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连续介质力学行为分析的静态拉格朗日方法 第 26 卷 第 7 期 岩石力学与工程学报 Vol.26 No.7 2007 年 7 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering July,2007 收稿日期:2006–10–25;修回日期:2007–03–24 作者简介:刘建华(1965–),男,博士,1986 年毕业于河海大学水...

连续介质力学行为分析的静态拉格朗日方法
第 26 卷 第 7 期 岩石力学与工程学报 Vol.26 No.7 2007 年 7 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering July,2007 收稿日期:2006–10–25;修回日期:2007–03–24 作者简介:刘建华(1965–),男,博士,1986 年毕业于河海大学水利水电工程系,现任副教授,主要从事岩土工程、水工结构等方面的教学与研究工 作。E-mail:ljjcaz@sdu.edu.cn 连续介质力学行为分析的静态拉格朗日方法 刘建华 (山东大学 土建与水利学院,山东 济南 250061) 摘要:通过对 FLAC 的研究,得出一个结论:拉格朗日方法无论从计算收敛的角度还是从物理意义的角度,基于 运动方程求解都是不必要的。提出了一种新的求解思想,建立了所谓静态拉格朗日方法:(1) 由节点不平衡力和 节点刚度系数确定节点位移增量;(2) 由节点位移增量确定单元应变和应力增量;(3) 由单元应力增量确定单元应 力状态,进而确定新的节点不平衡力。步骤(1)~(3)的过程重复进行,体系将达到平衡状态。给出了静态拉格朗日 方法的基本公式和基本处理方法,包括节点不平衡力、节点刚度系数、单元应变和应力公式以及介质离散、单元 应变和应力求解、介质开挖与支护、大变形问题等的处理方法。基于静态拉格朗日方法编制了计算软件,能模拟 多荷载步、介质开挖与支护等复杂问题以及介质线弹性、弹塑性、流变等多种力学行为。软件可视化的后处理功 能,可给出介质位移矢量图、塑性区分布图及节点位移、单元应力求解过程线。给出了静态拉格朗日方法算例, 并与 FLAC 计算结果作了比较,通过算例说明了静态拉格朗日法的特点。将静态拉格朗日方法应用于实际工程, 对黄河小浪底水利枢纽地下厂房大型洞室群围岩进行了力学分析。基于现场压缩试验,将岩体作为黏弹性介质, 采用广义 Kelvin 模型,并确定了岩体力学 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 ;阐述了黏弹性模型静态拉格朗日方法的计算过程;根据地下洞室 群开挖 施工 文明施工目标施工进度表下载283施工进度表下载施工现场晴雨表下载施工日志模板免费下载 过程确定了数值计算的荷载步;建立了三维网格;基于实测计算了原始地应力场;数值计算给出了考 虑流变效应的岩体位移和应力状态,给出了岩体流变稳定时间,为评价岩体的稳定性和设计支护MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1710845513199_1提供了 依据。概述连续介质静态拉格朗日分析方法的特点,该方法属于一种松弛或迭代方法,不需要通过节点运动 方程求解,也不需要节点质量、阻尼力、惯性力、节点运动速度、加速度、时间步长等这些物理力学量,使 求解方法简化。较 FLAC 方法的优点是,求解过程基本上是静态的,介质没有振动,或只有很小的振动,计算精 度提高,克服了 FLAC 求解过程中介质振动、计算结果物理意义不明确这一缺点;算例的结果表明,对于较 小的几何模型(单元和节点数较少),静态拉格朗日方法具有更快的计算速度,而对于较大的几何模型(单元和节 点数较多),FLAC 方法计算速度更快,在计算速度方面静态拉格朗日方法是否存在固有缺陷,尚需要进一步 研究。 关键词:数值计算;连续介质;力学行为分析;静态拉格朗日方法;弹塑性;流变 中图分类号:O 241;O 33 文献标识码:A 文章编号:1000–6915(2007)07–1438–10 STATIC LAGRANGIAN METHOD FOR ANALYSIS OF CONTINUUM MECHANICAL BEHAVIORS LIU Jianhua (School of Civil and Hydraulic Engineering,Shandong University,Jinan,Shandong 250061,China) Abstract:Basic characteristics and solving processes of FLAC are summarized;the advantages and disadvantages of FLAC are pointed out. Based on FLAC,a conclusion is obtained that it is not necessary for Lagrange method to 第 26 卷 第 7 期 刘建华. 