同济二版 微积分(下)
1
微 积 分 公 式
等价无穷小:
2
0 ,
sin tan arcsin arctan
ln(1 ) 1;
1 cos ;
2
(1 ) 1 ( 0);
1 ln ( 0, 1).
x
a
x
x
x x x x x
x e
x
x
x ax a
a x a a a
→
+ −
−
+ − ≠
− > ≠
∼ ∼ ∼ ∼
∼ ∼
∼
∼
∼
当 时
基本积分表
1
2
2
2
2
2
2
d ( 1 , d )
d
1
1 d ln | |
1 d arctan
1
1 d arcsin
1
cos d sin
sin d cos
1 d sec d tan
cos
1 d csc d cot
sin
sec tan d sec
csc cot d cs
k x kx C k x x C
x
x x C
x x C
x
x x C
x
x x C
x
x x x C
x x x C
x x x x C
x
x x x x C
x
x x x x C
x x x
µ
µ
µ
+
= + = = +
= +
+
= +
= +
+
= +
−
= +
= − +
= = +
= = − +
= +
= −
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
时
c x C+
d
d ( 0, 1)
ln
sinh d cosh
cosh d sinh
x x
x
x
e x e C
a
a x C a a
a
x x x C
x x x C
= +
= + > ≠
= +
= +
∫
∫
∫
∫
不定积分线性运算法则
[ ( ) ( )]d ( )d ( )du x v x x u x x v x xα β α β+ = +∫ ∫ ∫
不定积分的换元法
[ ] 1
( )
( )
[ ( )] ( )d ( )d
( )d [ ( )] ( )d
u x
t x
f x x x f u u
f x x f t t t
ϕ
φ
ϕ ϕ
φ φ
−
=
=
′ =
′=
∫ ∫
∫
积分公式
( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
d 1
arctan
d
arcsin
d 1
arcsin ( 0, 0)
d 1 ln
2
sec d ln | sec tan |
csc d ln | csc cot |
d ln ( 0)
d ln | |
x x C
a x a a
x x C
aa x
x bx C a b
b aa b x
x x a C
x a a x a
x x x x C
x x x x C
x
x x a C a
x a
x
x x a C
x a
= +
+
= +
−
= + > >
−
−
= +
− +
= + +
= − +
= + + + >
+
= + − +
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
不定积分的分部积分法
d d
d d
uv x uv u v x
u v uv v u
′ ′= −
= −
∫ ∫
∫ ∫或
定积分的换元法
[ , ]. ( )
(1) ( ) , ( ) , ([ , ]) [ , ]
([ , ]) [ , ];
(2) [ , ]( [ , ])
( ) d [ ( )] ( ) db
a
f C a b x x
a b a b
a b
C C
f x x f t t tβ
α
ϕ
ϕ α ϕ β ϕ α β
ϕ β α
ϕ α β ϕ β α
ϕ ϕ
∈ =
= = ⊆
⊆
′ ′∈ ∈
′=∫ ∫
设函数 如果函数 满足:
且
或
或
那么:
同济二版 微积分(下)
2
0
[ , ],
( )d 2 ( )d ;
[ , ],
( )d 0
a a
a
a
a
f C a a
f x x f x x
f C a a
f x x
−
−
∈ −
=
∈ −
=
∫ ∫
∫
若 并且为偶函数,则
若 并且为奇函数,则
2 2
0 0
2
0 0
2 2
0 0
(sin )d (cos )d
(sin )d (sin )d
sin d cos dn n
f x x f x x
xf x x f x x
x x x x
pi pi
pi
pi
pi pi
pi
=
=
=
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
定积分的分部积分法
d [ ] d
d [ ] d
b bb
a
a a
b bb
a
a a
uv x uv vu x
u v uv v u
′ ′= −
= −
∫ ∫
∫ ∫
1, 2,3,m = ⋯
第五章 向量代数与空间解析几何
向量的运算
1.向量的加法
( ) ( )
a b b a
a b c a b c
+ = +
+ + = + +
� � � �
� � � � � �
2.向量与数的乘法(数乘)
( ) ( )
( )
( )
a a
a a a
a b a b
λ µ λµ
λ µ λ µ
λ λ λ
=
+ = +
+ = +
� �
� � �
� � � �
3.不等式
|| | | || | | | | | |a b a b a b− ≤ ± ≤ +� � � � � �
4.单位向量
| |a
a
e
a
=
�
�
�
空间两点间的距离公式
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1| | ( ) ( ) ( )PP x x y y z z= − + − + −
向量的坐标表示
1 1 1 1 2 2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1
( , , ) , ( , , )
( , , )
M x y z M x y z
M M x x y y z z= − − −
�������
以点 为起点 为终点
的坐标
方向角与方向余弦
2 2 2
2 2 2
: cos ,cos ,cos| | | | | |
| | .
