工程光学课后习题参考答案第十一章

工程光学习题解答 第十章 光的电磁理论基础 1. 一个平面电磁波可以表示为 140, 2cos[2 10 ( ) ], 0 2 x y z z E E t E c        ,求(1)该 电磁波的频率、波长、振幅和原点的初相位？（２）拨的传播方向和电矢量的振动方向？ （３）相应的磁场Ｂ的表达式？ 解：（1）平面电磁波 cos[2 ( ) ] z E A t c     对应有 14 62, 10 , , 3 10 2 A Hz m          。 （2）波传播方向沿 z 轴，电矢量振动方向为 y轴。 （3）B E   与 垂直，传播方向相同，∴ 0By Bz  8 146 10 [2 10 ( ) ] 2 z Bx Ey CEy t c          ２. 在玻璃中传播的一个线偏振光可以表示 2 150, 0, 10 cos 10 ( ) 0.65 y z x z E E E t c     ， 试求（1）光的频率和波长；（2）玻璃的折射率。 解：（1） 2 15cos[2 ( ) ] 10 cos[10 ( )] 0.65 z z E A t t c c        ∴ 15 142 10 5 10v Hz      72 / 2 / 0.65 3.9 10n k c m       （2） 8 7 14 3 10 1.54 3.9 10 5 10n c cn v            3.在与一平行光束垂直的方向上插入一片透明薄片，薄片的厚度 0.01h mm ,折射率 n=1.5, 若光波的波长为 500nm  ,试计算透明薄片插入前后所引起的光程和相位的变化。 解：光程变化为 ( 1) 0.005n h mm    相位变化为 )(202 500 10005.0 2 6 rad        4. 地球表面每平方米接收到来自太阳光的功率为 1.33kw,试计算投射到地球表面的太阳光 的电场强度的大小。假设太阳光发出波长为 600nm  的单色光。 解：∵ 2 20 1 1 2 2 I A cA      ∴ 1 32 0 2 ( ) 10 / I A v m c  5. 写出平面波 8100exp{ [(2 3 4 ) 16 10 ]}E i x y z t     的传播方向上的单位矢量 0k 。 工程光学习题解答 解：∵ exp[ ( )]E A i k r t  x y zk r k x k y k z       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2, 3, 4 2 3 4 2 3 4 29 29 29 x y z x y z k k k k k x k y k z x y z k x y z                 6. 一束线偏振光以 45度角从空气入射到玻璃的界面，线偏振光的电矢量垂直于入射面，试 求反射系数和透射系数。设玻璃折射率为 1.5。 解：由折射定律 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 sin 2sin 3 7cos 3 2 7 1.5 cos cos 2 3 0.3034 cos cos 2 7 1.5 2 3 2 2 2 cos 2 0.6966 cos cos 2 7 1.5 2 3 s s n n n r n n n t n n                                 7. 太阳光（自然光）以 60度角入射到窗玻璃（n=1.5）上，试求太阳光的透射比。 解： 2 2 2 2 2 1 2 21 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 3sinsin 2 1 3 62 3 6 1 1 1.5 4 cos 4sin cos 3 3 4 0.823 1cos sin ( ) 3 6 1 3 ( ) 2 2 3 2 3 cos 4sin cos 0.998 cos sin ( )cos ( ) ( ) 0.91 2 s p s p n n ocs n n n n                                               8. 光波以入射角 1 从折射率为 1n 介质入射到折射率为 2n 的介质，在两介质的表面上发生反 工程光学习题解答 射和折射（折射角为 2 ，见图 10-39），s波和 p波的振幅反射系数和投射系数分别为 sr 、 pr 和 st 、 pt 。若光波从 2n 介质入射到 1n 介质（见图 10-39b）中，入射角为 2 ，折射角为 1 ， s波和 p波的反射系数和透射系数分别为 'sr 、 'pr 和 'st 、 'pt 。试利用菲涅耳公式证明（1） 's sr r  ；（2） 'p pr r  ；（3） 's s st t  ；（4） 'p p pt t  （ p 为 p 波的透射比， s 为 s 波的透射比）。 