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[物理]黄昆固体物理答案.pdf

[物理]黄昆固体物理答案.pdf

上传者: usownh8 2011-11-25 评分 5 0 356 49 1618 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《[物理]黄昆固体物理答案pdf》,可适用于自然科学领域,主题内容包含固体物理习题解答(参考答案)季正华()第一章晶体结构如果将等体积球分别排列下列结构设x表示刚球所占体积与总体积之比证明结构X简单立方π体心立方π面心符等。

固体物理习题解答(参考答案)季正华()第一章晶体结构如果将等体积球分别排列下列结构设x表示刚球所占体积与总体积之比证明结构X简单立方π体心立方π面心立方π六方密排π金刚石π解:设n为一个晶胞中的刚性原子数r表示刚性原子球半径V表示晶胞体积则致密度为:nrVπρ•=(设立方晶格的边长为a)()简单立方(书P图)r取原子球相切时的半径r=an=V=所以anrVπρπ•==()体心立方(书P图)r取原子球相切时的半径(体对角线的)r=a,n=,V=所以anrVπρπ==()面心立方(书P图)r取原子球相切时的半径(面对角线的)r=a,n=,V=所以anrVπρπ•==()六方密排(书P图)r取原子球相切时的半径(正四面体四个顶点处的原子球相切)r=a,n=,V为正四面体的体积V=a所以nrVπρπ•==()金刚石(书P图)r取原子球相切时的半径(r=a)r=a,n=,V=所以anrVπρπ•==证明理想的六角密堆积结构(hcp)的轴比。()ca==解:见补充题证明:体心立方晶格的倒格子是面心立方面心立方晶格的倒格子是体心立方证明:由倒格子定义:体心立方晶格原胞基矢()aaijk=rrrr()aaijk=rrrr()aaijk=rrrr体心立方晶格原胞体积倒格子基矢:同理:可见由为基矢构成的格子为面心立方格子。面心立方格子原胞基矢:面心立方格子原胞体积:倒格子基矢:同理可见由为基矢构成的格子为体心立方格子。证明倒格子原胞体积为*()ccvvπ=,其中Vc为正格子原胞的体积。*()()()cccvaaavvππ=•=rrr证明:倒格子矢量Ghbhbhb=rrrr垂直于密勒指数为的晶面系(,,)hhh解:因为,aaaaCACBhhhh==vvvvuuuruuur容易证明hhhhhhGCAGCB==uuurvuuurv所以Ghbhbhb=rrrr垂直于密勒指数为的晶面系(,,)hhh如果基矢,,abcrrr构成简单正交系证明晶面族(hkl)的面间距为:()()()dhklabc=并说明面指数简单的晶面其面密度比较大容易解理解:简单正交系abcvvv,,aaiabjack===vvvvvv倒格子基矢aabaaaπ=rrrrrraabaaaπ=rrrrrraabaaaπ=rrrrrr倒格子基矢,,bibjbabkcπππ===vvvvvvv倒格子矢量Ghbkblb=vvvGhikjlkabcπππ=vvvv晶面族(hkl)的面间距dGπ=v()()()hklabc=面指数越简单的晶面其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大这样的晶面越容易解理sc,bcc和fcc点阵地第n近邻距离用表示一个给定的布拉菲点阵的第n近邻(例如在简立方布拉菲点阵中nN,NN==等)令为以最近邻距离的倍数表示的第n近邻距离(例如在sc点阵中nr,rr===),对于sc,bcc和fcc布拉菲点阵作一个表示值的表(。,nnNr,,,,,)n=解:见下表:scbccfccn第近邻数n第近距离n第近邻数n第近距离n第近邻数n第近距离n画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在()()()面上的原子排列。(解答略)指出立方晶格()面与()面()面与()面的交线的晶向。找出立方体中保持x轴不变得所有对称操作并指出它们中任意两个操作乘积的结果。解:立方体中保持x轴不变可绕x轴转动π、π、π,再加上不动C所有对称操作构成群CCC群中任意两个元素的乘积仍然是群中的元素(具体过程乘积在此省略请验证)。)CCC=(,,,证明六角晶体的介电常数张量为εεε证明:若Ar是一旋转对称操作则晶体的介电常数ε满足TAAεε=rrrr对六角晶系绕x轴(即ar轴)旋转度和绕z轴(即轴)旋转度都是对称操作坐标变换矩阵分别为:crxA=rzA=r假设六角晶系的介电常数为εεεεεεεεεε=则由TxxAAεε=rr得εεεεεεεεεεεεεεεεεε=可见,,,,εεεε====则εεεεεε=将上式代入TzzAAεε=rr得εεεεεεεεεεεεεεεε=εε由上式可得,,εεε===可得六角晶系的介电常数为εεεε=选择相应的坐标变换即可得到εεεε=原命题得证。