Chapter4_工具变量法

第1章 两阶段最小二乘法 在模型的基本假定中，解释变量与误差项正交保证了参数估计量的无偏性和一致性。当这一假定被违背时，称解释变量是内生的。常见的几种情况会导致内生问题：忽略重要的解释变量、变量的测量误差、变量的联立性。工具变量估计是解决解释变量内生问题的基本 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。本章介绍工具变量法和两阶段最小二乘法，以及模型内生性检验和过度识别约束检验等问题。 第1章 变量的内生性 如果模型中的解释变量与误差项出现相关，即 ，称解释变量是内生的。导致解释变量内生性的原因有很多，主要的几个原因包括：模型中忽略了重要的解释变量、变量因果关系的双向性、变量的测量误差等。 模型中出现内生解释变量时，OLS估计量是不一致的。根据OLS估计量： (1.1) 由假定Rank(X)=K和大数定律，样本均值的概率极限等于总体均值，可得： ， 。 (1.2) 又由Slustky定理， (1.3) 第1章 工具变量估计 第1章 工具变量 在如下模型中， y = X(+ u 第i个解释变量xi为内生解释变量。如果存在变量z，z满足如下两个条件： 正交条件：与u不相关，即cor(z, u) = 0 相关条件：与x相关，即cor(z, xi) ( 0，也称为识别约束条件。 那么，z被称作xi的工具变量。 第1章 工具变量估计 设回归模型为： y=Xβ+u (1.4) 其中，解释变量为X（1×K）工具变量为Z（1×K）。Z作为工具变量满足正交条件和识别约束条件。在正规方程组 中，用Z替换X， (1.5) 解此方程组，可得IV估计量为： (1.6) 将y=Xβ+u带入估计量中，可得 可以证明， 即IV估计量是无偏的，但不是有效的。同时，由 可知，IV估计量是一致的。 第1章 两阶段最小二乘法 设模型中存在K个内生解释变量，存在L=K个工具变量。每个工具变量都必须满足正交条件和相关条件。如果L=K，称为恰好识别；如果L>K，称为过度识别。即利用其中不同的K个工具变量，都可以得到不同的估计量。当然，用任何一组工具变量得到的估计量都是一致的。因此，现在的问题是如何在这L个工具变量中找到K个工具变量使其估计量最有效。这即是两阶段最小二乘法。 第1章 TSLS估计 设模型为： (1.7) 其中，解释变量为X（1×K）工具变量为Z（1×L）。用Z作为工具变量，Z满足正交条件和识别约束条件。首先回归模型 (1.8) 可得 ，并提取拟合值 。令 ，PZ为对称幂等矩阵，则 。然后，利用 做为工具变量回归模型，可得IV估计量为： (1.9) 而 。 由此可得： (1.10) 而 是y对 的OLS回归估计量。因此，利用 作为工具变量作IV回归与利用 替换X作LS回归是等价的。也正因为此，我们称之为两阶段最小二乘法。估计步骤归纳如下。 Step1：利用X对Z作OLS回归： ；提取拟合值 。 Step2：用 替换X，直接作OLS回归。 第1章 2SLS的渐进特征 假定1：令X表示解释变量（包括常数变量1）。假定存在L个工具变量构成的（1×L）向量Z，满足E(Z'u)=0。Z包含模型中的外生解释变量。如果模型中存在内生变量，则Z必须包含模型以外的外生变量。 假定2：（A）Rank(Z'Z)=L；（B）Rank(Z'X)=K。（A）条件是指L个向量Z不存在完全的线性关系；条件（B）是指Z与X充分线性相关，即所有工具变量都必须满足识别约束条件。条件（B）称为秩条件。秩条件成立的必要条件是L≥K。即，工具变量的个数至少等于解释变量的个数，称之为阶条件。 由X =Z(+v（其中，(为L×K矩阵），两侧同时乘Z并求期望可得： (1.11) 令X*=Z( = Z[E(Z 'Z)]-1 E(Z 'X)。在Xβ+u=y两边同时乘以X*可得， X*'Xβ + X*'u = X*'y (1.12) 求期望可得： E(X*'X)β= E(X*'y) (1.13) 而 X*'X = X*'Z( + X*'v， E(X*'X) = E(X*'Z)( + E(X*'v) = E(X*'Z)( E(X*'Z)= E[(X-v) 'Z] = E[X'Z - v'Z] = E(X'Z) 将( = [E(Z 'Z)]-1 E(Z 'X)带入上两个式子中，可得： E(X*'X) = E(X'Z) [E(Z'Z)]-1 E(Z'X) = E(X'Z) [E(Z'Z)]-1 E(Z'X) (1.14) E(X*'y) = E(X 'Z) [E(Z'Z)]-1 Z' y 注意，上式中Z是（1×L）阶，X是（1×K）阶。因此， X'Z是（K×L）阶，Z 'Z是（L×L）阶，Z 'X是（L×K）阶。如果要估计出β，E(X*'X)必须是非奇异的，当且仅当E(Z'X)的秩为K。将其带入β = [E(X*'X)]-1 E(X*'y)，可得 β = [E(X*'X)]-1 E(X*'y) = {E(X'Z) [E(Z'Z)]-1 E(Z'X)} -1{E(X'Z) [E(Z'Z)]-1Z'y} (1.15) β的TSLS估计量为： (1.16) 1．一致性 由2SLS估计量可得： (1.17) 由大数定律和Slustky定理，可得： 。