非线性时间序列模型的设定、检验与估计

天津财经大学 白仲林 第 8 章 非线性时间序列模型的设定、检验与估计 自 1976 年，Box-Jenkins 用 ARMA 模型和 Hendry 用 ADL 模型研究宏观经济变量的动 态行为以来，时间序列 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 一直被线性的假设所主导，几乎所有的时间序列模型都是线性的。 例如，在对经济变量动态行为的研究中，通常根据变量在不同时期之间的相依性建立时间 序列{Xt}的 ARMA 模型 1 1 p q t l t l t s t s l s X t Xα δ φ ε θ ε− − = = = + + + +∑ ∑ ， ( )2~ . . . 0,t i i dε σ 但是，1982年，Nelson & Plosser使用Dickey-Fuller单位根检验发现在美国14 个主要宏 观经济变量中，除失业率序列外其余13 个序列均是单位根过程。之后，非经典线性时间序 列建模方法得到了蓬勃发展，例如，1986年的Granger协整检验、ECM模型及其应用。 然而，1989年Perron的结构突变单位根检验发现，在Nelson & Plosser曾研究的13个非平 稳经济变量中，除了消费价格指数、利率和资产周转率外，其余10 个变量均拒绝了存在单 位根的零假设，并且，时间序列的结构突变点或者为1929年的“经济危机”，或者，是1973 年的“石油危机”。这一发现对经典和非经典时间序列分析方法提出了两方面的挑战： 1 经典时间序列分析方法（线性ARMA模型和ADL模型）要求数据平稳，因此，拒绝 时间序列中存在的结构变化； 2 非经典时间序列分析方法（ARIMA模型、线性协整的ECM模型和VEC模型）允许数 据非平稳，但是，常常将具有结构突变的时间序列误判为单位根过程。因此，也没有考虑时 间序列中存在的结构变化。 事实上，由于经济政策变更、或者经济体制变化，经济时间序列的结构可能经常发生， 多数经济变量均表现出“趋势结构变化和平稳波动”合成的特征。 例如，对于1971年1月至2011年10月日圆兑美元汇率的月度数据（结构突变点1985：10） 50 100 150 200 250 300 350 400 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 由此可见，ARMA模型和ADL模型能够较好地拟合平稳经济变量中存在的线性动态变化特 征；而且，ARIMA模型和ECM模型能准确地描述经济变量的非平稳变化特征。但是，它们均未 考虑实际数据生成过程中存在的非线性结构变化特征。因此，在充分考虑时间序列结构变化的情 况下，如何建立时间序列模型成为了国际计量经济学界的焦点问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 之一。 在上世纪80年代后期，人们发现一些特殊类型的非线性模型能够较好地反映经济结构的 变化。由于经济现象中的体制转换通常表现在时间空间和状态空间两个方面，时间域上体制 变化的模型为结构突变时间序列的模型；反映状态空间体制转换的模型称为体制转换的非线 性时间序列模型。并且，按照体制转换行为(switching regime behavior)的不同方式，经济领 天津财经大学 白仲林 域常用的体制转换的非线性模型包括门限回归模型（Threshold regressive model，TR）、平滑 转换回归模型（smooth transition regressive model，STR）和马尔可夫体制转换回归模型 （Markov switching regime regressive model，MSR）三种类型。 门限回归模型允许反映体制的门限变量是内生的，并且，门限变量是可观测的，但是， 区分不同体制的门限值是不可直接观测的，不同体制间的转换是瞬时的。 平滑转换模型(STR)则认为各种体制之间的转移是平滑变化的，或者逐渐变化的，因此， 在经济学研究中，STR 模型容易模拟经济现实和渐变性经济政策，这也使其成为了 2000 年 以来国外计量经济学前沿领域追踪的热点。 马尔可夫体制转换模型(MSR)假定体制转换(switching)由外生的不可观测的马尔可夫链 (Markov Chain)决定，没有对体制变化发生的原因以及这些变化的时间做出解释。 并且，这三类模型也分为静态和动态两种。由于时间关系，本节只介绍自回归型的动态 情形，即，门限自回归模型（Threshold autoregressive model，TAR）、平滑转换自回归模型 （smooth transition autoregressive model，STAR）和马尔可夫体制转换自回归模型（Markov switching regime model，MS-AR）三种动态模型。 8.1 非线性性检验 对时间序列非线性性的检验是建立非线性时间序列模型的前提，常用的非线性检验有参 数和非参数两类，参数检验包括RESET检验(Ramsey, 1969)、F检验(Tsay，1986、1989)和各 种基于非线性模型的LM检验以及LR检验；非参数检验有BDS检验和Q检验等。但是因非线 性形式的多样性，并不存在能够检验各种非线性性的单一检验。 8.1.1 参数检验 （1）RESET检验 Ramsey (1969) 提出了一种推断线性回归模型设定的检验，被称为RESET 检验。