第八章 自适应滤波

第八章 自适应滤波 在第五章和第六章中，我们介绍了维纳滤波和卡尔曼滤波。维纳滤波器参数是固定的， 适合于平稳随机信号。卡尔曼滤波器参数是时变的，适合于非平稳随机信号。然而，只有在 信号和噪声的统计特性先验已知的情况下，这两种滤波技术才能获得最优滤波。在实际应用 中，常常无法得到信号和噪声统计特性的先验知识。在这种情况下，自适应滤波技术能够获 得极佳的滤波性能，因而具有很好的应用价值。 常用的自适应滤波技术有：最小均方（LMS）自适应滤波器、递推最小二乘（RLS）滤 波器、格型滤波器和无限冲激响应（IIR）滤波器等。这些自适应滤波技术的应用又包括： 自适应噪声抵消、自适应谱线增强和陷波等。现在，已经有许多信号处理书籍全面介绍了自 适应滤波技术。考虑到生物医学工程专业大三本科生的学习基础，本章首先介绍最小均方 （LMS）自适应滤波器原理，在此基础上介绍自适应噪声抵消器及其生物医学应用，这样 安排更能够突出本教材的宗旨。 第一节 LMS 自适应维纳滤波器 LMS 自适应滤波器是使滤波器的输出信号与期望响应之间的误差的均方值为最小，因 此称为最小均方（LMS）自适应滤波器。 8.1.1 基本 LMS 算法 构成自适应数字滤波器的基本部件是自适应线性组合器，如图 8-1 的所示。设线性组合 器的 M 个输入为 ( 1) , ( )x k x k− −L M − ，其输出 是这些输入加权后的线性组合，即 ( )y k 1 ( ) ( ) M i i y k W x k i = = ∑ （8-1-1） 图 8-1 自适应线性组合器 定义权向量 ，且 1 2 3[ , , , ]TmW W W W W= L ( ) [ (( 1) ), , (( ) )]TX k X k T X k M T= − −L （8-1-2） 在图 8-1 中，令 代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf “所期望的响应”，并定义误差信号 ( )d k 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M i i k d k y k d k W X k i ε = = − = − −∑ （8-1-3） 式（8-1-3）写成向量形式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T k d k W X k d k X k W ε = − = − （8-1-4） 误差平方为 2 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )T T Tk d k d k k k kε = − +X W W X X W 上式两边取数学期望后，得均方误差 { } { } { } { }2 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )T T TE k E d k E d k k E X k kε = − +X W W X W （8-1-5） 定义互相关函数行向量 TxdR ： { }( ) ( )Txd TR E d k X k= （8-1-6） 和自相关函数矩阵 { }( ) ( )TXXR E X k X k= （8-1-7） 则均方误差（8-1-5）式可表述为 { } { }2 2( ) ( ) 2 T Txd XXE k E d k R W W R Wε = − + （8-1-8） 这表明，均方误差是权系数向量 W 的二次函数，它是一个中间向上凹的抛物形曲面，是具 有唯一最小值的函数。调节权系数使均方误差为最小，相当于沿抛物形曲面下降找最小值。 可以用梯度来求该最小值。 将式（8-1-8）对权系数 W 求导数，得到均方误差函数的梯度 { }2( ) ( )k E kε∇ = ∇ { } { }2 2 1 2 ( ) ( ) T M E k E k W W ε ε⎡ ⎤∂⎢ ⎥= ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ L， ， 2 2Xd XX= − +R R W (8-1-9) 令 ，即可求出最佳权系数向量 ( ) 0k∇ = 1 opt XX Xd −=W R R （8-1-10） 它恰好是第五章研究 Wiener 滤波器遇到过的 Wiener- Hopf 方程。因此，最佳权系数向量 通常也叫作 Wiener 权系数向量。将 代入式（8-1-8）得最小均方误差 optW optW { } { }2 2 min ( ) ( ) Txd optE k E d kε = − R W （8-1-11） 利用式（8-1-10）求最佳权系数向量的精确解需要知道 XX Xd和R R 的先验统计知识，而且还需 要进行矩阵求逆等运算。Widrow and Hoff (1960)提出了一种在这些先验统计知识未知时求 的近似值的方法，习惯上称为 Widrow and Hoff LMS 算法。这种算法的根据是最优化方optW 法中的最速下降法。