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微积分常用公式及运算法则(下册) 同济二版 微积分(下) 1 微 积 分 公 式 等价无穷小: 2 0 , sin tan arcsin arctan ln(1 ) 1; 1 cos ; 2 (1 ) 1 ( 0); 1 ln ( 0, 1). x a x x x x x x x x e x x x ax a a x a a a → + − − + − ≠ − > ≠ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ 当 时 基本积分表 1 2 2 2 2 2 2 ...

微积分常用公式及运算法则(下册)
同济二版 微积分(下) 1 微 积 分 公 式 等价无穷小: 2 0 , sin tan arcsin arctan ln(1 ) 1; 1 cos ; 2 (1 ) 1 ( 0); 1 ln ( 0, 1). x a x x x x x x x x e x x x ax a a x a a a → + − − + − ≠ − > ≠ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ 当 时 基本积分表 1 2 2 2 2 2 2 d ( 1 , d ) d 1 1 d ln | | 1 d arctan 1 1 d arcsin 1 cos d sin sin d cos 1 d sec d tan cos 1 d csc d cot sin sec tan d sec csc cot d cs k x kx C k x x C x x x C x x C x x x C x x x C x x x x C x x x C x x x x C x x x x x C x x x x x C x x x µ µ µ + = + = = + = + + = + = + + = + − = + = − + = = + = = − + = + = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 时 c x C+ d d ( 0, 1) ln sinh d cosh cosh d sinh x x x x e x e C a a x C a a a x x x C x x x C = + = + > ≠ = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ 不定积分线性运算法则 [ ( ) ( )]d ( )d ( )du x v x x u x x v x xα β α β+ = +∫ ∫ ∫ 不定积分的换元法 [ ] 1 ( ) ( ) [ ( )] ( )d ( )d ( )d [ ( )] ( )d u x t x f x x x f u u f x x f t t t ϕ φ ϕ ϕ φ φ − = =  ′ =   ′= ∫ ∫ ∫ 积分公式 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d 1 arctan d arcsin d 1 arcsin ( 0, 0) d 1 ln 2 sec d ln | sec tan | csc d ln | csc cot | d ln ( 0) d ln | | x x C a x a a x x C aa x x bx C a b b aa b x x x a C x a a x a x x x x C x x x x C x x x a C a x a x x x a C x a = + + = + − = + > > − − = + − + = + + = − + = + + + > + = + − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 不定积分的分部积分法 d d d d uv x uv u v x u v uv v u ′ ′= − = − ∫ ∫ ∫ ∫或 定积分的换元法 [ , ]. ( ) (1) ( ) , ( ) , ([ , ]) [ , ] ([ , ]) [ , ]; (2) [ , ]( [ , ]) ( ) d [ ( )] ( ) db a f C a b x x a b a b a b C C f x x f t t tβ α ϕ ϕ α ϕ β ϕ α β ϕ β α ϕ α β ϕ β α ϕ ϕ ∈ = = = ⊆ ⊆ ′ ′∈ ∈ ′=∫ ∫ 设函数 如果函数 满足: 且 或 或 那么: 同济二版 微积分(下) 2 0 [ , ], ( )d 2 ( )d ; [ , ], ( )d 0 a a a a a f C a a f x x f x x f C a a f x x − − ∈ − = ∈ − = ∫ ∫ ∫ 若 并且为偶函数,则 若 并且为奇函数,则 2 2 0 0 2 0 0 2 2 0 0 (sin )d (cos )d (sin )d (sin )d sin d cos dn n f x x f x x xf x x f x x x x x x pi pi pi pi pi pi pi = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 定积分的分部积分法 d [ ] d d [ ] d b bb a a a b bb a a a uv x uv vu x u v uv v u ′ ′= − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 1, 2,3,m = ⋯ 第五章 向量代数与空间解析几何 向量的运算 1.向量的加法 ( ) ( ) a b b a a b c a b c + = + + + = + + � � � � � � � � � � 2.向量与数的乘法(数乘) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a a b a b λ µ λµ λ µ λ µ λ λ λ = + = + + = + � � � � � � � � � 3.不等式 || | | || | | | | | |a b a b a b− ≤ ± ≤ +� � � � � � 4.