在时间序 列分析中，可应用RESET检验推断线性AR(p)模型 Xt = φ 1 Xt -1 + φ 2 Xt -2 +…+ φ p Xt - p + εt （8.1.1） 设定的合适性。 RESET 检验的检验步骤如下： ① 估计模型（8.1.1），计算模型残差序列{ }ˆˆ ; 1, 2, ,t t tX X i p p Tε = − = + + " 和残差平方 和 2 0 1 ˆT tt pSSR ε= += ∑ ； ② 对于适当的 1s ≥ ，估计辅助回归模型1 2 1 1 1 1 ˆ ˆˆ st t t p t p t s t tX X X X vε α α β β +− − −= + + + + + +" " ， 1, 2, ,t p p T= + + " (8.1.2) 并计算残差平方和 2 1 1 ˆT tt pSSR v= += ∑ 1 为了避免 Yt 的滞后项 Yt-1、…、Yt-p与 2ˆ tX 、…、 1ˆ s tX + 存在多重共线性，可以使用 2ˆ tX 、…、 1ˆ s tX + 的 主成分代替 2ˆ tX 、…、 1ˆ s tX + . 天津财经大学 白仲林 ③ 计算F统计量 ( ) ( )0 11 SSR SSR g F SSR T p g −= − − ， 1g s p= + + （8.1.3） 于是，对于 εt ~ i.i.d.N(0，σ2)，在零假设H0： 1 1 0t p sα α β β−= = = = = =" " 下，F 统计量服从自由度为g和T-p-g的F分布，即， ( )~ ,F F g T p g− − . （2） Kennan检验 为了避免RESET检验辅助回归模型（8.1.2）的多重共线性，Kennan（1985）建议使用辅助 回归模型 2 1 1 ˆ t t t p t p tX X X uα α− − −= + +" （8.1.3） 替代模型（8.1.2），并计算残差平方和 2 1 1 ˆT tt pSSR u= += ∑ 类似地，构造 F 统计量 ( ) ( )0 11 SSR SSR g F SSR T p g −= − − ， 2g p= + （8.1.4） 检验零假设 H0： 1 0t pα α −= = =" . (3) Tsay检验 为了改善 RESET 检验和 Kennan 检验的检验功效，Tsay(1986)提出使用辅助回归模型 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ t t t p t p t t t s t p t p s t p tX X X X X X X X uε α α β β β β− − − − − − − − + − −= + + + + + + + +" " 代替模型（8.1.2），并计算残差平方和 2 1 1 ˆT tt pSSR u= += ∑ 类似地，构造 F 统计量 ( ) ( )0 11 1 SSR SSR g F SSR T p g −= − − − ， ( )1 2g p p= + （8.1.5） 检验零假设 H0：时间序列 tX 是 AR(p)过程。 8.1.2 非参数检验 众所周知，在线性零假设下，设定适当的线性模型的残差序列应该是白噪声过程，特别 是独立的。于是，违背残差序列的独立性就意味着存在模型设定错误。为此也可以利用Ljung -Box统计量（即Q-检验）检验时间序列模型是否应该设定为非线性模型。另外，常用的非 参数检验是BDS检验。 BDS 检验 1987年Brock等 (1987，1996)为了检验非随机浑沌动力系统提出了检验独立同分布零假 天津财经大学 白仲林 设的BDS检验。后来Brock、Hsieh和LeBaron (1991) 以及Barnett等(1997)的研究发现该检验 可用于检验时间序列具有线性性的零假设，并且，它已经成为最流行的非线性性的检验。另 外，它也被用于检验线性模型残差序列的相依性和非线性，或者，作为模型误设的检验。 对于时间序列{ }; 1, 2, ,tX i T= " 及其 m 期历史 { }1 1, , ,mt t t t mX X X X− − += " ，设 ( ) ( ), 2 , ;1 m mm t sm s t Tm mC I X XT Tε ε≤ < ≤= − ∑ （8.1.6） 是嵌入 m 维相关积分（correlation integral）的估计，其中， ( ) 1 , 0,1, , 1, ; 0 m m t i s im m t s X X i m I X X otherwise εε − −⎧ − < = −⎪= ⎨⎪⎩ " 是示性函数， 1mT T m= − + . 显然，m 维相关积分估计了时间序列中任意两个 m 维的点其分量距离小于ε 的概率， 它是对联合概率 { }1 1 1 1, , ,t s t s t m s mP X X X X X Xε ε ε− − − + − +− < − < − <" （8.1.7） 的估计，并且，如果时间序列是独立同分布的，则联合概率（8.1.7）是 ( )1, mm t sC P X Xε ε= − < 的极限。 Brock 等(1996)定义的 BDS 统计量是 , 1, , , m m m m C C V T s ε ε ε ε −= （8.1.8） 其中， ,ms ε 是 ( ), 1,mmT C Cε ε− 的标准差。 Brock 等(1996)发现，在独立同分布的零假设和适当的正则条件下，BDS 统计量依分布 收敛于标准正态分布，即 ( ), 0, 1dmV Nε ⎯⎯→ 因此，BDS 统计量可基于正态分布检验零假设 H0：时间序列 tX 是 i.i.d.