根据最速下降法，“下一时刻”权系数向量 ( 1k )+W 应该等于“现时刻” 权系数向量 加上一个负均方误差梯度( )kW ( )k−∇ 的比例项，即 ( 1) ( ) (k k )kμ+ = − ∇W W （8-1-12） 式中， μ 是一个控制收敛速度与稳定性的常数，称之为收敛因子。 不难看出，LMS 算法有两个关键：梯度 ( )k∇ 的计算以及收敛因子 μ 的选择。 （一） 的近似计算 ( )k∇ 精确计算梯度 ( )k∇ 是十分困难的，一种粗略的但是却十分有效的计算 的近似方法 是：直接取 作为均方误差 ( )k∇ 2 ( )kε { }2 ( )E kε 的估计值，即 2ˆ ( ) [ ( )] 2 ( ) [ ( )]k k kε ε ε∇ = ∇ = ∇ k （8-1-13） 式中的 [ ( )]kε∇ 为 [ ( )] [ ( ) ( ) ( )] ( )Tk d k k kε∇ = ∇ − = −W X X k k )k （8-1-14） 将式（8-1-14）代入式（8-1-13）中，得到梯度估值 ˆ ( ) 2 ( ) ( )k kε∇ = − X 于是，Widrow – Hoff LMS 算法最终为 ( 1) ( ) 2 ( ) (k k kμε+ = +W W X （8-1-15） 式（8-1-15）的实现方框图如图 8-2 所示 图 8-2 LMS 算法的实现方框图 下面分析梯度估值 的无偏性。 的数学期望为 ˆ ( )k∇ ˆ ( )k∇ { } { }ˆ ( ) 2 ( ) ( )E k E k kε∇ = − X { }2 ( )[ ( ) ( ) ( )]TE k d k k k= − −X X W 2[ ( )]Xd XX k= − −R R W ( )k= ∇ （8-1-16） 在上面的推导过程中，利用了 和( )d k ( )kε 二者皆为标量的事实。在得到最后的结果时，利 用了式（8-1-9）。式（8-1-16）表明，梯度估值 是无偏估计。 ˆ ( )k∇ （二） μ 的选择 对权系数向量更新 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 （8-1-15）两边取数学期望，得 { } { } { }( 1) ( ) 2 ( ) ( )E k E k E k kμ ε+ = +W W X { } { }( ) 2 ( )[ ( ) ( ) ( )]TE k E k d k k kμ= + −W X X W { }( 2 ) ( ) 2XX XdE kμ= − + μI R W R （8-1-17） 式中， I 为单位矩阵， { }( ) ( )T TXX E k k=R X X X 和 { }( ) ( )xd E k d k=R X 。 当 时， 0k = { } { }(1) ( 2 ) ( ) 2XX XdE E oμ μ= − +W I R W R 对于 ，利用上式结果，则有 1k = { } { } { } 12 =0 (2) ( 2 ) (1) 2 ( 2 ) (0) 2 ( 2 ) XX xd i XX XX Xd i E E E μ μ μ μ μ = − + = − + −∑ W I R W R I R W I R R 起始时， { }(0) (0)E =W W 故 { } 12 =0 (2) ( 2 ) (0) 2 ( 2 )iXX XX Xd i E μ μ μ= − + −∑W I R W I R R i R 1 重复以上迭代至 ，则有 1k + { } 1 0 ( 1) ( 2 ) (0) 2 ( 2 ) k k XX XX Xd i E k Iμ μ μ+ = + = − + −∑W I R W R （8-1-18) 由于 是实值的对称阵，我们可以写出其特征值分解式 XXR T XX −= ∑ = ∑R Q Q Q Q （8-1-19） 这里，我们利用了正定阵 Q的性质 ，且1 T− =Q Q 1( , , )Mdiag λ λ∑ = L 是对角阵，其对角元素 iλ 是 的特征值。将式（8-1-19）代入式（8-1-18）后得 XXR { } 1 1( 1) ( 2 )kE k μ − ++ = − ∑W I Q Q W 1 0 2 ( 2 ) k i Xd i μ μ − = + − ∑∑ I Q Q R （8-1-20） 注意到以下恒等式及关系式： （1） （8-1-21a） 1 1 1 1 1 1 ( 2 ) ( 2 ) [ ( 2 ) ] ( 2 ) ( 2 ) i i i i I μ μ μ μ μ − − − − − − − ∑ = − ∑ = − ∑ = − ∑ − ∑L Q Q QQ Q Q Q I Q Q I Q Q I Q 1( 2 )iμ −= − ∑Q I Q （2） 1 1 0 0 lim ( 2 ) ( 2 ) k i k i i μ μ∞− −→∞ = =− ∑ = − ∑∑ ∑I Q Q Q I Q 1[(2 ) ]μ 1− −= ∑Q Q （8-1-21b） （3）假定所有的对角元素的值均小于 1（这可以通过适当选择 μ 实现），则 1lim( 2 ) 0k k I μ +→∞ − ∑ = （8-1-21c） (4) 1 1XX 1− − −= ∑R Q Q (8-1-21d) 将式（8-1-21a）~（8-1-21d）代入式（8-20），结果有 { } 1 1( 1) XdE k − −+ = ∑W Q Q R 1 XX Xd opt −= =R R W （8-1-22） 由此可见，当迭代次数无限增加时，权系数向量的数学期望值可收敛至 Wiener 解，其条件 是对角阵 ( 2 )I μ− ∑ 的所有对角元素均小于 1，即 max1 2 1μλ− < 或 max 10 μ λ< < (8-1-23) 其中 maxλ 是 的最大特征值。