人教版高中数学《三角函数》全部教案

第四章 三角函数 第一教时 教材：角的概念的推广 目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 过程：一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1． 回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2． 讲解：“旋转”形成角（P4） 突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于 轴正半轴 3． “正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角 或 可以简记成 4． 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1( 角有正负之分 如：(=210( (=(150( (=(660( 2( 角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360(×2=720(） 3周（360(×3=1080(） 3( 还有零角 一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：30( 390( (330(是第Ⅰ象限角 300( (60(是第Ⅳ象限角 585( 1180(是第Ⅲ象限角 (2000(是第Ⅱ象限角等 四、关于终边相同的角 1．观察：390(，(330(角，它们的终边都与30(角的终边相同 2．终边相同的角都可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成一个0(到360(的角与 个周角的和 390(=30(+360( (330(=30((360( 30(=30(+0×360( 1470(=30(+4×360( (1770(=30((5×360( 3．所有与(终边相同的角连同(在内可以构成一个集合 即：任何一个与角(终边相同的角，都可以表示成角(与整数个周角的和 4．例一 （P5 略） 五、小结： 1( 角的概念的推广 用“旋转”定义角 角的范围的扩大 2(“象限角”与“终边相同的角” 六、作业： P7 练习1、2、3、4 习题1.4 1 第三教时 教材：弧度制 目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集 一一对应关系的概念。 过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。 二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 如图：(AOB=1rad (AOC=2rad 周角=2(rad 1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2． 角(的弧度数的绝对值 （ 为弧长， 为半径） 3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 三、角度制与弧度制的换算 抓住：360(=2(rad ∴180(=( rad ∴ 1(= 例一 把 化成弧度 解： ∴ 例二 把 化成度 解： 注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 用表》进行； 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sin(表示(rad角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表） 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 任意角的集合 实数集R 四、练习（P11 练习1 2） 例三 用弧度制表示：1(终边在 轴上的角的集合 2(终边在 轴上的角的集合 3(终边在坐标轴上的角的集合 解：1(终边在 轴上的角的集合 2(终边在 轴上的角的集合 3(终边在坐标轴上的角的集合 例四 老《精编》P118-119 4、5、6、7 五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 六、作业： 课本 P11 练习 3、4 P12习题4.2 2、3 第四教时 教材：弧度制（续） 目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。 过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。 口答《教学与测试》P101-102练习题 1—5 并注意紧扣，巩固弧度制的概念，然后再讲P101例二 二、由公式： 比相应的公式 简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 例一 （课本P10例三） 利用弧度制证明扇形面积公式 其中 是扇形弧长， 是圆的半径。 证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为： 弧长为 的扇形圆心角为 ∴ 比较这与扇形面积公式 要简单 例二 《教学与测试》P101例一 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴ ⑵ 解： ⑴： ⑵： ∴ 例三 如图，已知扇形 的周长是6cm，该扇形 的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 解：设扇形的半径为r，弧长为 ，则有 ∴ 扇形的面积 例四 计算 解：∵ ∴ ∴ 例五 将下列各角化成0到 的角加上 的形式 ⑴ ⑵ 解： 例六 求图中公路弯道处弧AB的长 （精确到1m） 图中长度单位为：m 解： ∵ ∴ 三、练习：P11 6、7 《教学与测试》P102 练习6 四、作业： 课本 P11 -12 练习8、9、10 P12-13 习题4.2 5—14 《教学与测试》P102 7、8及思考题 第五教时 教材：任意角的三角函数（定义） 目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解(角与(=2k(+((k(Z)的同名三角函数值相等的道理。 