:cos cos cos 1
(cos ,cos ,cos )
yx z
x y z
a
aa a
a a a
a a a a
e
α β γ
α β γ
α β γ
= = =
= + +
+ + =
=
� � �
�
�
方向余弦
其中
方向余弦满足
向量的投影
,
Prj | | cos( ^ )b
a b
a a b�
� �
� � �
向量 在 上的投影 记为
向量的模
2 2 2
( , , )
| |
x y z
x y z
a a a a
a a a a
=
= + +
�
�
向量 的模为
向量的数量积(点积、内积)
| || | cosa b a b θ⋅ =� � � �
0 0 0a a⋅ = ⋅ =
� � � �
| | Prj | | Prj
:Prj | |
a b
aa
a b a b b a
a bb e b
a
⋅ = =
⋅
= = ⋅
� � � � � �
� �
� � �
�即
( , , ) ( , , )x y z x y z x x y y z za b a a a b b b a b a b a b⋅ = ⋅ = + +
� �
2| |
( )
( ) ( ) ( )
a a a
a b b a
a b c a b a c
a b a bλ µ λµ
⋅ =
⋅ = ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅
� � �
� � � �
� � � � � � �
� � � �
2 2 2 2 2 2
cos ( 0 )| || |
( , , ), ( , , ),
cos
x y z x y z
x x y y z z
x y z x y z
a b
a b
a b
a a a a b b b b
a b a b a b
a a a b b b
θ θ pi
θ
⋅
= ≤ ≤
= =
+ +
=
+ + ⋅ + +
� �
� �
� �
� �
向量 与 的夹角满足公式
其中
若 则
同济二版 微积分(下)
3
( , , ), ( , , ),
0
x y z x y z
x x y y z z
a a a a b b b b
a b a b a b a b
= =
⊥ + + =
� �
� �
若 则
的充要条件是
向量的向量积
( )
,
, ,
( ) | | | | | | sin ( ^ )
( ) , , ,
a b a b
a b
i a b a b a b
ii a b a b a b a b
θ θ
×
× = × =
× ×
� � � �
� �
� � � � � �
� � � � � � � �
设 和 是两个向量 规定 与 的向量积是一
个向量记作 它的模与方向分别是:
其中
同时垂直于 和 并且 符合
右手法则.
0 0 0
0
( )
( ) ( ) ( )
a b b a
a a
a a
a b c a c b c
a b a bλ µ λµ
× = − ×
× = × =
× =
+ × = × + ×
× = ×
� � � �
� � � � �
� � �
� � � � � � �
� � � �
0a b a b× =
� � � � �
� 的充要条件是
( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y x
y z x yz x
y z x yz x
x y z
x y z
a b
a b a b i a b a b j a b a b k
a a a aa a
i j k
b b b bb b
i j k
a a a
b b b
×
= − + − + −
= + +
=
� �
� � �
� � �
� � �
两向量的向量积的几何意义
( ) :
| | | || | sin | | ( | | sin ),
| |
( ) :
.
i a b
a b a b a h h b
a b a b
ii a b
a b a b
θ θ
×
× = = =
×
×
×
� �
� � � � � �
� � � �
� �
� � � �
的模
由于
所以 表示以 和 为邻边的平行四边
形的面积.
的方向
与一切既平行于 又平行于 的平面垂直
向量的混合积
( )
y z x yz x
x y z
y z x yz x
x y z
x y z
x y z
a b c
a a a aa a
c c c
b b b bb b
a a a
b b b
c c c
× ⋅
= + +
=
� � �
[ ] [ ] [ ]abc bca cab= =
��� ��� ���
, ,
0
x y z
x y z
x y z
a b c
a a a
b b b
c c c
=
� � �
三向量 共面的充要条件是
平面的方程
1.点法式方程
0 0 0 0
0 0 0
( , , ) ( , , )
( ) ( ) ( ) 0
M x y z n A B C
A x x B y y C z z
=
Π
− + − + − =
�过点 且以 为法向量
的平面 的方程为
2.一般方程
0
( , , ) ,
, , , , ,
( , , )
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
Ax By Cz D
A B C
x y z A B C
n A B C
A x
B y
C z
D
A B z
B C x
C A y
+ + + =
=
=
=
=
=
= =
= =
= =
�
三元一次方程
不同时为零 的图形是平面 其中
的系数 是平面的法向量的坐标
即 是平面的法向量.