单位向量 | |a a e a = � � � 空间两点间的距离公式 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1| | ( ) ( ) ( )PP x x y y z z= − + − + − 向量的坐标表示 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ( , , ) , ( , , ) ( , , ) M x y z M x y z M M x x y y z z= − − − ������� 以点 为起点 为终点 的坐标 方向角与方向余弦 2 2 2 2 2 2 : cos ,cos ,cos| | | | | | | | . :cos cos cos 1 (cos ,cos ,cos ) yx z x y z a aa a a a a a a a a e α β γ α β γ α β γ = = = = + + + + = = � � � � � 方向余弦 其中 方向余弦满足 向量的投影 , Prj | | cos( ^ )b a b a a b� � � � � � 向量 在 上的投影 记为 向量的模 2 2 2 ( , , ) | | x y z x y z a a a a a a a a = = + + � � 向量 的模为 向量的数量积(点积、内积) | || | cosa b a b θ⋅ =� � � � 0 0 0a a⋅ = ⋅ = � � � � | | Prj | | Prj :Prj | | a b aa a b a b b a a bb e b a ⋅ = = ⋅ = = ⋅ � � � � � � � � � � � �即 ( , , ) ( , , )x y z x y z x x y y z za b a a a b b b a b a b a b⋅ = ⋅ = + + � � 2| | ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a b b a a b c a b a c a b a bλ µ λµ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 2 cos ( 0 )| || | ( , , ), ( , , ), cos x y z x y z x x y y z z x y z x y z a b a b a b a a a a b b b b a b a b a b a a a b b b θ θ pi θ ⋅ = ≤ ≤ = = + + = + + ⋅ + + � � � � � � � � 向量 与 的夹角满足公式 其中 若 则 同济二版 微积分(下) 3 ( , , ), ( , , ), 0 x y z x y z x x y y z z a a a a b b b b a b a b a b a b = = ⊥ + + = � � � � 若 则 的充要条件是 向量的向量积 ( ) , , , ( ) | | | | | | sin ( ^ ) ( ) , , , a b a b a b i a b a b a b ii a b a b a b a b θ θ × × = × = × × � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 设 和 是两个向量 规定 与 的向量积是一 个向量记作 它的模与方向分别是: 其中 同时垂直于 和 并且 符合 右手法则. 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a b b a a a a a a b c a c b c a b a bλ µ λµ × = − × × = × = × = + × = × + × × = × � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0a b a b× = � � � � � � 的充要条件是 ( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y x y z x yz x y z x yz x x y z x y z a b a b a b i a b a b j a b a b k a a a aa a i j k b b b bb b i j k a a a b b b × = − + − + − = + + = � � � � � � � � � � � 两向量的向量积的几何意义 ( ) : | | | || | sin | | ( | | sin ), | | ( ) : . i a b a b a b a h h b a b a b ii a b a b a b θ θ × × = = = × × × � � � � � � � � � � � � � � � � � � 的模 由于 所以 表示以 和 为邻边的平行四边 形的面积. 的方向 与一切既平行于 又平行于 的平面垂直 向量的混合积 ( ) y z x yz x x y z y z x yz x x y z x y z x y z a b c a a a aa a c c c b b b bb b a a a b b b c c c × ⋅ = + + = � � � [ ] [ ] [ ]abc bca cab= = ��� ��� ��� , , 0 x y z x y z x y z a b c a a a b b b c c c = � � � 三向量 共面的充要条件是 平面的方程 1.点法式方程 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) 0 M x y z n A B C A x x B y y C z z = Π − + − + − = �过点 且以 为法向量 的平面 的方程为 2.一般方程 0 ( , , ) , , , , , , ( , , ) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Ax By Cz D A B C x y z A B C n A B C A x B y C z D A B z B C x C A y + + + = = = = = = = = = = = = � 三元一次方程 不同时为零 的图形是平面 其中 的系数 是平面的法向量的坐标 即 是平面的法向量. 特殊的平面: 平行于 轴的平面; 平行于 轴的平面; 平行于 轴的平面; 过原点的平面; 垂直于 轴的平面; 垂直于 轴的平面; 垂直于 轴的平面. 