第六章 习题
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
6.1-1 求解下列本征值问题的本征值和本征函数。
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
时，
，代入边界条件得
和
得到
，不符合，所以
时，
，代入边界条件得
，
所以：
（2）
时，
，代入边界条件得
和
，所以
存在。
时，
，代入边界条件得
，
综合：本征值：
本征函数：
（3）
时，
，代入边界条件得
和
，
不符合。
时，
，代入边界条件得
，
本征函数：
（4）
时，
，代入边界条件得
和
，得到
，故
。
时，
，代入边界条件得
解得：
得
，所以
本征函数：
6.1-2 单簧管是直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放。试求管内空气柱的本征振动，即求解定解问题。
解：设
,代入原方程有：
∴
代入边界条件有:
和
(1)先求解本征值问题
时,有
， 代入
不成立
设
代入
(2)再求
即
可得
故单簧管的振动为：
6.1-3一根均匀弦固定于
和
两端,假设初始时刻速度为0,而初始时刻弦的形状为一条抛物线,其顶点为
，求弦振动的位移
。
解:波动方程:
初始条件:
边界条件:
设
,分别代入方程和边界条件可得:
和
本征值问题的解为:
而
代入初始条件有:
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
而
它只有奇次谐波
6.1-4演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手让其自由振动，设弦长为
，被拨开的点在弦长
（
为正整数）处拨开距离
，试求解弦的振动。
解：设弦的位移为
，则波动方程为：
边界条件:
初始条件:
令
，代入方程和边界条件得：
和
本征值问题的解为:
而
代入初始条件有:
所以：
积分有：
所以有
6.1-5 长为
两端固定的弦，用宽为
的细棒敲击弦上
点，亦即在
处施加冲力，设其冲量为
，弦的单位长线密度为
，求解弦的振动。
解：波动方程：
边界条件：
初始条件:
令
，代入方程和边界条件得：
和
本征值问题的解为:
而
，所以
代入初始条件有:
积分：
所以有：
6.1-6 长为
的杆，一端固定，另一端受力
而被拉长。求解杆在去掉力
后的振动，设杆的截面积为
，杨氏模量为
。
解： 杆的纵振动为自由振动方程为
边界条件：
（自由端，形变为0）
初始条件：
，
因为：在
端，设伸长量为
，则
故在杆的其它任意一点
，伸长量为
（按比例伸长）
求解此定解问题，设
，代入原方程和边界条件有：
和
求得本征值为：
本征函数为：
常微分方程为：
所以：
代入初始条件：
而
6.1-7 长为
的均匀杆，由于两端受压而使得长度为
，放手后任其自由振动，求解杆的振动。
解：波动方程：
边界条件：
（两端形变为0）
初始条件：位移
（
表
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达式与坐标系和选取有关）
速度
下面讨论位移的表达式。
左半边:
位移为
，
处位移为0。
设
处伸长量为
，按比例有：则
右半边：
位移为0，
处位移为
。
则
所以在整个范围内位移都可以表示为
下面求解定解问题，设
，代入方程和边界条件得：
和
，其中本征值问题的解为：
本征值：
本征函数：
而
，所以
代入初始条件有：
6.1-8 长为
的杆，上端固定在电梯的天花板上，杆身竖直向下，下端自由。当电梯以速度
下降时突然停止，求解杆的振动。
解： 波动方程：
忽略重力
边界条件：
（下端自由，形变为零）
初始条件：
设
,代入方程及齐次边界条件有：
和
，本征值问题的解为：
本征值：
本征函数：
所以：
代入初始条件有：
积分：
所以：
6.2-1一个长宽均为
的方形膜，边界固定，膜的振动方程为
，求方形膜的本征频率。
解：令
，代入波动方程有：
边界条件为：
将
代入上述边界条件得：
令
，
，代入
有：
得到关于
、
的本征值问题：
所以
而关于
的常微分方程为：
所以周期
，
本征频率
6.2-2 有一长为
,杆身与外界绝热的均匀细杆，杆的两端温度保持摄氏零度，已知其初始温度分布
，求在
时杆上的温度分布。
解: 这是一个一维热传导问题，定解问题为：
方程：
边界条件：
初始条件：
设
，将其代入热传导方程有：
将
代入边界条件有：
先解本征值问题：
得本征值
，本征函数
而
EMBED Equation.3
代入初始条件有
所以
故
6.2-3一长为
的杆身和两端绝热，初始时