的。 显然，BDS 检验不仅对待检验数据没有分布形式的限制，而且也没有明确指定备择假 设 H1。于是，在一些文献中，使用 BDS 统计量检验时间序列的非线性性。 例 8.1 ：分别以 1992 年 10 月 5 日-2000 年 12 月 29 日上海和深圳证券市场综合指数的 （2348 个）日数据为例，使用 BDS 统计量检验中国股票市场的非线性性，即检验对数收益 率（即指数对数的差分）的非线性性。 对于假设 H0：对数收益率序列数据是 i.i.d.的； H1：对数收益率序列数据不是 i.i.d.的。 天津财经大学 白仲林 选择不同的嵌入维数（m = 2、3、4、5）和距离（ε = 2、1.5、1、0.5），BDS 统计量的值如表 1 所示。 表1 BDS检验结果 ε 嵌入维数 (m) BDS统计量 ε 嵌入维数 (m) BDS 统计量 Shanghai Shenzhen Shanghai Shenzhen 2 2 11.82 13.88 1 2 15.42 17.88 2 3 15.55 16.61 1 3 19.54 22.54 2 4 17.31 17.82 1 4 22.58 26.67 2 5 18.27 18.72 1 5 24.93 30.83 1.5 2 13.93 15.96 0.5 2 16.22 18.93 1.5 3 17.50 18.96 0.5 3 21.27 26.20 1.5 4 19.77 20.99 0.5 4 27.28 35.79 1.5 5 20.98 22.87 0.5 5 34.06 48.15 从表 1 可见，在 5%的显著性水平下，各 BDS 检验均拒绝了零假设（临界值 = 1.96）， 因此，在 H1 下，对数收益率具有非线性相依性。 在 R 语言中，加载 fNonlinear 程序包—library(fNonlinear)后，可直接使用函数 bds.test( ) 计算 BDS 统计量的值，它的调用形式为 bds.test(X, m, eps, trace) 其中，参数 X 是时间序列变量、m 是最大嵌入维数（maximum embedding dimension）、eps 是距离ε 、trace 是表示是否添加其它信息的虚拟变量，缺省值为 0 表示无其它信息。 8.2 非线性时间序列模型 在 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 中，随机时间序列模型是由 iid 的当前和滞后冲击ετ，ετ−1，...，和其它变量 tZ 及其 滞后项的函数 ( )1 1, , , , ,t t t t tX f Z Zε ε − −= " " （8.1.9） 当模型（8.1.9）中的函数 f( )是参数的非线性函数时，随机时间序列模型（8.1.9）被称为非 线性时间序列模型。并且，非线性时间序列模型也可表示为随机变量条件数字特征的形式 ( ) ( )1 1 1| , , , ,t t t t tE X I g Z Zε− − −= " " ； （8.1.10） ( ) ( )1 1 1| , , , ,t t t t tVar X I h Z Zε− − −= " " ，h( ) > 0； （8.1.11） … 其中， 1tI − 是由直到 t-1 期的随机变量 1 2 1 2, , , , ,t t t tX Xε ε− − − −" "产生的 σ-代数，称为 t 期的 信息集。并且，分别把模型（8.1.10）、模型（8.1.11）、…称为均值模型、方差模型和高阶矩 模型。特别，当只研究随机变量均值和方差的动态行为时，也可以将非线性时间序列模型设 定为 ( ) ( )1 1 1 1, , , , , , , ,t t t t t t t tX g Z Z h Z Zε ε ε− − − −= +" " " " （8.1.12） 天津财经大学 白仲林 本节主要介绍非线性时间序列均值模型的建模方法，并且，在经济学中，常用的非线性时 间序列模型包括如下几种： 8.2.1 结构突变的时间序列模型 结构突变的时间序列模型的一般形式是 { } 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 ( ) t t p t p t K i i i i i t p t p t i i i X t X X t X X I t t t α δ α α ε α δ α α ε − − − − + = = + + + + + + + + + + + ≤ <∑ " " （8.2.1） 其中， 0 1 11 i i Kt t t t T− += ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ =" " ， ( )1it i K≤ ≤ 是 K 个时间上的突变点， ( )2~ . . . 0,it ii i dε σ 。 显然，建立结构突变时间序列模型的关键问题是对结构突变点的推断和突变点的趋势平 稳过程与单位根过程的识别，一些内生结构突变的单位根检验同时解决了这两个问题。例如， Zivot & Andrews(1992)提出的内生结构突变的单位根检验——ZA 检验。 