连续介质力学行为分析的静态拉格朗日方法 • 1439 • solve through motion equation from both the angle of calculation convergence and physical meaning. A new solving idea is put forward and a so-called“static Lagrangian method”(SLM) is founded as follows:(1) to determine node displacement increment by node unbalanced force and nodal stiffness coefficient;(2) to determine element strain and stress increment by nodal displacement increment;and (3) to determine element stress state by stress increment,and thus to determine new node unbalanced force. If the procedures from (1)–(3) are carried out continuously,the system could reach to its equilibrium state. Basic formulae and treatment methods of SLM are given and explained,including formulae of nodal unbalanced force,nodal stiffness coefficient,element strain and stress,and treatment method of medium discretization,element strain and stress solving,medium excavation and support,large deformation problem,etc.. Software of SLM is written to simulate complex problems such as multi-load-step,medium excavation and supporting,and medium linear-elastic,elasto-plastic,rheological behaviors. Post-treatment function of the software could give medium displacement vector figure,plastic zone distribution figure,curve of nodal displacement and element stress during solving processes. An example is calculated by SLM,and the result is compared with that of FLAC3D. Characteristics of SLM are illustrated through the example. SLM is applied to practical engineering:a mechanical analysis of underground caverns surrounding rock mass of the Xiaolangdi key water control project at the Yellow River is carried out. Based on in-situ compression test,the rock is regarded as viscoelastic medium,and the generalized Kelvin model is adopted, and the rock mechanical parameters are determined. SLM calculation processes for viscoelastic model are expounded. Load steps in numerical calculation are determined according to the underground caverns practical excavation process. The