比较面心立方晶格、金刚石晶格、闪锌矿晶格、Nacl晶格的晶系、布拉伐格子、平移群、点群、空间群。晶格晶系布拉伐格子点群空间群面心立方晶格立方面心立方hOmmF金刚石晶格立方面心立方hOdmF闪锌矿晶格立方面心立方dTmFNacl晶格立方面心立方hOmmF补充题具有笛卡儿坐标(,的所有点形成什么样的布拉菲菲点阵:如果(a)或全为奇数或全为偶数(b)要求为偶数。,)nnniniin解(a)若()全为偶数则点阵矢量in,,i=Rr可以写为(,,)Rlmn=r这里为整数于是有,,lmn()()()Rlimjnklamana==rrrrrrraaa===显然R定义的是一个点阵常数为的SC点阵。若()全为奇数则点阵矢量in,,i=Rr()()()()Rlimjnkijk=rrrrrrr。由Rr所定义的也是一个点阵常数为的SC点阵但相对于上面一个SC点阵位移了一个矢量这个点正好位于体心位置。上面两个SC点阵穿套起来正好是一个bcc点阵故或全为奇数或全为偶数所定义的是一个bcc点阵。()ijkrrrin()若为偶数。于是点阵矢量为iinnnnN==()()()RninjNnnkninjNnNnk==rrrrrrr令则有,lNnmNn==()()()RNliNmjlmk=rrrr又令仍为整数则有,nNlmn=()()()Rnminljlmk=rrrr()()()Rnijljkmki=rrrrrrr由于fcc点阵的矢量是()()(aaa)Rnijnjknki=rrrrrrr可见上述定义的是一个点阵常数的fcc点阵。a=补充题六角密堆积结构()证明理想的六角密堆积结构(hcp)的轴比。()ca==()钠在K附近从bcc结构转变为hcp结构(马氏体相变)假设在此相变过程中保持密度不变求hcp相变的点阵常数。已知bcc相的点阵常数是埃且hcp相的比值与理想值相同。aca解ABCDGEFaAEAGa===cFEa==因此ca==(b)设钠在bcc相的点阵常数为初基晶胞体积为'a''eVa=在hcc相初基晶胞体积为sin()ecaa===Va。由相变过程密度不变'eVV=e。因为bcc相的每个初基晶胞中包含一个钠原子而hcp相的每个初基晶胞中包含两个钠原子。,''aaaa==埃所以hcp相的点阵常数埃。,ac==补充题晶体结构的堆积比率在sc,bcc和fcc结构中fcc是原子排列密积的sc是最稀疏的它们的配为数分别是fcc,bcc,sc而金刚石结构比简立方结构还要稀疏配为数是。如果把同样的硬球放置在这些结构原子所在的位置上。球的体积取得尽可能大以使最近邻的球正好接触但彼此并不重叠。我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比定义为结构的堆积比率(又称最大空间利用率)。证明以上四种结构的堆积比率是fcc:π=,bcc:π=,sc:π=,金刚石:π=。证明令Z表示一个立方晶胞中的硬球数是位于晶胞内的球数iNfN是在晶胞面上的球数是在晶胞棱上的球数是在晶胞角负隅上的球数。于是有eNcNifecZNNNN=边长为的立方晶胞中堆积比率为arFZaπ=。对于fcc,,,ZarF===对于bcc,,,ZarF===对于sc,,,ZarF===补充题试做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立方晶格的维格纳塞茨原胞(WingnerSeitz)解:维格纳塞茨原胞:选取某一个格点为中心做出最近各点和次近各点连线的中垂面这些所包围的空间维格纳塞茨原胞如图所示为一种二维格子的维格纳塞茨原胞简单立方晶格维格纳塞茨原胞为原点和个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体面心立方格子维格纳塞茨原胞为原点和个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体体心立方格子维格纳塞茨原胞为原点和个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体沿立方轴的个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角形成的面体黄昆固体物理习题解答第二章晶体的结合证