反比例函数
◆知识讲解
①一般地,函数y=(k是常数,k≠0)叫做反比例函数,x的取值范围是x≠0,y的取值范围是y≠0.
②反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y=(k≠0),
当k>0时函数图像的两个分支分别在第一,三象限内在每一象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时函数图像的两个分支分别在第二,四象限内在每一象限内,y随x的增大而增大.
③反比例函数的解析式y=中,只有一个待定系数k,所以通常只需知道图像上的一个点的坐标,就可以确定k的值.从而确定反比例函数的解析式.(因为k=xy)
◆例
题
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解析
例1 (2006,湖南常德)如图所示,已知反比例函数y1=(m≠0)的图像经过点A(-2,1),一次函数y2=kx+b(k≠0)的图象经过点C(0,3)与点A,且与反比例函数的图像相交于另一点B.
(1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式;
(2)求点B的坐标.
【解答】求两个函数的
表
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达式,应先求出函数式中的待定系数m,k,b,求两个函数图像的交点坐标,可联解两函数表达式,得到一组x,y的值,即可交点坐标.
(1)∵点A(-2,1)在反比例函数y1=的图像上.
∴1=,即m=-2.
又A(-2,1),C(0,3)在一次函数y2=kx+b图像上.
∴ 即
∴反比例函数与一次函数解析式分别为:y=-与y=x+3.
(2)由
得x+3=-,即x2+3x+2=0,∴x=-2或x=-1,于是或
∴点B的坐标为(-1,2).
【点评】求两个函数图像的交点坐标,就是解两个函数解析式组成的方程组,求出的一组解即是一个交点的坐标.
例2 (2006,成都市)如图,已知反比例函数y=(k<0)的图像经过点A(-,m),过点A作AB⊥x轴于点,且△AOB的面积为.
(1)求k和m的值;
(2)若一次函数y=ax+1的图像经过点A,并且与x轴相交于点C,求∠ACO的度数为│AO│:│AC│的值.
【
分析
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】(1)由A点横坐标可知线段OB的长,再由△AOB的面积易得出AB的长,即m的值,此时可知点A的坐标由点A在反比例函数y=上可求得k的值.
(2)由直线y=ax+1过点A易求出a值.进而可知点C的坐标,在Rt△ABC中易求tan∠ACO的值,可知∠ACO的度数,由勾股定理可求得OA,AC的长.
【解答】(1)∵S=
∴·m·=,∴m=2,又y=过点A(-,2),则2=,∴k=-2
(2)∵直线y=ax+1过A(-,2)
∴2=-a+1,
∴a=,y=+1.
当y=0时,x=,
∴C(,0),BC=2,
又tan∠ACO==,
∴∠ACO=30°.在Rt△ABO中,AO==,在Rt△ABC中,AC=2AB=4.
∴│AO│:│AC│=:4.
◆强化训练
一、填空题
1.(2006,广安)如图1所示,如果函数y=-x与y=-的图像交于A,B两点,过点A 作AC垂直于y轴,垂足为点C,则△BOC的面积为_______.
图1 图2 图3
2.(2006,青岛)某种蓄电池的电压为定值,使用此电源时,电流I(A)与可变电阻R(Ω)之间的函数关系如图2所示,当用电器的定电流为10A时,用电器的可变电阻为______Ω.
3.(2005,西宁市)如果反比例函数y=-(x>0)的图像在第一象限,则k_____;写出一个图像在一,二,四象限的一次函数关系式:________.
4.(2005,贵州省)反比例函数y=(m为常数)的图像如图3所示,则m的取值范围是_______.
5.(2005,威海市)已知双曲线y=经过点(-1,3),如果A(a1,b1),B(a2,b1)两点在该双曲线上,且a1
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