解： 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 cos cos (1) cos cos 'cos' 'cos' cos cos ' 'cos' 'cos' cos cos (2) 1 2cos sin 2cos' sin' 2cos sin 3 , ' sin( ) sin( ' ') sin( ) s s s s s n n r n n n n n n r r n n n n t t                                           同（） （） 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 4sin cos sin cos sin cos 4sin cos ' sin ( ) sin cos sin ( ) cos 4sin cos cos sin ( ) (4) 3 s s s t t n t n                               同（）略 9. 电矢量方向与入射面成 45度角的一束线偏振光入射到两介质的界面上，两介质的折射率 分别为 1 21, 1.5n n  ，问：入射角 1 50  度时，反射光电矢量的方位角（与入射面所成 1n 2n 1 2 )a 1 2 1n 2n )b 图 10-39 习题 8 图 2n 工程光学习题解答 的角）？若 1 60  度，反射光的方位角又为多少？ 解： 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 sin 1 50 sin ( ) 30.7 sin( ) ( ) 0.335, 0.057 sin( ) ( ) ' 0.335 0.335 , ' 0.057 ' 80.33 ' (2) 0 s p s p s s s s p p p s p s n n tg r r tg A A A A r A A A A r A A A tg A r                                                （） ，由折射定律 入射光 由反射系数有 合振幅与入射面的夹角 同理 .421, 0.042 ' ' ( ) 84.3 ' p s p r A arctg A        10. 光束入射到平行平面玻璃板上，如果在上表面反射时发生全偏振，试证明折射光在下表 面反射时亦发生全偏振。 证明：当入射角为布儒斯特角时，发生全偏振，反射光中只有 s波 第一次反射时， 1 13 1 2, 90 , , B n n tg n         玻 空n 第二次反射时， 2 1 2' , ' ' 90 , ' 'B n n n          空 B 玻 ，tg =n 得证。亦可由 ,s pr r 求证. 11. 光束垂直入射到 45 度直角棱镜的一个侧面，并经斜面反射后由底二个侧面射出（见图 10-40），若入射光强为 0I ，求从棱镜透过的出射光强 I？设棱镜的折射率为 1.52，且不考 虑棱镜的吸收。 0I I 图 10-40 习题 11 图 45 工程光学习题解答 解： 2 2 1 2 2 3 1 2 2 2 1 2 3 0 0 0 1 0.52 ( ) ( ) 0.0426 1 2.52 1 1 1.52 ( ) ( ) 0.0426 1 1 1.52 ,sin 1.52 sin 45 90 1 1 0.0426 1 1 0.0426 0.917 n n n n I I I I                                      经过第一面时，反射比为 经过第三面时，反射比为 经过第二面时， =45 在此面发生全反射，即 出射光强为 （ ） （ ） 12. 一个光学系统由两片分离透镜组成，两透镜的折射率分别为 1.5和 1.7，求此系统的反 射光能损失。如透镜表面镀上曾透膜，使表面反射比降为 0.01，问此系统的光能损失又为 多少？设光束以接近正入射通过各反射面。 解        2 2 2 2 2 3 4 1 2 3 4 4 ) ( ) 0.04 ( ) ( ) 0.04 0.067 1 1 1 1 0.802 20% 0.01 ' 1 0.01 0.96, 4% R R R R R R R                   1 1 1 2 2 0 此系统有4个反射面，设光束正入射条件下，各面反射率为 n -1 1.5-1 R =( n +1 1.5+1 1 -1 n -1 1.5 1n +1 +1 1.5 光能损失为（初始为I） ，损失 若反射比降为 ，则 损失 13. 一半导体砷化镓发光管（见图 10-41），管芯 AB 为发光区，其直径 3d mm 。为了避 免全反射，发光管上部磨成半球形，以使内部发的光能够以最大投射比向外输送。要使发光 区边缘两点A和B的光不发生全反射，半球的半径至少应取多少？(已知对发射的 0.9nm  的光，砷化镓的折射率为 3.4) 。 A B 图 10-41 习题 13 图 工程光学习题解答 解： sin sin sin 1 sin sin 1 sin 3.4 1 sin sin sin 3.4 3.4 3.4 5.1 2 C R r R r R r AB R r c c R d R r mm                           设半球半径为 ，由正弦定理，管芯边缘发光的入射角 有 最大为，最小为0， 0 若 时仍不能发生全反射，则 内所有光均不会发生全反射 全反射角 14. 