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为nα=l解:设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键取任一负离子作参考离子(这样马德隆常数中的正负号可以这样取即遇正离子取正号遇负离子取负号)用r表示相邻离子间的距离于是有()jijrrrrrrα′==前边的因子是因为存在着两个相等距离的离子一个在参考离子左面一个在其右面故对一边求和后要乘马德隆常数为irα=()nxxxxx=Ql当x=时有n=lnα=l讨论使离子电荷加倍所引起的对Nacl晶格常数及结合能的影响(排斥势看作不变)解:()neCurrrα=由|rnduenCdrrrα==解得nenCrrα=()()nnCreeα=于是当e变为e时有()()()nnnCrereeα==结合能为()()eurrnα=当e变为e时有()()()()nneueuerenα==若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为()mnurrrαβ=计算:)平衡间距r解答(初稿)作者季正华黄昆固体物理习题解答)结合能W(单个原子的))体弹性模量)若取计算,,,mnrnmWe====V,αβ的值解:)平衡间距r的计算晶体内能()()mnNUrrrαβ=平衡条件rrdUdr==即mnmnrrαβ=所以()nmnrmβα=)单个原子的结合能()Wu=r()()mnrrurrrαβ==()nmnrmβα=()()mnmmnWnmβαα=)体弹性模量()VUKVV=晶体的体积A为常数N为原胞数目VNAr=晶体内能()()mnNUrrrαβ=()mnUUrNmnVrVrrNArαβ==()mnUNrmnVVrrrNAαβ=r体弹性模量()VUKVV=mnmnVVUNmnmnVVrrrrαβαβ==由平衡条件()mnVVUNmnVrrNArαβ===解答(初稿)作者季正华黄昆固体物理习题解答mnmnrrαβ=mnVVUNmnVVrrαβ==体弹性模量()VUKVV=()VVUmnUVV==mnKUV=)若取计算,,,mnrnmWe====V,αβ的值mnmnr=)(αβ()()mnmmnWnmβαα=rW=βWrr=βαmeV=βmeV=α经过sp杂化后形成的共价的方向求共价键之间的夹角。解:sp轨道杂键其方向沿着立方体的四条对角线化过程形成的共体结构容)价键如右图所示:由于形成的是正四面易通过几何知识解出键角为′(请读者自己推导求解假设ⅢⅤ族化合物中Ⅲ族、Ⅴ族原子都是电中性的(q*=)求出其电离度if。解:对于Ⅲ族原子的有效电荷为*()qλλ==解出λ=解答(初稿)作者季正华黄昆固体物理习题解答根据卡尔森(Coulson)定义的电离度ⅢⅤ族化合物(q*=)的电离度为BBAiAppfppλλ=====用林纳德-琼斯势计算Ne在体心立方和面心立方结构中的结合能之比值。解:()()(),()()()()nlururNAArrrrσσσσεε==()rAAdurrurAσε===NA()()()()bccbccfccfccurAAurAAωω′====′对于H从气体的测量得到的林纳德-琼斯势参数为计算H,AJεσ==o结合成面心立方固体分子氢时的结合能(以千焦耳每摩尔为单位)每个氢分子可以当作球形来处理结合能的实验值为试与计算值进行比较。kJmol解:以H为基团组成fcc结构的晶体如略去动能分子间按LennardJones势相互作用则晶体的总相互作用能为:()ijijijijijijUNPPRRNPPRRσσεσσε′′=•′′=,ijijjiPP′′==,,ergANmolεσ===o解答(初稿)作者季正华黄昆固体物理习题解答()()UUmolerg=将R代入得到平衡时的晶体总能量为。KJmol因此计算得到的晶体的结合能为.KJ/mol远大于实验观察值lKJ/mo.对于的晶体量子修正是很重要的我们计算中没有考虑零点能的量子修正这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因.HH解答(初稿)作者季正华黄昆固体物理习题解答第三章晶格振动与晶体的热学性质已知一维单原子链其中第j个格波在第个格点引起的位移为nsin()njjjjjatnaqμωσ=jσ为任意个相位因子并已知在较高温度下每个格波的平均能量为具体计算每个原子的平方平均位移。解:任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加即sin()nnjjjjjjatnaqjμμω==σ()*nnjnjnjnjjjjjj*njμμμμμμ′′==由于njnjμμ数目非常大的数量级而且取正或取负几率相等因此上式得第项与第一项相比是一小量可以忽略不计。