three-dimensional meshes are founded. The geostress field is calculated based on in-situ test. The numerical calculation gives rock displacement and stress state and time for rock to reach stability during excavation,which could offer basis for rock stability evaluation and supporting scheme design. Finally, characteristics of SLM are summarized;and the advantages of SLM compared with those of FLAC are as follows: (1) SLM does not solve through motion equation,and the mechanical quantities of nodal mass,damping force, inertia force,nodal velocity and acceleration,time step,etc. are not needed;so the Lagrange method is simplified; and (2) the solving processes of SLM are basically static,and the medium has no vibration or only a slight vibration. The calculation precision is improved;and the defects of FLAC of medium vibration in solving process and physical meaning of calculation results that are not clear are overcome. Some examples show that SLM has higher calculation speed in comparatively small geometric model(having less elements and nodes),whereas in large geometric model,FLAC has higher calculation speed. It needs to be studied that if SLM has inherent defect in calculation speed. Key words:numerical calculation;continuum medium;analysis of mechanical behavior;static Lagrangian method;elastoplasticity;rheology 1 引 言 20 世纪 80~90 年代,美国 Itasca Consulting Group Inc.开发了主要针对岩土体的二维和三维拉格 朗日方法分析软件[1~3]。该方法目前在国内外有许多 工程应用,尤其是最近几年随着 FLAC 软件的推 广,应用较多。人们采用 FLAC(也包括 FLAC3D, 下同)软件的力学模型和功能,对地下巷道与洞室围 岩、岩土地基、岩土边坡、工程建筑物等进行力学 分析,包括静态问题(弹塑性问题、流变问题)、振 动(动力)问题、流固耦合问题等[4~7]。还有一类应用 是对 FLAC 的二次开发,采用其自定义模块或 FISH 语言,加入新的力学模型[8~11]。 FLAC 的基本特点与求解思想,可概括为以下 几个主要方面[1]: (1) 连续介质离散为拉格朗日元网格,介质质 量集中于单元节点,连续介质转化为多质点体系。 (2) 质点体系在质点不平衡力作用下运动。基 于牛顿运动定律确定质点加速度,基于对时间的差 分确定质点运动速度、位移,进而确定单元应变与 应力。 • 1440 • 岩石力学与工程学报 2007年 (3) 质点不平衡力是作用于质点上的外荷载和 单元应力、单元体力产生的等效节点力的合力。 (4) 体系的平衡状态通过质点的运动达到。在 平衡状态下,所有质点的不平衡力为 0,质点不再 运动。 (5) 体系在运动过程中加入充分的阻尼,使质 点振动逐渐衰减,并最终停留在平衡位置。 与有限元方法比较,拉格朗日方法的优点是数 学运算简单,求解过程收敛,处理岩土体大变形、 弹塑性、有开挖和支护等复杂情况也比较方便。现 有拉格朗日方法 FLAC 的缺点是:(1) 通过动力法 求解静力问题,而不采用介质真实的阻尼特性和质 量特性,没有反映介质真实的运动过程,其计算结 果物理意义不甚明确,或者说计算结果存在噪音误 差;(2) 运算时间长、效率低;(3) 大量的时间步有 可能产生积累误差,使计算结果失真[12]。 