特殊的平面:
平行于 轴的平面;
平行于 轴的平面;
平行于 轴的平面;
过原点的平面;
垂直于 轴的平面;
垂直于 轴的平面;
垂直于 轴的平面.
平面的夹角
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
| |
cos | || |
n n A A B B C C
n n A B C A B C
θ ⋅ + += =
+ + + +
�� ���
�� ���
同济二版 微积分(下)
4
1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1
2 2 2
0A A B B C C
A B C
A B C
Π Π
+ + =
= =
平面 和
相互垂直的充要条件是:
相互平行的充要条件是:
点到平面的距离
0 0 0 0
0 0 0
2 2 2
( , , ) 0
| |
:
P x y z Ax By Cz D
Ax By Cz Dd
A B C
+ + + =
+ + +
=
+ +
点 到平面
的距离为
直线的方程
1. 参数方程
0 0 0 0
0
0
0
( , , ) ( , , )
.
M x y z s m n p
L
x x tm
y y tn
z z tp
=
= +
= +
= +
�过 且以 为方向向量
的直线 的方程为
2. 对称式方程(点向式方程)
0 0 0 0
0 0 0
( , , ) ( , , )
.
M x y z s m n p
L
x x y y z z
m n p
=
− − −
= =
�过 且以 为方向向量
的直线 的方程为
3. 一般方程
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
: 0
: 0
( , , ) , , ,
, :
0,
0.
.
L
A x B y C z D
A x B y C z D
M x y z L x y z
A x B y C z D
A x B y C z D
A B C
A B C
Π + + + =
Π + + + =
Π Π
+ + + =
+ + + =
= =
直线 可以看作两个平面
与
的交线.空间一点
在直线 上当且仅当它的坐标
同时满足 与 的方程的下面的直线方程
其中 不成立
两直线的夹角
1 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( , , ), ( , , ), :
| |
cos | || |
L L
s m n p s m n p
s s m m n n p p
s s m n p m n p
ϕ
= =
⋅ + +
= =
+ + + +
� �
� �
� �
直线 与 的方向向量分别是
则夹角公式为
1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1
2 2 2
0
L L
m m n n p p
m n p
m n p
+ + =
= =
直线 和
相互垂直的充要条件是:
相互平行的充要条件是:
直线与平面的夹角
2 2 2 2 2 2
( , , ), ( , , ), :
| | | |
sin | || |
L
s m n p n A B C
n s Am Bn Cp
n s A B C m n p
ϕ
Π
= =
⋅ + +
= =
+ + + +
� �
� �
� �
直线 与平面 法线的方向向量分别是
则夹角公式为
;
0.
L
A B C
m n p
Am Bn Cp
Π
= =
+ + =
直线 和平面
相互垂直的充要条件是:
相互平行的充要条件是:
旋转曲面
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
( , ) 0
,
, 0;
( , ) 0
,
, 0.
C f y z z
y x y C z
f x y z
f y z y z
x z C y
f y x z
=
± +
± + =
=
± +
± + =
若在曲线 的方程 中 保持不变而
将 改写成 就得到曲线 绕 轴
旋转而成的曲面的方程
若在 中 保持不变而将 改写成
就得到曲线 绕 轴旋转而成的
曲面的方程
二次曲面图形及方程
1.椭球面
同济二版 微积分(下)
5
2 2 2
2 2 2 1
sin cos
sin sin
cos
[0, ], [0, 2 ]
x y z
a b c
x a
y b
z c
θ ϕ
θ ϕ
θ
θ pi ϕ pi
+ + =
=
=
=
∈ ∈其中
2.抛物面
(1)椭圆抛物面
2 2
2 2
2
cos
sin
[0,2 ], [0, )
x y
z
a b
x av u
y bv u
z v
u vpi
+ = ±
=
=
=
∈ ∈ +∞其中
(2)双曲抛物面
2 2
2 2
2 2
( )
( )
4
,
x y
z
a b
x a u v
y b u v
z uv
x au
y bv
z u v
u v
− = ±
= +
= −
=
=
=
= −
∈ R
或
3.双曲面
(1)单叶双曲面
2 2 2
2 2 2 1
cosh cos
cosh sin
sinh
, [0, 2 ]
x y z
a b c
x a u v
y b u v
z c u
u v pi
+ − =
=
=
=
∈ ∈R
(2)双叶双曲面
2 2 2
2 2 2
2
2
1
1cos
1sin
( , 1] [1, ), [0,2 ]
x y z
a b c
x a u v
y b u v
z cu
u v pi
+ − = −
= −
= −
=
∈ −∞ − +∞ ∈∪
4.椭圆锥面
2 2 2
2 2 2
cos
sin
[0, 2 ],
x y z
a b c
x av u
y bv u
z cv
u vpi
+ =
=
=
=
∈ ∈ R
第六章 多元函数微分学
偏导数的几何意义
( )
( )
0 0
0 0 0
0
0 0
0 0 0
0
( , )
( , ),
, , ( , )
,
;
( , )
( , ),
, , ( , )
,
x
y
f x y
z f x y
M x y f x y
y y
x
f x y
z f x y
M x y f x y
y y
y
=
=
=
=
偏导数 在几何上表示
曲线 在点 处的
切线对 轴的斜率
偏导数 在几何上表示
曲线 在点 处的
切线对 轴的斜率.