ZA 检验的假设 H0：随机过程{Xt}是不存在结构突变的单位根过程2； H1：随机过程{Xt}是存在一个未知趋势突变点的趋势平稳过程 ZA(1992)基于检验式 Xt = μ1 + δ1t +γ1 DUt( λˆ ) + ρ1 Xt-1 + t k j jtj vuˆ +Δ∑ = − 1 1β （8.2.2） Xt = μ2 + δ2t + η2 DT*t ( λˆ )+ρ2 Xt-1 + t k j jtj vuˆ +Δ∑ = − 1 2β （8.2.3） Xt = μ3 + δ3t +γ3DUt( λˆ ) +η3 DTt ( λˆ )+ρ3Xt-1 + t k j jtj vuˆ +Δ∑ = − 1 3β （8.2.4） 2 ZA 检验的零假设不同于 Perron 检验的零假设，后者假设数据生成过程是存在结构突变的单位根过程。 常用的非线性时间序列模型 变模型 结构突 换模型 门限转 制转换模型 马尔可夫体 换模型 平滑转 模型 双线性 络模型 神经网 天津财经大学 白仲林 其中， ( ) ˆ0ˆ ˆ1t t TDU T tλλ λ ⎧ ≤⎪= ⎨ <⎪⎩ ， ( )* ˆ0ˆ ˆ ˆt t TDT t T T t λλ λ λ ⎧ ≤⎪= ⎨ ⎡ ⎤− <⎪ ⎣ ⎦⎩ ， ( ) ˆ0ˆ ˆt t TDT t T tλλ λ ⎧ ≤⎪= ⎨ <⎪⎩ ZA检验的统计量——最小t-统计量 在Perron检验的意义下，ZA(1992)选择突变点的思路是“突变点既使得统计量 ( )λρ iˆt 检 验单位根的效果最有利，又使得突变点最大限度地增强趋势平稳备择假设的重要性”。即对 于模型（8.2.2）-（8.2.4），突变点 iinfλˆ 分别使得 ( ) ( )ˆ ˆˆ infi iiinft tρ ρλλ λ∈Λ= ，i =1、2、3 （8.2.5） 其中，Λ是区间(0，1)的特定闭子集，通常Λ=[λ0，1-λ0]，0< λ0 <1。 案例1：根据1971年1月至2011年10月的日圆兑美元汇率，检验汇率的平稳性。 利用EViews 7.1中的辅助工具包Add-ins3，进行ZA检验。 因此，日元兑美元的汇率是存在一个结构突变点（1985:10）的平稳过程，应该设定模 型为式（8.2.2）。 8.2.2 双线性时间序列模型 对于非线性模型， ( )1 1, , , ,t t t tX f Xε ε − −= " " 如果使用其二阶 Taylor 展开式近似，就得到了双线性时间序列模型 1 1 1 1 p q m s t i t i j t j ij t i t j ti j i j X X Xα φ θ ε γ ε ε− − − −= = = == + + + +∑ ∑ ∑ ∑ （8.2.6） 特别，由于双线性模型 1 s t i t i t ti X α θ ε ε ε−== + +∑ ， 2~ (0, )t WNε σ （8.2.7） 的条件期望和条件方差分别是 ( )1|t tE X I α− = ， ( ) ( )2 21 1| 1 st t i t iiVar X I θ ε σ− −== + ∑ 3 http://www.eviews.com/Addins/addins.shtml 天津财经大学 白仲林 所以，在金融计量学中，使用双线性时间序列模型（8.2.7）揭示收益率序列的条件异方 差性，它类似于RCA模型（随机系数自回归模型）和CHARMA模型（条件异方差ARMA模 型）（Tsay，2002）。关于双线性时间序列模型（8.2.6）的估计与检验可参考文献Ojo(2011)。 8.2.2 神经网络模型 对于具有相同行动函数g的D个形式相同的神经单元组成的神经网络，神经网络模型是 ( )( )0 0 11 1D mt s j j ij t i dj iX g Xβ β γ γ+ − −= == + +∑ ∑ 在 R 语言中，加载 fNonlinear 程序包—library(fNonlinear)后，可以调用命令 wnnTest （White NN test for neglected nonlinearity） tnnTest （Teraesvirta NN test for neglected nonlinearity） runsTest （Runs test for detecting non-randomness） 进行神经网络模型的设定检验。并且，加载 tsDyn 程序包—library(tsDyn)后，使用命令 nnetTs(x, m = m, d =d , steps = , size = D ) 建立模型。 8.3 体制转换的非线性时间序列模型 8.3.1 门限回归模型（TAR） 假设数列{ | 1, ,ir i K= " }使得 0 1 Kr r r−∞ = < < < = +∞" ，称 1[ , )i i iS r r−= 为变量 tX 的 K 个体制（ 2K ≥ ），非线性模型 { }0 1 1 1 ( ) K i i i i t t p t p t t i i X X X I s Sα α α ε− − = = + + + + ∈∑ " （8.3.1） 被称为时间序列 tX 的 TAR 模型，其中， 2~ (0, )it iIIDε σ ，并且，对于不同的 i，{ }itε 相互 独立；变量 ts 被称为门限变量，ri 被称为门限值；函数 ( ) 11 0 i t i t i r s r I s S otherwise − ≤ <⎧∈ = ⎨⎩ 是门限示性函数。当门限变量 t t ds X −= 时( d > 0)，称 TAR 模型为 SETAR 模型。 