2 一种新的求解思想 FLAC 方法基于节点运动方程求解,引入节点 不平衡力,节点质量、阻尼力、惯性力,节点运动 位移、速度、加速度,时间步长等物理力学量。从 计算收敛的角度,基于运动方程求解不是必要的, 从物理意义方面,既然不能反映介质真实的运动过 程,基于运动方程求解也不是必要的。本文提出下 面的求解思想: (1) 由节点不平衡力直接确定节点位移增量。 (2) 由节点位移增量确定单元应变和应力增 量。 (3) 由单元应力增量确定单元应力状态,进而 确定新的节点不平衡力。 上面的过程重复进行,体系将达到平衡状态。 也就是说,如果将从步骤(1)~(3)的过程称为一个运 动步,那么经过若干运动步后,体系将达到平衡状 态。如果节点不平衡力为非零的恒定值不衰减,则 体系处于塑性流动状态。 每一运动步的节点位移,由节点不平衡力和节 点刚度系数确定。节点刚度系数由围绕该节点的所 有单元确定。节点位移公式为 )( )( )( L i L iL i K Fcu =Δ (1) 式中:c 为系数;i = 1,2,3,分别代表三维空间 中 X,Y,Z 三个方向(后面各公式中同); )(LiuΔ 为节 点 L 在 i 方向的位移增量; )(LiF 为节点 L 在 i 方向 的不平衡力,是围绕该节点所有单元作用的力和作 用于该节点的外荷载集中力的总和; )(LiK 为 L 节点 在 i 方向的刚度系数,是围绕该节点所有单元中 L 节点的 i 方向刚度系数之和。 节点刚度系数的含义和确定方法,通过节点及 其周围单元(见图 1)进一步说明。 图 1 节点及其周围单元 Fig.1 Node and its surrounding elements 设节点 L 周围有 4 个单元,则节点 L 在 X,Y, Z 三个方向的刚度系数分别为 ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ +++= +++= +++= −−−− −−−− −−−− )4()( 33 )3()( 33 )2()( 33 )1()( 33 )( 3 )4()( 22 )3()( 22 )2()( 22 )1()( 22 )( 2 )4()( 11 )3()( 11 )2()( 11 )1()( 11 )( 1 LLLLL LLLLL LLLLL kkkkK kkkkK kkkkK (2) 式中: )1()( −Liik , )2()( −Liik , )3()( −Liik , )4()( −Liik 分别为单元 (1),(2),(3),(4)中节点 L 的 i 方向刚度系数,其意 义是 L 节点发生 i 向单位位移产生的 i 向节点力, 它们均是四面体单元刚度矩阵中相应的元素。 式(1)中引入系数 c,是为了数值计算的稳定性, 取 c≤1.0。c 值的大小,一方面,对计算结果影响 不大。从数值计算稳定的角度来看,每一运动步节 点位移要足够小,即系数 c 要足够小;另一方面, 在满足数值计算稳定的前提下,c 的取值又应尽可 能大,以缩短计算时间。 在本文算例中,取 c = 1.0,数值计算是稳定的, 还有一些算例要求 c = 0.8 或 0.5。计算网格单元边 长或弹性模量相差较大时,需要 c 取值小一些;反 之,c 值可取大一些。c 值的影响因素及定量的表达 式,还有待进一步研究。 基于该求解思想的拉格朗日方法,其计算结果 是静态的,故可称为静态拉格朗日方法。 第 26 卷 第 7 期 刘建华. 连续介质力学行为分析的静态拉格朗日方法 • 1441 • 3 静态拉格朗日方法基本公式和处理 方法 (1) 节点不平衡力 节点不平衡力[1]方程可表示为 )( )( )( )( 43 L i L i l iL i P VbTF + ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += ρ (3) 式中: )(]][[ L• 为围绕节点 L 的所有单元对该节点贡 献值的总和; ρ 为介质密度; ib 为介质单位质量体 积力;V 为四面体单元体积; )(LiP 为作用于节点 L 的外荷载集中力; )(liT 为作用力,其表达式为 )()()( ll jij l i SnT σ= (4) 式中: ijσ 为四面体单元应力; )(ljn 为四面体单元 l 面单位外法向矢量的 j 方向分量( j = 1,2,3,分别 代表三维空间 X,Y,Z 三个方向); )(lS 为四面体单 元 l 面的面积(l = 1,2,3,4,代表四面体单元的 4 个面或 4 个节点);整体编号下的节点 L 对应于四 面体单元中的节点 l。 (2) 节点刚度系数 节点刚度系数可表示为 )()()( ]][[ LliiLi kK = (5) 式中: )(liik 为四面体单元节点 l 的 i 方向刚度系数。 