XXR μ 称为收敛因子，它决定达到式（8-1-22）的速率。事实上， 收敛于 由比值( )W k optW max mind λ λ= ／ 决定，该比值叫做谱动态范围。大的 d 值喻示要花费很 长的时间才会收敛到最佳权值。克服这一困难的方法之一是产生正交数据。 基本 LMS 自适应算法如下： 初始化： (0) 0;=W (0) ;I=R 选择 max 1: 0μ μ λ< < 1 :For k to n final do= ( ) ( 1) 2 [ ( ) ( 1) ( )] ( )Tk k x k k k Xμ= − + − −W W W X k LMS 自适应滤波器如图 8-3 所示。 图 8 – 3 LMS 自适应滤波器 8.1.2 基本 LMS 算法的性能 LMS 自适应滤波器的性能通常用所谓的“失调量”进行评估。失调 M（k）定义为 { }2( ) 1 ( 1) ( ) /TM k E V k X k−� 式中， 是自适应滤波器与最佳滤波器的离差。 ( )V k 根据 Macchi(1986)的分析，LMS 滤波器与最佳权的离差 可以写成两个离差分量之( )V k 和，即 ( ) ( ) ( )n lk k= +V V V k T e k k )k k ) （8-1-24） 噪声离差 和滞后离差 具有以下递推式： ( )nV k ( )lV k ( ) [ 2 ( ) ( )] ( 1) ( ) ( )n T n ok k k k kμ μ= − − +V I X X V X （8-1-25） ( ) [ 2 ( ) ( )] ( 1) ( )l T lk k k kμ= − − −V I X X V T （8-1-26） 其中 ( ) ( ) ( ) ( )To opte k x k k k= −W X （8-1-27） ( 1) ( 1) (optk k− = + −V W W (8-1-28) 且 是 LMS 滤波器试图“学习”的最佳滤波器的时间变化，定义为 ( )T k ( ) ( 1)opt optk k= + − ( )T W W （8-1-29） 如果 k足够大，使得算法可以在稳态考虑，那么，式（8-1-25）和（8-1-26）的初始值 就可以置为零。 下面假定： 的扰动与在向量 中包含的所有过去的样本值独立。且还需要 假定： 与 独立，这在本质上意味着序列 是独立的。这一假定尽管不现实， 但是当 ( 1)nV k − ( )X k ( 1lV k − ( )X k ( )X k μ 很小以及时间变化 很慢时，该假定可以成立。因此，我们允许这一独立性。 回顾第五章，独立性假设意味着正交原理成立，即 ( )T k { }[ ( ) ( ) ( )] ( ) 0T ToptE x k k X k X k−W = （8-1-30） 将此正交结果代入式（8-1-25），直接得 { }( ) 0nE V k = （8-1-31） 对于 ，其均值不为零。令 ( )lV k ( ) ( ) ( )lV k Z k Z k= + % （8-1-32） 其中 { }( ) ( )lE k Z k=V （8-1-33） { }( ) 0E k =%Z （8-1-34） Bershad and Macchi (1991)证明了以下结果。其一，恢复误差的所谓“失调”由 ( ) ( ) ( ) ( )l l nM k k kε ε ε= + +% k （8-1-35） 给出，其中 ( ) ( ) ( 1)Hl Xk (k - 1) k kε −� Z R Z （8-1-36） { }( ) ( 1) ( ) ( 1)Hl Xk E k k kε − −% %% � Z R Z （8-1-37） { }( ) ( 1) ( ) ( 1)n H nn Xk E k k kε − −� V R V （8-1-38） { }( ) ( ) ( )TX k E k k�R X X （8-1-39） 此处，符号 H代表共轭转置。 其二，在缓慢尖化条件下，总的跟踪失调为 ( ) ( )l nM k ε ε= + k （8-1-40） 其中 lε 是当 时 的极限，即有 k →∞ ( )l kε 2 2 1( ) ( ) (1 ) 12n n M Mk P ψε ημ − = ⋅ + n sp （8-1-41） 且 ( ) 0.5 ( 1) ( )n nk M p pε μ + +� （8-1-42） 式（8-1-41）中， 3(M +1) M(M -1) η ρ= （8-1-43） 这里， ρ 是信躁比， nP 是躁声功率。 