过程：一、提出课题：讲解定义： 1． 设(是一个任意角，在(的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y） 则P与原点的距离 （图示见P13略） 2．比值 叫做(的正弦 记作： 比值 叫做(的余弦 记作： 比值 叫做(的正切 记作： 比值 叫做(的余切 记作： 比值 叫做(的正割 记作： 比值 叫做(的余割 记作： 注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当(=2k(+((k(Z)时，(与(的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 ②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说明） ③三角函数是以“比值”为函数值的函数 ④ ，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专题研究） ⑤定义域： 二、例一 已知(的终边经过点P(2,(3)，求(的六个三角函数值 解： ∴sin(=( cos(= tan(=( cot(=( sec(= csc(=( 例二 求下列各角的六个三角函数值 ⑴ 0 ⑵ ( ⑶ EMBED Equation.3 ⑷ 解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17 ⑷ 当(= 时 ∴sin =1 cos =0 tan 不存在 cot =0 sec 不存在 csc =1 例三 《教学与测试》P103 例一 求函数 的值域 解： 定义域：cosx(0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx(0 ∴x的终边不在y轴上 ∴当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 …………Ⅱ…………, |cosx|=(cosx |tanx|=(tanx ∴y=(2 …………ⅢⅣ………, |cosx|=(cosx |tanx|=tanx ∴y=0 例四 《教学与测试》P103 例二 ⑴ 已知角(的终边经过P(4,(3),求2sin(+cos(的值 ⑵已知角(的终边经过P(4a,(3a),(a(0)求2sin(+cos(的值 解：⑴由定义 ： sin(=( cos(= ∴2sin(+cos(=( ⑵若 则sin(=( cos(= ∴2sin(+cos(=( 若 则sin(= cos(=( ∴2sin(+cos(= 三、小结：定义及有关注意内容 四、作业： 课本 P19 练习1 P20习题4.3 3 《教学与测试》P104 4、5、6、 7 第六教时 教材：三角函数线 目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。 过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值” 二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义： 用单位圆中的线段表示三角函数值 三、新授： 2． 介绍（定义）“单位圆”—圆心在原点O，半径等于单位长度的圆 3． 作图：（课本P14 图4-12 ） 此处略 …… …… ……… …… …… 设任意角(的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，角(的终边也与单位圆交于P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B两点 过P(x,y)作PM(x轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线，与(角的终边或其反向延长线交于T，过点B(0,1)作单位圆的切线，与(角的终边或其反向延长线交于S 4． 简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示） “有向线段”（带有方向的线段） 方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。 例：有向线段OM，OP 长度分别为 当OM=x时 若 OM看作与x轴同向 OM具有正值x 若 OM看作与x轴反向 OM具有负值x 5． 有向线段MP,OM,AT,BS分别称作 (角的正弦线,余弦线,正切线,余切线 四、例一．利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1( 与 2( tan 与tan 3( cot 与cot 解： 如图可知： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 tan EMBED Equation.3 tan cot cot 例二 利用单位圆寻找适合下列条件的0(到360(的角 1( sin(≥ 2( tan( EMBED Equation.3 解： 1( 2( 30(≤(≤150( 30( ( 90(或210( ( 270( 例三 求证：若 时，则sin(1 sin(2 证明： 分别作(1,(2的正弦线x的终边不在x轴上 sin(1=M1P1 sin(2=M2P2 ∵ ∴M1P1 M2P2 即sin(1 sin(2 五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线 六、作业： 课本 P15 练习 P20习题4.3 2 补充：解不等式：( ) 1(sinx≥ 2( tanx 3(sin2x≤ 第七教时 教材：三角函数的值在各象限的符号 目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。 过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值 二、提出课题 然后师生共同操作： 1． 