显然，TAR 模型类似于分段线性回归模型，它是对 状态空间（门限空间）分段的分段线性 AR 模型，即将样 本数据按照门限变量外生（内生）地确定类别，并对于不 同类别的样本分别建立分段线性 AR 模型。特别，结构突 变模型是以时间变量 t 为门限变量的门限模型。 图 1 两个体制的 TAR 模型 天津财经大学 白仲林 例如，在金融时间序列分析中，可以按照前一期资产收益率的正负将投资收益划分为两 种门限，即门限变量 1t ts x −= ，可建立两个体制的 SETAR 模型 1 1 1 1 2 2 1 1 0 0 t t t t t t t x x x x x φ ε φ ε − − − − ⎧ + <= ⎨ + ≥⎩ 再如，可以利用 TAR 模型推断“通货膨胀率对于经济增长是否存在正效应（托宾效应， Tobin’s effect）”、“股票波动是否对新息冲击存在非对称性（杠杆效应），尤其是对于利好和 利空新息的反应是否存在杠杆效应”。 8.3.2 TAR 模型的设定检验 在进行模型及其系数的显著性检验之前，首先，需检验门限效应的存在性，即门限非线 性性的检验。 例如，对于单门限模型，使用 Hansen (1999)建议使用 LR 统计量 2 1 0 1 1ˆ( ) /LR S S σ= − 检验假设 1 2 0 :H B B= ， 1 21 :H B B≠ 其中， 0S 是无门限模型（有约束模型）的残差平方和， 1S 是单门限模型的残差平方和， 21σˆ 是单门限模型误差项的方差估计值。并且，使用 Bootstrap 方法模拟 LR 统计量的经验分布。 8.3.3 门限自回归模型的估计——格点算法 设 ( )'11t t t pZ X X− −= " ，t =1，2，…，T， ( )'0 1i i i ipB α α α= " ，i =1，2，…，K 则 K 个体制的 TAR 模型（8.3.1）可表示为 ( )' 1 ( ) K i i t t t t i i X Z B I s Sε = = + ∈∑ 于是，TAR 模型（8.3.1）参数向量 ( )'1 1 10 1 0 1 1 2 0 1K K Kp p K Kr r rα α α α α α σ σ σ=θ " " " " " 的 OLS 估计 θˆ使得 ( ) 2' 1 1 ˆ ˆarg min ( ) T K i T t t t i t p i S X Z B I s S = + = ⎡ ⎤= − ∈⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑θ θ （8.3.2） 估计门限自回归模型的格点算法采用了集中的 OLS 估计方法，即按照两步法进行估计： 第 1 步：选择门限参数 ( )'0 1 Kr r r=R " 的初始值 0R ，将 0R 代入（8.3.2）式， 估计参数 ( )'1' 2' 'KB B B=B " ，记参数B 的 OLS 估计为 ( )'0ˆ ˆB R ； 第 2 步：将 ( )'0ˆ ˆB R 代入（8.3.2）式，估计门限参数 ( )'0 1 Kr r r=R " ，记门限参 天津财经大学 白仲林 数的 OLS 估计为 1Rˆ ； 第 3 步：将门限参数的 OLS 估计 1Rˆ 代入（8.3.2）式，再次估计参数B ，得到 OLS 估 计 ( )'1ˆ ˆB R ； 第 4 步：重复第 2-3 步若干次后，得到（8.3.2）式中参数B 和门限值R 的集中 OLS 估 计 ( )'ˆ ˆ repB R 和 ˆ repR . 例 2：根据 1971 年 1 月至 2011 年 10 月的日圆兑美元汇率，利用 R 软件建立 SETAR 模 型。 8.4 平滑转换自回归模型(STAR) 在非线性时间序列的三种体制转换模型(switching regime models)中，门限自回归模型 (Threshold Autoregression model，TAR)和马尔可夫体制转换模型(Markov Switching Regime model，MSR)都暗含了一个假定，在某一特定的时点，时间序列的运动方式从一种体制 (regime)跳跃到了另一种体制，同时这种跳跃是离散的。但在实际生活中，有些体制的转换 并不是离散跳跃的，而是一个连续的、逐渐变化的过程。如在经济周期中，经济并不是突然 从萧条期跳跃到繁荣期的，而往往要经历一个从萧条逐渐复苏的过程。因此，为了模拟经济 体制逐渐转换的过程，Terasvirta(1998)等提出了一种新的能够体现体制的连续型变换的非线 性时间序列模型——平滑转换自回归模型(STAR)。 8.4.1 两体制的平滑转换自回归模型 一般来讲，单变量平滑转换模型可视为两个线性自回归过的加权平均，权数由一个“分 布函数”确定；同时，两个体制之间的转换过程由转换变量控制。 典型的两体制 STAR 模型是 ( )( ) ( )1 2' 1 , , ' , ,t t p t t p t tx X G s c X G s cγ γ ε− −= − + +θ θ (8.4.1) 或者 ( ) ( )1 2 1' ' , ,t t p t p t tx X X G s cγ ε− −= + − +θ θ θ 其中， 1(1, , , )t p t t pX X X− − − ′= " ， '0 1( , , , )i i ii pθ θ θ=θ " ， 1, 2i = ；并且，常用的转换变量 ts 可以是一个滞后的内生变量（ t dx − ， pd ≤≤1 ），也可以是一个外生变量（ tz ）；取值于 [0，1]的连续函数 ( ), ,tG s cγ 为转换函数，它反映了体制的转换过程。 