黎曼几何学习心得

1 自几何佳缘 在这方面我是很有感受的。我整理了一些心得笔记，打算以后给学生上课的时候，把这些内功心法 传授给他们。 这里先随便讲两句。 如果楼主想聊聊的话，可以写信到我的百度邮箱。 以前研究生时候，我学过微分几何，用的是陈维桓那本。 但是学了之后还是不得要领。因为我们的 老师只是照着书念，根本没有讲出精髓来。直到后来，我重学的时候，才恍然大悟，接下来可以说 是一通百通。 到底是怎么回事呢？且待我慢慢道来。 (I) 首先我这次选的书非常好--可以说是机缘巧合。 我用的书是侯伯宇《物理学家用的微分几何》。 这本书有几个特点：它讲述概念非常直观简洁，而且会告诉你这些概念的物理北景； 对重要的定理 结论，它不给证明，但是会详细解释它的几何意义和物理意义。初学者看此书是非常省力的。 忠告：如果你初学微分几何，千万不要看陈省身和陈维桓的《微分几何讲义》，这本书已经是高度 提炼了。你没有好的几何背景根本不能消化--比如联络那一章就是。 (II)其次， 侯的《物》里说了一段话，使我顿悟微几的关键所在。 他告诉我们，微分几何的概念 结论等等都是在一个原则下展开的： 所讨论的东西都要与坐标选取无关。书中引用爱因斯坦一段话， 说爱氏花了7年之功才建立广义相对论，其原因就在于他一直努力摆脱坐标系的困扰。 忠告： 不管你学到哪个概念，你一定要牢牢记住这个原则。 举例来说，为什么定义切空间和与切 空间要这么大费周章从等价类入手？就是因为它要让定义出来的东西和坐标无关。 明白这个原则， 基本上就越过了学微几的第一道坎。后面可说是事半功倍。 (III) 学微几的另一个重要原则就是： 内蕴的思想。 你碰到的所有概念和结论都是内蕴的。就是 说他们只和这个流形有关，和流形所在的大空间无关。 这和本科的《曲面微分几何》不同，那里定 义的东西常常是在3维空间里看的。 忠告： 牢记这个原则！ 在你学了公理化定义的联络以及黎曼度量以后，再回过头来看，就会明白 为什么人家煞费苦心来做这些事。 (IV)理解切空间和与切空间，以及他们的张量，是微分几何入门的关键！ 记住上面讲的原则，你再去看一遍体会体会就会领悟的。 这里不再多讲。 我只想说说张量。 如果看陈省身和陈维桓的《微分几何讲义》，那你对张量的理解永远只是 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面， 你最多只知道他的代数定义。 为什么我们要在微几里讨论张量呢？ 你要是不知道很多背景，就不 能体会其用意。 比如黎曼度量， 他就是一个二阶张量。首先你要明白二阶张量不过就是矩阵！ 一般的张量不过是 矩阵的推广！你回忆一下，向量可以看作一个1维数组，矩阵可以看作2维表格，那么3维表格不就是 3阶张量吗？ 所以无非是要造一个在流形上处处有定义的矩阵，并且这个矩阵和坐标无关。怎么才叫和坐标无关 呢？ 这就引出了我们说的协变规律反变规律等等。 然后你在回忆一下，我们在曲面微分几何里怎么定义度量，那时候曲面的度量就是3维空间度量限制 在它上面，这不是内蕴的方式。 所以人们要绕个弯子，从张量上来重新定义度量，因为张量是内蕴概念，只和这个流形有关。 上面的说明就是要你看到，我说的这两个原则是怎么始终贯穿在学习理解中的。 (V) 学习联络又是一个很难过的坎。 你要是直接看那种公理化的定义，最多只能像大多数人一样， 只会背诵“法律条文”。 这个时候，你要先去看那种不是内蕴的定义方式。 然后你才会真正明白联 络的几何意义，知道人家为什么这么做。 公理化定义只是为了满足我刚才说的两个原则。 你可以参看《黎曼几何讲义》作者记不大清了，好像有一个姓白。 封面是蓝色的，版本较旧。 这 本书写的联络一章非常好。 (VI)过了这几关，基本上可以轻松读完陈维桓的那本书。 微分几何真正困难的东西，初学者是学不 到的。初学者的困难就在于没有真正把握住我说的那两条原则。 上面说的都是我的经验之谈，我就是这么学过来的。 黎曼几何的切入口(http://physt.org/bbs/viewthread.php?tid=95) 一般从直观的角度来说，要研究线的弯曲起码要在二维空间才能进行。（如果是非平面曲线还得在 三维空间里）同样面的弯曲只能在三维空间里才能直观地研究。即便如此，三维空间的弯曲还是直 观不起来了。因为四维以上的空间无法用图表示。当然用相应的类比还是可以进行研究的。 要研究N维空间的弯曲是否至少要在N＋1维空间里才能进行呢? 极而言之，现在假设有一个最高是N维的空间，如果比N维的维数少的空间的弯曲情况还可以在N维空 间里研究的话，那么N维空间的弯曲，由于没有更高维的空间，如何研究呢？ 在N维空间里研究N维空间自身的弯曲看来只能是另辟蹊径了。 如果不借助更高维空间，仅通过空间自身的“努力”来研究弯曲的话，那你相对于黎曼几何的殿堂已 经可以说是登堂入室了。 此话怎讲。 众所周知，在欧几里德空间里，一个矢量作平行移动“兜”一个圈回到原处，这个矢量的大小和方向 都不会发生变化。这因为欧几里德空间是平直空间。 那么在一个弯曲的空间里对矢量这样作是否会发生某种变化呢？回答是肯定的！不仅如此，还可以 根据其大小和方向变化的多少来判断空间弯曲的程度和特性。换句话说，我们只要将某个矢量在N 维空间里“兜”个圈，研究矢量的变化就可知晓此N维空间的弯曲的情况啦。看！研究N维空间的弯曲 不必借助N+1维空间。 关于矢量大小和方向的变化先分开来讨论比较方便。 关于矢量方向的变化至少和一个叫“仿射联络”的量有关。如该空间是平直的，那么“仿射联络”量必 为零。如果该空间的“仿射联络”不为零，则该空间就是弯曲的。不过，大家可要当心！“仿射联络” 为零，该空间可不一定是平直的。因为“仿射联络”量不是一个张量。一个“仿射联络”不为零的空间 可以通过坐标变换使它在空间的某个“局部”为零。 关于矢量大小的变化则和一个叫度规张量的量有关。一般来说，在弯曲空间里矢量在平移时起码大 小是变化的。这个度规张量可以反映空间的种种特性。当这个量与坐标和时间有关时，那么该空间 不仅是弯曲的而且是“蠕动”的。 “仿射联络”与度规张量似乎都能反映空间的弯曲，那么它们之间有什么关系呢？研究表明，度规张 量可以完全确定“仿射联络”。但是“仿射联络”则不一定完全确定度规张量。为此，我们把度规张量 看成是最基本的，并假设“仿射联络”总可以由度规张量计算出来。 在研究矢量平移的变化过程中发现这种变化还和平移的路径有关，由于路径的不同又会引起额外的 变化。（事情变得更为复杂了）这个额外的变化与一个叫曲率张量的量有关。曲率张量是唯一可以 由度规张量的二阶导数的线性组合而构成的张量。此外如果该空间过分“七翘八扭”则还得考虑“挠率 张量”等等。 关于曲率张量按理应该大书特书一番。由于牵涉面过于复杂，只能点到为止。通过对牛顿引力方程 的合理推广、广义相对论及对曲率张量的特定组合，爱因斯坦得出了一个有名的“上帝的方程式”—— 爱因斯坦方程！ 黎曼几何竟和广义相对论挂上了钩。 爱因斯坦方程就是引力场方程。于是一切就顺理成章了，爱因斯坦方程决定度规张量（物质决定度 规张量）——度规张量决定曲率张量——曲率张量决定空间弯曲——度规张量决定仿射联络——仿 射联络决定物质运动——…… 顺便提一下仿射联络的“局部”为零的参考系相当于引力场中自由降落的升降机。挠率张量的物理效 应并不显著，在这方面已经有人做过点“文章”了，看来意义不大。 无论“维相”还是“反相”要想绕过黎曼几何几乎是不可能的。