全微分
( , ) ( , )
, ( , ) ,
:
( , ) ( , ) ,x y
z f x y D x y
f x y
dz f x y dx f x y dy
z zdz dx dy
x y
=
= +
∂ ∂
= +
∂ ∂
若函数 在区域 内每一点
处都可微则 在每点处连续且可偏导
其全微分为
或
复合函数的求导法则
1.复合函数的中间变量均为一元函数
同济二版 微积分(下)
6
( ), ( ) ,
( , ) ( , ) ,
[ ( ), ( )] , :
u t v t t
z f u v u v
z f t t t
dz z du z dv
dt u dt v dt
ϕ φ
ϕ φ
= =
=
=
∂ ∂
= ⋅ + ⋅
∂ ∂
如果函数 都在点 可导
函数 在对应点 具有连续偏导数
则复合函数 在点 可导且有
2.复合函数的中间变量均为多元函数
( , ), ( , ) ( , )
, ( , ) ( , )
, [ ( , ), ( , )]
( , ) , :
,
u x y v x y x y
z f u v u v
z f x y x y
x y
z z u z v
x u x v x
z z u z v
y u y v y
ϕ φ
ϕ φ
= =
=
=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
如果函数 都在点
可微函数 在对应点 具有连续
偏导数则复合函数 在
点 可微且有
3.复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函
数。
( , ), ( , ), ( )
[ ( , ), ( )], ( , )
, , :
,
z f x y x s t y t
z f s t t z x y
z
z f x
s x s
z f x f dy
t x t y dt
ϕ φ
ϕ φ
= = =
=
∂ ∂ ∂
=
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂
设 复合成二元函
数 并且函数 在对应点
具有连续偏导数 复合函数 可微且有
对隐函数求导
1.
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
( , ) ( , ) ,
( , ) 0, ( , ) 0, ( , )
( , ) 0 ( ),
( ), .
y
x
y
F x y x y
F x y F x y x y
F x y y f x
Fdyy y x
dx F
= ≠
= =
= = −
设 在 附近具有连续的一阶偏导
则在 的附近,
方程 一定可确定一隐函数
且满足
2.
(1)
0 0 0 0 0 0
0 0 0
(1)
0 0 0
0 0 0
( , , ) ,
( , , ) ( , , ) 0,
( , , ) 0, ( , , ) 0,
( , , )
( , ), ( , ),
, .
z
yx
z z
F x y z C
x y z F x y z
F x y z F x y z
x y z C
z z x y z z x y
FFz z
x F y F
Ω
∈Ω =
≠ =
= =
∂ ∂
= − = −
∂ ∂
设三元函数 在区域 内是 类函数
点 且满足
则方程 在点
的某领域内唯一确定了一个 类
的二元函数 它满足条件
且有
3.
( , , , ) 0 ( , )
( , , , ) 0 ( , )
0
0
,
x u v
x u v
F x y u v u u x y
G x y u v v v x y
u vF F F
x x
x
u vG G G
x x
u v
x x
= =
⇒
= =
∂ ∂
+ ⋅ + ⋅ = ∂ ∂
∂ ∂ + ⋅ + ⋅ =
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
方程组
对 求导
解出
方向导数
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
( , )
0 0 0 0
( , )
0 0
( , ) ( , ) ,
(cos ,cos ), ( , )
( , ) ,
( , ) cos ( , ) cos .