转换函数 ( ), ,tG s cγ 的最常用函数形式是 Logistic 函数(Logistic STAR，LSTAR)和 指数函数(Exponential STAR， ESTAR)；γ 为尺度参数（即转换速度），参数 c 可视为两个 体制之间的门限值(threshold)。 （1）LSTAR 模型 天津财经大学 白仲林 LSTAR 模型中的转换函数 ( ), ,tG s cγ 定义为 ( ) ( ){ } 1, , 1t tG s c exp s cγ γ −= + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ ， 0γ > 显然， ( ), ,tG s cγ 为关于 ts 的单调递增函数，且 ( ), , 1 2G c cγ = ；参数 γ 决定了该 对数函数值变化的平滑性，从而决定了从一个体制到另一个体制转换的平滑性，假如 γ 比较 大，那么 ts 相对于 c 的很小变化都会导致体制转换的剧烈变化。当 γ 趋于无穷（>50）时， ( ), ,tG s cγ 从 0 到 1 的变化在 ts = c 处跳跃，即转换函数逼近 TAR 模型的示性函数 ( )tI s c≥ 。这时，LSTAR 模型就可视为 TAR 模型(如果 ts = tz )或者 SETAR 模型(如果 ts = t dx − )。而且，当 γ =0 时，LSTAR 模型退化为自回归模型。 图 2 LSTAR 模型的转换函数 另外，当 ts 趋近于 c 时， ( ), ,tG s cγ 趋近于1 2；当 ts 远离 c 时， ( ), ,tG s cγ 趋 近于 0 或 1. 由此可见，在 STAR 模型中，如果转换函数 ( ), ,tG s cγ 从极端值 ( ), ,tG s cγ =0 变化 为极端值 ( ), , 1tG s cγ = 时，时间序列 ty 就可以平滑地从一个体制转换到另一个体制。 （2）ESTAR 模型 在 ESTAR 模型中，转换函数 ( ), ,tG s cγ 为 ( ) ( ){ }2, , 1 expt tG s c s cγ γ= − − − ， 0γ > Van Dijk, Terasvirta 和 Franses (2002)指出，当模型在 t dz − =c 对称时，ESTAR 模型更为合 适。并且，当 ts 趋近于 c 时， ( ), ,tG s cγ 趋近于 0；当 ts 远离 c 时， ( ), ,tG s cγ 趋 近于 1；实践 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 , ESTAR 模型比较适合时间序列出现拐点的情况。另外，不论是 γ→0 或 γ→∞，函数 ( ), ,tG s cγ 都会退化为确定值(0 或 1)。 天津财经大学 白仲林 因此，在这两种情况(γ→0 或 γ→∞)下，ESTAR 模型都会成为线性模型。而不是像 LSTAR 模型那样变为 TAR 模型。但是， ESTAR 模型可以用来考察当冲击不是持久的情况下，时 间序列的冲击效应变化。 图 2 ESTAR 模型的转换函数 从图 1 和图 2 可见， LSTAR 模型是不对称的，也就是说变量 xt在转换变量 ts 超过或未 超过门限值 c 时有不同的动态过程。而在 ESTAR 模型中，变量 xt 关于门限值 c 对称，即 xt 在不同体制中有相同的动态过程，但在转换过程中有不同运动轨迹。比如，当汇率严重高于 均衡汇率向下调整时，与汇率处于深度低迷向上调整时的动态过程是相似的；但当汇率处于 中间区域时，其动态过程(如随机游走)与前两者不同。因此在经验研究中要根据实际情况选 择转换函数 ( )G i 是至关重要的。显然，平滑转换自回归模（STAR）不像 TAR 模型那样不 能产生连续的体制转换。STAR 模型已经得到广泛成功的应用。 8.4.2 STAR 模型的设定检验 检验 STAR 型非线性是建立 STAR 模型的第一步。但是，在零假设下 STAR 模型的一些 参数（第二个体制的 AR 系数、转移参数 γ和门限值 c）是不可识别的，所以，模型设定检 验必须避免不可识别参数产生的问题。Luukkonen, Saikkonen 和 Terasvirta (1998)建议，首先用 转移函数在 γ=0 处的泰勒展开式代替转移函数 ( ), ,tG s cγ ，对于 LSTAR 和 ESTAR 模型 分别得到辅助回归模型 2 3 0 1 2 3' ' ' 't t p t t p t t p t t p tx X s X s X s X ε− − − −= + + + +θ θ θ θ (8.4.3) 和 2 3 4 0 1 2 3 4' ' ' ' 't t p t t p t t p t t p t t p tx X s X s X s X s X ε− − − − −= + + + + +θ θ θ θ θ (8.4.4) 然后，借助检验辅助回归模型非线性项的系数为零的 LM 统计量来检验 STAR 模型的设定是 否合理，即，检验零假设 H0： 1 2 3 4 0= = = =θ θ θ θ 8.4.3 STAR 模型的估计 Van Dijk、Terasvirta 和 Franses(2002)给出了 STAR 模型的标准估计，其步骤如下： 天津财经大学 白仲林 第 1 步：根据所研究内容选择一个恰当的 p 阶线性自回归模型； 第 2 步：进行非线性检验，即检验 H0：数据生成过程是线性过程 H1：数据生成过程是 STAR 形式的非线性过程 如果拒绝 H0，则选择合适的转换变量 ts 和转换函数 ( ), ,tG s cγ 的形式； 第 3 步：根据所选择的转换函数 ( ), ,tG s cγ 估计 STAR 模型中参数； 第 4 步：必要时，利用诊断测试和脉冲反应分析评价模型； 第 5 步：必要时，优化模型。 