第二节 自适应噪声抵消器 基于维纳理论的自适应噪声抵消方法利用了自适应最优滤波概念，在信号处理领域已 经被证明非常有用。自适应噪声抵消的目的是要去除主信号中的背景噪声。主信号由有用信 号和背景噪声组成，而背景噪声与参考信号中的噪声相关。因此，自适应噪声抵消技术主要 依赖于从主信号和噪声中获取参考信号。 1957 年，Howells 等提出并建立了一个自适应噪声抵消（ANC）系统来消除天线信号的 旁瓣。此系统中的参考信号由一辅助天线提供，且滤波器有两个权重。之后，Widrow 和 Hoff 发展了最小均方误差（LMS）自适应算法和称为自适应线性阈值逻辑单元（ADALINE）的 模式识别方法。1965 年，基于最小均方误差准则(LMS)的自适应噪声抵消首次得以实现，随 后，自适应噪声抵消在信号处理、地震和生物医学领域均获得成功应用。 8.2.1 自适应噪声抵消原理 自适应滤波器已经在信道均衡、回波消除、雷达、线性预测、谱分析和系统识别等领域 得到广泛应用。本节将专门讨论自适应滤波器用作自适应噪声抵消的应用。基于维纳理论的 自适应噪声抵消需要无限加权滤波器，以极小化输出误差。为了实现维纳滤波 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，必须使 用有限加权滤波器。换句话说，自适应滤波器必须假定维纳滤波器是一个有限冲激响应 （FIR）滤波器。 （a） 最佳噪声抵消器 （b） 自适应噪声抵消器 图 8-4 自适应噪声抵消原理方框图 如图 8-4（a）所示是基于维纳滤波器的自适应噪声抵消原理方框图。主信号 由有 用信号 和背景噪声 构成，其中 和 不相关。参考信号 可与 或 相关。 是背景噪声 的最佳估计。 可以通过选择最佳 FIR 维纳滤波器的 最佳加权 x( )n ( )s n ( )v n ( )s n ( )v n ( )r n ( )s n ( )v n ( )v n$ ( )v n ( )v n$ w( )n 计算得出，即 ( ) ( ) 0 ˆ w M m m v n r n m = = −∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1w w 1 wMn r n n r n n r n M= + − + ⋅⋅⋅+ − , （8-2-1） Mm ≤≤0 其中，M表示滤波器的阶； 由 延时获得。 ( )r n m− ( )r n 具有 M 个权重滤波器的估计误差 由下式定义： ( )e n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆx x wTe n n v n n n r n= − = − （8-2-2） 其中 0 1 w ( ) w ( ) w( ) w ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) M n n n n r n r n r n r n M ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ � � � � � � 由正交原理有 ，所以 和 正交。 ( ( ) ( )) 0E e n r n = ( )e n ( )r n 对式（8 – 2- 2）两边取平方和数学期望，可得 2 2( ) x( ) 2x( ) ( ) w( ) w( ) ( ) ( ) w( )T T Te n n n r n n n r n r n n= − + （8-2-3） 2 2[ ( ) ] [x( ) ] 2 [x( ) ( ) ]w( ) w( ) [ ( ) ( ) ]w( )T T TE e n E n E n r n n n E r n r n n= − + （8-2-4） 然后，式（8 – 2- 4）可简化如下： 2 2[ ( ) ] [x( ) ] 2 w w wTTE e n E n P R= − + （8-2-5） 其中，输入信号 和参考矢量( )s n ( )nr− 之间的互相关用P表示，即 ( ) ( )x TP E n r n− −⎡= ⎣ ⎤⎦， （8 –2- 6） R表示输入自相关矩阵，即 [ ( ) ( ) ]TR E r n r n= （8-2-7） 式（8 –2- 5）中的均方估计误差应该相对于滤波器权重有极小值，即 2 0 2 2 ( ( ) ) w ( ( ) ) 2 2 w w ( ( ) ) wM E e n E e n P R E e n ⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟= = − +⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠ � � � � （8-2-8） 令均方估计误差函数的梯度等于 0，可得最佳 FIR 滤波器（维纳滤波器）权重如下， 1w R P−= （8 –2- 9） 实际上，通常P和R的统计量是未知的。