所以nnjjμμ=由于njμ是时间的周期性函数其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为tsin()TjjjjjatnaqdtaTμωσ=j=()已知较高温度下的每个格波的能量为KTnjμ的动能时间平均值为sin()LTTnjjjnjjjjjjjdwaTdxdtLatnaqdtwLaTdtTμρρωσ==ρ=其中L是原子链的长度ρ使质量密度为周期。T所以njjjTwLaρ==KT()因此将此式代入()式有njjKTLμρω=所以每个原子的平均位移为nnjjjjjjKTKTLLμμρωρω====讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)其N格波解当M=m时与一维单原子链的结果一一对应解答(初稿)作者季正华黄昆固体物理习题解答解:如上图所示质量为M的原子位于nnn……质量为m的原子位于nnn……牛顿运动方程:()nnnnmμβμμμ=()nnnMnμβμμμ=体系为N个原胞则有N个独立的方程方程解的形式:()itnaqnAeωμ=()itnaqnBeωμ=将()itnaqnAeωμ=()itnaqnBeωμ=代回到运动方程得到若A、B有非零的解系数行列式满足:两种不同的格波的色散关系:第一布里渊区解答(初稿)作者季正华黄昆固体物理习题解答第一布里渊区允许q的数目对应一个q有两支格波:一支声学波和一支光学波。总的格波数目为N。当M=m时两种色散关系如图所示在长波极限(qλ>>)情况下:当q与一维单原子晶格格波的色散关系一致。考虑一双原子链的晶格振动链上最近邻原子间力常数交替为c和c.令两种原子质量相同且最近邻间距为a.求在和k=kaπ=处的()kω.大略地画出色散关系.此问题模拟如这样的双原子分子晶体。ccH解a•o•o•osusvsusvsusv()(s)sssdusMCVuCVudt=()(,sssssdV)MCuVCuVdt=将,isKaitisKaitssuueeVVeeωω=•=•代入上式有解答(初稿)作者季正华黄昆固体物理习题解答()(),,ikaikaMuCeVCuMVCeuCVωω==是Uv的线性齐次方程组存在非零解的条件为,()(),iKaiKaMCCeCeMCωω=解出()()MMCCconKaCconKaMωωω==当K=时当K=,,CMωω==aπ时,,CMCMωω==ω与的关系如下图所示.这是一个双原子(例如)晶体。KH考虑一个全同原子组成的平面方格子用,lmμ记第l行第m列的原子在垂直于格平面的位移每个原子质量为M最近邻原子的力常数为c。(a)证明运动方程为:,,,,,,,()(()lmlmlmlmlmlmlmdMcdtμ)μμμμμμ=(b)设解的形式为,()exp()lmxyilkamkatμμ=ωy这里a是最近邻原子间距证明运动方程是可以满足的如果cos()cos()xMckakω=a这就是色散关解答(初稿)作者季正华黄昆固体物理习题解答系。(c)证明独立解存在的k空间区域是一个边长为aπ的正方形这就是平方格子的第一布里渊区构出xkk=而yk=时和xykk=时的kω图。(d)对于证明ka<<()()()xycakkcaMkMω==证明:(a)左方原子与它的相对位移为,,lmlmμμ右方原子与它的相对位移为,,lmlmμμ上方原子与它的相对位移为,lmlm,μμ下方原子与它的相对位移为,,lmlmμμ并考虑到力的方向性得到上面平面格子的每个原子的力学方程为:,,,,,,,,,,,,,,,()()()()()()()lmlmlmlmlmlmlmlmlmlmlmlmlmlmlmdMccdtcccμμμμμμμμμμμμμμμ==所以原命题的证。(b)根据题意,()exp()lmxyilkamkatμμω=为平面格子原子的运动方程,,,,,,,()(()lmlmlmlmlmlmlmdMcdtμ)μμμμμμ=的解因为,()exp()lmxyilkamkatμμω=所以可以得到,()exp{()}lmxyilkamkatμμω=,()exp{()}lmxyilkamkatμμω=,()exp(())lmxyilkamkatμμω=,()exp(())lmxyilkamkatμμω=将式代入平面格子原子的运动方程则容易得到得到色散关系(这里代入过程从略请自己代入计算):cos()cos()xyMckakω=a解答(初稿)作者季正华黄昆固体物理习题解答(c)由色散关系cos()cos()xyMckakω=a和周期性边界条件可以得到(,xkaaππ(,ykπaaπ所以独立解存在的k空间区域是一个边长为aπ的正方形。