即2SLS估计量具有一致性。 2．渐进正态性 根据 ，并由中心极限定理， 。同方差假定下， ， 。 根据Slutsky定理， (1.18) 定理：在假定1、2以及同方差假定下， 渐进服从正态分布，均值为0，方差矩阵为 (1.19) 其中， 可以用样本进行估计， 的估计量公式为： 其中， ，而不是第二阶段的残差项。 的渐进方差估计量为： (1.20) 3．渐进有效性 在假定1、2以及同方差假定下，利用工具变量z的所有IV估计量中，2SLS估计量是最有效的。（证明请参见Wooldridge，2000，p96） 第1章 2SLS中的假设检验 设模型为： y = X1β1 + X2β2 + u (1.21) 原假设和备择假设分别为： H0：β2 =0； H1：β2 ≠0。 定义无约束模型和受约束模型分别为： 无约束模型：y = X1β1 + X2β2 + u (1.22) 受约束模型为：y = X1β1 + u (1.23) F检验的具体检验步骤为如下。 设工具变量为Z。（X 1和X 2都可以包括内生变量） Step1：用Z作为工具变量，利用TSLS估计模型（9.32），计其残差平方和为SSRU ； Step2：利用OLS方法用X1对Z回归，令 表示得到的拟合值（N×K1）；用X2对Z回归，令 表示得到的拟合值（N×K2）； Step3：利用OLS方法用y对 、 回归，令 表示其残差平方和；用y对 回归，令 表示其残差平方和。 Step4：构建统计量： 也可以通过类似OLS方法来构建LM统计量 Step1：用X1对Z进行OLS回归，令 表示得到的拟合值（N×K1）；用X2对Z进行OLS回归，令 表示得到的拟合值（N×K2）。 Step2：用y对 回归，令 表示其残差。 Step3：用 对 、 回归，记其未中心化的可决系数为 。 Step4：构建LM统计量 (1.24) 第1章 异方差稳健推断 如果只有假定1、2成立，模型中存在异方差时， 的渐进方差估计量为： 。 (1.25) 可以用作构建异方差稳健t统计量。 存在异方差时，对参数约束的稳健LM检验。 Step1：用Z作为工具变量，利用TSLS用y对X1回归，计残差项为 ； Step2：用X2中每一个变量对X1中的所有变量进行OLS回归，提取残差项 ； Step3：利用OLS方法回归方程 ，计其回归平方和为SSR。 Step4：稳健LM统计量为 ，其中K2表示X2中变量的个数。 第1章 内生变量的显著性检验 1． 单个内生变量的显著性检验 在stata中，单个内生解释变量的显著性检验可以通过condivreg实现。Condivreg利用2SLS或LIML方法回归线性模型，并利用条件似然比（conditional likelihood ratio，简写为CLR) 方法（Moreira (2003)，Andrews, Moreira, and Stock (2006)）计算内生变量参数估计量的置信区间和概率值。Andrews, Moreira, and Stock (2004)证明，CLR检验是渐进最优的，明显地优于Anderson and Rubin (1949) 检验和由Kleibergen (2002) 及Moreira (2001)提出的LM检验。 例： . condivreg y1 x1 (y2 = z1 z2 z3), liml interval . condivreg y1 x1 (y2 = z1 z2 z3 z4), ar lm test(0.1) 2． 多个内生变量的显著性检验 结构方程中内生解释变量显著性检验的Anderson-Rubin统计量（注意，不要与Anderson-Rubin过度识别检验混淆）。原假设为：所有内生解释变量的参数都等于0。对其检验等价于对简化方程中工具变量Z的联合显著性检验。 Anderson-Rubin 卡方统计量 ~卡方分布（自由度为L2 =被排除的工具变量个数） Anderson-Rubin对于弱工具变量是稳健的。 例： . ivreg2 lwage exper expersq (educ=fatheduc motheduc), ffirst 第1章 工具变量的冗余检验 其中，模型解释变量的个数为K，其中外生解释变量的X1个数为K1，内生解释变量X2的个数为K2，K= K1 + K2。设工具变量Z =（Z1, Z2A, Z2B），共有L个。其中Z1 = X1，包含L1 = K1个工具变量。Z2A, Z2B分别包含L2A、L2B个工具变量，令L2 = L2A + L22，则L = K1 + L2A + L2B。检验部分被排除的工具变量Z2B是否是多余的（"redundant"）。检验统计量是基于解释变量X1与工具变量（Z1, Z2A, Z2B）的典型相关系数。如果X1与（Z1, Z2A, Z2B）的典型相关系数比X1与（Z1, Z2A）的典型相关系数有了显著提高，则表明工具变量Z2B不是多余的。统计量渐进服从自由度为K2×L2。参见Hall and Peixe (2000) 。 第1章 内生性检验与过度识别约束检验 在工具变量估计中，有三个问题是需要关注的。第一，解释变量是否具有内生性。如果没有内生性，则LS估计是一致有效估计量，而TSLS估计量则是一致非有效估计量。