，求其温度变化规律。
解：热传导方程：
边界条件：
初始条件：
设
，代入方程和边界条件得：
和
解本征值问题可得：
将
代入含时的微分方程
有：
特解：
所以：
将上式代入初始条件有：
积分有：
（1）
时，上式化为：
（不要忘记此项）
（2）
时，因为
所以有：
故
6.2-4一长为
的细杆，杆身绝热，初始温度
是均匀的，让其一端温度保持0℃不变，另一端绝热，求杆上的温度分布。
解：热传导方程：
边界条件：
初始条件：
设
，代入方程及边界条件，分离变量有：
和
解本征值问题可得：
将
代入含时的微分方程
有：
特解：
所以：
将上式代入初始条件有：
积分有：
即：
6.2-5 在铀块中，除了中子的扩散运动外，还进行着中子的增殖过程，每秒钟在单位体积内产生的中子数正比于该处的中子浓度
，从而可表为
（
表示增殖快慢的常数），研究厚度为
的层状铀块，求其临界厚度。
解：一维扩散方程为：
假定边界条件为：
设
，代入扩散方程有：
所以：
将
代入边界条件有：
所以
而
故
一般解为：
若：
，浓度
随时间增加而增长，发生核爆炸；
，浓度
随时间增加而减小，反应堆熄火；
，
不随时间变化，反应堆稳定。
考虑
，临界厚度
。
6.3-1 在矩形区域
内求拉普拉斯方程的解。使其满足边界条件
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
。
解：（1）在直角坐标系中分离变量
设
，代入二维拉普拉斯方程
，有：
所以：
（2）对
代入齐次边界条件
有：
关于
的本征值问题
（3）对
代入
的值有：
时有：
时有：
（4）由叠加原理可得一般解为
（5）代入另外两个边界条件 有：
所以：
而
等式两边同时乘以
，并在
上对
积分，有：
当
时，上式变为
积分可得：
当
时，积分可得：
所以：
6.3-2求一个长而薄的圆柱面内的电势，该圆柱被微小间隙分成两半，上半片
上电势为
，下半片
上电势为零，该圆柱的半径为
。
解：电势
满足的方程为：
采用极坐标形式：
边界条件：
自然周期条件：
圆柱面内有界条件：
时，
有界，为有限值。
令
，代入
并分离变量有：
对①有：
对②有：令
，代入
有：
，其解为
所以：
当
时，
为有限值。但
，
，所以
（
并入
）
边界条件：
6.3-3一圆环形平板，内半径为
，外半径为
，侧面绝热，如果内圆保持在
，外圆温度保持在
，求稳恒状态下的温度分布。
解：温度
满足二维拉普拉斯方程：
边界条件：
自然周期条件：
设
代入方程有：
考虑自然周期条件有
，本征值问题为：
，其解为：
Euler方程
的解为：
所以：
代入边界条件有：
所以有：
由上面四个式子可得：
，
任意。
所以得：
6.3-4一半经为
的半圆形平板，其圆周边界上的温度保持为
。而在直径边界上的温度保持为
，板的侧面绝热，求稳恒状态下的温度分布。（
为常数）
解：这是一个二维稳定温度场的问题。
方程：
边界条件：
令
，代入
并分离变量有：
将
代入齐次边界条件有：
和
关于
的本征值问题为：
故Euler方程的解为：
所以：
为保证
在
为有限值，应
要求
对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗
代入边界条件：
故：
6.3-5 设有无穷长圆柱体，半径为
，在热传导过程中内部无热源，而边界上保持温度
，当圆柱体内温度分布达到稳定时，求温度分布。
解：方程为：
边界条件：
自然周期条件：
圆柱体内有界条件：
时，
取有限值。
令
，代入
并分离变量有：
将
代入自然周期条件
有：
所以：
对应
的Euler方程
的解为
所以：
当
时，为保证
取有限值，则
（
并入
）
边界条件：
则由Fourier Series 理论有：
6.3-6 利用恒等式
，其中
，证明上题的级数可表示成积分形式
这个公式称为圆域内的泊松公式。
证明：
令
EMBED Equation.3 ， 则
且有
，另外，
将
、
、
代入
有
（利用恒等式）
（将
代入）
6.4-1求解定解问题。
解：这是一个非齐次方程齐次边界条件的问题，按本征函数展开。
（1）设
，其中
满足非齐次方程和零初始条件：
而
满足齐次方程和非零初始条件：
（2）求解定解问题
，确定本征函数系。设
，代入方程有：
将
代入边界条件最后得到关于
的本征值问题
所以：
代入初始条件有：
（3）求解定解问题
,将
按本征函数系
展开。
设
代入方程和初始条件有:
（两次分部积分）
解关于
的初值问题
，有:
，代入
有：
所以：
6.4-2 求解定解问题
解：设
，关于边界，
均为齐次条件
（1）代入相应的齐次方程
有：
相应的边界条件分解为
，可得本征值问题如下：
将
按本证函数集