第一象限： ∴sin( 0,cos( 0,tan( 0,cot( 0,sec( 0,csc( 0 第二象限： ∴sin( 0,cos( 0,tan( 0,cot( 0,sec( 0,csc( 0 第三象限： ∴sin( 0,cos( 0,tan( 0,cot( 0,sec( 0,csc( 0 第四象限： ∴sin( 0,cos( 0,tan( 0,cot( 0,sec( 0,csc( 0 记忆法则： 为正 全正 为正 为正 2． 由定义：sin((+2k()=sin( cos((+2k()=cos( tan((+2k()=tan( cot((+2k()=co( sec((+2k()=sec( csc((+2k()=csc( 三、例一 （P18例三 略） 例二 （P18例四）求证角(为第三象限角的充分条件是 证：必要性： 若(是第三象限角，则必有sin( 0,tan( 0 充分性： 若⑴ ⑵ 两式成立 ∵若sin( 0 则(角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于y轴的非正半轴 若tan( 0，则角(的终边可能位于第一或第三象限 ∵⑴ ⑵ 都成立 ∴(角的终边只能位于第三象限 ∴角(为第三象限角 例三 （P19 例五 略） 四、练习： 1． 若三角形的两内角(，(满足sin(cos( 0，则此三角形必为…………（B） A：锐角三角形 B：钝角三角形 C：直角三角形 D：以上三种情况都可能 2． 若是第三象限角，则下列各式中不成立的是……………………………（B） A：sin(+cos( 0 B：tan((sin( 0 C：cos((cot( 0 D：cot(csc( 0 3． 已知(是第三象限角且 ，问 是第几象限角？ 解：∵ ∴ 则 是第二或第四象限角 又∵ 则 是第二或第三象限角 ∴ 必为第二象限角 4． 已知 ，则(为第几象限角？ 解： 由 ∴sin2( 0 ∴2k( 2( 2k(+( ∴k( ( k(+ ∴(为第一或第三象限角 五、小结：符号法则，诱导公式 六、作业： 课本 P19 练习4,5,6 P20-21习题4.3 6-10 第八教时 教材：同角三角函数的基本关系 目的：要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正确运用进行三角函数式的求值运算。 过程： 1、 复习任意角的三角函数的定义： 计算下列各式的值： 二、1．导入新课：引导学生观察上述题目的结果（并像公式“方向”引导） 引导猜想： 2．理论证明：（采用定义） 3．推广：这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有： 这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有： 这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有： 4．点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。 5．注意： 1(“同角”的概念与角的表达形式无关， 如： 2(上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。 3(据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。 3、 例题： 例一、（课本P25 例一） 略 注：已知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。 例二、（课本P25 例二） 略 注：根据已知的三角函数值可以分象限讨论。 例三、（课本P25 例三） 略 实际上： 即 而 4、 小结：三种关系，八个公式 5、 作业：P27 练习 1—4 P27—28 习题4．4 1—4 第九教时 教材：同角三角函数的基本关系(2)——求值 目的：要求学生能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧。 过程： 2、 复习同角的三角函数的基本关系： 练习：已知 解：若(在第一、二象限，则 若(在第三、四象限，则 6、 例一、（见P25 例四）化简： 解：原式 例二、已知 ，求 解： 强调（指出）技巧：1(分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式 2(“化1法” 例三、已知 ，求 解：将 两边平方，得： 例四、已知 解：由题设： ∴ ( ) 例五、已知 ，求 解：1( 由 由 联立： EMBED Equation.3 2( 例六、已知 求 解：∵sin2( + cos2( = 1 ∴ 化简，整理得： 当m = 0时， 当m = 8时， 7、 小结：几个技巧 8、 作业：《课课练》P12 例题推荐 1、2、3 P13 课时练习 6、7、8、9、10 P14 例题推荐 1 《精编》P35 14 第十教时 教材：同角三角函数的基本关系(3)——证明 《教学与测试》第50课 目的：运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。 过程： 3、 复习同角的三角函数的基本关系： 例：（练习、《教学与测试》P25 例一） 已知 ，求 解： 即： 9、 提出课题：利用同角的三角函数的基本关系证明三角恒等式（或化简） 例一、（见P25 例四）化简： 解：原式 例二、已知 （《教学与测试》例二） 解： （注意象限、符号） 例三、求证： （课本P26 例5） 证一： （利用平方关系） 证二： （利用比例关系） 证三： （作差） 例三、已知方程 的两根分别是 ， 求 （《教学与测试》 例三） 解： （化弦法） 例四、已知 证：由题设： 例五、消去式子中的 解：由 由 （平方消去法） 例六、（备用）已知 解：由题设： ① ② ①/②： ③ ①+③： 10、 小结：几种技巧 11、 作业：课本P27 练习 5，6， P28 习题4.4 8，9 《教学与测试》P106 4，5，6，7，8，思考题 第十一教时 教材：诱导公式（1） 360( k + (, 180( ( (, 180( + (, 360( ( (, ( ( 目的：要求学生掌握上述诱导公式的推导过程，并能运用化简三角式，从而了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想。 