当xkk=且时的yk=kω图和当xykk=时的kω图如右图所示。已知Nacl晶体平均每对离子的相互作用能为()neUrrrαβ=其中马德隆常数α=n=平均离子间距r=Å。()试求离子在平衡位置附近的振动频率()计算与该频率相当的电磁波的波长并与Nacl红外吸收频率的测量值μ进行比较。计算一维单原子链的频率分布函数()ρω解:设单原子链长度L=NaNa波矢取值qhNaπ=qNaπ=π,状态密度每个波矢的宽度的状态数Nadqπ对应q同值dq间隔内ω取相()Nadqdqρωπ=因此解答(初稿)作者季正华黄昆固体物理习题解答一维单原子链色散关系,sin()aqmβω=令βmω=sin()aqωω=微分得到cos()aaqddωω=两边q将cos()aqωcos()aaqddωω=ω=代入到q,adddqdqaωωωωωω==NaNaddqaωππωω=()Nρωπωω=频率分布函数设三维晶格的光学振动在q=附近的长波极限有q()qAωω=求证:()(),VfAωωωωωπ=<(),fωωω=>解:=(),Aqfωωωωω>=>时()AqqAωωωωωω<==()(),()()qqVdsqAqfqωωωπ==r依据并带入上边结果有()()()()()()()AVfω=()qVdsVAAqπωωωωωππωωπ==r有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格在德拜近似下计算比热并论述在低温极限比热正比与。于平面T证明:在k到kdk间的独立振动模式对应中半径n到ndn间圆环的面积ndnπ且()Lsndnkdkkdkωdvπρω===即ρωπππ则解答(初稿)作者季正华黄昆固体物理习题解答()()mDDBBxBBBBkTkTxDDdskTskTkTkTsdEEveveveωωωωρρρωωωωπππ===hhhhhhhhxdx,()vsETETCT=时T写出量子谐振子系统的自由能证明在经典极限下自由能为BnqBFUkTkTqωh证明:量子谐振子的自由能为lqBqkTBnqBFUkTekTωω=hhl经典极限意味着(温度较高)BTgkω>>hxexx=应用所以qBqqkTBBekTkTωωω=hhh因此qqqBnBnqqBBFUkTUkTkTkTωωωhhhllqqUUωh其中ωh设晶体中每个振子的零点振动能为使用德拜模型求晶体的零点振动能。证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的与温度无关故T=K时振动能就是各振E动模零点能之和。()()()mEEgdEωωωωωω==h将和()sgvVωω=代入积分有πmmsVENvωωπ==h由于mBDBkENkDωθθ==h得一股晶体德拜温度为~可见零点振动能是相当大的其量可与温升数百度所需热K值解答(初稿)作者季正华黄昆固体物理习题解答能相比拟.一维复式格子,mg=,MNmmβ==()光学min(即),dyncm求:maxAω波max,ωω声学波。()相应声子能量是多少电子伏。()在k时的平均声子数。()与maxω相对应的电磁波波长在什么波段。dyncmβmax,AsMω===解()()()maxoMmdyncmsMmβω===maxAdyncmsmβω===()VVV()maxmaxminAooseseseωωω======hhhmaxmaxmaxmax,AOBBAOkTkTnneeωω====hhminminOBOkTneω==hcmπλμω==()解答(初稿)作者季正华黄昆固体物理习题解答第四章能带理论根据kaπ=状态简并微扰结果求出与E及E相应的波函数ψ及ψ并说明它们的特性.说明它们都代表驻波并比较两个电子云分布ψ说明能隙的来源(假设=)。nV*nV<解>令kaπ=kaπ′=简并微扰波函数为()()kkAxBxψψψ=*()nEkEAVB=取()nVAEkEB′=EE=带入上式其中()nEEkV=V(x)<,V,从上式得到B=A,于是n<()()nnixixaakkAAxxeeLππψψψ′===sinAnxaLπ取EE=()nEEkV=,nnVAVBAB==得到()()nnixixaakkAAxxeeLππψψψ′===cosAnxaLπ由教材可知Ψ及均为驻波.在驻波状态下电子的平均速度Ψ()kν为零.产生驻波因为电子波矢nkπa=

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