和差倍问题之二

第13讲 应用 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 04讲 和差倍问题之二 例1 小明和小亮玩“石头、剪刀、布”的游戏．两人用同样多的石子做记录，输一次，就给对方一颗石子．他们做了许多次游戏，每次都有胜负．其中小明胜了3次，小亮增加了9颗石子．那么他们共做了多少次游戏? 答案 15次． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 小明胜了3次，那么小亮就需将3颗石子给小明；然而，小亮的石子增加了9颗，说明小亮除了赢回输掉的3颗石子外，又赢了9颗石子，所以小亮一共赢了3+9=12次． 因为我们现在考虑的游戏次数，每次只涉及胜负两种状态，所以只须计算同一个人胜的次数与输的次数之和就可以了． 详解 根据小明胜了3次，可知小亮输了3次． 又由小亮的石子增加了9颗，可知小亮赢了 3+9=12(次)． 他们共做了游戏 3+12=15(次)． 例2 某学生到工厂搞勤工俭学，按合同规定，干满30天，工厂将付给他一套工作服和70元钱．但他工作了20天．由于学校另有安排，他便中止了合同，工厂只付给他一套工作服和20元钱．那么，这套工作服值多少元? 答案 80元． 分析 这里要注意题中有一个不变的量，那就是每天的工资是固定的．这里涉及到两个差：一个是学生工作30天与工作20天的报酬差50元；另一个是相对应的时间差10天．也 就是说，如果学生工作10天将获得50元，那么学生每天的工资就知道了，因此也就能清楚工作服的价钱了． 详解 ①学生的日工资是多少元? (70—20)÷(30—10)=5(元)． ②学生的月工资是多少元? 5×30=150(元)． ③一套工作服值多少元? 150—70=80(元)． 评注 本题关键在于找到工资差以及与工资差相应的时间差． 例3 两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组学生人数的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人．求参加义务劳动的学生共有多少人． 答案 20人． 分析 本题涉及甲、乙两组学生人数的两种倍数关系．乙组学生人数比甲组的3倍少40人，这40人是乙组与甲组倍数的限制条件．因为甲是乙的3倍，所以乙自然可以看作1倍的量．那么“补充的40人”相当于几倍的乙?这是问题的核心． 详解 画出线段图13—1，可以看出：①乙组人数有 40÷(3×3—1)=40÷8=5(人)． ②甲组人数有 5×3=15(人)． ③两组共有 15+5=20(人)． 例4 仓库存有一批钢材，由两个汽车队负责运往工地．已知甲队单独运要20天，乙队每天可运20吨．现在由甲、乙两队同时运输，干了6天之后，甲队汽车坏了一辆，每天少运4吨，结果又运了6天才全部运完．那么这批钢材共有多少吨? 答案 540吨． 分析 钢材的总量不变，如果甲队单独做要20天运完，甲、乙两队合运只需12天．两队合运6天后，甲队汽车还坏了一辆，少用了钢材4×6=24(吨)．两队同时运比甲队单独运 少运了20—12=8(天)，也就是说甲队实际上比单独运送少运了12×20=240(吨)．而这240—24=216吨就是甲队原 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 单独运送8天的数量．这样甲队单独运送，每天能运多少 吨就可求出，钢材总量也就知道是多少吨了． 详解 ①甲队每天运送所用的多少吨钢材? [(6+6)×20—6×4]÷(20—12)=216÷8=27(吨)． ②这批钢材共有多少吨? 27×20=540(吨)． 评注 本题关键在甲、乙两队合运，比甲队单独运送时间减少了．求出甲队减少运送的天数，以及与时间差相对应的运货量，问题即迎刃而解． 例5 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只．每次从箱里取出7只白球、15只红球，如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球，那么，箱子里原有红球数比白球数多多少只? 