然而，用 Widrow 和 Hoff 提出的方法迭代求 解式（8 – 2-9）能够克服这一限制。图 8-4(b)表示了自适应滤波器的方框图。如果参考信号 和主信号中的噪声 相关，则自适应滤波器将在输出端去除其相关性，具体方法是： 从参考信道的噪声中产生一个主信道中背景噪声的估计值 ，然后从主信道中减去这个 估计噪声 ，那么自适应滤波器的输出就是有用信号的估计 s( 。 ( )r n ( )v n ( )v n$ ( )v n$ )n$ 用最速下降法（或梯度下降法）可得到式（8 –2- 9）的解。 自适应滤波器的加权值w被更新的第 ( 1n )+ 步迭代式为 w( 1) w( ) w( )n n+ = + Δ n （8-2-10） 因此， 的估计十分关键。计算w( )nΔ w( )nΔ 最简单最通常的方法是用最速下降法，且每次 迭代选择的 应该满足如下条件： wΔ 2(w w) (w) ( ( ) )e nε ε ε+ Δ ≤ = （8-2-11） 其中， (w)ε 表示性能指标。假设 很小，则式（8 – 2-11）可写为 wΔ (w)(w) w (w) w T εε ∂+ Δ ≤∂ ε （8-2-12） 再设 (w)w w( )εμ ∂Δ = − ∂ ，则式（8-2-9）满足下列不等式 2 (w)(w) (w) w εε μ ε∂− ≤∂ （8-2-13） 其中，μ 是收敛参数。 最后，把 代入式（8-2-10），得， wΔ (w( ))w( 1) w( ) w( ) w( ) w nn n n n εμ ∂+ = + Δ = − ∂ （8-2-14） 8.2.2 基于最小均方误差准则(LMS)的自适应噪声抵消 从上一节我们可以看出，如果没有关于参考信号向量 P和输入自相关矩阵 R的先验信 息（见式（8-2-9）），要实现最优滤波器加权是不可能的。因此，Widrow 和 Hoff 提出了另一 种可迭代的维纳 FIR 滤波实现方法。在这种方法中， (w( )) wnε∂ ∂ 项用丢弃期望算子的瞬 时梯度代替，即 (w( )) ( )2 ( ) 2 [ ( ) ( )] 2 ( ) ( w w ][n e nE e n E e n r n e n r n)ε∂ ∂= = − = −∂ ∂ （8-2-15） 其中， ( ) w (x( ) w ( )) w w ( )) w ( )T Te n n r n r n r n∂ ∂ =∂ − ∂ = − ∂ ∂ = − 。 结合式（8 – 2-14）和式（8 –2- 15），滤波器的权重可被更新为： w( 1) w( ) 2 ( ) ( )n n e n r nμ+ = + （8-2-16） 综上所述，基于最小均方误差准则(LMS)的自适应噪声抵消算法可按以下步骤实现： 第一步：设一个初值 ； w (0)m 第二步：由式（8-2-17）计算自适应 FIR 滤波器的输出 ， ( )v n$ 0 ( ) w ( ) ( ) M m m v n n r n m = = −∑$ （8-2-17） 其中，M表示滤波器的阶。 第三步：估计当前时刻 n 的误差 ， ( )e n ( ) x( ) ( ) s( )e n n v n n= − ≈$ $ （8-2-18） 第四步：用最速下降 LMS 算法更新滤波器权重 ： w ( )m n w ( 1) w ( ) 2 ( ) ( ) 0m mn n e n r n m m Mμ+ = + − ≤ ≤ （8-2-19） 第五步：校验误差是否满足 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 。若满足标准，则停止迭代。若不满足，则进行下一步； 第六步： ，到下一个时刻，重复以上步骤，直至满足要求为止。 1n n→ + 收敛参数μ 必须是正数，并且满足： 10 R μ< < （8-2-20） max 10 μ λ< < （8-1-21） 其中， maxλ 表示自相关矩阵 R的最大特征值。然而，在实际应用中， R的具体值是不知道 的，参数 μ 的值也需要试探性地选择。若μ 取值小，能保证收敛，但需要注意的是，如果 取得过小，收敛速度将非常慢；相反，若 μ 取值大，可以提高收敛速度，却是以噪声收敛 为代价的。 如果参考输入信号 是频率为( )r n 0ω 的正弦信号，自适应滤波器将从主信号中滤除所有 的频率为 0ω 的正弦成分。在这种情况下，自适应滤波器相当于一个槽形滤波器。下面我们 将对槽形滤波器的工作原理作进一步的讨论。 