过程： 1、 诱导公式的含义： 任意角的三角函数 0(到360(角的三角函数 锐角三角函数 2、 诱导公式 1． 公式1：（复习） 2． 对于任一0(到360(的角，有四种可能（其中(为不大于90(的非负角） （以下设(为任意角） 3． 公式2： 设(的终边与单位圆交于点P(x,y)，则180(+(终边与单位圆交于点P’(-x,-y) ∴ sin(180(+() = (sin(, cos(180(+() = (cos(. tan(180(+() = tg(, cot(180(+() = ctg(. sec(180(+() = (sec(, csc(180(+() = (csc( 4．公式3： 如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得： sin((() = (sin(, cos((() = cos(. tan((() = (tan(, cot((() = (cot(. sec((() = sec(, csc((() = (csc( 5． 公式4： sin(180((() = sin[180(+((()] = (sin((() = sin(, cos(180((() = cos[180(+((()] = (cos((() = (cos(, 同理可得： sin(180((() = sin(, cos(180((() = (cos(. tan(180((() = (tan(, cot(180((() = (cot(. sec(180((() = (sec(, csc(180((() = csc( 6．公式5： sin(360((() = (sin(, cos(360((() = cos(. tan(360((() = (tan(, cot(360((() = (cot(. sec(360((() = sec(, csc(360((() = (csc( 三、小结：360( k + (, 180( ( (, 180( + (, 360( ( (, ( (的三角函数值等于(的同名三角函数值再加上一个把(看成锐角时原函数值的符号 4、 例题：P29—30 例一、例二、例三 P31—32 例四、例五、例六 略 5、 作业：P30 练习 P32 练习 P33 习题4.5 第十二教时 教材：诱导公式（2） 90( k ± (, 270( ± (, 目的：能熟练掌握上述诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会另外四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。 过程： 3、 复习诱导公式一至五： 练习：1．已知 解： 2．已知 解： 4、 诱导公式 1． 公式6：（复习） 2． 公式7： 如图，可证： 则 sin(90( +() = M’P’ = OM = cos( cos(90( +() = OM’ = PM = (MP = (sin( 从而： 或证：sin(90( +() = sin[180(( (90( (()] = sin(90( (() = cos( cos(90( +() = cos[180(( (90( (()] = (sin(90( (() = (cos( 3． 公式8：sin(270( (() = sin[180(+ (90( (()] = (sin(90( (() = (cos( （其余类似可得， 学生自己完成） 4． 公式9： （学生证明） 三、小结：90(± (, 270( ± (的三角函数值等于(的余函数的值，前面再加上一个把(看成锐角时原函数值的符号 6、 例一、 证： 左边 = 右边 ∴等式成立 例二、 解： 例三、 解： 从而： 例四、 解： 7、 作业：1. 2. 《课课练》P16—17 课时9 例题推荐 1—3 练习 6—10 第十三教时 教材：诱导公式(3)——综合练习 目的：通过复习与练习，要求学生能更熟练地运用诱导公式，化简三角函数式。 过程： 4、 复习：诱导公式 12、 例一、（《教学与测试》 例一）计算：sin315((sin((480()+cos((330() 解：原式 = sin(360((45() + sin(360(+120() + cos((360(+30() = (sin45( + sin60( + cos30( = 小结：应用诱导公式化简三角函数的一般步骤： 1(用“( (”公式化为正角的三角函数 2(用“2k( + (”公式化为[0，2(]角的三角函数 3(用“(±(”或“2( ( (”公式化为锐角的三角函数 例二、已知 （《教学与测试》例三） 解： 小结：此类角变换应熟悉 例三、求证： 证：若k是偶数，即k = 2 n (n(Z) 则： 若k是奇数，即k = 2 n + 1 (n(Z) 则： ∴原式成立 小结：注意讨论 例四、已知方程sin(( ( 3() = 2cos(( ( 4()，求 的值。 （《精编》 38例五） 解： ∵sin(( ( 3() = 2cos(( ( 4() ∴( sin(3( ( () = 2cos(4( ( () ∴( sin(( ( () = 2cos(( () ∴sin( = ( 2cos( 且cos( ( 0 ∴ 例五、已知 （《精编》P40 例八） 解：由题设： 由此：当a ( 0时，tan( < 0, cos( < 0, (为第二象限角， 当a = 0时，tan( = 0, ( = k(, ∴cos( = ±1， ∵ ∴cos( = (1 , 综上所述： 例六、若关于x的方程2cos2(( + x) ( sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。 解：原方程变形为：2cos2x ( sinx + a = 0 即 2 ( 2sin2x ( sinx + a = 0 ∴ ∵( 1≤sinx≤1 ∴ ； ∴a的取值范围是[ ] 13、 作业：《教学与测试》P108 5—8，思考题 《课课练》P46—47 23，25，26 第十三教时 教材：单元复习 目的：复习整节内容，使其逐渐形成熟练技巧,为继续学习以后的内容打下基础。 过程： 5、 复习：梳理整节内容： 14、 处理《教学与测试》P109 第52课 略 1．“基础训练题” 1—4 2．例题 1—3 3．口答练习题 1，2 15、 处理《课课练》P20 第11课 1．