nullnull
王 培 荣 *null教学要求
1.了解三向应力状态的应力圆画法，熟练掌握单元体最大剪应力计算方法。
2.掌握广义胡克定律及其应用。
3.了解关于复杂应力状态下变形比能、形状改变比能和体积改变比能的一些主要结论和公式。null§7．5 三向应力状态 null至少有一个主应力及其主方向已知
三向应力状态特例的一般情形nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull2005030050nullnull*§7．6位移与应变分量 自 学null*§7．7 平面应变分析 null当构件内某点处的变形均平行于某一平面时，则称该点处于平面应变状态。一、任意方位的应变分析一、任意方位的应变分析研究正应变研究正应变nullnullnullnull研究剪应变研究剪应变nullnullnull二、应变圆二、应变圆null应力圆null应变圆CR三、最大应变与主应变三、最大应变与主应变null 四、通常采用测定一点处沿εa、εb、εc三个方向的线应变的方法，来确定该点处的主应变εl、ε2及其方向。nullεa、εb、εcεx、εy、γxyε1、ε2null§7．8 广义胡克定律 null1． 单向应力状态的虎克定律 轴向拉伸或压缩时 由于轴向变形还引起横向变形 2． 纯剪切应力状态的虎克定律 一、广义胡克定律null一般情况下，描述一点处的应力状态需要九个应力分量 null在小变形及线弹性范围内，线应变只与正应力有关，而与剪应力无关；
剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关，满足应用叠加原理的条件。
所以，我们利用单向应力状态和纯剪切应力状态的虎克定律，分别求出各应力分量相对应的应变，
然后，再进行叠加。null 正应力分量在不同方向对应的应变 nullnullnull三、三个弹性常数之间的关系null4． 主单元体时的广义虎克定律 当单元体为主单元体时，且使 、 和 的方向分别与 、 和 的方向一致。这时 null二、体积应变及应力的关系 1．体积应变 变形前单元体的体积为 变形后，三个棱边的长度变为 null由于是单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为 null 2．体积应变与应力的关系 称为体积弹性模量体积应变只与平均应力有关，或者说只与三个主应力之和有关，而与三个主应力之间的比值无关。体积应变与平均应力成正比，称为体积虎克定律。 是三个主应力的平均值null 例
题
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：图示直径为d的圆截面轴，承受力偶矩m的作用。设由实验测得轴
表
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面上与轴线成-45o方向正应变ε-45o，试求力偶矩m之值。材料的弹性常数E、μ均为已知。此题有实际意义，传动轴上所受的外力偶矩m的大小，有时采用实验方法。测得轴上某个方向的正应变，再由应变值计算出外力偶矩大小。null 解题思路：寻找已知量ε-45o和未知量m间的联系。
1.本题已知正应变ε-45o,通过广义胡克定律可将正应变ε-45o和正应力σ-45o (σ45o)联系起来。
2.再通过应力状态分析，找到正应力σ-45o (σ45o)和横截面上的剪应力τ的关系。
3.而τ是由外力偶矩引起的，由此即可求出外力偶矩m的大小。null解:τ由此得由圆轴扭转应力公式:所以null例 边长为10mm的铝质方块，紧密无隙地嵌入一个深度和宽度都是10mm的钢槽中，如图所示。当铝块受到P=60MPa的作用时，设钢块不变形。若铝的弹性模量E=70GPa，v=0.3.求铝块的三个主应力、三个主应变。null解：（1）求主应力及主应变nullnullnull例 壁厚t=10mm、外径D=60mm的圆筒，在表面上k点与其轴线成45度角和135度角，x、y两方向上分别贴上应变片，然后使其承受外力矩m的作用，发生扭转变形，如图所示。已知圆筒材料的弹性模量为E=200GPa，v=0.3。若该圆筒的变形在弹性范围内，且k点横截面上的剪应力为 =80MPa，试求圆筒k点处的线应变 x、 y及变形后的筒壁厚度。
null解: (1)求 x、 ynull 取单元体如（b）所示。易知k点处于纯剪切状态。对k点进行应力状态分析知，在45度和135度方向上分别作用着3和 1 ，且 于是由广义胡克定律知：null（2）求变形后的筒壁厚度由于k点处的径向方向即为z方向，且 z=2=0，所以
薄壁圆筒纯扭转变形时，筒内任一点都处在纯剪切应力状态。用类似方法可推知筒壁中任一点处（该点到圆心的距离为 ）的径向应变为
null 因此，该薄壁圆筒变形后的厚度并无变化，仍然为t=10mm.null§7．9 复杂应力状态的应变密度 null1、微元应变能(Strain Energy)dydxdz变形(应变)比能nulldW=null2、应变比能(Strain-Energy Density)null3、体积改变比能与形状改变比能+nullnull作 业作 业7．19（a）、（b）
7．26
7．28null 例每边长均为10mm的钢质立方体放入一个四周为刚性的立方孔（立方孔的宽度正好是10mm），若立方体的上表面受到均布压力 P=150 MPa。试求列各种情况时钢质立方体中的三个主应力。设钢材的弹性模量E=200GPa,泊松比μ=0.3。null解：null一、横向变形与泊松比对于各向同性材料--泊松比null二、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法nullnull三、三个弹性常数之间的关系null第六节 复杂应力状态的应变比能 在轴向拉伸或压缩时，根据外力功和应变能在数值上相等的关系，导出比能的计算公式为 本节讨论在已知主应力的复杂应力状态下的比能 在此情况下，弹性体储存的应变能在数值上仍与外力所作的功相等。但在计算复杂应力状态的应变能时，需要注意以下两点。 （1）应变能的大小只决定于外力和变形的最终数值，而与加力次序无关。这是因为若应变能与加力次序有关，那么，按一个储存能量较多的次序加力，而按另一个储存能量较小的次序卸载，完成一个循环后，弹性体内将增加能量，显然，这与能量守恒原理相矛盾。
（2）应变能的计算不能采用叠加原理 这是因为应变能与载荷不是线性关系，而是载荷的二次函数。从而不满足叠加原理的应用条件。一、应变比能nullnull二、体积改变比能和形状改变比能 null根据
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