先假定参考输入信号 为 ( )r n 0( ) j nr n e ω= 代入式（8-2-19）得， 0 ( )w ( 1) w ( ) 2 ( ) 0,1,j n mm mn n e n e m ωμ − −+ = + = KK M （8-2-22） 式（8-2-22）中的 由下式给出， w ( )m n （8-2-23） 0 ( )w ( ) ( ) ( ) j n mm mn y n e n e ω− −= 将式（8 – 2-23）代入式（8 - 22）得 0( 1) ( ) 2 ( )jm my n e y n e n ω μ−+ = + （8-2-24） 式（8-2-24）两边同时取 Z 变换得 0( ) ( ) 2 ( )jm mzY z e Y z E z ω μ− = + （8-2-25） 于是 0 0 2( ) ( ) j m j eY z E z z e ω ω μ= − （8-2-26） 被估计的信号 ( )v n 由下式定义为 0 ( 0 0 ( ) w ( ) ( ) w ( ) M M j n m m m m m v n n r n m n e ω − = = = − =∑ ∑ ) （8-2-27） 将式（8 – 2-23）代入式（8 – 2-27）得 0 ( ) ( ) M m m v n y n = = ∑ （8-2-28） 式（8- 2-28）两边同时取 Z 变换，并利用式（8- 2-26）有 � 0 0 2 ( 1)( ) ( ) j j M eV z E z z e ω ω μ += − （8-2-29） 输出 e(n)能被估计为 ( ) x( ) ( )e n n v n= − $ （8-2-30） 取式（8-2-30）的 Z 变换有 0 0 2 ( 1)( ) X( ) ( ) j j M eE z z E z z e ω ω μ += − − （8-2-31） 转移函数 ( )H z 能被估计为 0 0 ( )( ) X( ) (1 2 ( 1)) j j E z z eH z z z e M ω ω μ −= = − − + （8-2-32） 很明显，式（8 –2-32）在 0jz e ω= 处有一个零点，这表明槽形滤波器将滤除主信号 中 频率为 x( )n 0ω 的成分。从式（8-2-32）还可发现，较小 μ 值将使滤波器的所有极点落在单位园 内，从而使滤波器稳定。基于最小均方误差准则(LMS)的自适应噪声抵消算法的样本程序可 在很多参考书中找到。 8.2.3 基于 RLS（递推最小二乘）算法的自适应噪声抵消 我们在第三节讨论过，LMS（最小均方）算法是一种有效而简便的方法。然而，这种方 法对快速变化的信号并不适合，因为它的收敛速度很慢。RLS（递推最小二乘）算法是另一 种基于最小二乘准则的精确方法，它具有快速收敛和稳定的滤波器特性，因而被广泛地应用 于实时系统识别和快速启动的信道均衡等领域。但对于某些应用来说，这种算法的计算量会 很大，因为它每次更新需要M 2次运算。 这里我们将 RLS 算法作为一种 FIR 滤波器权重 的更新算法。RLS 算法的估计准则 是最小二乘时间平均，即考虑从零时刻到当前时刻 n 的所有估计误差如下： ( )w n − ( ) ( )2 0 min n i n e iε = = =∑ （8-2-33） ( ) ( ) ( )xe i i iν∧= − （8-2-34） 其中 ( )iν∧ 表示主参考信号中噪声信号 ( )v i 的估计。为了更好地掌握信号特性的变化，式 （8-2-33）中的性能指标定义为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 0 1 0 n n i n i n e i e n e n eε λ λ λ− = = = + − +⋅⋅⋅+∑ （8-2-35） 其中 λ 是遗忘因子。 将式（8-2-35）对 w( )n 求导，可得最佳滤波器权重 w( )n ： ( ) ( ) ( ) 0 2 w n n i i n e i r i ε λ − −= ∂ = − ∂ ∑ （8-2-36） 把式（8-2-34）代入式（8-2-36），并令式（8-2-36）等于零，我们可得最佳滤波器权重 w( )n 如下： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 wx n n i T i i i r i r iλ − − −= − −⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∑ 0= （8-2-37） ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 w x n n Tn i n i i i r i r i i r iλ λ− − − − −= = =⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ （8-2-38） 式（8-2-38）可简化为 ( ) ( ) ( )wR n n P − = n （8-2-39） 其中 ( ) ( ) ( ) 0 n Tn i i R n r i rλ − − −= = ∑ i ( ) ( ) ( ) 0 x n n i i P n i r iλ − − −= = ∑ 最后，最佳滤波器权重 w( )n 可以表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1w n R n P n IR n P n− − − = = （8-2-40） 其中 是( )IR n ( )R n 的逆。 