平面的夹角 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 | | cos | || | n n A A B B C C n n A B C A B C θ ⋅ + += = + + + + �� ��� �� ��� 同济二版 微积分(下) 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 0A A B B C C A B C A B C Π Π + + = = = 平面 和 相互垂直的充要条件是: 相互平行的充要条件是: 点到平面的距离 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 ( , , ) 0 | | : P x y z Ax By Cz D Ax By Cz Dd A B C + + + = + + + = + + 点 到平面 的距离为 直线的方程 1. 参数方程 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) . M x y z s m n p L x x tm y y tn z z tp = = +  = +  = + �过 且以 为方向向量 的直线 的方程为 2. 对称式方程(点向式方程) 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) . M x y z s m n p L x x y y z z m n p = − − − = = �过 且以 为方向向量 的直线 的方程为 3. 一般方程 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 : 0 : 0 ( , , ) , , , , : 0, 0. . L A x B y C z D A x B y C z D M x y z L x y z A x B y C z D A x B y C z D A B C A B C Π + + + = Π + + + = Π Π + + + =  + + + = = = 直线 可以看作两个平面 与 的交线.空间一点 在直线 上当且仅当它的坐标 同时满足 与 的方程的下面的直线方程 其中 不成立 两直线的夹角 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 ( , , ), ( , , ), : | | cos | || | L L s m n p s m n p s s m m n n p p s s m n p m n p ϕ = = ⋅ + + = = + + + + � � � � � � 直线 与 的方向向量分别是 则夹角公式为 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 0 L L m m n n p p m n p m n p + + = = = 直线 和 相互垂直的充要条件是: 相互平行的充要条件是: 直线与平面的夹角 2 2 2 2 2 2 ( , , ), ( , , ), : | | | | sin | || | L s m n p n A B C n s Am Bn Cp n s A B C m n p ϕ Π = = ⋅ + + = = + + + + � � � � � � 直线 与平面 法线的方向向量分别是 则夹角公式为 ; 0. L A B C m n p Am Bn Cp Π = = + + = 直线 和平面 相互垂直的充要条件是: 相互平行的充要条件是: 旋转曲面 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 0 , , 0; ( , ) 0 , , 0. C f y z z y x y C z f x y z f y z y z x z C y f y x z = ± + ± + = = ± + ± + = 若在曲线 的方程 中 保持不变而 将 改写成 就得到曲线 绕 轴 旋转而成的曲面的方程 若在 中 保持不变而将 改写成 就得到曲线 绕 轴旋转而成的 曲面的方程 二次曲面图形及方程 1.椭球面 同济二版 微积分(下) 5 2 2 2 2 2 2 1 sin cos sin sin cos [0, ], [0, 2 ] x y z a b c x a y b z c θ ϕ θ ϕ θ θ pi ϕ pi + + = =  =  = ∈ ∈其中 2.抛物面 (1)椭圆抛物面 2 2 2 2 2 cos sin [0,2 ], [0, ) x y z a b x av u y bv u z v u vpi + = ±  =  =  = ∈ ∈ +∞其中 (2)双曲抛物面 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 4 , x y z a b x a u v y b u v z uv x au y bv z u v u v − = ± = +  = −  =  =  =  = − ∈ R 或 3.双曲面 (1)单叶双曲面 2 2 2 2 2 2 1 cosh cos cosh sin sinh , [0, 2 ] x y z a b c x a u v y b u v z c u u v pi + − = =  =  = ∈ ∈R (2)双叶双曲面 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1cos 1sin ( , 1] [1, ), [0,2 ] x y z a b c x a u v y b u v z cu u v pi + − = −  = −   = −  =  ∈ −∞ − +∞ ∈∪ 4.椭圆锥面 2 2 2 2 2 2 cos sin [0, 2 ], x y z a b c x av u y bv u z cv u vpi + = =  =  = ∈ ∈ R 第六章 多元函数微分学 偏导数的几何意义 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ), , , ( , ) , ; ( , ) ( , ), , , ( , ) , x y f x y z f x y M x y f x y y y x f x y z f x y M x y f x y y y y =  = =  = 偏导数 在几何上表示 曲线 在点 处的 切线对 轴的斜率 偏导数 在几何上表示 曲线 在点 处的 切线对 轴的斜率. 