四面体单元如图 2 所示。 图 2 四面体单元 Fig.2 Tetrahedron element 根据弹性力学有限单元法,节点 1 在 3 个方向 1,2,3 的刚度系数[13,14]分别为 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ++= ++= ++= )]([ )]([ )]([ 2 1 2 12 2 1 )1( 33 2 1 2 12 2 1 )1( 22 2 1 2 12 2 1 )1( 11 cbAdAk dbAcAk dcAbAk (6a) 其中, V EA )21)(1(36 )1( μμ μ −+ −= (6b) )1(2 21 2 μ μ − −=A (6c) 式中:E,μ 均为材料弹性常数;V 为四面体体积; 1b , 1c , 1d 为与四面体节点坐标有关的系数,即 44 33 22 1 1 1 1 zy zy zy b −= (6d) 44 33 22 1 1 1 1 zx zx zx c −= (6e) 1 1 1 44 33 22 1 yx yx yx d −= (6f) 在式(6d)~(6f)中,1,2,3,4 节点坐标轮换, 确定 1b , 1c , 1d ,带入式(6a),可确定其他节点在 3 个方向上的刚度系数。 (3) 单元应变 单元应变[1]可表示为 )()()()()( 4 1 )( 6 1 ll i l j l j l i l ij Snunu V Δ+Δ−=Δ ∑ = ε (7) 式中: )(liuΔ 为四面体单元节点 l 在 i 方向的位移, )(l in 为四面体单元 l 面单位外法向矢量的 i 向分量。 (4) 单元应力 单元应力可表示为 ij n ij n ij σσσ Δ+=+ )()1( (8) 式中:n 为运动步; )(nijσ 为第 n 运动步的应力; ijσΔ 为应力增量,由本构关系确定,即 )( ijijijij H εσσ Δ=Δ , (9) 式中: )(•ijH 为介质本构关系函数, ijεΔ 为应变增 量。 (5) 介质离散与单元应力应变修正 采用 FLAC 的混合离散方法。单元网格建立后, 六面体单元 zone 离散为 5 个四面体单元,五面体单 元 zone 离散为 3 个四面体单元。为了克服四面体单 元不能在保持体积不变的情况下产生变形这一缺 点,适应一些本构模型不可压缩塑性流动要求,对 四面体单元应变和应力进行修正[1]。为了提高计算 精度,zone 离散为四面体时,采用了 2 种布置方式, • 1442 • 岩石力学与工程学报 2007年 计算结果取 2 种方式的平均。 (6) 其他有关处理方法 介质开挖的模拟方法是,将被开挖的介质单元 本构关系模型置为“Null”(空),其单元应力、节点 位移赋 0,并且不再参与节点不平衡力、节点刚度 系数等的计算。介质回填的模拟方法是,将回填部 分介质单元设置为其相应的本构关系模型,并参与 节点不平衡力、节点刚度系数、节点位移、单元应 力计算。 对于小变形问题,节点坐标和节点刚度系数在 整个计算过程中,不发生变化。对于大变形问题, 节点坐标和节点刚度系数每经过一定数量的运动步 后,进行修正;单元应变和应力也需增加一个刚体 旋转修正项。 4 静态拉格朗日方法算例及与 FLAC 方法比较 静态拉格朗日分析方法取消了节点运动方程, 也不需要节点质量、阻尼力、惯性力、节点运动速 度及加速度、时间步长这些物理力学量。它具有 FLAC 的优点,同时基本克服了 FLAC 存在的介质 振动的缺点,给出了静态解;另一方面,要比现有 FLAC 方法简化许多。 采用静态拉格朗日方法计算了数个例题,并与 FLAC 方法的结果做了比较。算例证明了静态拉格 朗日法的特点。本文给出的一个算例为地下洞室开 挖问题,也就是假设无限大介质中存在初始应力场 6100.7 ×=xσ Pa, 6105.3 ×=yσ Pa, 6101.2 ×=zσ Pa,挖去 15 m×15 m 孔洞,如图 3 所示。介质力学 参数:弹性模量 10100.1 ×=E Pa,泊松比 2.0=μ , 内摩擦角 =ϕ 35°,黏聚力 5105×=c Pa,抗拉强度 图 3 算例示意 Fig.3 Sketch map of an example 5105×=t Pa,膨胀角 =dϕ 15°。分别按弹性和弹塑 性介质。在介质中选取 6 个点,考察这些点处的位 移和应力。 6 个点的位移、应力数值见表 1。FLAC3D的计 算结果也在表中给出。作为弹塑性介质时,位移矢量 见图 4;塑性区分布见图 5;图 6,7 给出了 FLAC3D 计算的位移矢量和塑性区分布;图 8 给出了开挖部 位附近某点水平向位移求解过程线;图 9 给出了开 挖部位附近某单元水平向应力求解过程线;图 10, 11 分别给出了 FLAC3D相应的求解过程线。 