的扭转变形不能完全恢复,因而轴的横
截面上仍然存在扭矩,但已经不是加载时的扭矩,而是小于原来的扭矩。
二者焊接后形成一个整体,如果用一个假想截面将整体截开,这时的横截面由轴和薄壁
管的横截面组成,卸载后,没有外加扭力矩作用,仅仅轴的横截面上存在扭矩无法平衡,因
此,薄壁管的横截面上必然存在与之大小相等方向相反的扭矩,二者组成平衡力系,使截开
的部分保持平衡。设轴和薄壁管横截面上的扭矩分别为 Mx1 和 Mx2 ,于是有
Mx1= Mx2
2.确定轴和薄壁管横截面上的最大剪应力
设轴受 T = 73.6N·m 时,相对扭转角为 0ϕ ,于是,有
0
p1 p1
d
d
xφ M T
x GI GI
= = (a)
焊接后卸载,管承受扭转,其相对扭转角为 2ϕ ,轴上没有恢复的相对扭转角为
焊接前 焊接卸载后
习题 4-9 解图
9
201 ϕϕϕ −= ,即
021 ϕϕϕ =+ (b)
其中
1
1
p1
2
2
p2
,x
x
M lφ
GI
M lφ
GI
=
=
(c)
将(a)和(c)式代入(b)式得
1 2
p1 p1 p2
x xM l M lTl
GI GI GI
= + (d)
由此解得
p2
1 2
p1 p2
x x
I
M M T
I I
= = + (e)
其中
4
4 12 12 4
p1
π π 25 10 38349 5 10 m
32 32
.dI − −= = × × = ×
4 44 4
12
p2
12 4
π 2 π 75 72 51 1 10
32 32 75
393922 10 m
.D D δI
D
−
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ×
于是,卸载后薄壁管横截面上的最大剪应力为
p222max
p2 p1 p2 p2 p1 p2 2
x
IM T T Dτ
W I I W I I
= = ⋅ = ⋅+ + (f)
将 Ip1、Ip2 值代入(f)得
( )
3
2max 12
7573 6 10
2 6 38 MPa
38349 5 393922 10
.
.
.
τ
−
−
× ×
= =+ ×
卸载后,轴横截面上的最大剪应力为
( )
( )
p21
1max
p1 p1 p1 p2
3
12
2 2
2573 6 393922 10
2 21 86 MPa
38349 5 393922 38349 5 10
.
.
. .
x
I TM d dτ
I I I I
−
−
⋅= ⋅ = ⋅+
× × ×
= =+ × ×
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