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05空间问题

zyzy
2011-12-06 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《05空间问题ppt》,可适用于高等教育领域

第八章空间问题空间球对称问题的求解空间轴对称问题的求解主要内容:基本方程组本章首先给出空间问题直角坐标下的平衡方程、几何方程和物理方程。针对空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到我们着重讨论空间轴对称问题和空间球对称问题。§概述球对称问题轴对称问题§直角坐标下的基本方程一平衡微分方程在物体内任意一点P取图示微小平行六面体。微小平行六面体各面上的应力分量如图所示。若以连接六面体前后两面中心的直线为ab则由得化简并略去高阶微量得同理可得这只是又一次证明了剪应力的互等关系。由立出方程经约简后得这就是空间直角坐标下的平衡微分方程。二几何方程在空间问题中形变分量与位移分量应当满足下列个几何方程其中的第一式、第二式和第六式已在平面问题中导出其余三式可用相同的方法导出。三物理方程对于各向同性体形变分量与应力分量之间的关系如下:这就是空间问题的物理方程。将应力分量用应变分量表示物理方程又可表示为:其中:四、边界条件位移边界条件:应力边界条件:例:无限大弹性层受重力和均布压力五、空间问题的求解应力解法位移解法应力解法相容方程:将几何方程第二式左边对z的二阶导数与第三式左边对y的二阶导数相加得将几何方程第四式代入得将几何方程中的后三式分别对x、y、z求导得并由此而得方程(a)、(b)、(c)、(d)称为变形协调条件也称相容方程。将物理方程代入上述相容方程并利用平衡微分方程简化后得用应力分量表示的相容方程:称其为密切尔相容方程。若体力为常数则:若体力为常数则:以上方程组称为贝尔特拉米方程。当按应力进行求解时要求满足平衡方程、密切尔方程贝尔特拉米方程以及边界条件还需考虑位移单值条件。能满足所有一切条件。解:已知应力分量为体力分量为一·检验平衡微分方程显然满足。二检验相容性因为体力为常量相容方程为:将应力分量代入显然均能满足。三检验边界条件下端面:代入边界条件均满足。左、右侧面:前、后侧面:代入(a)式显然满足。综上所述所给应力分量满足平衡方程、相容方程及外力边界条件。位移解法首先将几何方程代入物理方程再将所得结果代入平衡方程即得如下的拉梅方程:正确的解答除满足上述方程组外还需满足边界条件。为了求解齐次拉梅方程伽辽金引入了三个位移函数并取将上式代入齐次拉梅方程得:由此可见这三个伽辽金位移函数均为双调和函数。思考题:引入位移函数有什么好处?有了这三个位移函数则应力分量可表示为:弹性方程在空间问题中若弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外来因素都对称于某一轴(通过这个轴的任一平面都是对称面)则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。根据轴对称的特点应采用圆柱坐标表示。若取对称轴为z轴则轴对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是r和z的函数而与坐标无关。轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或半空间体。§空间轴对称问题一平衡微分方程取图示微元体。由于轴对称在微元体的两个圆柱面上只有正应力和的轴向剪应力在两个水平面上只有正应力和径向剪应力在两个垂直面上只有环向正应力图示。根据连续性假设微元体的正面相对负面其应力分量都有微小增量。注意:此时环向正应力的增量为零。由径向和轴向平衡并利用经约简并略去高阶微量得:这就是轴对称问题的柱坐标平衡微分方程。二几何方程通过与平面问题及极坐标中同样的分析可见由径向位移引起的形变分量为:由轴向位移引起的形变分量为:由叠加原理即得空间轴对称问题的几何方程:三物理方程由于圆柱坐标是和直角坐标一样的正交坐标所以可直接根据虎克定律得物理方程:应力分量用形变分量表示的物理方程:其中:例:无限大弹性层受重力和均布压力四轴对称问题的求解将几何方程代入应力分量用应变分量表示的物理方程得弹性方程:其中:再将弹性方程代入平衡微分方程并记:得到这就是按位移求解空间轴对称问题所需要的基本微分方程。显然上述基本微分方程中的位移分量是坐标r、z的函数不可能直接求解为此介绍下列方法:五位移势函数为简单起见不计体力。位移分量的基本微分方程简化为:从而有代入不计体力的基本微分方程得即取则。即为调和函数由位移势函数求应力分量的表达式为:这样对于一个轴对称问题如果找到适当的调和函数使得由此给出的位移分量和应力分量能够满足边界条件就得到该问题的正确解答。注:并不是所有问题中的位移函数都是有势的。若位移势函数有势则体积应变。六拉甫位移函数令其中将上式代入不计体力位移分量基本微分方程可见:即是重调和函数称为拉甫位移函数。由拉甫位移函数求应力分量的表达式为:可见对于一个轴对称问题只须找到恰当的重调和的拉甫位移函数使得该位移函数给出的位移分量和应力分量能够满足边界条件就得到该问题的正确解答。例半空间体在边界上受法向集中力设有半空间体体力不计在其边界上受有法向集中力如图所示。试求其应力与位移。解:取坐标系如图。通过量纲分析拉甫位移函数应是F乘以R、z、ρ等长度坐标的正一次幂试算后设位移函数为根据位移分量和应力分量与位移函数的关系:可以求得位移分量和应力分量将得出的A及A回代得Boussinesq解上题也可利用一个Love位移函数和一个位移势函数来求解。具体见教材。zxyL解:首先检查位移函数是否满足控制方程对函数进行求导得显然应力分量应力分量中的常数由边界条件决定将应力表达式代入边界条件得由式(),()得将c,c代入应力分量表达式(),(),()和()得在空间问题中如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外来因素都对称于某一点(通过这一点的任意平面都是对称面)则所有的应力、形变和位移也对称于这一点。这种问题称为空间球对称问题。显然球对称问题只可能发生于空心或实心的圆球体中。§空间球对称问题一平衡微分方程取微元体。用相距的两个圆球面和两两互成角的两对径向平面从弹性体割取一个微小六面体。由于球对称各面上只有正应力其应力情况如图所示。由于对称性微元体只有径向体积力。由径向平衡并考虑到再略去高阶微量即得球对称问题的平衡微分方程:二几何方程由于对称只可能发生径向位移又由于对称只可能发生径向正应变及切向正应变不可能发生坐标方向的剪应变。球对称问题的几何方程为:三物理方程球对称问题的物理方程可直接根据虎克定律得来:将应力用应变表示为:四位移法求解的基本微分方程将几何方程代入物理方程得弹性方程再代入平衡微分方程得这就是按位移求解球对称问题时所需要用的基本微分方程。例:空心圆球受均布压力设有空心圆球内半径为a外半径为b内压为qa外压为qb体力不计试求其应力及位移。其解为得应力分量解:由于体力不计球对称问题的微分方程简化为于是得问题的径向位移应力表达式半空间体在边界上受切向集中力Cerruti问题

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