如果变量具有内生性，则LS估计没有一致性，而TSLS估计量则具有一致性。即是说，IV估计在保证参数估计计量的一致性特征是有代价的。只有当模型中存在内生解释变量时，TSLS才优于LS。因此，在应用TSLS方法之前，首先应该检验解释变量具有内生性，称之为内生性检验。 第二，工具变量的正交约束条件是否得以满足。工具变量必须满足两个基本条件：相关条件和正交条件。在过度识别的模型中，可以检验正交条件是否成立。因此，工具变量（被排除）的正交检验也叫做过度识别约束检验。过度识别约束检验常用的统计量包括Sargan (1958) 、Basmann's (1960)、Hansen J统计量以及C统计量。实际上，工具变量的正交性检验和解释变量的内生性检验是一个问题的两个方面。 第三，工具变量的有效性问题，即工具变量与内生解释变量必须相关。对于工具变量的有效问题，一般通过偏R2或Shea R2来观察。实践中经常出现的问题是弱工具变量问题。Cragg-Donald和Anderson-Rubin统计量则用于考查弱工具变量问题。 第1章 内生性检验 1． Durbin-Wu-Hausman检验 内生性的检验等价于检验plim(X’u) =0。但检验不能通过LS估计的残差项进行。因为LS估计的残差项与X总是不相关的。Hausman（1978）提出了另外一种检验思路，即Hausman检验。其基本思路是，如果解释变量x具有外生性，那么其对应参数(的OLS估计量具有一致性和有效性，而TSLS估计量具有一致性但没有有效性。所以，如果x是外生的，那么OLS估计量 与TSLS估计量 之间差异 的概率极限为0，即Plim d=0，否则Plim d≠0。构建Wald统计量： (1.26) 其中， Hausman（1978）证明，对于参数β的两个一致估计量 和 ， 是有效估计量而 是无效估计量，则 与 的协方差为0，即 (1.27) 在内生变量的情况下， ， 。有 (1.28) 因此，H统计量可以表达为 前文已经推导出， ， 。将其以及方差估计量 带入H统计量可得 (1.29) H统计量渐进服从K2个自由度的卡方分布。 一般情况下，(2的估计量分别利用TSLS和LS估计各自的残差项来计算。如Stata中的Hausman命令即是分别计算TSLS和LS各自的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差。但是，Hausman统计量虽然渐进有效，在小样本情况下Var(d)却可能出现负值（或负定矩阵），从而H检验统计量为负值。因此在实践应用中，(2的估计量全部用 或全部用 。这样保证了Var(d)的广义逆的存在，从而保证了检验统计量取正数。如果用 作为(2的估计量，则 这种统计量由Durbin（1954）、Wu（1973）和Hausman（1978）分别提出。经常被称作Durbin-Wu-Hausman统计量（简写为DWH统计量）。在Stata中，可以利用Hausman命令中的sigmamore选项来实现。 如果用 作为(2的估计量，则 。 这种统计量由Wu（1973）和Hausman（1978）分别提出。在Stata中，可以利用Hausman命令中的sigmaless选项来实现。 需要注意的是，在H统计量中，β表示模型中的所有参数，即H统计量是利用所有参数的LS估计量和IV估计量来构建的。事实上，H统计量可以仅利用内生变量的协方差矩阵来构建。比如，在如下模型中， y = X1β1 + X2β2 + u X1是外生的，而X2是内生的。定义 ，H统计量为： 其中，Var(d2)为Var(d)中右下角（K2×K2）子矩阵。H2与H是渐进等价的。 （1） 对单个变量内生性的检验 以模型 y = X1β1 + x2 (2 + u (1.30) 为例，要检验x2的内生性。Hausman检验的具体步骤为： Step1：利用OLS和TSLS方法分别估计方程，(2的估计量分别表示为 ， ，标准差分别表示为 ， 。 Step2：在原假设（H0：x2是外生的）成立的条件下，H统计量 这等价于 (1.31) 根据z统计量与标准正态分布的临界值相比较（双端检验），判断接受或拒绝原假设。 （2） 对多个变量内生性的检验 如果模型中可能存在多个内生解释变量X，将其参数表示为β。以模型 y = X1β1 + X2 β2 + u (1.32) 为例，其中X2包含K2个变量。要检验X2的内生性。Hausman检验的具体步骤如下。 Step1：利用OLS和TSLS方法分别估计方程，β2的估计量分别表示为 ， ，方差矩阵分别表示为 ， 。 Step2：在原假设（H0：X2是外生的）成立的条件下， ， (1.33) 其中K2表示内生解释变量的个数。 根据H统计量与卡方分布的临界值相比较，判断接受或拒绝原假设。 如果确认某些变量是内生的，而只是怀疑部分变量是否具有内生性。这时可以仍然利用与上述检验相同的思路进行检验。设在如下模型中， y = X1β1 + X2β2 + u X1是外生的（K1）；X2 = (X2A, X2B)中，X2A（K2A）是内生的，怀疑X2B（K2B）的内生性。 原假设：X2B是外生的； 备择假设：X2B是内生的。 