表 1 6 个点位移、应力计算结果 Table 1 Calculation results of displacements and stresses of six points 弹性介质 弹塑性介质(Drucker-Prager 屈服准则) 部位 u/cm σ/(106 Pa) u/cm σ/(106 Pa) 塑性区面积/m2 1 -0.38(Y) (-0.42) X:-9.40 (-9.43) Y:-0.15 (-0.15) Z:-1.91 (-1.92) -0.54(Y) (-0.60) X:-7.31 (-7.21) Y:-0.16 (-0.15) Z:-3.50 (-3.46) 2 -0.24(Y) (-0.28) -9.69 (-9.73) -1.41 (-1.42) -2.22 (-2.23) -0.24(Y) (-0.28) -9.97 (-10.00) -1.51 (-1.48) -3.00 (-3.09) 292.0 (212.0) 3 -0.08(Y) (-0.12) -7.90 (-7.93) -3.15 (-3.18) -2.21 (-2.22) -0.06(Y) (-0.10) -8.00 (-8.06) -3.28 (-3.30) -2.26 (-2.27) 4 1.06(X) (1.06) -0.12 (-0.12) -1.31 (-1.35) -0.29 (-0.30) 1.12(X) (1.15) -0.13 (-0.12) -1.41 (-1.39) -0.37 (-0.38) 5 0.82(X) (0.82) -1.63 (-1.64) -4.42 (-4.47) -1.21 (-1.22) 0.88(X) (0.90) -1.52 (-1.48) –4.24 (-4.25) -1.15 (-1.15) 6 0.43(X) (0.44) -5.03 (-5.05) -4.28 (-4.33) -1.86 (-1.88) 0.48(X) (0.50) -4.84 (-4.83) -4.30 (-4.35) -1.83 (-1.84) 注:(1) “( )”中的数值是 FLAC3D 相应的计算结果;(2) X,Y,Z 代表 3 个坐标轴方向。 第 26 卷 第 7 期 刘建华. 连续介质力学行为分析的静态拉格朗日方法 • 1443 • 图 4 位移矢量(长度代表位移量值) Fig.4 Displacement vectors(length for displacements) 图 5 塑性区分布 Fig.5 Distribution of plastic zones 图 6 位移矢量(FLAC3D结果,长度代表位移量值) Fig.6 Displacement vectors(results of FLAC3D,length for displacements) 算例表明,对于弹性介质,静态拉格朗日方法 和 FLAC3D计算结果基本一致。对于弹塑性介质,2 种方法结果差异略大。产生差异的原因,弹塑性介 质应力变形状态与应力路径有关,2 种方法应力路 径有一定差异。由算例还可以看出,静态拉格朗日 方法是以静态的方式趋于平衡状态,而 FLAC3D 是 以振动的方式趋于平衡状态,见图 9 和 11。 图 7 塑性区分布(FLAC3D结果) Fig.7 Distribution of plastic zones(results of FLAC3D) 图 8 某点水平位移求解过程线 Fig.8 Curve of horizontal displacement of a node during solving process 图 9 某单元水平向应力求解过程线 Fig.9 Curve of horizontal normal stress of a zone during solving process 图 10 某点水平位移求解过程线(FLAC3D) Fig.10 Curve of horizontal displacement of a node during solving process(FLAC3D) 5 静态拉格朗日方法工程应用 采用静态拉格朗日数值计算方法,对黄河小浪 运动步 n 水 平 位 移 /c m 水 平 向 应 力 /M Pa 运动步 n 水 平 位 移 /c m 时间步 • 1444 • 岩石力学与工程学报 2007年 图 11 某单元水平向应力求解过程线(FLAC3D) Fig.11 Curve of horizontal normal stress of a zone during solving process(FLAC3D) 底水利枢纽地下厂房洞室群围岩流变行为进行了分 析研究。 (1) 工程概况 小浪底水利枢纽位于黄河中游干流,是兼有防 洪、防凌、减淤、供水、发电综合效益的特大型控 制性水利枢纽工程。其地下厂房由引水洞、主厂房、 母线洞、主变室、尾水闸门室、尾水洞等部分组成, 属大型地下洞室群。 (2) 初始地应力场 厂区地应力,根据有关单位实测和理论分析, 以岩体自重应力为主,地质构造作用为次,水平应 力与竖向应力之比 0.8 左右,基本是均匀地应力场。 