RLS 算法运用式（8-2-40）递推计算滤波器权重。R 和 P− 在当前时刻 n 估计如下： ( ) ( ) ( ) ( )1 TR n R n r n r nλ − −= − + （8-2-41） ( ) ( ) ( ) ( )1 xP n P n n r nλ− − −= − + （8 – 2- 42） 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 r n r n r n r n M − ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ M M为 FIR 滤波器的阶。 ( )R n 的逆 ( )IR n 定义为： ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 TIR n IR n r n r nλ −− − −⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ （8 –2- 43） 式（8-2-43）通过矩阵求逆引理可以简化为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 11 1 1 T T IR n r n r n IR n IR n IR n r n IR n r nλ λ − − − − ⎡ ⎤− −⎢ ⎥= − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ （8-2-44） 利用式（8-2-43）和（8-2-44），式（8-2-40）可以表示如下： ( ) ( ) ( )w w 1 g 1 nn n n e n ⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟−⎝ ⎠ （8-2-45） 其中 表示增益矢量，( )g n − ( / 1)e n n − 表示在 n -1 时刻的滤波器权重的估计误差，二 者可分别估计为 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( ) ( ) ( 1)T IR n r n g n IR n r n R n r n r n IR n r nλ −− − −− − − −= = =+ − （8-2-46） ( ) ( ) ( )x w 1 r 1 Tne n n n ⎛ ⎞ = − −⎜ ⎟−⎝ ⎠ n （8-2-47） 滤波器权重被更新为 ( ) ( ) ( ) ( )w w 1 1 nn n IR n r n e n− ⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟−⎝ ⎠ （8-2-48） 最后，估计误差 ( )e n 可计算如下： ( ) ( ) ( ) ( )x wTe n n n r n−= − （8 –2- 49） LMS 算法和 RLS 算法滤波器更新序列的差别在于误差序列的估计和 ( )IR n 项出现在相关项 的前面。 当R矩阵初始化后的值很小时，RLS更新算法可按如下的步骤进行：其中 ( )IR n = /I σ ， I 为 M× M 单位矩阵，σ 为很小的正数，并且所有的权重系数初始化为零，即 ( )1 /IR I σ− = σ = 0.01 mw 0= 当 0 m M≤ ≤ ( ) ( )w 1 ,n IR n− −1 在时刻 n 的值已知，运用式（8-2-46）计算增益矢量 g（n）。 步骤 1：用式（8-2-47）计算误差信号 ( )/ 1e n n− ； 步骤 2：用式（8-2-46）计算增益矢量 ( )g n − ； 步骤 3：用式（8-2-44）计算 ( )IR n ； 步骤 4：用式（8-2-45）或（8-2-48）更新滤波器权重 w( )n ； 步骤 5：估计噪声 计算如下： ( )v n∧ ( ) ( ) ( )w Tv n n r n∧ −= 步骤 6：计算估计误差 ( )e n ， ( ) ( ) ( )xe n n v n∧= − 步骤 7：返回步骤 1 进行下一次迭代 ( )1n n→ + 。 遗忘因子λ 的选择取决于样本数 n ，即 1 n λλ= − 如果待分析信号是平稳的，则λ 应该选为单位 1。否则，λ 应小于单位 1，以便跟踪信号 的非平稳部分。性能指标考虑到了由最邻近迭代（第 n 次迭代）产生的最邻近误差。在实际 应用中，较小的λ 值能促使平稳噪声信号的收敛，这种情况只利用了很少的样本。 第三节 生物医学应用 本节中，我们将讨论用自适应噪声抵消从有用的生物医学信号中消除干扰的应用。 8.3.1 自适应噪声抵消法增强心电图（ECG）监护 ESU（An electrosurgical unit）（以下简称电刀）是一种医疗设备。它被广泛地应用于切 割组织和凝结血管，会产生调制在 120Hz 的射频信号。 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 心电信号的心电图（ECG）电 极能够采集到出现在病人皮肤表面的大 ESU 电压。