首先，将Z作为X2 = (X2A, X2B)的工具变量估计方程，即假定X2 = (X2A, X2B)都是内生的，估计量为 。然后，将Z作为X2A的工具变量估计方程，即假定仅有X2A是内生的，估计量为 。这时， ， ， 。H统计量为 (1.34) 同样地，回归标准差的估计量 可以采用任意一个。 2． 基于残差的内生性检验（Wu-Hausman检验） DWH检验的另外一种替代形式是直接利用回归残差构建辅助回归式。 （1） 对单个变量内生性的检验 设回归模型为 y = X1β1 + x2 (2 + u (1.35) 在TSLS方法中，工具变量的选择为： E(x2 ) = X1α1 + Zα2 + v (1.36) 事实上，工具变量法是将内生解释变量x2拆分成两部分，一部分为E(x2)，另一部分为v。即 x2 = E(x2) + v (1.37) 其中，作为工具变量的E(x2)与模型中的u是不相关的。如果x2是内生的，而v与u必定相关。因此，对x2内生性的检验，即对x2与u相关性的检验，等价于对v与u相关性的检验。这可以通过如下方程中(的显著性来实现 v = ( u + e (1.38) 其中，e满足经典假定。如果((0，则v与u相关；如果(=0，则v与u不相关。实践中，v与u都是不可观测的。v可以通过利用LS方法估计方程（9.48）并提取其残差项来代替。但u不能通过利用LS方法估计方程（9.47）并提取其残差项来代替（因为模型中可能存在内生解释变量）。这时候，可以将（9.50）带入最初的模型（9.47），得到 (1.39) （9.51）式表明，E(x2)与v对y的影响是相同的。对x2内生性的检验可以基于如下回归式： 如果x2是外生的，那么E(x2)和v都与u不相关，都是外生的。此时模型中E(x2) 和v的系数相同（(2=(3），其LS估计量应该近似相同。如果x2是内生的，那么v是内生的，与u相关；但E(x2)是外生的，与u不相关。此时，模型中E(x2)的参数估计量和v的参数估计量由于存在内生性而出现差异。因此，x2的内生性Hausman检验可以通过参数如下步骤来实现。 以模型（9.47）为例，检验x2是否具有内生性。 Step1：用内生解释变量对所有的外生变量（包括工具变量）回归， ， (1.40) 并提取x2的预测值 和残差项 。 Step2：回归方程 (1.41) 然后利用F统计量检验H0：(2=(3。 如果接受原假设，则表明x2不具有内生性；否则，x2是内生的。 Hausman内生性检验还可以通过另外两种形式来检验。 检验方程式又可以写作： (1.42) 因此，对的检验等价于对模型（9.50）中 的显著性检验。这可以很容易地通过t统计量实现。 检验方程（9.49）式也可以写作： (1.43) 因此，对的检验等价于对模型（9.51）中 的显著性检验。这可以很容易地通过t统计量实现。如果怀疑模型中存在异方差，可以利用异方差稳健标准差进行检验。 （2） 对多个变量内生性的检验 如果模型中可能存在多个内生解释变量，那么内生性检验的思路与上面的介绍的方法完全相同。设回归模型为 y = X1β1 + X2β2 + u 其中，X1是外生的（K1）；X2 （K2）是内生的。工具变量为Z=(Z1, Z2)，Z1= X1。 内生性检验的具体步骤为： Step1：用X2中的每一个变量分别对Z=(Z1, Z2)回归，提取残差项 （K2个）。 Step2：将K2个残差项加入最初的回归方程中， (1.44) 利用OLS方法估计方程，并构建F统计量检验H0： 。如果接受原假设，则表明这K2个解释变量不具有内生性；否则，这K2个解释变量是内生的。 如果能够确认部分变量是内生的，而只是怀疑另外一些变量的内生性，则可以利用相似的辅助回归方法进行检验。设回归模型为 y = X1β1 + X2β2 + u 其中，X1是外生的（K1）；X2 = (X2A, X2B)中，X2A（K2A）是内生的，怀疑X2B（K2B）的内生性。工具变量为Z=(Z1, Z2)，其中Z1= X1。 Step1：用X2B中的每一个变量分别对Z=(Z1, Z2)回归，提取残差项 （K2B个）。 Step2：将K2B个残差项加入最初的回归方程中， (1.45) 利用IV估计方程，并检验H0： 。需要注意的是，对其检验不能构建普通的F统计量，普通的F统计量不再有效。如果接受原假设，则表明这K2B个解释变量不具有内生性；否则，这K2B个解释变量是内生的。这时，F统计量的构建方法如下。 定义受约束模型为有效估计方程，辅助回归方程的残差平方和表示为SSRAE，定义无约束模型为一致估计方程，辅助回归方程的残差平方和为SSRAI。 DWH统计量也可以表述为： WH统计量为： 其中，SSEE表示受约束模型的残差平方和。 或者DWH（WH）统计量也可以表述为： WH统计量为： 表示受约束模型的残差项， 表示无约束模型的残差项； 表示由Z构成的映射矩阵， 表示有（Z, X2B）构成的映射矩阵。 第1章 过度识别约束检验 如果存在m个内生解释变量，那么每一个内生解释变量都需要至少一个工具变量。如果我们确定模型中的一些解释变量是内生的，那么我们可以选择k个工具变量，k(m。但实践中我们可能并不确定模型中哪些解释变量是内生的。这种不确定性经常使得我们经常错误地选择过多的工具变量，即：部分工具变量不恰当。 