线偏振光在玻璃-空气界面上发生全反射，线偏振光的方位角 45  度，问线偏振光以 多大角度入射才能使反射光的 s波和 p波的相位差等于 45度，设玻璃折射率 1.5n  。 解：   2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 4 1 2 4 2 2 2 1 1 2 1 1 cos sin 2 sin cos (sin ) 2 sin 1 sin 1 sin 0 2 1 , 45 sin 0.6483 0.5842 1.5 1 53.63 49.85 arcsin 41.81 1.5 C S P n tg n tg tg n n n                                         全反射时， 波与 波相位差为 ，且 将 代入有 或 或 ，而 上述答案均可 15. 线偏振光在 1n 和 2n 介质的界面发生全反射,线偏振光的方位角 45  度,证明当 2 2 1 cos 1 n n     时( 是入射角),反射光波和波的相位差有最大植。式中 2 1/n n n 。 证明： 工程光学习题解答                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos 1 cos 2 sin 1 cos ,cos 2 2 1 1 1 [ 1 1 2 ] 1 1 2 2 1 0, 1 1 [ 1 2 ] 1 2 2 S P n n tg tg tg y x x x n y x x n x x n x x x x n x dy dx x dy dx x x n x x x x n x x                                                     全反射时， 波与 波相位差为 若 最大，则 最大，令 令 则有 2 2 12 2 2 1 1 1 cos ( ) , 1 n n n n         当 时 取最大 16. 圆柱形光纤（图 10-42）其纤芯和包层的折射率分别为 1n 和 2n ，且 1n > 2n 。（1）证明入 射光的最大孔径角2u满足关系式 2 21 2sin ;u n n  （2）若 1 21.62, 1.52,n n  求孔径角？ 解：     2 2 1 22 2 1 1 2 21 2 1 2 0 2 2 1 2 1 sin , sin cos sin sin 2 1 1.62, 2 1.52 2 2arcsin 68.2 c c n nn n n n u n n n n n u n n                    若 17. 已知硅试样的相对介电常数 0 12    ，电导率 1 12 .cm    ，证明当电磁波的频率 u c 2n 1n 图 10-42 习题 16 图 工程光学习题解答 910 HZ  时，硅试样具有良导体作用。计算 610 HZ  时电磁波对这种试样的穿透深度。 解： 9 7 2 9 7 2 2 36 10 12 2 10 4 10 2 0.356 2 4 10 2 Hz C Hz m                               0 当 时，介质可看作良导体 对于硅 时，硅具有良导体作用 2 穿透深度x = 18. 铝在 50nm  时，有 1.5n  ， 3.2nk  ，试求正入射时的反射比和相位变化。 解：     2 2 2 2 2 2 22 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1.5 3.2 1 2 1.5 0.636 1.5 3.2 1 2 1.51 1 2 2 2 1 3.2 0.577 1.5 3.2 1 29.12 n k n n k n n n k tg n n k n                                正入射时 19. 两束振动方向相同的单色光波在空间某一点产生的光振动分别表示为 1 1 1cos( )E a t   和 2 2 2cos( )E a t   ， 若 152 10 HZ   ， 1 6 /a v m ， 2 8 /a v m ， 1 0a  ， 2 / 2a  ，求合振动的表示式。 解：           1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 15 cos cos cos 2 cos 10 / sin sin 4 cos cos 3 10cos 53.13 2 10 E E E a t a t A t A a a a a v m a a tg a a E t                                    合振动 其中 20. 利用波的复数表达式求两个波 1 cos( )E a kx t  和 2 cos( )E a kx t   的合成波。 解：             1 2 2 ] exp[ ] 1 2 ] exp[ ] exp [ ] 2 sin [cos sin 2 sin sin i t i t i E E E a i kx E E E a i kx a ikx e e a t kx i a kx                         1 与 的复数表达式为 E =aexp[i kx+ t t aexp[i kx+ t t t] 取实部Re E t 工程光学习题解答 21. 