电刀工作时能够产生信噪比大约为-90DB 的非平稳干扰，这种干扰能够淹没有用的心电信号。 为了增强在手术室里的心电监护，Yelderman 等提出了一种自适应噪声抵消的方法。该 方法能够从心电信号中消除 60Hz 的电源线干扰。Yeldman 等提出的方法由两步组成，如图 8 – 4 是整个系统的方框图。第一步，利用被动式射频滤波器消除高压射频噪声，这些被动 式滤波器为心电图电极提供了高阻抗负载。在被动式滤波器处理后，主动式滤波器被用来消 除剩余的高于 600Hz 的噪声信号。尽管 ECG 的信噪比从-90DB 改进为-10DB（大约 80dB 的动态范围），但是在低频频率点 60Hz、120Hz 和 180Hz 上仍然剩余有较强的干扰噪声。第 二步，用自适应噪声抵消方法从 ECG 信号中消除较强的低频干扰。然而，Yeldman 等人的 研究表明，仅仅运用自适应噪声抵消方法而又没有任何预处理滤波器，要消除所有 ECG 信 号干扰是不可能的。 (a) 电刀干扰阻塞系统 (b) 数字式自适应噪声抵消器内部结构 图 8 –5 电刀全系统方框图 一种基于 LMS 算法的自适应滤波器如图 8-6 所示。这种自适应滤波器采用了双参考信 道，而不是传统上的单参考信道。采用双参考信道是因为同时存在两个不同的干扰：低频干 扰（<25Hz）来源于射频电流流动的波动以及 60Hz、120Hz 的导线频率失真等。为了控制 自适应处理的收敛，参考信号被分为两类成分：如低频干扰和干扰，其中干扰是截止频率为 25Hz 的数字低通滤波器导致的导线频率失真。 此外，在主信道和高频参考信道中采用自动增益控制单元来归一化输入功率，并改善自 适应处理的性能。 如图 8 - 6 是双参考自适应噪声抵消器的方框图。在这个应用实例中，抽样率为 400Hz。 对于两个不同的参考信道，收敛参数μ 在 0.02 和 0.2 之间取值。参考信道的输入功率进一 步被归一化。值得注意的是，图 8 - 6 中的 D 表示由因果低通滤波器引起的延迟。 8-6 双参考信道自适应噪声抵消器 如图 8-7 表示 BOVIE 电刀凝血过程中的噪声消除。关键在于要运用双参考输入，通过 选择适当的μ 值来控制收敛率。 8-7 消除/凝固 综上所述，Yelderman 等人的工作表明，在自适应滤波处理之前，生物医学信号的预处 理是十分必要的，以便消除高频干扰噪声。研究结果表明，模拟/数字滤波器和 ANC（自适 应噪声抵消）的结合可有效地从背景噪声中获取 ECG 心电信号。 8.3.2 自适应噪声抵消方法增强胎儿 ECG 心电监护 在实际应用中，胎儿心率和三个月以上胎儿数量能够通过记录怀孕和分娩时的腹部心电 图来探测。然而，这种腹部心电图常常被肌肉活动和胎儿运动引起的背景噪声所污染。胎儿 心跳的探测更被强于其两倍的母体心跳所模糊。近年来，自适应滤波器一直被用来减少背景 噪声和增强胎儿的心电图。自适应抵消器的输入由母亲和胎儿的心跳组成，从母亲腹部记录 数据。此外，在母亲胸部的四个电极用来记录母亲的 ECG。采用基于 LMS 算法的自适应噪 声抵消器，从那些 ECG 电极记录的信号作为其参考输入。图 8 -8 表示母亲和胎儿的心电场 向量和导联的位置。图 8-9 表示本研究中使用的多参考噪声抵消器的方框图。图 8-7 表示其 中的一个参考信号、主输入信号和自适应噪声抵消器的输出。从图 8-10 可以明显看出通过 减弱在输入信号中的母亲心电信号，自适应噪声抵消器的输出结果中只保留了胎儿的 ECG 心电信号。在这项研究中，每个信道有 32 个权值，采样频率是 256Hz。在主信号和多参考 信号输入到自适应噪声抵消器之前，通过滤波消除它们中高于 35Hz 和低于 3Hz 的信号。 （a）母亲和胎儿的心电矢量 (b) 导联的位置 图 8-8 删除胎儿心电图中的母体心跳 图 8-9 多参考噪声抵消器的方框图 为了检验自适应抵消器的性能，我们使用了各种不同的预处理器（带宽在 0.3-75Hz 之 间）和另一种采用频率（512Hz）。图 8-11 表示了宽带胎儿 ECG 心电增强的结果。从图 8-11 不难看出，在主输入信号和参考输入信号中都存在 60Hz 成分的强干扰。自适应噪声抵消器 能够通过减弱母亲的 ECG 心电信号和 60Hz 干扰来增强胎儿的 ECG 心电信号。 （a） 参考输入（胸导联） （b）主输入（腹部导联） （c）噪声抵消器输出 图 8-10 胎儿 ECG 实验结果（带宽，3 – 35Hz，抽样率，256Hz） （a） 参考输入（胸导联） （b）主输入（腹部导联） （c）噪声抵消器输出 图 8-11 宽带胎儿 ECG 实验结果（带宽，0.3 – 0.75Hz，抽样率，512Hz） 8.3.3 自适应噪声抵消在增强胃电测量中的应用 胃电信号测量已经被广泛应用于医学诊断中。胃电活动可利用胃电图在体内或者体表纪 录。因为体表胃电测量是无创的，所以得到临床诊断的迫切需要。但是，不管是体内或是体 表测量都易受到呼吸背景噪声和由于运动造成电极与皮肤之间的位置变化而形成的背景噪 声的影响。