,
( , ) | ( , ) | cos
( , )
l
x y
x y
l
x y
z f x y x y
e f x y
x y l
f f x y f x y
l
f f x y e f x y
l
f x y e
α β
α β
θ
θ
=
=
∂
= +
∂
∂
= ∇ ⋅ = ∇
∂
∇
�
�
�
�
设函数 在点 可微则对于任意
单位向量 函数 在点
沿方向 的方向导数存在且有
或利用梯度得
其中 是 与 的夹角.
梯度
0 0 0 0
0 0 0 0
( , ) grad ( , )
( , ) ( , )x y
f x y f x y
f x y i f x y j
∇ =
= +
� �
曲线的切平面与法向量
1.
同济二版 微积分(下)
7
( )
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
( , , ) 0,
( , , ) , ( , , )
, ( , , ), ( , , ),
( , , ) ,
( , , ), ( , , ), ( , , )
x y
z
x y z
F x y z
M x y z F x y z
M F x y z F x y z
F x y z M
n F x y z F x y z F x y z
∑ =
∈∑
∑
=
�
设曲面 的方程为
点 如果函数
在点 处可微 且
不全为零 则曲面 在 处
存在切平面并有法向量
2.
( )
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
0 0 0 0
( , ), ( , , ) ,
( ( , )). ( , ) ( , )
,
( , ), ( , ), 1x y
z z x y M x y z
z z x y z x y x y
M
n z x y z x y
∑ = ∈∑
=
∑
= −
�
曲面 的方程为 点
其中 如果函数 在点
处可微则曲面 在点 处存在切平面并有
法向量
3.
0 0 0 0 0 0
(1)
0 0
0
:
( , )
( , )
( , )
( , , ) ( , ),
( , ), ( , ), ( , ) ,
( , )
( , ) ( , ) ( , )
, ,( , ) ( , ) ( , )
, ,
:
u u u
v v
x x u v
y y u v
z z u v
M x y z u v
x u v y u v z u v C
u v
y z z x x y
u v u v u v
M
i j k
n x y z
x y z
∑
=
=
=
∑
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∑
=
�� �
�
设曲面 的方程为下列参数方程
上一点 对应于
如果 都是 类函数
并且在 处
不同时为零则曲面 在点 处存在切平面
并且有法向量
0 0
0 0
( , )
( , )
( , ) ( , ) ( , )
, ,( , ) ( , ) ( , )
v
u v
u v
y z z x x y
u v u v u v
∂ ∂ ∂
= ∂ ∂ ∂
空间曲线的切线与法平面
1.
( )
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0
0 0 0
( )
( )
( )
( , , ) , . ( ),
( ), ( ) ,
, :
( ), ( ), ( )
x x t
y y t
z z t
M x y z M t x t
y t z t M
M
x t y t z tτ
Γ
=
=
=
′∈Γ
′ ′ Γ
Γ
′ ′ ′=
�
设空间曲线 的方程为
点 对应参数 如果
存在且不全为零 则曲线 在点
处有切线且 在点 的一个切向量为
2.
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0
( , , ) 0
( , , ) 0
( , , ) , ( , , ), ( , , )
( , , )
( , ) ( , ) ( , )
, ,( , ) ( , ) ( , )
, :
( , ) ( , ) ( , )
, ,( , ) ( , ) ( ,
F x y z
G x y z
M x y z F x y z G x y z
M x y z
F G F G F G M
y z z x x y
M
F G F G F G
y z z x x
τ
Γ
=
=
∈Γ
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
Γ
∂ ∂ ∂
=
∂ ∂ ∂
�
设空间曲线 有一般方程
点 且函数
在点 处有连续的偏导数.如果
二节行列式 在
处不全为零则曲线 在点 处有切向量
0 0 0
0 0 0
( , , )
( , , )
)
x y z
x y z
x y z
x y z
y
i j k
F F F
G G G
=
�� �
多元函数的极大值与极小值
1.验证二元函数的驻点是否为函数极值:
0 0
(2)
0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
2
0 0
0 0 0 0
2
0 0
( , ) ( , )
,( , ) ( , ) ,
( , ) 0, :
( , ), ( , ), ( , ),
,
(1) 0 , ( , ) ,
0 ( , ) , 0 , ( , )
.