显然，如果选定转换变量 ts 和转换函数 ( ), ,tG s cγ ，就可以估计 STAR 模型。 下面以两个体制单变量平滑转换模型为例进行讨论。 对于两个体制单变量平滑转换模型 ( )( ) ( )1 2' 1 , , ' , ,t t p t t p t tx X G s c X G s cγ γ ε− −= − + +θ θ 可以基于非线性最小二乘 ( Non-linear Least Square, NLS )法估计参数 θ=(θ1’, θ2’,γ, c) ’，即求 解最小化问题 ( )( )21ˆ arg min ,T t t pt p x F X −= += −∑θθ θ 其中， ( ) ( )( ) ( )1 2, ' 1 , , ' , ,t p t p t t p tF X X G s c X G s cγ γ− − −= − +θ θ θ . 在随机误差项 tμ 服从正态分布的假设下，NLSE 等同于 MLE。另外，也可以使用通常的非线性最优化过 程(如 Newton-Raphson 方法)估计 STAR 模型。 8.5 马尔可夫体制转换模型(Markov Switching Regime model，MSR) 8.5.1 两体制马尔可夫体制转换自回归模型 MSAR(2，p) 根据经济周期理论，经济通常在扩张和收缩两种状态之间交替变化。于是，对于不同的 经济状态，经济变量的动态行为呈现出显著性差异。同时，事前不仅无法直接观察到经济变 量所处的状态，而且事先也不知道经济状态的变化。在假设经济状态变迁由 Markov 过程驱 动的条件下，Hamilton(1989)建立了马尔可夫体制转换自回归模型，即对于经济变量 yt， 0 1 t t t p s s s t i t i t i x xφ φ ε− = = + +∑ (8.5.1) 其中 ts 表示不可观察的状态变量（体制变量），其取值 0 或 1，例如， ts ＝0 表示经济处于 扩张状态， ts ＝1 表示经济处于收缩状态。并且，体制转移变量 ts 由一阶 Markov 过程驱动， 即经济所处的状态之间的转换只与其前一期的经济状态有关，即 ts 的取值只与 1ts − 有关，并 天津财经大学 白仲林 且由 1ts − 到 ts 的转移是依据一定概率变化，即转移概率为 [ ] 0010 | 0t tpr s s p−= = = ， [ ] 0111 | 0t tpr s s p−= = = [ ] 1010 | 1t tpr s s p−= = = ， [ ] 1111 | 1t tpr s s p−= = = 另外，新息过程 ( )0 20~ 0,t iidε σ 、 ( )1 21~ 0,t iidε σ ，且这两个序列之间相互独立。 显然，MS-AR 模型利用一个潜在的马尔科夫链反应不同状态下自回归模型的转移。这 与 SETAR 模型不同，SETAR 模型是由一个具体的（滞后）变量来决定体制转移，只要观测 到该变量，SETAR 模型就以一种确定的方式决定了模型的转移。 事实上，一国的经济状态依赖于它的地缘因素、政治 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 和文化背景等基本面的信息， 难以选择一个变量能够较好地衡量其经济状态的变迁。 一般而言，常常使用的模型是包含外生变量的 MSR 模型 ' 0 1 t t t t p s s s s t l t l t t l x x Zφ φ ε− = = + + +∑ β ， ( )21| ~ 0,t tst t sI iidε σ− (8.5.2) ( )0 10 0 01ts t ts sφ φ φ= − + ， ( )0 11tsl l t l ts sφ φ φ= − + ( )2 2 20 11ts t ts sσ σ σ= − + ， ( ) 0 11ts t ts s= − +β β β 由此可见，基于 MSR 模型可以分析经济变量在“经济扩张和收缩”、“汇率升值和贬值” 以及“是否发生危机”等两种状态下的动态行为，并讨论在两种状态下经济活动所具有的差 异性。 8.5.2 MS-AR 模型的设定检验 在 MS-AR 模型的设定中，首先，需要确定模型的自回归阶数数。通常采用 AR 模型判 断模型的自回归阶数，即对原始的时间序列做线性的自回归模型，找出最优的滞后阶数作为 MS-AR 模型的阶数。其次，根据实际问题及其相关理论（经济周期理论）确定模型的体制 个数。例如，在研究经济增长问题时，经济增长总是呈现出扩张和收缩性的交替变化，所以， 可以确定模型的体制数为 2（扩张和收缩）。另外，还需要确定模型中依赖于体制变化的部 分（截距项、趋势项、AR 项系数、外生变量系数和误差项的方差）。 1 信息准则 由于体制个数的分布是未知的，难以利用假设检验的方法进行统计推断，Krolzig（1997） 建议使用信息准则按照从“一般到特殊”的方法选择模型，即，首先设定一个非常一般的模型， 设定 MS-AR 模型的截距项、趋势项、AR 项系数、外生变量系数和误差项的方差均随体制 变量变化，并且，选择较大的自回归滞后阶数。