对于m个内生解释变量，如果工具变量的个数大于m，则存在过度识别约束（over-identifying restriction）。过度识别约束的个数为 =（工具变量的个数-内生解释变量的个数）。如果存在m个工具变量，则不存在过度识别约束的问题；如果存在（m+q）个工具变量，则存在q个过度识别约束。过度识别约束检验就是检验这q个过度识别约束是否成立，或者说这（m+q）个工具变量是否合适。检验的核心即是这些工具变量是否与u相关，如果这些工具变量与u相关，则过度识别约束无效，否则过度识别约束有效。 工具变量的两个基本条件中，第二个条件（即z与x相关）可以比较容易地通过x对z回归方程的F检验来完成。而第一个条件也是至关重要的，如何检验第一个条件是否成立呢？如果内生解释变量（设为x）只有一个工具变量（设为z），对第一个条件（即z与u不相关）的检验则无法实现。但如果存在多个工具变量，则可以通过如下方法实现。 对于模型 y = X1β1 + X2β2 + u 其中，模型解释变量的个数为K，其中外生解释变量的X1个数为K1，内生解释变量X2的个数为K2，K= K1 + K2。设工具变量Z =（Z1, Z2）。共有L个工具变量，Z1=X1，包含L1个工具变量，Z2包含L2个工具变量，即L = K1 + L2。一般地，X1为模型所包含的工具变量，而Z2为模型所排除的工具变量。如果L2 > K2，则存在过度识别约束，（L - K）= （L2 - K2）为过度识别约束的个数。 原假设：被排除的工具变量Z2与u 不相关，且被正确地排除； 备择假设：工具变量Z2无效。 令 表示IV 估计的残差项，令P=Z(Z'Z)-1Z'， M=I-P。 Sargan (1958) 卡方统计量 = 或 （小样本修正后的统计量） Basmann's (1960) 卡方统计量 = 或者 Sargan (1958) 拟F统计量 = Basmann's (1960) 拟F统计量 = 这两个统计量都渐进服从（L-K）个自由度的卡方分布，均具有一致性。参见Davidson and MacKinnon（1993, 235-36）。二者的差异在于估计方程标准差的方法，Sargan（1958）利用过度识别约束，而Basmann（1960）则没有施加过度识别约束。 另外，Sargan统计量可以通过计算NR2的形式计算。同方差假定下的基本检验步骤如下。 Step1：利用所有的工具变量Z =（Z1, Z2）回归结构方程，记TSLS的残差项为 。 Step2：用 对所有的外生变量Z =（Z1, Z2）（包括结构方程中的外生变量以及工具变量）进行OLS回归，其非中心化的可决系数为 。 Step3：构建统计量 。给定检验水平(，如果nRuc2大于临界值，则拒绝原假设，即模型中存在内生解释变量；否则，接受原假设，即所有变量都是外生的。 需要注意的是，如果模型存在条件异方差，则Sargan统计量或Basmann统计量均无效。这时，可以利用GMM估计的Hansen J统计量来实现过度识别约束的检验，称之为稳健的过度识别约束检验。事实上，Sargan统计量是Hansen's J统计量在同方差假定下的特殊形式。因此，这两个统计量经常被称作 Hansen-Sargan统计量。稳健的过度识别检验可以通过ivgmm0或ivreg2实现。（参见GMM估计一章，Hayashi(2000, 227-228)，Baum, Schaffer, and Stillman (2002))。 异方差情况下，Sargan统计量可以通过如下步骤实现。 Step1：利用所有的工具变量Z =（Z1, Z2）回归结构方程，记TSLS的残差项为 。 Step2：第一阶段回归中的拟合值记为 。 Step3：从Z2中任意选择K2个工具变量，分别对（X1, ）进行OLS回归，记其残差项为 。 Step4：利用OLS方法回归方程 ，记其回归平方和为SSR。 Step5：构建统计量 。给定检验水平(，如果N-SSR大于临界值，则拒绝原假设，即模型中存在内生解释变量；否则，接受原假设，即所有变量都是外生的。 C统计量用于检验部分工具变量的外生性。C等于用部分工具变量回归方程的Hansen-Sargan统计量与用全部工具变量回归方程的Hansen-Sargan统计量的差。原假设为要检验的部分工具变量是有效工具变量。为了保证C统计量是非负数，两个方程的Hansen-Sargan统计量都是用完全正交条件（即有效估计）得出的。在IV/2SLS估计中，C统计量是基于无约束模型的MSE计算的；在LIML估计中，C统计量是基于无约束模型与受约束模型的Anderson-Rubin过度识别统计量计算的（参见Hayashi (2000, 218-222 and 232-34)）。 第1章 工具变量的有效性检验 作为识别约束，工具变量必须与内生解释变量具有明显的相关性。否则，无法进行估计。所谓工具变量的有效性即是指工具变量与内生解释变量存在相关。设模型为： y = X1β1 + X2β2 + u 其中，模型解释变量的个数为K，其中外生解释变量的X1个数为K1，内生解释变量X2的个数为K2，K= K1 + K2。设工具变量Z =（Z1, Z2）。共有L个工具变量，Z1=X1，包含L1个工具变量，Z2包含L2个工具变量。 