(2) 0 ( , )
xx xy yy
z f x y x y D
C x y f x y
f x y
A f x y B f x y C f x y
AC B f x y
A f x y A f x y
AC B f x y
=
∇ =
= = =
− >
> <
− <
�
设函数 在包含点 的区域 内
是 类函数 是 的驻点
即 记
那么
当 时 是极值 且当
时, 是极小值当 时
是极大值
当 时, 不是极
2
0 0
.
(3) 0 , ( , )
.
AC B f x y− =
值
当 时 是否为极值
还需另作讨论
同济二版 微积分(下)
8
2.拉格朗日乘子法
0 0
0 0
( , ) ( , ) ,
( , , ) ( , ) ( , )
, 0, 0, 0
( , ) ( , ) 0
( , ) ( , ) 0
( , ) 0
, ( , ) ( , )
( , ) 0 .
x y
x x
y y
f x y x y
L x y f x y x y
x x y y L L L
f x y x y
f x y x y
x y
x y f x y
x y
λ
ϕ
λ λϕ
λϕ
λϕ
ϕ
ϕ
= +
= = = = =
+ =
+ =
=
=
设函数 与 具有连续的偏导数
作拉格朗日函数
如果 是方程组
即
的解那么 是目标函数 在约束条件
下的可疑极值点
第七章 重积分
重积分的性质
1.线性性质
( , ), ( , ) ,
, , ( , ) ( , )
,
[ ( , ) ( , )]
( , ) ( , )]
D
D D
f x y g x y D
f x y g x y D
f x y g x y dxdy
f x y dxdy g x y dxdy
α β α β
α β
α β
+
+
= +
∫∫
∫∫ ∫∫
如果函数 都在 上可积 则对任
意的常数 函数 也在
上可积 且
2.区域可加性
1 2
1 2 1 2
( , ) ,
, ( , )
,
( , ) ( , ) ( , )
D D D
f x y D D
D D f x y D D
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫
如果函数 在 上可积用曲线将 分割成
两个闭区域 与 则 在 与 也都可
积且
3.单调性
( , ) ,
( , ) 0,
( , ) 0.
( , ), ( , ) ,
( , ) ( , ),
( , ) ( , ) .
D
D D
f x y D D
f x y
f x y dxdy
f x y g x y D
D f x y g x y
f x y dxdy g x y dxdy
≥
≥
≤
≤
∫∫
∫∫ ∫∫
如果函数 在 上可积 并且在 上
则
如果函数 都在 上可积
且在 上 则
4.绝对值可积
( , ) , | ( , ) |
,
( , ) | ( , ) | .
D D
f x y D f x y
D
f x y dxdy f x y dxdy≤∫∫ ∫∫
如果函数 在 上可积 则函数
也在 上可积且
5.中值定理
( , ) ,
( , ),
( , ) ( , ) ( ),
( ) .
D
f x y D D
f x y dxdy f D
D D
ξ η
ξ η µ
µ
= ⋅∫∫
如果函数 在 上连续 则在 上至少存
在一点 使得
其中 表示 的面积
6. ( , ) 1 , .
D
f x y d Dσ≡ ∫∫当 时 表示区域 的面积
7.估值定理
( , ) , , ( , )
( , )
D
f x y D M m f x y
m f x y dxdy Mσ σ≤ ≤∫∫
如果函数 在 上连续 且 为
的最大、最小值,则
二重积分的计算
1.直角坐标
2
1
1 2
( )
( )
{( , ) | ( ) ( ), },
( , ) ( , ) .b x
a x
D
x
D x y x y x a x b
f x y d dx f x y dyϕ
ϕ
ϕ ϕ
σ
= ≤ ≤ ≤ ≤
=∫∫ ∫ ∫
对 型区域
则
2
1
1 2
( )
( )
{( , ) | ( ) ( ), },
( , ) ( , ) .d y
c y
D
y
D x y y x y c y d
f x y d dy f x y dxφφ
φ φ
σ
= ≤ ≤ ≤ ≤
=∫∫ ∫ ∫
对 型区域
则
2.极坐标
2
1
( )
( )
( , )
( cos , sin )
( cos , sin )
D
D
a
f x y dxdy
f d d
d f dβ ρ ϕ
ρ ϕ
ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ
ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ
=
=
∫∫
∫∫
∫ ∫
三重积分的计算
1.直角坐标
(1)坐标面投影法
同济二版 微积分(下)
9
2
1
1 2
( , )
( , )
,
{( , , ) | ( , ) ( , ), ( , ) }.
