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对欧拉公式的再认识.doc

对欧拉公式的再认识

滚滚双溪东逝水
2011-11-29 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《对欧拉公式的再认识doc》,可适用于高中教育领域

由蛋糕分割问题所想到的对欧拉公式的再认识安徽省岳西中学储炳南()问题的提出在某同学的生日聚会上共来了位同学在分食生日蛋糕时有人提出:为了使每个人都能分到一块蛋糕(不要求每块蛋糕大小都一样)至少要切几刀?数学模型的构建与求解按习惯在切蛋糕时总是沿竖直方向向下切如果我们共切了n刀则每刀在蛋糕的上表面的切痕是n条直线于是可构造如下数学模型:数学模型Ⅰ:“平面内n条直线最多能将平面分成多少个区域?”模型Ⅰ的求解:为了保证n条直线能将平面分成的区域数f(n)最大则这n条直线必须两两相交且没有三条直线过同一点。易算出f()=f()=f()=f()=f()=……由于:f()-f()=f()-f()=f()-f()=f()-f()=………图猜想:f(n)-f(n-)=n将以上各式相加得:f(n)-f()=+++…+nf(n)=。下面我们可用数学归纳法证明猜想成立(证明略)由f(n)=≥n≥。所以要使位同学每人都能分到一块蛋糕至少要切刀。如果我们按竖直方向和水平方向进行切割则可构建如下数学模型:模型Ⅱ:如果所切的n刀是按两个方向切割的即竖直方向切k刀水平方向切(n-k)刀。并记最多切割块数为g(kn)。模型Ⅱ的求解:由模型Ⅰ知竖直方向切k刀最多能将蛋糕切成f(k)=块。由于水平方向切(n-k)刀能将每块蛋糕分成(n-k)块。故:g(kn)=将g(kn)对k求导得:EMBEDEquationEMBEDEquation,(舍去)当k时>当k时,<。在上单调递增,在上单调递减。由于不一定是正整数下面我们对n在不同取值加以讨论。当n=时此时g(,)=g(,)=,即切两刀最多只能切成四块当n=时此时g(,)=g(,)=,即切刀最多只能将蛋糕切成块当n=时此时g(k,)max=g(,)=,即切刀最多只能将蛋糕切成块当n=时此时g(,)=g(,)=,即切刀最多只能将蛋糕切成块所以要使名同学每人能分到一块蛋糕最少需要切刀,且有两种不同的切法。对问题的再认识对模型Ⅰ的求解我们使用的是“先猜后证”的探求方法但就问题本身而言这是一个涉及到平面图形的顶点数、棱数和面数的问题。由此联想到平面图形的欧拉公式于是笔者提出如下问题:问题:平面图形的欧拉公式对于非封闭图形是否成立?问题:空间图形的欧拉公式对于非封闭图形是否成立?对问题的回答是肯定的。证明如下:证明:因为非封闭图形(如图)可以看作是由封闭图形(如图)将线段向两个方向无限延伸而得到的如果记封闭图形(如图)的顶点数、棱数、面数分别为V、E、F非封闭图形(如图的顶点、棱数、面数分别为V’、E’、F’则易知在n条直线组成的非封闭的平面图形中V’=V由于每条直线上都有两条“射线”故共有n条“射线”所以E’=En而这n条“射线”又将平面的外围区域分为n个小区域所以:F’=Fn∴V’+F’-E’=V+F+n-(E+n)=V+F-E=即:V’F’-E’=。图图进一步展开联想:将问题中的“n条直线”改为“n条曲线”其结论是否成立呢?由上面的证明过程我们不难想象将平面图形中各条棱在原平面内实施连续变换成“曲线段”后这并不影响顶点数、面数和棱数如图、图所示于是有:推论:在平面“曲边形”中顶点数为V“棱”(线段或曲线段)数为E“面”(线段或曲线段所围成的区域)数为F则有:V+F-E=。图图图推论:在平面内有n条非封闭的曲线所组成的平面图形中(如图所示)顶点数(非封闭的曲线的交点)记为V’“棱”(顶点将曲线分成的每一段曲线段或曲射线①)数记为E’“面”(棱将平面分割成的区域)数记为F’则有:V’F’-E’=。注:①只有一端点的曲线我们不妨称为“曲射线”。证明:易知在n条非封闭的曲线所组成的平面图形中(如图所示)V’=V由于每条曲线上都有两条“曲射线”故共有n条“曲射线所以E’=E+n而这n条“曲射线”又将平面的外围区域分为n个小区域所以:F’=F+n∴V’+F’-E’=V+F+n-(E+n)=V+F-E=即:V’F’-E’=。为了进一步探讨问题。笔者首先给出如下定义:定义:在空间我们把平面、半平面或平面多边形统称为“面”面与面的交线(线段或射线)称为“棱”棱与棱的交点称为“顶点”面将空间分成的区域称为“体”。并记顶点数、棱数、面数、体数分别为:V、E、F、T。下面笔者对空间中平面数分别为、、时V、E、F、T之间的关系列出下表:平面数VEFT图形   根据以上表格所列数据笔者提出如下猜想:在空间中的n个平面所组成的“几何体”中顶点数为V棱数为E面数为F体数为T。则E+T-V-F=。应用举例例平面内有n条两两相交的直线这n条直线没有任何三条通过同一点求这n条直线将平面分成的区域数f(n)。解:∵V’=且每条直线上都有n-个交点这n-个交点将这条直线分为n条棱。所以E’=n由问题的结论知:F’=E’-V’+==∴f(n)=。例平面内有n个两两相交的圆其中没任何三个圆相交于同一点求这n个圆将平面分成的区域数f(n)。解:∵任何两个圆都相交图∴V=又∵每一个圆上都有(n-)个交点这(n-)个交点将圆分成(n-)段。∴E=(n-)n由推论知:F=E-V+=(n-)n-n(n-)+=n-n+即n个圆所围成的区域数为:F=n-n+所以f(n)=F+=n-n+。例连结凸七边形的所有对角线问这些对角线最多能将七边形分成多少个区域?分析:欲使对角线将七边形分成的区域最多应没有任何三条对角线相交于同一点。解:因为任何凸四边形的对角线的交点有且仅有一个所以七边形的所有对角线的交点最多有=个所以V==又因为七边形共有条对角线在这条对角线上共有个交点由于每一个交点都将某两条对角线一分为二则条对角线被这个交点共分成了:×=段所以E=+=。由V+F-E=F=+-=即对角线最多能将七边形分成个区域。评注:对于例、例、例传统的处理方法是:特殊化(求出f()、f()、f()、…的值)归纳猜想再用数学归纳法加以证明。其解题过程繁长而用推论或推论解题则简捷方便。有待进一步解决的问题()如果笔者的上述猜想成立的话那么我们可以说“无论是在二维空间还是在三维空间欧拉示性数均为”。有兴趣的读者可对此作出证明或否定。()象例这类“平面图形分割问题”如果n较大时我们通过归纳猜想再证明的方法处理问题由于归纳难度大一般很难凑效。而事实上例给出了此类问题的一种求解通法。有兴趣的读者自已可以证明:“凸n边形的所有对角线将凸n边形分成的区域数:(n≥)”。而由模型Ⅱ我们不难进一步求出n=、、、、…时g(kn)的最大值分别为、、、、…。那么g(kn)的最大值是否也可以用一个通项公式表示呢?CDEBAECDABCDEBAFGCDEBACDEBAFF图PAGEunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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