全微分 ( , ) ( , ) , ( , ) , : ( , ) ( , ) ,x y z f x y D x y f x y dz f x y dx f x y dy z zdz dx dy x y = = + ∂ ∂ = + ∂ ∂ 若函数 在区域 内每一点 处都可微则 在每点处连续且可偏导 其全微分为 或 复合函数的求导法则 1.复合函数的中间变量均为一元函数 同济二版 微积分(下) 6 ( ), ( ) , ( , ) ( , ) , [ ( ), ( )] , : u t v t t z f u v u v z f t t t dz z du z dv dt u dt v dt ϕ φ ϕ φ = = = = ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂ 如果函数 都在点 可导 函数 在对应点 具有连续偏导数 则复合函数 在点 可导且有 2.复合函数的中间变量均为多元函数 ( , ), ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , [ ( , ), ( , )] ( , ) , : , u x y v x y x y z f u v u v z f x y x y x y z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y ϕ φ ϕ φ = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 如果函数 都在点 可微函数 在对应点 具有连续 偏导数则复合函数 在 点 可微且有 3.复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函 数。 ( , ), ( , ), ( ) [ ( , ), ( )], ( , ) , , : , z f x y x s t y t z f s t t z x y z z f x s x s z f x f dy t x t y dt ϕ φ ϕ φ = = = = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ 设 复合成二元函 数 并且函数 在对应点 具有连续偏导数 复合函数 可微且有 对隐函数求导 1. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , ( , ) 0, ( , ) 0, ( , ) ( , ) 0 ( ), ( ), . y x y F x y x y F x y F x y x y F x y y f x Fdyy y x dx F = ≠ = = = = − 设 在 附近具有连续的一阶偏导 则在 的附近, 方程 一定可确定一隐函数 且满足 2. (1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (1) 0 0 0 0 0 0 ( , , ) , ( , , ) ( , , ) 0, ( , , ) 0, ( , , ) 0, ( , , ) ( , ), ( , ), , . z yx z z F x y z C x y z F x y z F x y z F x y z x y z C z z x y z z x y FFz z x F y F Ω ∈Ω = ≠ = = = ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ 设三元函数 在区域 内是 类函数 点 且满足 则方程 在点 的某领域内唯一确定了一个 类 的二元函数 它满足条件 且有 3. ( , , , ) 0 ( , ) ( , , , ) 0 ( , ) 0 0 , x u v x u v F x y u v u u x y G x y u v v v x y u vF F F x x x u vG G G x x u v x x = =  ⇒  = =  ∂ ∂ + ⋅ + ⋅ = ∂ ∂  ∂ ∂ + ⋅ + ⋅ =  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 方程组 对 求导 解出 方向导数 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 0 0 ( , ) 0 0 ( , ) ( , ) , (cos ,cos ), ( , ) ( , ) , ( , ) cos ( , ) cos . , ( , ) | ( , ) | cos ( , ) l x y x y l x y z f x y x y e f x y x y l f f x y f x y l f f x y e f x y l f x y e α β α β θ θ = = ∂ = + ∂ ∂ = ∇ ⋅ = ∇ ∂ ∇ � � � � 设函数 在点 可微则对于任意 单位向量 函数 在点 沿方向 的方向导数存在且有 或利用梯度得 其中 是 与 的夹角. 梯度 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) grad ( , ) ( , ) ( , )x y f x y f x y f x y i f x y j ∇ = = + � � 曲线的切平面与法向量 1. 同济二版 微积分(下) 7 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) 0, ( , , ) , ( , , ) , ( , , ), ( , , ), ( , , ) , ( , , ), ( , , ), ( , , ) x y z x y z F x y z M x y z F x y z M F x y z F x y z F x y z M n F x y z F x y z F x y z ∑ = ∈∑ ∑ = � 设曲面 的方程为 点 如果函数 在点 处可微 且 不全为零 则曲面 在 处 存在切平面并有法向量 2. ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ), ( , , ) , ( ( , )). ( , ) ( , ) , ( , ), ( , ), 1x y z z x y M x y z z z x y z x y x y M n z x y z x y ∑ = ∈∑ = ∑ = − � 曲面 的方程为 点 其中 如果函数 在点 处可微则曲面 在点 处存在切平面并有 法向量 3. 