, ,
( , , ) ,
( , , ) ( , , ) .
xy
xy
xy
z x y
z x y
D
xOy D
x y z z x y z z x y x y D
xy
f x y z
f x y z dV dxdy f x y z dz
Ω
Ω
Ω
Ω = ≤ ≤ ∈
Ω
Ω
=∫∫∫ ∫∫ ∫
如果将积分区域 向 面投影得投影区域
且 能够表示为
那么设 型空间区域 由上式给出且函数
在 上连续 则
(2)坐标轴投影法
[ , ],
{( , , ) | ( , ) , },
(0,0, )
.
, ( , , )
,
( , , ) ( , , ) .
z
z
z
q
p
D
z p q
x y z x y D p z q
D z xOy
z f x y z
f x y z dV dz f x y z dxdy
Ω
Ω
Ω
Ω = ∈ ≤ ≤
Ω
Ω
Ω
=∫∫∫ ∫ ∫∫
将空间区域 向 轴作投影得一投影区间
且 能表示为
其中 是过点 且平行于 面的平面
截 所得的平面区域
设 型空间区域 由上式给出且函数
在 连续 那么
2.柱面坐标
( , , )
( cos , sin , )
0 cos
0 2 sin .
f x y z dxdydz
f z d d dz
x
y
z z z
ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ
ρ ρ ϕ
ϕ pi ρ ϕ
Ω
Ω
=
< < +∞ =
≤ ≤ =
−∞ < < +∞ =
∫∫∫
∫∫∫
其中 ,且有
3.球面坐标
2
( , , )
( sin cos , sin sin , cos ) sin
0 sin cos
0 , sin sin
0 2 cos
f x y z dxdydz
f r r r r drd d
r x r
y r
z r
θ ϕ θ ϕ θ θ θ ϕ
θ ϕ
θ pi θ ϕ
ϕ pi θ
Ω
Ω
=
≤ < +∞ =
≤ ≤ =
≤ ≤ =
∫∫∫
∫∫∫
其中 且有
同济二版 微积分(下)
10
第八章 曲线积分与曲面积分
第一类曲线积分的计算法
1.
2 2
L
( )
, ( )( )
( , )
( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( )
( )
L
x x t
t
y y t
f x y L
f x y ds f x t y t x t y t dtβ
α
α β
α β
=
≤ ≤
=
′ ′= +
<
∫ ∫
设平面光滑曲线弧 由参数方程
给出,函数 在 上连续,则
其中
2.
2
2
L ( ), ( )
, ( )( )
( , ) [ , ( )] 1 ( ) d
( )
L ( ), ( )
( , ) [ ( ), ] ( ) 1d
( )
b
a
L
d
c
L
y y x a x b
x x
a x b
y y x
f x y ds f x y x y x x
a b
x x y c y d
f x y ds f x y y x y y
c d
= ≤ ≤
=
≤ ≤
=
′= +
<
= ≤ ≤
′= +
<
∫ ∫
∫ ∫
若曲线弧 由参数方程 其中
给出,可以看作是特殊的参数方程
则
其中
类似的,若曲线弧 由方程
给出,则有
其中
3.
2 2 2
( )
( ) , ( )
( )
( , , )
( , , )
[ ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) d
( )
x x t
y y t t
z z t
f x y z
f x y z ds
f x t y t z t x t y t z t tβ
α
α β
α β
Γ
Γ
=
= ≤ ≤
=
Γ
′ ′ ′= + +
<
∫
∫
设空间光滑曲线弧 由参数方程
给出,函数 在 上连续,则
其中
第一类曲面积分的计算法
2 2
( , ), ( , )
( , , )
( , , )d
[ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) d
xy
xy
xy
x y
D
z z x y x y D
D xOy
f x y z
f x y z S
f x y z x y z x y z x y σ
Σ
Σ
= ∈
Σ
Σ
= ⋅ + +
∫∫
∫∫
设光滑曲面 由方程
给出, 为 在 面上的投影区域,函数
在 上连续,则
曲面面积
2 2
( , ), ( , ) ,
,
1 .
xy
xy
xy
x y
D
z z x y x y D
D xOy
S z z dxdy
Σ = ∈
Σ Σ
= + +∫∫
设光滑曲面 由方程 给出
为 在 面上的投影 则曲面 的面积
向量值函数在定向曲线上的积分
(第二类曲线积分)
定向曲线的切向量
( )
( )
( ) , : ,
( )
( ), ( ), ( ) ,
, .
x x t
y y t t a b
z z t
x t y t z t
a b a b
τ
=
= →
=
Γ
′ ′ ′= ±
< >
�
由参数方程
给出的定向光滑曲线 在其上任意点处的
切向量为
其中的正负号当 时取正当 时取负
第二类曲线积分的计算法
1.