一束沿 z 方向传播的椭圆偏振光表 0 0( , ) cos( ) cos( ) 4 E z t x A kz t y A kz t        ， 试求偏振椭圆的方位角和椭圆长半轴及短半轴大小。 解： 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 , 2 , 1 , 2 , 4 4 2 2 cos , 2 90 , 45 2 2 sin 2 sin 2 sin 2 1 1.31 , 0.54 , 2 1 1 a A a A kz kz a a tg a a A A tg tg A tg A A A A A tg                                            2 2 2 2 2 1 2 1 2 由题知 方位角 即 设长短半轴分别为 ， ，则有 A +A =a +a =2A 求得 其中略掉 项 22. 有一菲涅耳棱体（见图 10-21），其折射率为 1.5，入射线偏振光的电矢量与入射面（即 图面）成 45度角，求（1）棱体的顶角 取多大时，能使从棱体射出圆偏振光？（2）若棱 体的折射率为 1.49，能否产生圆偏振光？ 解：         2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 cos sin 8 sin 53 15' 50 13' 2 , 2 1 sin 0 2 sin sin 2 sin 1 m n c tg n n nd tg d n n n                                   因为入射光的振动方向与入射面夹角为45 ，所以S波与P波的振幅 相同，所以只需两次全反射使S、P拨相位差为 即可，那么每次反射 2 产生的相位差为 ，有tg 2 得 或 对于固定的 必定有极大值，将上式对 求导 得 存 21 1 0.4094 2 2 1.49 44.32 , 4 m m n tg n n                 在极大值， 不可能产生圆偏振光 23. 又旋圆偏振光以 50 度角入射到空气-玻璃界面（玻璃折射率为 1.5），试决定放射波和 工程光学习题解答 透射波的偏振状态。 解：入射为右旋圆偏振光，如图，可写为 cosEs a t cos sin 2 Ep a t a t            若设 1.5n 波 ，则布儒斯特角 56B  ，所以反射光中 S波与 P波均存在。有 ' sin 2 ' sin s s s s s s p p E r E r E r a t Ep r Ep r a t                  ∴ 'Es 比 'Ep 落后 2  相位，且有 s pr r ∴反射光为左旋椭圆偏振光 对于透射光 '' cos '' cos 2 s s p p P p Es t Es t a t E t E t a t               ∵ s pt t ∴投射光为右旋椭圆偏振光。 24. 确 定 其 正 交 分 量 由 下 面 两 式 表 示 的 光 波 的 偏 振 态 ： 0 0 5 ( , ) cos( ), ( , ) cos[ ( ) ] 4 x y z z E z t x A t E z t y A t c c       解：对于合成波有 1 2 1 2 5 5 , 0, , 4 4 a a A          ∴方位角 1 2 2 2 1 2 2 3 2 cos , 4 a a tg a a         又∵ 2 sin 2 sin 2 sin 2 1,( 2 1 2 tg            略） ∵ 0tg  ∴为右旋 又设长短轴为 1 2,A A ∴ 2 1 2 1 A A    （1） 且有 2 2 21 2 2A A A  （2） ∴ 1 21.71 , 0.29A A A A  工程光学习题解答 25. 真 空 中 沿 z 方 向 传 播 的 两 个 单 色 光 波 为 1 2cos 2 ( ), cos[2 ( ) ] ( ) z z E a vt E a v v t           ， 若 1 4 81 0 0 / , 6 1 0 , 1 0 ,a v m H Z H Z      试求合成波在 0, 1z z m  和 1.5z m 各处的 强度随时间的变化关系。若两波频率差 83 10 HZ   ，试求合成波振幅变化和强度变化 的空间周期。 解：令    1 2 1 2 2 2 2 , 2 , ,k k                  则  1 1 1cosE a k z t   2 2 2cosE a k z t  则合成波强度  2 24 cos m mI a t k z  其中   81 2 1 2 10 2 2 m rad                11 2 2 3 m k k k m    ∴ I ∝ 4 2 84 10 cos 10 3 t z          0z  时 I∝ 4 2 84 10 cos [10 ] 3 t    1z  时 I∝ 4 2 84 10 cos 10 t 1.5z  时 I∝ 4 2 84 10 cos [10 ] 2 t    若 83 10 Hz   83 10m rad   1 mk m    142 12 10 rad       6 14 10k m  工程光学习题解答 ∴    2 cos cosm mE a k z t kz t       8 6 142 cos 3 10 cos 4 10 12 10a z t z z        空间周期为2m  2 24 cos m mI a t k z   4 2 84 10 cos 3 10z t     空间周期为1m 26. 