10列方程解应用题

讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每一节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！   ——学而思讲义编写组 第十讲 列方程解应用题 小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？ 呵呵！认真学习今天的好方法，你就可以准确、快速的解答出上面的问题了！ 内容概述 在小学数学中，列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。它们都是以四则运算和常见的数量关系为基础，通过分析题里的数量关系，根据四则运算的意义列式解答的。但是，两种解答方法的解题思路却不同。由于数量关系的多样性和叙述方式的不同，用算术方法解答应用题，时常要用逆向思考，列式比较困难，解法的变化也比较多。用列方程的方法解答应用题，由于引进了字母 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示未知数，可以使未知数直接参与运算，使题目中的数量关系更加清楚，把未知数当成已知数来用，使我们很容易理清数量关系，正确解决问题。特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时，用方程往往比较容易。 列方程解应用题的一般步骤是： 　　 ①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，； 　　②合理设未知数x，设未知数的方法有两种：问什么设什么（直接设未知数），间接设未知数； 　　③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程； 　　④解方程； 　　⑤将结果代入原题检验。 概括成五个字就是：“审、设、列、解、验”. 列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不 变量”找等量关系。 一些基本概念： （1）像4x+2=9这样的的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x的指数为1的方程叫做一元 一次方程； （2）像2x+y=8这样的的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1的方程叫做二元 一次方程；把两个二元一次方程用“﹛”写在一起，就组成了一个二元一次方程组； （3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个 方程才能求出唯一解. 如果有更多的未知数，可借助今天学习的解题思路来类推出解法. 类型Ⅰ：列简易方程解应用题 【例1】 （清华附中培训 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 ）（难度系数：★★）解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 分析：（1） 以下各题不再写检验步骤，请教师强调学生 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 要检验. （2） （3） （4） （5） （6） 请教师强调学生在解答时要注意：移项变号、同类放在等式一边、（4）中去括号时每一项都要发生相应变化、（6）中每一项都同时扩大6倍、（5）中可以先简化运算的一定要先化简。 （7）法1：加减消元法 （8） EMBED Equation.DSMT4 法2：代入法. 建议 关于小区增设电动车充电建议给教师的建议PDF智慧城市建议书pdf给教师的36条建议下载税则修订调整建议表下载 教师将（7）、（8）贯穿起来，让学生深刻体会：（1）代入法，以及代入法在什么情况下好用；（2）加减消元法，其本质是找（制造）到一个未知数的系数相等，再利用等式加减得到结果. 【例2】 （清华附中培训试题）（难度系数：★）某班原分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，根据学校活动器材的数量，要将一组人数调整为二组人数的一半，应从一组调多少人到二组去？ 分析：设应从第一组调x人到第二组去，根据题意可得：26-x=（26+22）÷3 ，解得x=10 . 【例3】 （清华附中培训试题）（难度系数：★★）汽车以每小时72公里的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远？（声音的速度以340米/秒计算） 分析：72千米/小时=72000米/3600秒=2米/秒，设听到回音时汽车离山谷x米，根据题意可得： 340×4=2x+2×4，解得x=676（米）. 【例4】 （小数报数学竞赛初赛）（难度系数：★★★）用绳子测井深，绳子两折时,余60厘米,绳子三折时,差40厘米，求绳长和井深？ 分析： 法1：设井深是x厘米，则有：2x+60×2=3x-40×3 ，井深x=240（厘米），绳长600厘米； 法2：设绳长是y厘米，则有： 【例5】 （奥数网习题库）（难度系数：★★）箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多两个，每次从箱子里取出7个白球，15个红球．如果经过若干次以后，箱子里只剩下3个白球，53个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个? 分析：设取球的次数为x次．那么原有的白球数为（3+7x），红球数为（53+15x）．再根据题中的第一个条件：53+15x=3×（3+7x）+2，解得x=7，所以原有红球158个，原有白球52个，红球比白球多106个．此题用逆向思维较难求解，但是用方程则思路非常清晰简单． 【例6】 （101测试题）（难度系数：★★）甲、乙、丙、丁四人共做零件270个。如果甲多做10个，乙少做10个，丙的个数乘以2，丁做的个数除以2，那么四人做的零件数恰好相等，问丙实际做了多少个？ 分析:设四人做的零件数恰好相等都为x，根据题意可得： （x-10）+（x+10）+（x÷2）+（x×2）=270 ，解得x=60 ，丙实际做了60÷2=30（个 ）. 【例7】 （奥数网习题库）（难度系数：★★★）小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？ 分析：设动物园有x只猩猩，依题意有：（x+x）+（x-x）+x×x+x÷x=100，即2x+0+ x×x+1=100，亦即 x（x+2）=99，又ｘ整数，只有唯一解ｘ=9． 【例8】 （华杯赛复赛）（难度系数：★★★）从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7.5小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？ 