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初中数学经典几何难题及答案

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初中数学经典几何难题及答案经典难题(一) 1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF.(初二) 2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150. 求证:△PBC是正三角形.(初二) 3、如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D​2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点. 求证:四边形A2B2C2D2是正方形.(初二) 4、已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD...

初中数学经典几何难题及答案
经典难题(一) 1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF.(初二) 2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150. 求证:△PBC是正三角形.(初二) 3、如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D​2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点. 求证:四边形A2B2C2D2是正方形.(初二) 4、已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F. 求证:∠DEN=∠F. 经典难题(二) 1、已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.  (1)求证:AH=2OM;  (2)若∠BAC=600,求证:AH=AO.(初二) 2、设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q. 求证:AP=AQ.(初二) 3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题: 设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q. 求证:AP=AQ.(初二) 4、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点. 求证:点P到边AB的距离等于AB的一半.(初二) 经典难题(三) 1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F. 求证:CE=CF.(初二) 2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F. 求证:AE=AF.(初二) 3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE. 求证:PA=PF.(初二) 4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D.求证:AB=DC,BC=AD.(初三) 经典难题(四) 1、已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5. 求:∠APB的度数.(初二) 2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA. 求证:∠PAB=∠PCB.(初二) 3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:AB·CD+AD·BC=AC·BD.(初三) 4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且 AE=CF.求证:∠DPA=∠DPC.(初二) 经典难题(五) 1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,L=PA+PB+PC,求证: 2、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.           3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长. 4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=800,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=300,∠EBA=200,求∠BED的度数. 经典难题(一) 1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆,所以∠GFH=∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得 = = ,又CO=EO,所以CD=GF得证。 2. 如下图做△DGC使与△ADP全等,可得△PDG为等边△,从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150 所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC是正三角形 3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点, 连接EB2并延长交C2Q于H点,连接FB2并延长交A2Q于G点, 由A2E= A1B1= B1C1= FB2 ,EB2= AB= BC=FC1 ,又∠GFQ+∠Q=900和 ∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 , 可得△B2FC2≌△A2EB2 ,所以A2B2=B2C2 , 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 , 同理可得其他边垂直且相等, 从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。 4.如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F。 经典难题(二) 1.(1)延长AD到F连BF,做OG⊥AF, 又∠F=∠ACB=∠BHD, 可得BH=BF,从而可得HD=DF, 又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2)连接OB,OC,既得∠BOC=1200, 从而可得∠BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO, 得证。 3.作OF⊥CD,OG⊥BE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。 由于 , 由此可得△ADF≌△ABG,从而可得∠AFC=∠AGE。 又因为PFOA与QGOA四点共圆,可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ, ∠AOP=∠AOQ,从而可得AP=AQ。 4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI,FH。可得PQ= 。 由△EGA≌△AIC,可得EG=AI,由△BFH≌△CBI,可得FH=BI。 从而可得PQ= = ,从而得证。 经典难题(三) 1.顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350 从而可得B,G,D在一条直线上,可得△AGB≌△CGB。 推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC为等边三角形。 ∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证:CE=CF。 2.连接BD作CH⊥DE,可得四边形CGDH是正方形。 由AC=CE=2GC=2CH, 可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150, 又∠FAE=900+450+150=1500, 从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF。 3.作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形。 令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan∠BAP=tan∠EPF= = ,可得YZ=XY-X2+XZ, 即Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得X=Z ,得出△ABP≌△PEF , 得到PA=PF ,得证 。 经典难题(四) 1. 顺时针旋转△ABP 600 ,连接PQ ,则△PBQ是正三角形。 可得△PQC是直角三角形。 所以∠APB=1500 。 2.作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使AE∥DC,BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,可得: AEBP共圆(一边所对两角相等)。 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得证。 3.在BD取一点E,使∠BCE=∠ACD,既得△BEC∽△ADC,可得: = ,即AD•BC=BE•AC, ① 又∠ACB=∠DCE,可得△ABC∽△DEC,既得 = ,即AB•CD=DE•AC, ② 由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ,得证。 4.过D作AQ⊥AE ,AG⊥CF ,由 = = ,可得: = ,由AE=FC。 可得DQ=DG,可得∠DPA=∠DPC(角平分线逆定理)。 经典难题(五) 1.(1)顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE为等边三角形。 既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上, 即如下图:可得最小L= ; (2)过P点作BC的平行线交AB,AC与点D,F。 由于∠APD>∠ATP=∠ADP, 推出AD>AP ① 又BP+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④ 由①②③④可得:最大L< 2 ; 由(1)和(2)既得:≤L<2 。 2.顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE为等边三角形。 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上, 即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF。 既得AF= = = = = = 。 3.顺时针旋转△ABP 900 ,可得如下图: 既得正方形边长L = = 。 4.在AB上找一点F,使∠BCF=600 , 连接EF,DG,既得△BGC为等边三角形, 可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF , 得到BE=CF , FG=GE 。 推出 : △FGE为等边三角形 ,可得∠AFE=800 , 既得:∠DFG=400 ① 又BD=BC=BG ,既得∠BGD=800 ,既得∠DGF=400 ② 推得:DF=DG ,得到:△DFE≌△DGE , 从而推得:∠FED=∠BED=300 。 A F G C E B O D A P C D B D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 A N F E C D M B · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A P C G F B Q A D E A F D E C B E D A C B F D F E P C B A O D B F A E C P A P C B P A D C B C B D A F P D E C B A A� � P� � C� � B� � A� � C� � B� � P� � D� � A� � C� � B� � P� � D� � E� � D� � C� � B� � A� � 第 6 页 共 15 页 _1234567897.unknown _1234567905.unknown _1234567909.unknown _1234567913.unknown _1234567915.unknown _1234567917.unknown _1234567918.unknown _1234567919.unknown _1234567916.unknown _1234567914.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown
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分类:初中数学
上传时间:2011-12-03
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