展开有：
代入原方程及关于
的边界条件有：
设
代入关于
的方程有：
所以：
代入边界条件
得：
解得：
所以有：
则：
因为：
6.4-3 在圆域
上求解
，边界条件为
。
解：用平面极坐标求解：设
，
则
在极坐标系中的表达式为
其对应的齐次方程对应的本征函数系为
【 注：本征值
，本征函数为
，
的组合或单独用
表示，依据由条件而定 】
将
，
按
展开，有：
将
代入原方程有：
即：
所以：
时，
时，
时，
，设
代入方程得：
故：
时，
应为有限值，
所以：
又边界条件为：
，
所以
相应系数相等。即
、
、
得到：
、
、
则
6.4-4 求解定解问题
解：（1）先确定本征函数集，相应的齐次方程的定解问题及其解为：
（2）设
，代入原方程有：
将
代入初始条件
得
关于
初始条件为：
（3）
时
设
代入上面的方程及初始条件有：
所以：
时，
代入初始条件
有：
，故
的解舍去。
时，有
代入初始条件
有：
故
的解为零解，也就舍去。所以只剩下
一项
故
6.4-5 均匀细导线，每一单位长的电阻为
,通以恒定的电流
，导线表面跟周围温度为零的介质进行热交换。试求导线上的温度变化。设初始温度和两端温度均为零。
为热交换系数。
解：（1）热传导方程的推导。设温度为
1 通过
两端流入
的热量为
2 导线与周围温度为零的介质的热交换，由牛顿冷却定律：
3 导线本身通有电流产生的焦耳热：
4 由于
的流入导致导线温度的升高为
即：
设
，则热传导方程为：
边界条件：
（导线长为
）
初始条件：
（2）用本征函数集
将
和
展开有：
设
，
代入原方程有：
由初始条件可知：
解此一阶常微分方程：设
代入一阶常微分方程有：设
有：
再代入初始条件有：
6.4-6 在环形区域
内求解定解问题。
在
，
解：（1）设
，
则
可化为:
设
，将它代入上面的齐次方程
并分离变量有：
，考虑周期条件
将
代入周期条件有：
，可得本征值问题为：
（2）因为：
故可将
，
按本征函数系
展开。
设
，
将它们代入非齐次方程
有：
（3）解上述关于
的常微分方程：
①
时，
设
，代入可得
时，
时，
②
时，
，设
代入可得
，所以：
（4）
代入边界条件
有：
所以：
于是：
再代入另一边界条件
，有：
比较系数有：
则
最后可得：
6.4-7 求解定解问题：
边界条件：
，初始条件：
解：设
，其中
，
且
满足非齐次边界条件，即
，
所以：
，
，这样
将
和
代入原定解问题有：
即
满足非齐次方程、齐次边界条件和非零初始条件。
根据边界条件的类型，设
，代入上述方程有：
将
代入非零初始条件有：
再设
（
根据非齐次项的次数来定）
代入
可得：
所以：
再代入
和
可确定
的值。
即：
则：
所以：
因为：
附录：
6.4-8 求解定解问题：
解：设
其中
，且满足
即：
而
满足：
方 程：
边界条件：
初始条件：
将
用本征函数系
展开，设
，代入方程
有：
所以：
，代入初始条件
，可确定
即：
这样：
6.4-9 散热片的横截面为矩形
，它的一边
保持较高温度
，其它三边则保持较低温度
，求解这横截面上的稳定温度分布。
解：稳定温度场为：
边界条件为：
设
，且
满足
设
，则有：
，
所以：
，即得：
而
为下面的定解问题：
方 程：
边界条件：
将
用本征函数系
展开，设
将其代入方程可得：
所以：
代入另外两个边界条件可以确定系数
如下：
所以：
则：
最后有：
6.4-10 杆的初始温度是均匀的
，杆长为
，杆的一端保持温度
不变，而另一端绝热，求杆中的温度分布。
解：用
表示杆中的温度，则定解问题为：
方 程：
边界条件：
初始条件：
这是一个齐次方程，非齐次边界条件的问题，设
其中
满足非齐次边界条件，即
，
令
，则
，
所以：
而
满足：
方 程：
边界条件：
初始条件：
将
用本征函数系
展开，
设
，
将其代入方程可得：
所以：
，代入初始条件
积分可得：
，
则
所以：
6.4-11 求下列定解问题：
方 程：
边界条件：
初始条件：
解：设
，令
满足非齐次边界条件，
，
即：
所以：
则
的方程和定解条件分别为：
方 程：
边界条件：
初始条件：
，
将
按本征函数系
展开，设
将上式代入非齐次方程和初始条件有：
设
将
用于上式可得
所以有：
将其代入方程可得：
将
的表达式代入
有：
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
（因为
）
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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