然后，依次缩小自回归滞后阶数、约束截距 项、趋势项、AR 项系数、外生变量系数和误差项的方差分别于体制变化无关，并估计这些 模型，最后根据各模型的 AIC、BIC 和 log lik 准则选择合意的 MS-AR 模型。 2 逐步检验 天津财经大学 白仲林 另外，可以按照下列步骤进行 MS-AR 模型的设定检验 （1）体制数确定 Ang 和 Bekaert（1998）提出了推断体制个数的 LR 检验， LR=2(log-likelihood(n)-log-likelihood(n-1)) → χ2(m) 自由度 m = n 体制模型中的参数个数 + n 体制模型约束为 n-1 体制模型所施加的约束条件个 数。 （2）与体制相关性检验 使用 BDS 统计量（BDS statistics）检验模型的残差项分别推断截距项、趋势项、AR 项 系数、外生变量系数和误差项方差是否与体制无关。 （3）冗余项检验 使用传统的LR检验推断模型是否包含截距项、趋势项、AR项和外生变量。 8.5.3 两体制马尔可夫体制转换模型的估计 马尔可夫体制转换模型的估计包括两方面的内容： （1）体制转移变量 st的条件概率向量估计 假设体制转移变量 ts 的演化是独立于 tZ 和 1tx − 、…的 Markov 过程，即 [ ] [ ]1 1 1Pr | , , Pr | ijt t t t t ts j s i I Z s j s i p− − −= = = = = = i，j = 0，1 其中， [ ]1 1 1 1 Pr | , , 1 J J ij t t t t j j s j s i I Z p− − = = = = = =∑ ∑ . （2）MSAR(2，p)模型的参数估计 假设已知新息过程 tstε 的分布，例如， ( )0 20~ . 0,t iid Nε σ 、 ( )1 21~ . 0,t iid Nε σ ，则 对于模型（8.5.1）， 2 1 0 1 , , ~ . . . ( , )t t t t p s s s' t t t t l t l t s l x s I Z i i d N x Z βφ φ σ− − = + +∑ 即，变量 tx 的概率分布和各个参数是随体制转换而变化。并且， tx 、 ts 和 1ts − 在过去信息集 It-1 条件下的联合分布密度 ( ) ( ) [ ] [ ] 1 1 1 1 1 1 2 0 1 1 12 , , | , ; | , , , ; Pr , | , ( ) 1 exp Pr , | , 22 t t t tt t t t t t t t t t t t t t t p s s s' t l t l t l t t t t ss f x s s I Z f x s s I Z s s I Z x x Z s s I Z θ θ βφ φ σπσ − − − − − − − = − − = ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪− − −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ∑ ( ) ( ) ( ) [ ] 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 | , ; , , | , ; | , , , ; Pr , | , t t t t t t t t t t t t s s t t t t t t t t t s s f x I Z f x s s I Z f x s s I Z s s I Z θ θ θ − − − − − = = − − − − = = = = ∑∑ ∑∑ 天津财经大学 白仲林 一般使用极大似然估计方法估计MS-AR模型，具体是采用极大似然估计的EM算法 （Expectation Maximization algorithm）和BLHK滤波算法（Baum-Lindgren-Hamilton-Kim filter algorithm）。并且，Perlin和Krolzig分别编制了Matlab的软件包 MSVAR. 特别，2010年荷兰Amsterdam大学的Visser编制了一个建立隐马尔可夫广义线性模型 （Hidden Markov Models of GLMs）的R软件包“depmixS4”。 8.6 非线性时间序列的单位根检验、协整检验和 ECM 模型的文献简述 在经济系统中，许多经济变量具有长期记忆的特点，而且这些序列本身及它们之间的关 系往往是非线性的。例如，失业率、GDP 增长率和利率等经济变量时间序列呈现非线性。 即，单个呈现非平稳性且经济时间序列的相互关系呈现非线性的特征。因此，人们越来越多 地关注非线性经济变量时间序列的非线性平稳性和非线性协整性的检验等问题。 STR 模型 He 和 Sandberg (2006)基于平滑变换自回归模型 (STAR)推导出检验单位根的 Dickey-Fuller 检验，包括 ρ 检验和 t 检验；Zhao(2008)讨论了 LSTAR 模型的协整检验； Kılı(2009)和 Kristensen & Rahbek(2010)讨论了 STAR 的协整检验和 ECM 模型。 TR 模型 Balke 与 Fomby (1997) 构造了门限协整模型，讨论了长期均衡的非线性调整；Gonzalo 和 Pitarakis（2006）研究了协整关系中的门限效应；以及