[ ] [ ]{ }
( ), ( ), : ,
( , ), ( , ) ,
( , )d ( , )d
( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d
,
.
L
b
a
L
x x t y y t t a b
P x y Q x y L
P x y x Q x y y
P x t y t x t Q x t y t y t t
a L
b L
= = →
+
′ ′= +
∫
∫
如果平面上定向光滑曲线弧 的方程为
在 上连续 则
其中右端定积分的下限 对应 的起点
上限 对应 的终点
2.
同济二版 微积分(下)
11
[ ] [ ]{ }
( ), : ,
( , ), ( , ) ,
( , )d ( , )d
, ( ) , ( ) ( ) d
,
.
L
b
a
L
y y x x a b
P x y Q x y L
P x y x Q x y y
P x y x Q x y x y x x
a L
b L
= →
+
′= +
∫
∫
如果平面上定向光滑曲线弧 的方程为
函数 在 上连续 则
其中右端定积分的下限 对应 的起点
上限 对应 的终点
3.
[ ]{
[ ]
[ ] }
( ), ( ), ( ), : ,
( , , ), ( , , ), ( , , ) ,
( , , )d ( , , )d ( , , )d
( ), ( ), ( ) ( )
( ), ( ), ( ) ( )
( ), ( ), ( ) ( ) d
b
a
x x t y y t z z t t a b
P x y z Q x y z R x y z
P x y z x Q x y z y R x y z z
P x t y t z t x t
Q x t y t z t y t
R x t y t z t z t t
a
Γ
Γ
= = = →
Γ
+ +
′=
′+
′+
Γ
∫
∫
如果定向光滑曲线 的方程为
函数 在 上连续 则
其中右端定积分的下限 对应 的起点,
.b Γ上限 对应 的终点
格林公式
1. 格林定理
,
, ( , ),
( , )
d ( , )d ( , ) d
D D
D xOy D
P x y
Q x y D
Q P P x y x Q x y y
x y
σ
+∂
∂
∂ ∂
− = + ∂ ∂ ∫∫ ∫�
设 是 面上的有界闭区域其边界曲线
由有限条光滑的曲线所组成如果函数
在 上具有一阶连续偏导数,那么
2.平面定向曲线积分与路径无关的条件
( )( , ) ( , ), ( , )
( )
( , )d ( , )d 0
( ) ( , )d ( , )d
( ) ( , )d ( , )d
( , )
( , )
C
L
G
F x y P x y Q x y G
i G C
P x y x Q x y y
ii P x y x Q x y y G
iii P x y x Q x y y G
u x y
du P x y
=
+ =
+
+
=
∫
∫
��
�
设 是平面上的单连通区域,
在 内有连续的
偏导数,那么以下四个条件相互等价:
对 内的任意一条分段光滑的闭曲线 ,
;
曲线积分 在 内
与路径无关;
表达式 在 内是某
个二元函数的全微分,既存在 ,使得
d ( , ) d ;
( )
x Q x y y
Q Piv G
x y
+
∂ ∂
=
∂ ∂
在 内每点都成立.
最便于运用的条件是(iv),即
(1)
, , ( ),
d d
L
G L G
P Q C G
Q PP x Q y
x y
∈
∂ ∂
+ ⇔ ≡
∂ ∂∫
设 是平面单连通区域, 是 内任意光滑
或分段光滑的曲线弧 则
与路径无关
第二类曲面积分的计算法
( , ), ( , ) (
), ( , , )
,
( , , ) [ , , ( , )]
, .
xy
xy xy
D
z z x y x y D D
xOy R x y z
R x y z dxdy R x y z x y dσ
Σ
Σ = ∈
Σ Σ
= ±
Σ Σ
∫∫ ∫∫
1.如果函数 的方程
是 在 面上的投影区域 在 上连
续 那么
积分号前的符号当 取上侧时为正 取下为负
( , ), ( , ) (
), ( , , )
,
( , , ) [ ( , ), , ]
,
yz
yz yz
D
x x y z y z D D
yOz P x y z
P x y z dydz P x y z y z dσ
Σ
Σ = ∈
Σ Σ
= ±
Σ
∫∫ ∫∫
2.如果函数 的方程
是
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