1． 偏R2统计量、F统计量 工具变量的有效性检验即是检验Z2与X2的相关性的检验。这可以通过第一阶段回归中Z2的联合显著性来实现，即利用F统计量或偏R2统计量。 偏R2 = (SSEZ2-SSEZ)/SST 其中，SSEZ2表示内生解释变量X2对Z1的回归平方和，SSEZ表示内生解释变量X2对Z =（Z1, Z2）的回归平方和，SST表示总离差平方和。 但F统计量或偏R2统计量存在一个较大的缺陷。它们只能用于检验Z2与X2的联合显著性，而不能检验Z2中单个变量与X2的相关性。因此，这两种统计量适合于模型中仅存在一个内生变量的情况。 Shea's (1997)提出了另一种偏R2统计量，称之为Shea R2。Shea R2考虑了工具变量自身之间的相关性。当模型中仅存在一个内生变量时，Shea R2与普通的偏R2是等价的，都等于内生解释变量与工具变量的典型相关的最小特征值。作为经验法则，如果模型的偏R2较高而Shear R2较小，则表明工具变量缺乏充分的相关性，模型存在欠识别问题。 2． 弱工具变量问题 实践中经常会出现的情况是，工具变量与内生解释变量之间仅存在微弱的相关关系，这些变量称为弱工具变量。弱工具变量的问题增加了IV估计量的有偏。Staiger and Stock（1997）证明，即使工具变量与内生解释变量具有显著的相关性（比如，F统计量在5%（或1%）的检验水平上具有显著性），弱工具变量问题仍然会存在。而且，IV估计偏差随着工具变量个数的增加而增加。因此，实践中对于存在单个内生变量时， 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 F统计量至少大于10；而工具变量的个数则以精简为原则。Stock and Yogo (2002)利用Cragg-Donald F统计量作为弱识别的检验统计量，并给出了其临界值。弱识别检验统计量为： Cragg-Donald F统计量 = (N-L)*minEval/L2 Anderson 提出了典型相关似然比检验统计量，Cragg-Donald则提出了另外一种统计量。其原假设和备择假设分别为： 原假设为：简化方程的系数矩阵的秩=K-1，即方程是欠识别的。 备择假设：简化方程的系数矩阵的秩≥K-1，即方程是可识别的。 检验统计量为： Anderson典型相关似然比检验统计量 Cragg-Donald卡方统计量 = N*minEval Anderson典型相关似然比检验统计量服从自由度为L2的卡方分布。拒绝原假设表明模型是可识别的。但需要注意的是，拒绝原假设仍然可能存在弱工具变量的问题，即工具变量虽然与内生解释变量的存在明显的相关性，但相关系数比较低，参见Hall et al. (1996)。 第1章 内生性检验与正交约束检验的关系 内生性检验是对变量的内生性的检验，常用方法是DWH统计量。外生性检验是对变量正交性的检验，常用统计量是C统计量。内生性与外生性是一个问题的两个方面。事实上，在一些情况下，DWH统计量与C统计量是等价的。 设在模型中 y = X1 β1 + X2A β2A + X2B β2B + u 模型解释变量的个数为K，其中外生解释变量的X1（K1个），内生解释变量为X2A（K2A个），怀疑的内生解释变量为X2B（K2B个）。令K2 = (K2A, K2B)，K= K1 + K2。X1为模型中包含的工具变量，包含L1= K1个；设Z2A为模型排除的工具变量（L2A个），怀疑的工具变量为Z2B（L2B个）。 原假设：（X2B, Z2B）是外生的；备择假设：（X2B, Z2B）是内生的。 如果原假设成立，则工具变量Z = (X1, X2B, Z2)，共包含（K1+K2B + L2A+L2B）个工具变量。模型称为受约束模型，估计量是一致、有效的。如果备择假设成立，则工具变量Z= (X1, Z2A)，共包含（K1+ L2A）个工具变量。模型称为无约束模型，参数估计量是一致、无效的。 同方差情况下，基于IV估计的Hausman统计量服从自由度为Min(K2B+L2B, K2) 的卡方分布。条件异方差情况下，如果K2B≤K2，则C统计量与Hausman统计量等价，均服从自由度为K2B的卡方分布。如果K2B > K2，则C统计量与Hausman统计量不同，C统计量服从自由度为K2B的卡方分布，Hausman统计量所服从卡方分布的自由度是未知的。 Hausman统计量的自由度Min(K2B+L2B, K2)中，K2B+L2B - K2 = L2B - K2A。即，如果所怀疑的排除工具变量的个数小于所怀疑的内生变量的个数，则C统计量与Hausman统计量是等价的。在这种情况下，利用Hausman统计量进行内生性检验与利用C统计量进行外生性检验取决于研究的起点：Hausman统计量是研究模型中所包含变量的内生性，而C统计量是检验模型所排除变量的外生性。比如，在如下模型中， y = X1 β1 + X2A β2A + X2B β2B + u 解释变量的个数为K，其中外生解释变量的X1（K1个），内生解释变量为X2A（K2A个），怀疑的内生解释变量为X2B（K2B个）。令K2 = (K2A, K2B)，K= K1 + K2。