数值计算中,地应力竖向应力取上覆岩体重量,即 hy γσ = ,水平向侧压力系数取为 1.0,即 =xσ yz σσ = 。 (3) 岩体力学模型与力学参数 工程区域地层为黏土岩及页岩,泥质、钙泥质 粉砂岩,钙质细砂岩,硅质细砂岩相间分布,属于 二迭纪和三迭纪陆相沉积岩。现场压缩蠕变试验中, 蠕变变形占总变形的 30%左右,岩体具有明显的蠕 变特性,岩体力学分析应考虑流变特性[15]。 根据岩体实测变形曲线特点,力学模型采用广 义 Kelvin,见图 12。 图 12 广义 Kelvin 模型 Fig.12 Generalized Kelvin model 岩体蠕变参数试验建议值见表 2。 数值计算中,洞室围岩简化为均质,岩体力学 指标综合取值为: 表 2 岩体蠕变参数试验建议值 Table 2 Rock creep mechanical parameters suggested by in-situ test 试点编号 E0/GPa Ek/GPa ηk/(GPa·h) 1 9.5 20 180 2 8.5 15 110 3 3.0 9 35 4 1.3 3 8 ① 变形模量 =0E 8.0 GPa,泊松比 22.0=μ , 容重 2.26=γ kN/m3。 ② 岩体流变参数取试验结果的平均值: =kE 12 GPa, =kη 70 GPa·h。 (4) 黏弹性模型静态拉格朗日方法计算过程 根据广义 Kelvin 模型[16,17],总应变由弹性、 黏性 2 部分组成,即 v ijijij εεε += e (10) 计算步骤如下: ① 弹性计算: 不考虑黏性变形,经过若干运动步,使结构达 到平衡状态,确定瞬时弹性变形。 ② 计算黏性应变: ttGttst vijijvij Δ−Δ=Δ )()(1)( 1 1 1 εηηε (11) ③ 确定流变产生的应力增量和新的应力状态: v klijklij D εσ Δ−=Δ (12) ij O ij N ij σσσ Δ+= (13) ④ 根据流变产生的新应力状态,进行新一轮 弹性计算,经过若干运动步,使结构达到平衡状态。 每一流变时间步 tΔ ,对应若干运动步。为了使 计算更好地符合介质流变的真实物理过程,时间步 tΔ 的取值应尽可能小。 重复步骤②~④进行,直至流变终止,介质达 到稳定状态。本计算中,当黏性应变速率小于初始 最大速率的 5%时,认为流变停止。每一开挖步均 进行上面的计算过程。 (5) 数值计算网格 介质计算范围 357.10 m×246.44 m×451.50 m (长×宽×高),划分为 44 600 个单元,48 705 个节点。 洞室群部分网格见图 13。 时间步 水 平 向 应 力 /M Pa 第 26 卷 第 7 期 刘建华. 连续介质力学行为分析的静态拉格朗日方法 • 1445 • 图 13 洞室群部分网格 Fig.13 Part meshes of caverns 数值计算只考虑毛洞开挖,洞室群支护结构(预 应力锚索、张拉锚杆、混凝土衬砌)不考虑。 (6) 地下洞室群开挖步设置与加载方法 根据实际施工过程,将地下洞室群开挖划分为 7 个开挖步,如图 14 所示。 图 14 数值计算开挖步设置 Fig.14 Excavation steps in numerical calculation 开挖荷载瞬时施加,并达到弹性平衡状态,然 后进行流变计算,直至流变速率为 0,达到稳定状 态,再进行下一个开挖步计算,如图 15 所示。由于 实际开挖施工过程,各开挖步间隔时间是足够长 的,因而这样的加载过程是合适的。 图 15 数值计算加载过程 Fig.15 Loading processes of numerical calculation (7) 计算结果 各开挖步完成后,围岩位移最大值、最大位移 的方向和部位,各开挖步围岩流变持续时间见表 3。 不考虑流变效应的结果同时列出,作为对比。 表 3 各开挖步围岩位移最大值、流变持续时间 Table 3 Maximum rock displacements and rheological lasting times after every excavation step 开挖 步 位移 最大 值 /cm 方向 部位 流变持 续时间 /h 不考虑 流变效 应位移 最大值 /cm 方向 部位 KW1 1.44 向上 主厂房中部地面 37.38 0.63 向上 主厂房中部 地面 KW2 1.84 向上 主厂房中部地面 41.45 0.70 向上 主厂房中部 地面 KW3 2.05 向上 主厂房中部地面 41.34 0.76 向上 主厂房中部 地面 KW4 2.30 向上 主厂房中部地面 40.43 0.85 向上 主厂房中部 地面 KW5 2.56 向下游 主厂房中部上游边墙 41.40 0.87 向下游 主厂房中部 上游边墙 KW6 3.38 向下游 主厂房中部上游边墙 41.03 1.28 向下游 主厂房中部 上游边墙 KW7 3.69 向下游 主厂房中部上游边墙 41.52 1.39 向下游 主厂房中部 上游边墙 在中部主厂房顶拱选取点 1,下游边墙选取点 2,见图 14。