北京大学 高等代数课件8

第一学期第八次课 第二章 §4矩阵的运算 2.4.1矩阵运算的定义 定义（矩阵的加法和数乘） 给定两个 矩阵 ， ， 和 加法定义为 ； 给定数域 中的一个元素 ， 与 的数乘定义为 . 定义（矩阵的乘法） 给定一个 矩阵和一个 矩阵 ， ， 和 的乘法定义为 . 2.4.2 矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）的性质 命题 矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中 均为 上的矩阵， 为数域 中的元素） （1） 加法结合律 ； （2） 加法交换律 ； （3） 数乘结合律 ； （4） 数乘分配律 ； ； （5） 乘法结合律 ； ； （6） 乘法分配律 ； ； （7） ; （8） 。 2.4.3 矩阵的和与积的秩 命题 矩阵的运算与秩的关系满足如下性质（其中 均为数域 上的 矩阵， 为 中的元素）： （1） 若 ，则r r ； （2） r r ； （3） r r r 证明 （1）和（2）显然成立。关于（3），由矩阵的秩的定义，只需要证明 的列向量组的秩小于等于 的列向量组的秩加上 的列向量组的秩即可。 的列项量可以被 和 的所有列向量线性表出，于是 的秩小于等于 所有列向量的所组成的向量组的秩，小于等于 秩的和。于是命题成立。 命题 设 分别为 矩阵和一个 矩阵，则r min r r 证明 由矩阵乘法的定义，有 . 的列向量（记为 ）可表示为 ，（ ）， 于是 每一个列向量都可以写成 的列向量组的线性组合，故r r ；同理可证，r r ，于是r min r r 。 命题 r r r . 证明 记 ，设 的列向量为 ，则 的列向量可以表示为 . （1） 设 的列向量的一个极大线性无关部分组为 ， ， ， 任取 的一个列向量 ，存在 ，使得 ， 将（1）式代入，得到 ， 于是 是方程组 的一个特解。 设齐次线性方程组 的基础解系为 ，由线性方程组理论知，方程 的解可以表示为 ， 其中 ，由 ， 是方程 的解，于是 的列向量可以被向量组 线性表示，于是r r r ，即 r r r . 证毕。 定义 阶方阵 自左上角到右下角这一条对角线称为 的主对角线。主对角线上的 个元素的连加称为 的迹。 _1121862161.unknown _1121982584.unknown _1121983430.unknown _1121983718.unknown _1121984290.unknown _1121983932.unknown _1121984046.unknown _1121984204.unknown _1121984223.unknown _1121984140.unknown _1121984020.unknown _1121983845.unknown _1121983552.unknown _1121983638.unknown _1121983653.unknown _1121983558.unknown _1121983484.unknown _1121983501.unknown _1121983459.unknown _1121982877.unknown _1121983007.unknown _1121983374.unknown _1121982896.unknown _1121982826.unknown _1121982863.unknown _1121982740.unknown _1121865792.unknown _1121967028.unknown _1121982373.unknown _1121982427.unknown _1121982471.unknown _1121982504.unknown _1121982410.unknown _1121967118.unknown _1121981973.unknown _1121981989.unknown _1121982299.unknown _1121967504.unknown _1121967102.unknown _1121956020.unknown _1121966988.unknown _1121956038.unknown _1121960533.unknown _1121867544.unknown _1121867609.unknown _1121867650.unknown _1121867567.unknown _1121865844.unknown _1121867543.unknown _1121862608.unknown _1121863262.unknown _1121863992.unknown _1121865791.unknown _1121863486.unknown _1121863073.unknown _1121863074.unknown _1121862609.unknown _1121862431.unknown _1121862505.unknown _1121862571.unknown _1121862607.unknown _1121862506.unknown _1121862453.unknown _1121862214.unknown _1121862215.unknown _1121862430.unknown _1121862213.unknown _1121089415.unknown _1121143730.unknown _1121149937.unknown _1121196535.unknown _1121862121.unknown _1121862122.unknown _1121196657.unknown _1121862075.unknown _1121230478.unknown _1121196564.unknown _1121196494.unknown _1121196521.unknown _1121196010.unknown _1121196475.unknown _1121195610.unknown _1121195151.unknown _1121149303.unknown _1121149471.unknown _1121149346.unknown _1121144058.unknown _1121089800.unknown _1121089871.unknown _1121090153.unknown _1121089848.unknown _1121089698.unknown _1121089756.unknown _1121089608.unknown _1121089644.unknown _1121089509.unknown _1121075659.unknown _1121089189.unknown _1121089321.unknown _1121075877.unknown _1121075367.unknown _1121075368.unknown _1121075205.unknown