分析：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依题意得 解得x＝140，y=70，所以甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路. 类型Ⅲ：引入参数列方程解应用题 对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。 【例9】 （101中学分班考试试题）（难度系数：★★）五年级二班数学考试的平均分数是85分，其中 的人得80分以上（含80分），他们的平均分数是90分。求低于80分的人的平均分。 分析：设该班级有 名同学，低于80分的人的平均分为 ，则得方程: ,解得x=75. 【例10】 （小学奥林匹克决赛）（难度系数：★★★）如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10和12，已知梯形的上底是下底长的 。那么余下的阴影部分的面积是多少？ 分析：设上底为 ，那么下底为 ，则上下两个三角形的高分别为 ， ，梯形的高是 ，其面积为 ，阴影部分面积为 。 类型Ⅱ：列不定方程解应用题 有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的，对于这部分内容我们是要和数论中的数的整除性问题结合起来。但注意到题目对解的要求，有时只需要其中一些或个别解。 【例11】 （奥数网习题库）（难度系数：★）有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？ 分析：设有大油桶x个，小油桶y个。由题意8x+5y=44，知8x≤44，所以x＝0、1、2、3、4、5。相应的将x的所有可能值代入方程，可得x＝3时，y=4 . 此题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解. 【例12】 （迎春杯预赛试题）（难度系数：★★）小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔＿＿支． 分析：设买5分一支的铅笔ｍ支，7分一支的铅笔n支。则：5×ｍ+7×ｎ=64， 64—7×n是5的倍数．用n=0，1，2，3，4，5，6，7，8代入检验，只有n=2，7满足这一要求，得出相应的ｍ=10，3．即小华买铅笔lO+2＝12支，小强买铅笔7+3=10支，小华比小强多买2支． 附加题目 【附1】（迎春杯刊赛）（难度系数：★★★）有甲乙丙三个人，当甲的年龄是乙的2倍时；丙是22岁，当乙的年龄是丙的2倍，甲是31岁；当甲60岁时，丙是多少岁? 分析：设丙22岁时，乙的年龄是x岁，当时甲的年龄就是2x岁．那么甲是3l岁时，乙是(31-x)岁，丙是22+（31-2x）=53-2x岁，且有：31-x=2×（53-2x），解得x=25，所以乙25岁时，甲50岁，丙22岁．那么甲60岁时，丙32岁． 利用方程解年龄问题．设定乙的年龄之后，我们可以把各个时期甲、乙、丙的年龄都用含有x的式子表达出来，继而很方便地建立等量关系． 【附2】（奥数网习题库）（难度系数：★★★）有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆石子个数就也相等了；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的两倍，问：原来甲堆有多少个石子? 分析：设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出8个给乙后，甲乙两堆都是(x-8)个石子；然后乙取6个给丙，乙丙的石子数都变成了x-8-6=x-14；再从丙堆取2个给甲堆，那么甲堆变为x-8+2=x-6，丙堆变为 x-14-2=x-16，此时有关系：x-6=2（x-16），解得x=26． 【附3】（人大附中分班考试试题）（难度系数：★★★）如右图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？ 分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。设追上甲时乙走了x分。依题意，甲在乙前方3×90=270（米），故有72x＝65x+270.解得：x= ，在这段时间内乙走了： EMBED Equation.DSMT4 ，由于正方形边长为90米，共四条边，故由 ，可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上. 【附4】（第十一届迎春杯决赛）（难度系数：★★★）小明从自己家到奶奶家时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从奶奶家回家时，前1/3时间乘车，后2/3时间步行．结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多2小时．已知小明步行每小时行5千米，乘车每小时行15千米，那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米? 分析：设小明家到奶奶家的路程为x千米，而小明从奶奶家返回家里所需要的时间是y小时，那么根据题意有： 用方程解题关键在于未知数设定的合理性，解答中的一个路程未知数，一个时间未知数，恰好能够把题目中的所有关系都利用到． 【附5】（首师大附入学测试题）（难度系数：★★★★）某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？ 分析：此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人6分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。 设汽车站每隔x分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得： EMBED Equation.DSMT4 【附6】（华杯赛决赛）（难度系数：★★★★）有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，甲班的学生坐车从学校出发的同时，乙班的学生开始步行，车到中途某处，让甲班的学生下车步行，车立刻返回接乙班的学生上车并直接开往少年宫，两班学生正好同时到达。已知学生步行速度为每小时4千米，载学生时车速为每小时40千米，空车时速度为每小时50千米。求甲班学生应步行全程的几分之几?（学生上下车时间不计） 分析：因为每班步行和坐车的行程总和一样长，又同时出发，同时到达，所以甲、乙两班的步行距离和坐车距离都相等。也就是说图上乙步行的距离b千米和甲步行的距离a千米相等。而根据题意我们又可以找到下列等量关系： 乙班步行b千米(也就是a千米)所用的时间等于汽车送完甲队又原路返回遇到乙队共用的时间。