数值计算给出的点 1 竖向位移(向下)曲 线,点 2 水平位移(向上游)曲线,见图 16。位移包 括各开挖步瞬时位移和流变位移。 图 16 主厂房 2 点在开挖时的围岩位移曲线 Fig.16 Displacement curves of two points at the surface of main powerhouse surrounding rock during excavation 中间一个开挖步和全部开挖完成,中部横剖面 围岩位移矢量见图 17,18;全部开挖完成,过主厂 房顶拱顶点纵剖面围岩位移矢量见图 19,均为流变 达到稳定状态。 (8) 分析与结论 基于计算结果,可得到下面几点结论: 位 移 /c m 时间/s 流变至稳 定状态 KW1 KW2 KW3 KW4 KW5 KW6 KW7 流变至稳 定状态 流变至稳 定状态 流变至稳 定状态 流变至稳 定状态 流变至稳 定状态 • 1446 • 岩石力学与工程学报 2007年 图 17 开挖步 4 完成后围岩位移矢量(一中部横断面, 长度代表位移量值) Fig.17 Rock displacement vectors after excavation step 4(a cross-section at the middle,length for displacements) 图 18 开挖完成围岩位移矢量(一中部横断面,长度代表位 移量值) Fig.18 Rock displacement vectors after excavation completion (a cross-section at the middle,length for displacements) 图 19 开挖完成围岩位移矢量(主厂房纵断面,长度代表位 移量值) Fig.19 Rock displacement vectors after excavation completion (a longitudinal-section through main powerhouse roof,length for displacements) ① 地下洞室开挖,导致岩体向内空间位移,且 随着开挖的进展,位移量逐渐加大。早期开挖过程 中(KW1~4 开挖步),主厂房地面向上隆起位移相 对较大,后期开挖过程中,主厂房上、下游边墙水 平位移积累至较大量值。 ② 考虑岩体流变,围岩位移达到不考虑流变的 2~3 倍。因此,流变效应对岩体变形、应力状态和 稳定性,以及对支护结构有重要影响。 ③ 各开挖步完成后,围岩流变达到稳定的时 间为 40 h 左右。 ④ 围岩流变特点是支护方案和支护时间确定 的重要影响因素。过早的支护有可能使支护结构承 受较大的压力,增加支护代价;而不及时的支护, 让围岩变形无限制地自由发展,可能造成围岩强度 损失过多,产生岩体崩塌滑落。如果以围岩流变变 形达到某一 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 确定支护时间,数值计算可以给出 确定的理论支护时间。 6 结 论 (1) 连续介质静态拉格朗日分析方法,属于一 种松弛或迭代方法,不需要通过节点运动方程求解, 也不需要节点质量,阻尼力,惯性力,节点运动速 度、加速度,时间步长这些物理力学量,使求解方 法简化。 (2) 静态拉格朗日方法较FLAC方法的优点是, 其求解过程基本上是静态的,介质没有振动,或只 有很小的振动,这就克服了 FLAC 由于求解过程中 介质振动而产生噪音误差和计算结果物理意义不明 确这一缺点。 (3) 有限的算例表明,对于较小的几何模型(单 元数、节点数较少),静态拉格朗日方法具有更快的 计算速度;而对于较大的几何模型(如单元数、节点 数超过 1×104),FLAC 方法计算速度更快。静态拉 格朗日方法与 FLAC 方法计算速度的比较以及在计 算速度方面,静态拉格朗日方法是否存在固有缺 陷,尚需要进一步研究。 (4) 基于静态拉格朗日方法编制的软件,能模 拟多荷载步、介质开挖、锚杆锚索支护等复杂问 题,以及介质线弹性、弹塑性、流变等多种力学 行为。可视化的后处理功能,能给出介质位移矢 量图、塑性区分布图及节点位移、单元应力求解过 程线。 (5) 静态拉格朗日方法成功地用于小浪底水利 枢纽地下厂房大型洞室群围岩考虑流变效应的力学 分析,得到有价值的成果。 第 26 卷 第 7 期 刘建华. 连续介质力学行为分析的静态拉格朗日方法 • 1447 • 参考文献(References): [1] Itasca Consulting Group Inc.. 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