X1为模型中包含的工具变量，包含L1= K1个。设Z2为模型排除的工具变量（L个）。如果怀疑X2B的内生性，利用Hausman统计量进行检验，即检验正交条件是否由L个增加到（L+ K2）个（不包括X1在内）。 如果模型设定为： y = X1 β1 + X2A β2A + u 模型排除的工具变量为（Z2, X2B），共（L+ K2）个。现在怀疑X2B的内生性，利用C统计量进行检验，即检验正交条件是否由（L+ K2）个下降到L个（不包括X1在内）。 第1章 案例 例 1.1 对于如下模型进行 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 。（数据文件：mroz） log(wage) = (0 + (1 educ + (2 exper + (3 exper2 + u （1） 怀疑模型中教育（educ）具有内生性问题，利用父、母亲接受教育的年数（fatheduc、motheduc）作为educ的工具变量估计上述模型。 . ivregress 2sls lwage exper expersq (educ=fatheduc motheduc), first （2） 计算上述方程的稳健标准差 . ivregress, vce(robust) （3） 对educ进行内生性检验 利用Hausman统计量检验。 . quietly ivreg lwage exper expersq (educ=fatheduc motheduc) . est store IV_reg . quietly regress lwage exper expersq educ . est store LS_reg . hausman IV_reg LS_reg 可得Hausman统计量=2.7，p值=0.44。接受原假设，即educ是外生的。 或者统一利用有效估计量的标准差， . hausman IV_reg LS_reg, sigmamore 或者统一利用一致估计量的标准差， . hausman IV_reg LS_reg, sigmamless 也可以利用残差进行检验。 . regress educ c exper expersq fatheduc motheduc . predict educhat, xb . predict res, residual . regress lwage exper expersq educhat res . test educhat=res . regress lwage exper expersq educ educhat . test educhat . regress lwage exper expersq educ res . test res 三种检验得到完全相同的结果：F(1, 422) =3.12，Prob=0.08。在5%的检验水平上，没有显著性。 （4） 对模型进行过度识别约束检验。 . estat overid （5） 检验工具变量的有效性。 . estat firststage, all 练习 分别回归如下两个模型 （1）需求方程: Qt = a0 + a1Rt + a2RDt + a3Xt + ut （2）供给方程: Qt = aS + b1Rt + b2RSt + b3Yt + vt 其中，Q = 商业贷款总额 (单位：十亿美元) R = 平均市场利率（%） RS = 3个月期限的国库券利率（%） RD = AAA 企业债券利率（%） X = 工业生产指数 Y = 银行存款总额 (单位：十亿美元) 注：工具变量的选择。因为贷款需求方程中，R具有内生性。选择的工具变量应该与R相关，又与u不相关。u中包含了除了贷款利率、AAA企业债券利率和工业生产指数之外的其它影响贷款需求的因素。哪些因素会与贷款利率相关而又与贷款需求无关呢？可以想到的因素显然是那些影响贷款供给却不影响货币需求的因素，即RS、Y。因为RS、Y通过影响货币供给而影响贷款利率，与贷款利率相关；同时，RS、Y又不会对贷款需求产生直接的影响，即与u不相关。因此，RS、Y是合适的工具变量。 _1221716709.unknown _1224163089.unknown _1224178700.unknown _1224400940.unknown _1251453722.unknown _1251453758.unknown _1251454102.unknown _1251454488.unknown _1251454111.unknown _1251453763.unknown _1251454074.unknown _1251453754.unknown _1251453731.unknown _1224792977.unknown _1224792979.unknown _1251453705.unknown _1224792978.unknown _1224404817.unknown _1224405132.unknown _1224792886.unknown _1224405046.unknown _1224404160.unknown _1224225565.unknown _1224251907.unknown _1224400634.unknown _1224400710.unknown _1224400440.unknown _1224225678.unknown _1224225679.unknown _1224225625.unknown _1224225630.unknown _1224180120.unknown _1224225418.unknown _1224179862.unknown _1224164801.unknown _1224177413.unknown _1224178562.unknown _1224178665.unknown _1224178536.unknown _1224168079.unknown _1224177060.unknown _1224164911.unknown _1224163563.unknown _1224164337.unknown _1224164720.unknown _1224164347.unknown _1224164208.unknown _1224163412.unknown _1224163486.unknown _1224163293.unknown _1221717422.unknown _1221741505.unknown _1224142468.unknown _1224156572.unknown _1224157295.unknown _1224157752.unknown _1224157786.unknown _1224156658.unknown _1224156405.unknown _1224156546.unknown _1224144714.unknown _1223356167.unknown _1224142246.unknown _1221741514.unknown _1221746614.unknown _1221740236.unknown _1221740265.unknown _1221741355.unknown _1221740294.unknown _1221740243.unknown _1221717829.unknown _1221717937.unknown _1221739963.unknown _1221717750.unknown _1221716825.unknown _1221717294.unknown _1221717304.unknown _1221716844.unknown _1221716778.unknown _1221716796.unknown _1221716715.unknown _1221652212.unknown _1221659342.unknown _1221659510.unknown _1221660204.unknown _1221715674.unknown _1221716225.unknown _1221660357.unknown _1221715646.unknown _1221660437.unknown _1221660244.unknown _1221659962.unknown _1221660194.unknown _1221659890.unknown _1221659411.unknown _1221659417.unknown _1221659362.unknown _1221653637.unknown _1221659317.unknown _1221659335.unknown _1221659142.unknown _1221659308.unknown _1221659122.unknown _1221653498.unknown _1221653614.unknown _1221653457.unknown _1220617909.unknown _1221633319.unknown _1221652048.unknown _1221652167.unknown _1220618401.unknown _1220618422.unknown _1220619442.unknown _1220618389.unknown _1220615563.unknown _1220617616.unknown _1220617886.unknown _1220617435.unknown _1220617481.unknown _1220615758.unknown _1220616925.unknown _1220615579.unknown _1211350244.unknown _1220597928.unknown _1220614785.unknown _1211350709.unknown _1220597802.unknown _1218650565.unknown _1211350335.unknown _1211342269.unknown _1211350197.unknown _1211342501.unknown _1211028519.unknown _1211342166.unknown _1211022644.unknown