答案 106只． 分析 必须要知道取球多少次．箱子里剩下的是53只红球、3只白球，而53—2=51，51只白球比剩下的3只白球的3倍多51—3×3=42(只)．取出的红球再加上这多出来的 42只红球，应该是取出来白球的3倍．如果每次取出红球都是取出白球的3倍，那么每次应该取出红球21只，比实际每次取红球要多21—15=6(只)．所以一共取了42÷6=7(次)． 详解 ①剩下的红球数53只减去2只是51只，它恰好是3的倍数，并且有51—3×3=42(只)．这说明剩下的红球数减2后比剩下的白球数的3倍多42只． ②如果每次取出的红球数都是白球数的3倍，那么每次应该取出红球3×7=21(只)． ③实际每次取出红球数比假设少多少只? 21—15=6(只)． ④每次少取6只，一共比假设情况少取42只。取了多少次? 42÷6=7(次)． ⑤箱子里原有红球数比白球数多多少只? 7×(15—7)+(53—3)=106(只)． 评注 此题是涉及两个量的差倍问题．题目中没有明确地给出“差”是多少．这个“暗差”是通过限制条件“3倍”关系找到的． 例6 某人以分期付款的方式买一台电视机．买时第一个月付款750元，以后每月付150元；或前一半时间付300元，后一半时间付100元．两种付款方式的付款总数及时间都相 同．这台电视机的价格是多少元? 答案 2400元． 分析 两种付款方式相同点是付款总数及时间都相同，这是两种付款方式比较差异的基础．又根据第二种付款方式可知付款的总月数一定是2的倍数，可以将这种付款方式的 首尾月份互相搭配，看作每月付款400元．同样地，第一种付款方式可以表述成每月付款300元，还需再付750—150=600元．如此一来，两种付款方式“每月”的付款相差400—300 =100元；与之相对应的是“再付的600元”，付款“月数”就可以计算出来． 详解 假设付款月数减少为一半，付款总数不变．那么第一种付款方式相当于每月付款300元，还需再付750－150=600(元)． 第二种付款方式相当于每月付300+100=400元．此时的付款月数为： 600÷(400—300)=6． 这台电视机的价格是400×6=2400(元)． 列出综合算式如下： (750－150)÷(300+100—150×2)×(300+100) =2400(元) 例7 小木、小林、小森三人去看电影．如果用小木带的钱去买三张电影票，还差5角5分；如果用小林带的钱去买3张电影票，还差6角9分；如果用三个人带去的钱去买三张电影票，就多3角．已知小森带了3角7分，那么买一张电影票要用多少元? 答案 3角9分． 分析 本题是涉及三个量的和差问题．根据题目的最后一个条件，可知小木、小林带的钱合在一起只差(3角7分－3角=)7分钱就可以买三张电影票；再根据题中小木、小林单独买三张电影票所差的钱数，就可以知道他们每人各带多少元了． 这里是根据题目的条件，想办法将三个量的关系转化成两个量之间的关系，增加两个量之间的线索． 详解 ①小木、小林两人带的钱买3张电影票还差多少钱? 3角7分一3角=7分． ②小林带了多少钱? 5角5分一7分=4角8分． ③买3张电影票需要多少钱? 4角8分+6角9分=1元1角7分． ④买1张电影票需要多少钱? 1元1角7分÷3=3角9分． 评注 也可以计算出小木带了多少钱，然后求出三张电影票所需要的钱． 例8 三个连续的自然数，后面两个数的积与前面两个 数的积之差是114，那么这三个数中最小的数是多少? 答案 56． 分析 三个自然数的关系，怎样通过适当的假设，转换成两个量之间的关系．注意到两个积都与中间的数相关，不妨把中间的数看作是度量单位．这样，前面两个数的乘积就相当 于有最小数个“单位”，后面两个数的乘积则可以看作有最大数个“单位”，它们之间相差2个度量单位．而2个“单位”等于两个积的差114，所以每个单位是多少就可以求出来了．求出来的“单位”就是中间数的大小． 详解 把中间的自然数看作“单位”，后面两个数的积与前面两个数的积相差两个单位． 所以，中间的自然数等于 114÷2=57． 那么最小的自然数为 57—1=56．