0 0 0 0 0 0 (1) 0 0 0 : ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ,( , ) ( , ) ( , ) , , : u u u v v x x u v y y u v z z u v M x y z u v x u v y u v z u v C u v y z z x x y u v u v u v M i j k n x y z x y z ∑ =  =  = ∑ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑ = �� � � 设曲面 的方程为下列参数方程 上一点 对应于 如果 都是 类函数 并且在 处 不同时为零则曲面 在点 处存在切平面 并且有法向量 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ,( , ) ( , ) ( , ) v u v u v y z z x x y u v u v u v  ∂ ∂ ∂ =  ∂ ∂ ∂  空间曲线的切线与法平面 1. ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( , , ) , . ( ), ( ), ( ) , , : ( ), ( ), ( ) x x t y y t z z t M x y z M t x t y t z t M M x t y t z tτ Γ =  =  = ′∈Γ ′ ′ Γ Γ ′ ′ ′= � 设空间曲线 的方程为 点 对应参数 如果 存在且不全为零 则曲线 在点 处有切线且 在点 的一个切向量为 2. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) 0 ( , , ) 0 ( , , ) , ( , , ), ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ,( , ) ( , ) ( , ) , : ( , ) ( , ) ( , ) , ,( , ) ( , ) ( , F x y z G x y z M x y z F x y z G x y z M x y z F G F G F G M y z z x x y M F G F G F G y z z x x τ Γ =  = ∈Γ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Γ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ � 设空间曲线 有一般方程 点 且函数 在点 处有连续的偏导数.如果 二节行列式 在 处不全为零则曲线 在点 处有切向量 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ) x y z x y z x y z x y z y i j k F F F G G G       = �� � 多元函数的极大值与极小值 1.验证二元函数的驻点是否为函数极值: 0 0 (2) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 ( , ) ( , ) ,( , ) ( , ) , ( , ) 0, : ( , ), ( , ), ( , ), , (1) 0 , ( , ) , 0 ( , ) , 0 , ( , ) . (2) 0 ( , ) xx xy yy z f x y x y D C x y f x y f x y A f x y B f x y C f x y AC B f x y A f x y A f x y AC B f x y = ∇ = = = = − > > < − < � 设函数 在包含点 的区域 内 是 类函数 是 的驻点 即 记 那么 当 时 是极值 且当 时, 是极小值当 时 是极大值 当 时, 不是极 2 0 0 . (3) 0 , ( , ) . AC B f x y− = 值 当 时 是否为极值 还需另作讨论 同济二版 微积分(下) 8 2.拉格朗日乘子法 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , ( , , ) ( , ) ( , ) , 0, 0, 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0 , ( , ) ( , ) ( , ) 0 . x y x x y y f x y x y L x y f x y x y x x y y L L L f x y x y f x y x y x y x y f x y x y λ ϕ λ λϕ λϕ λϕ ϕ ϕ = + = = = = =  + =  + =  = = 设函数 与 具有连续的偏导数 作拉格朗日函数 如果 是方程组 即 的解那么 是目标函数 在约束条件 下的可疑极值点 第七章 重积分 重积分的性质 1.线性性质 ( , ), ( , ) , , , ( , ) ( , ) , [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , )] D D D f x y g x y D f x y g x y D f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy α β α β α β α β + + = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 如果函数 都在 上可积 则对任 意的常数 函数 也在 上可积 且 2.区域可加性 1 2 1 2 1 2 ( , ) , , ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y D D D D f x y D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫ 如果函数 在 上可积用曲线将 分割成 两个闭区域 与 则 在 与 也都可 积且 3.