然后根据等量关系列方程解答即可。 设全程为x千米，甲、乙两班分别步行a、b千米，根据题意得： 所以甲班步行了全程的 . 由上例可以看出，列方程解应用题并不一定只设一个未知数，根据解题的需要，我们有时可以多设几个字母来代替数，帮助我们理清题目中复杂的数量关系，以便我们能够很快的找到解决问题的途径。 【附7】（北大附中培训试题）（难度系数：★★★）小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分。那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封？ 分析：平信每封8分，航空信分封1角=10分，挂号信每封2角=20分。共用了1元2角2分=122分。设小萌发了平信X封，航空信Y封，挂号信Z封。得方程：8X+10Y+20Z=122，要使这3种信的总和最少，则挂号信应最多；再则航空信也尽可能多。因总钱数的个位是2，则平信最少是4封。8×4=32分。其余信的总钱数为122-32=90分。90/20=4……10。则挂号信4封，航空信10/10=1封。4+4+1=9封。 【附8】（奥数网习题库）（难度系数：★★★）小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。问：小明至多套中小鸡几次？ 分析：设套中小鸡x次，套中小猴y次，则套中小狗（10-x-y）次。 根据得61分可列方程：9x+5y+2（10-x-y）=61，化简后得7x=41－3y。显然y越小，x越大。将y=1代入得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5，所以小明至多套中小鸡5次. 练习十 请你用方程法解答下列问题！ 1．一个数的4倍加上3乘以0.7的积，和是 ，则这个数是多少？ 分析：设这个数为x，4x+3×0.7＝ ，x＝1.1 ． 2．有两支香，第一支长34厘米；第二支长18厘米，同时点燃后，都是平均每分钟燃掉2厘米，多少分钟后第一支香的长度是第二支香的长度的3倍? 分析：设x分钟后第一支香是第二支香长度的3倍．那么：34-2x=3（18—2x），解得x=5 . 3．某校有学生465人，其中女生的 比男生的 少20人，那么男生比女生少多少人? 分析：设女生为x人，那么男生为（465-x）人，根据题意有： ，解得x=240，所以女生有240人，男生有225人，男生比女生少15人． 4．现有一笔钱，都是硬币。其中2分硬币比5分硬币多24个。按钱数算，5分的钱数比2分的钱数多3角，还有53个1分硬币，这笔钱一共有多少分？ 分析：设5分硬币有 个，则2分硬币有（24+ ）个，依据5分的钱数=2分的钱数+3角，可得方程 ，解得 ，则2分英镑有24+26=50个，共有5×26+2×50+1×53=283（分）。 5．甲、乙、丙共有100本课外书．甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，而且余数也都是1．乙有书____本． 分析：设乙有课外书X本，依题意甲有课外书(5X+1)本，丙有课外书5(5x+1)+1=25x+6(本)，于是有(5x+1)+X+(25x+6)=100，即3lx=93 解得，X=3，于是乙有课外书3本． 6．一次考试，共15道题目，做对一题得8分，做错一题倒扣4分。小明共得72分，问他做对了几道题？ 分析：设他做对了x道题，那么就做错了（15-x）道题，根据题意可得：8x-4（15-x）=72，解得x=11. 7．30辆小车和3辆卡车一次运货75吨，45辆小车和6辆卡出一次运货120吨。每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？ 分析：设每辆卡车和每辆小车每次各运货x、y吨，根据题意可得： 年薪40万的面试题 小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是M月N日，2人都不知道张老师的生日是下列10组中的哪一天，张老师把M值告诉了小明，把N值告诉了小强，张老师问他们知道他的生日是哪一天吗？ 3月4日、3月5日 、3月8日 、6月4日、6月7日 、9月1日 、9月5日 、12月1日 、12月2日、 12月8日 ； 小明说：如果我不知道的话，小强肯定也不知道 小强说：本来我也不知道，但是现在我知道了 小明说：哦，那我也知道了 请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天？ 答案：9月1日 学而思教育 07年春季班讲义 五年级 基础班 第十讲 教师版 Page 9 of 9 _1238418618.unknown _1238479566.unknown _1238486935.unknown _1238505720.unknown _1238512658.unknown _1238516242.unknown _1238826925.unknown _1238512659.unknown _1238512657.unknown _1238501093.unknown _1238501180.unknown _1238501015.unknown _1238497318.unknown _1238481024.unknown _1238481210.unknown _1238485506.unknown _1238481048.unknown _1238479635.unknown _1238419204.unknown _1238424040.unknown _1238424041.unknown _1238420484.unknown _1238424039.unknown _1238418841.unknown _1238419078.unknown _1238418716.unknown _1191665299.unknown _1238416450.unknown _1238416923.unknown _1238417238.unknown _1238418233.unknown _1238416558.unknown _1203840401.unknown _1238416300.unknown _1238416399.unknown _1238416266.unknown _1192434652.unknown _1192439897.unknown _1203840312.unknown _1192439878.unknown _1191665347.unknown _1191654916.unknown _1191655071.unknown _1191655098.unknown _1191655023.unknown _1191655021.unknown _1191654760.unknown _1191654777.unknown _1191654365.unknown