试计算下列各情况的群速度：（1） 2 g    （深水波，g为重力加速度）；（2） 2 T    （浅水波，T为表面张力，  为质量密度）。 解：群速度 g dv v v d     （1） 1 2 1 2 22 2 g dv vg v g v d           （2） 1 3 2 2 2 1 2 3 2 2 g T dv T v v v d                27. 试求图 10-43所示的周期性矩形波的傅里叶级数表达式，并绘出其频谱图。 解：周期性矩形波为偶函数，所以 0nB   2 40 2 4 1 1 2 A E z dz dz             4   4   Z E(z) 图 10-43 习题 27 图 工程光学习题解答  2 4 2 4 2 2 2 cos cos sin 2 u n A E z nkzdz nkzdz n              即 1 2 3 4 2 2 , 0, , 0A A A A        …………………     1 1 cos cos3 cos5 cos7 .............. 2 f z kz kz kz kz        图略 28. 求图 10-44所示周期性三角波的傅里叶 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 表达式，并绘出其频谱图。 解：偶函数 0nB   2 20 0 2 1 2 4 A E z dz zdz              2 2 2 20 2 2 4 cos cos cos 1uA E z nkzdz z nkzdz n n              即 41 2 32 2 2 2 , 0, , 0 9 A A A A           ……………………   2 2 2 2 1 1 cos cos3 cos5 .............. 4 3 5 f z kz kz kz              29. 试求图 10-45所示的矩形脉冲的傅里叶变换，并绘出其频谱图。 E(Z)  2    2  Z 图 10-44 习题 28 图 -L L Z E(z) 1 图 10-45 习题 29 图 工程光学习题解答 解：     2 2 sin 2 sin L ikz ikz L L A k f z e dz e dz kL L c k                    30. 试求图 10-46所示的三角形脉冲的傅里叶变换。 解：       cos sinikzA k f z e dz f z kz i kz dz              0 cos 2 L f z kzdz f z          2 2 20 2 1 2 cos 1 cos sin L z L kzdz kL L c k               31. 氪同位素 86Kr 放电管发出的波长 605.7nm  的红光是单色性很好的光波，其波列长 度约为700mm，试求该波的波长宽度和频率宽度。 解： 2 4 6 2 605.7 5.24 10 2 700 10 nm L         c          4 9 95.24 10 10 0.43 10 605.7 Hz             Z E(z) -L L 0 L 图 10-46 习题 30 图 工程光学习题解答 32. M1、M2 是两块平行放置的玻璃片(n=1.50)，背面涂黑。一束自然光以 角入射到 M1上的 A点，反射至 M2上的 B点，再出射。试确定 M2以 AB为轴旋转一周时，出射光强的 变化规律。 解 由题设条件知，两镜的入射角 均为 ，且有 对于 M1，有 由于是自然光入射，p、s分量无固定相位关系，光强相等，故 式中，I0是入射自然光强；I1是沿 AB的反射光强，反射光是垂直于图面振动的线偏振光。 对于 M2，假设在绕 AB轴旋转的任一位置上，入射面与图面的夹角为 ，则沿 AB的入 射光可以分解为 p分量和 s分量，它们之间有一定位相差，其振幅为 由于此时的入射角也为 ，所以： 因此，自 M2出射光的振幅为 即自 M2出射光的强度为： 结论：出射光强依 M2相对于 M1的方位变化，符合马吕斯（Malus）定律。 1 B   69.3390 31.56tan 2 1 21 1    B B n n   1479.0] )sin( )sin( [)( 0)( 2 21 212 2          ss pp r r 0 1074.0)( 2 1 I I sp      cos sin 1 1 IE IE s p   B 3846.0 )sin( )sin( 0 21 21        s p r r cos)3846.0( 0 1 ' ' IErE E sss p   20 2' 2 cos011.0)( IEI s  B