单调性 ( , ) , ( , ) 0, ( , ) 0. ( , ), ( , ) , ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) . D D D f x y D D f x y f x y dxdy f x y g x y D D f x y g x y f x y dxdy g x y dxdy ≥ ≥ ≤ ≤ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 如果函数 在 上可积 并且在 上 则 如果函数 都在 上可积 且在 上 则 4.绝对值可积 ( , ) , | ( , ) | , ( , ) | ( , ) | . D D f x y D f x y D f x y dxdy f x y dxdy≤∫∫ ∫∫ 如果函数 在 上可积 则函数 也在 上可积且 5.中值定理 ( , ) , ( , ), ( , ) ( , ) ( ), ( ) . D f x y D D f x y dxdy f D D D ξ η ξ η µ µ = ⋅∫∫ 如果函数 在 上连续 则在 上至少存 在一点 使得 其中 表示 的面积 6. ( , ) 1 , . D f x y d Dσ≡ ∫∫当 时 表示区域 的面积 7.估值定理 ( , ) , , ( , ) ( , ) D f x y D M m f x y m f x y dxdy Mσ σ≤ ≤∫∫ 如果函数 在 上连续 且 为 的最大、最小值,则 二重积分的计算 1.直角坐标 2 1 1 2 ( ) ( ) {( , ) | ( ) ( ), }, ( , ) ( , ) .b x a x D x D x y x y x a x b f x y d dx f x y dyϕ ϕ ϕ ϕ σ = ≤ ≤ ≤ ≤ =∫∫ ∫ ∫ 对 型区域 则 2 1 1 2 ( ) ( ) {( , ) | ( ) ( ), }, ( , ) ( , ) .d y c y D y D x y y x y c y d f x y d dy f x y dxφφ φ φ σ = ≤ ≤ ≤ ≤ =∫∫ ∫ ∫ 对 型区域 则 2.极坐标 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( cos , sin ) ( cos , sin ) D D a f x y dxdy f d d d f dβ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ = = ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 三重积分的计算 1.直角坐标 (1)坐标面投影法 同济二版 微积分(下) 9 2 1 1 2 ( , ) ( , ) , {( , , ) | ( , ) ( , ), ( , ) }. , , ( , , ) , ( , , ) ( , , ) . xy xy xy z x y z x y D xOy D x y z z x y z z x y x y D xy f x y z f x y z dV dxdy f x y z dz Ω Ω Ω Ω = ≤ ≤ ∈ Ω Ω =∫∫∫ ∫∫ ∫ 如果将积分区域 向 面投影得投影区域 且 能够表示为 那么设 型空间区域 由上式给出且函数 在 上连续 则 (2)坐标轴投影法 [ , ], {( , , ) | ( , ) , }, (0,0, ) . , ( , , ) , ( , , ) ( , , ) . z z z q p D z p q x y z x y D p z q D z xOy z f x y z f x y z dV dz f x y z dxdy Ω Ω Ω Ω = ∈ ≤ ≤ Ω Ω Ω =∫∫∫ ∫ ∫∫ 将空间区域 向 轴作投影得一投影区间 且 能表示为 其中 是过点 且平行于 面的平面 截 所得的平面区域 设 型空间区域 由上式给出且函数 在 连续 那么 2.柱面坐标 ( , , ) ( cos , sin , ) 0 cos 0 2 sin . f x y z dxdydz f z d d dz x y z z z ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ pi ρ ϕ Ω Ω = < < +∞ =   ≤ ≤ =    −∞ < < +∞ =  ∫∫∫ ∫∫∫ 其中 ,且有 3.球面坐标 2 ( , , ) ( sin cos , sin sin , cos ) sin 0 sin cos 0 , sin sin 0 2 cos f x y z dxdydz f r r r r drd d r x r y r z r θ ϕ θ ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ θ pi θ ϕ ϕ pi θ Ω Ω = ≤ < +∞ =   ≤ ≤ =   ≤ ≤ =  ∫∫∫ ∫∫∫ 其中 且有 同济二版 微积分(下) 10 第八章 曲线积分与曲面积分 第一类曲线积分的计算法 1. 2 2 L ( ) , ( )( ) ( , ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) L x x t t y y t f x y L f x y ds f x t y t x t y t dtβ α α β α β = ≤ ≤ = ′ ′= + < ∫ ∫ 设平面光滑曲线弧 由参数方程 给出,函数 在 上连续,则 其中 2. 2 2 L ( ), ( ) , ( )( ) ( , ) [ , ( )] 1 ( ) d ( ) L ( ), ( ) ( , ) [ ( ), ] ( ) 1d ( ) b a L d c L y y x a x b x x a x b y y x f x y ds f x y x y x x a b x x y c y d f x y ds f x y y x y y c d = ≤ ≤ = ≤ ≤ = ′= + < = ≤ ≤ ′= + < ∫ ∫ ∫ ∫ 若曲线弧 由参数方程 其中 给出,可以看作是特殊的参数方程 则 其中 类似的,若曲线弧 由方程 给出,则有 其中 3. 2 2 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) d ( ) x x t y y t t z z t f x y z f x y z ds f x t y t z t x t y t z t tβ α α β α β Γ Γ =  = ≤ ≤  = Γ ′ ′ ′= + + < ∫ ∫ 设空间光滑曲线弧 由参数方程 给出,函数 在 上连续,则 其中 第一类曲面积分的计算法 2 2 ( , ), ( , ) ( , , ) ( , , )d [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) d xy xy xy x y D z z x y x y D D xOy f x y z f x y z S f x y z x y z x y z x y σ Σ Σ = ∈ Σ Σ = ⋅ + + ∫∫ ∫∫ 设光滑曲面 由方程 给出, 为 在 面上的投影区域,函数 在 上连续,则 曲面面积 2 2 ( , ), ( , ) , , 1 . xy xy xy x y D z z x y x y D D xOy S z z dxdy Σ = ∈ Σ Σ = + +∫∫ 设光滑曲面 由方程 给出 为 在 面上的投影 则曲面 的面积 向量值函数在定向曲线上的积分 (第二类曲线积分) 定向曲线的切向量 ( ) ( ) ( ) , : , ( ) ( ), ( ), ( ) , , . x x t y y t t a b z z t x t y t z t a b a b τ =  = →  = Γ ′ ′ ′= ± < > � 由参数方程 给出的定向光滑曲线 在其上任意点处的 切向量为 其中的正负号当 时取正当 时取负 第二类曲线积分的计算法 1. [ ] [ ]{ } ( ), ( ), : , ( , ), ( , ) , ( , )d ( , )d ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d , . L b a L x x t y y t t a b P x y Q x y L P x y x Q x y y P x t y t x t Q x t y t y t t a L b L = = → + ′ ′= + ∫ ∫ 如果平面上定向光滑曲线弧 的方程为 在 上连续 则 其中右端定积分的下限 对应 的起点 上限 对应 的终点 2. 同济二版 微积分(下) 11 [ ] [ ]{ } ( ), : , ( , ), ( , ) , ( , )d ( , )d , ( ) , ( ) ( ) d , . L b a L y y x x a b P x y Q x y L P x y x Q x y y P x y x Q x y x y x x a L b L = → + ′= + ∫ ∫ 如果平面上定向光滑曲线弧 的方程为 函数 在 上连续 则 其中右端定积分的下限 对应 的起点 上限 对应 的终点 3. [ ]{ [ ] [ ] } ( ), ( ), ( ), : , ( , , ), ( , , ), ( , , ) , ( , , )d ( , , )d ( , , )d ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) d b a x x t y y t z z t t a b P x y z Q x y z R x y z P x y z x Q x y z y R x y z z P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t t a Γ Γ = = = → Γ + + ′= ′+ ′+ Γ ∫ ∫ 如果定向光滑曲线 的方程为 函数 在 上连续 则 其中右端定积分的下限 对应 的起点, .b Γ上限 对应 的终点 格林公式 1. 格林定理 , , ( , ), ( , ) d ( , )d ( , ) d D D D xOy D P x y Q x y D Q P P x y x Q x y y x y σ +∂ ∂  ∂ ∂ − = + ∂ ∂ ∫∫ ∫� 设 是 面上的有界闭区域其边界曲线 由有限条光滑的曲线所组成如果函数 在 上具有一阶连续偏导数,那么 2.平面定向曲线积分与路径无关的条件 ( )( , ) ( , ), ( , ) ( ) ( , )d ( , )d 0 ( ) ( , )d ( , )d ( ) ( , )d ( , )d ( , ) ( , ) C L G F x y P x y Q x y G i G C P x y x Q x y y ii P x y x Q x y y G iii P x y x Q x y y G u x y du P x y = + = + + = ∫ ∫ �� � 设 是平面上的单连通区域, 在 内有连续的 偏导数,那么以下四个条件相互等价: 对 内的任意一条分段光滑的闭曲线 , ; 曲线积分 在 内 与路径无关; 表达式 在 内是某 个二元函数的全微分,既存在 ,使得 d ( , ) d ; ( ) x Q x y y Q Piv G x y + ∂ ∂ = ∂ ∂ 在 内每点都成立. 最便于运用的条件是(iv),即 (1) , , ( ), d d L G L G P Q C G Q PP x Q y x y ∈ ∂ ∂ + ⇔ ≡ ∂ ∂∫ 设 是平面单连通区域, 是 内任意光滑 或分段光滑的曲线弧 则 与路径无关 第二类曲面积分的计算法 ( , ), ( , ) ( ), ( , , ) , ( , , ) [ , , ( , )] , . xy xy xy D z z x y x y D D xOy R x y z R x y z dxdy R x y z x y dσ Σ Σ = ∈ Σ Σ = ± Σ Σ ∫∫ ∫∫ 1.如果函数 的方程 是 在 面上的投影区域 在 上连 续 那么 积分号前的符号当 取上侧时为正 取下为负 ( , ), ( , ) ( ), ( , , ) , ( , , ) [ ( , ), , ] , yz yz yz D x x y z y z D D yOz P x y z P x y z dydz P x y z y z dσ Σ Σ = ∈ Σ Σ = ± Σ ∫∫ ∫∫ 2.如果函数 的方程 是
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分类:其他高等教育
上传时间:2011-12-06
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