“例题推荐” 1—3 注意采用讲练结合 2．口答“课时练习” 1—4 16、 备用例题： 《精编》P40—41 例九，例十一 a) 已知sin(( ( () ( cos(( + () = (0<(<()，求sin(( + () + cos(2( ( ()的值 解：∵sin(( ( () ( cos(( + () = 即：sin ( + cos ( = ① 又∵0< <1，0<(<( ∴sin(>0, cos(<0 令a = sin(( + () + cos(2( ( () = ( sin( + cos( 则 a<0 由①得：2sin(cos( = b) 已知2sin(( ( () ( cos(( + () = 1 (0<(<()，求cos(2( ( () + sin(( + ()的值 解：将已知条件化简得：2sin ( + cos ( = 1 ① 设cos(2( ( () + sin(( + () = a , 则 a = cos ( ( sin ( ② ①②联立得： ∵sin2( + cos2( = 1 ∴ ∴5a2 + 2a ( 7 = 0, 解之得：a1 = , a2 = 1(舍去)(否则sin( = 0, 与0<(<(不符) ∴cos(2( ( () + sin(( + () = 17、 作业：《教学与测试》P109—110 练习题3—7 《课课练》P21 课时练习 8—10 第十五教时 教材：两角和与差的余弦（含两点间距离公式） 目的：首先要求学生理解平面上的两点间距离公式的推导过程，熟练掌握两点间距离公式并由此推导出两角和与差的余弦公式，并能够运用解决具体问题。 过程：一、提出课题：两角和与差的三角函数 二、平面上的两点间距离公式 5． 复习：数轴上两点间的距离公式 2．平面内任意两点 ， 间的距离公式。 从点P1,P2分别作x轴的垂线P1M1,P2M2与x轴交于点M1(x1,0),M2(x2,0) 再从点P1,P2分别作y轴的垂线P1N1,P2N2与y轴交于点N1,N2 直线P1N1,P2N2与相交于Q点则：P1Q= M1M2=|x2-x1| Q P2= N1N2=|y2-y1| 由勾股定理： 从而得 ， 两点间的距离公式： 3．练习：已知A(-1,5),B(4,-7) 求AB 解： 三、两角和与差的余弦 含意：cos((±()用(、(的三角函数来表示 1．推导：(过程见 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 上P34-35) cos((+()=cos(cos((sin(sin( ① 熟悉公式的结构和特点； 嘱记 ②此公式对任意(、(都适用 ③公式代号C(+( 6． cos(((()的公式，以((代(得： cos(((()=cos(cos(+sin(sin( 同样，嘱记，注意区别，代号C((( 四、例一 计算① cos105( ②cos15( ③cos cos (sin sin 解：①cos105(=cos(60(+45()=cos60(cos45((sin60(sin45( = ②cos15( =cos(60((45()=cos60(cos45(+sin60(sin45( = ③cos cos (sin sin = cos( + )=cos =0 例二 《课课练》P22 例一 已知sin(= ，cos(= 求cos(((()的值。 解：∵sin(= >0，cos(= >0 ∴(可能在一、二象限，(在一、四象限 若(、(均在第一象限，则cos(= ，sin(= cos(((()= 若(在第一象限，(在四象限，则cos(= ，sin(=( cos(((()= 若(在第二象限，(在一象限，则cos(=( ，sin(= cos(((()= 若(在第二象限，(在四象限，则cos(=( ，sin(=( cos(((()= 五、小结：距离公式，两角和与差的余弦 六、作业： P38-39 练习2中(3)(4) 3中(2)(3) 5中(2)(4) P40-41 习题4.6 2中(2)(4) 3中(3)(4)(6) 7中(2)(3) 补充：1．已知cos(((()= 求(sin(+sin()2+(cos(+cos()2的值。 2．sin((sin(=( ，cos((cos(= ，(((0, ),(((0, ),求cos(((()的值 第十六教时 教材：两角和与差的正弦 目的：能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。 过程：一、复习：两角和与差的余弦 练习：1．求cos75(的值 解：cos75(=cos(45(+30()=cos45(cos30((sin45(sin30( = 2．计算：1( cos65(cos115((cos25(sin115( 2( (cos70(cos20(+sin110(sin20( 解：原式= cos65(cos115((sin65(sin115(=cos(65(+115()=cos180(=(1 原式=(cos70(cos20(+sin70(sin20(=(cos(70(+20()=0 3．已知锐角(,(满足cos(= cos((+()= 求cos(. 解：∵cos(= ∴sin(= 又∵cos((+()= <0 ∴(+(为钝角 ∴sin((+()= ∴cos(=cos[((+()((]=cos((+()cos(+sin((+()sin( = （角变换技巧） 二、两角和与差的正弦 7． 推导sin((+()=cos[ (((+()]=cos[( (()((] =cos( (()cos(+sin( (()sin(=sin(cos(+cos(sin( 即： sin((+()=sin(cos(+cos(sin( （S(+(） 以((代(得： sin(((()=sin(cos((cos(sin( （S(((） 8． 公式的分析，结构解剖，嘱记 9． 例一 不查表，求下列各式的值： 1( sin75( 2( sin13(cos17(+cos13(sin17( 解：1(原式= sin(30(+45()= sin30(cos45(+cos30(sin45( = 2(原式= sin(13(+17()=sin30(= 例二 求证：cos(+ sin(=2sin( +() 证一：左边=2( cos(+ sin()=2(sin cos(+cos sin() =2sin( +()=右边 （构造辅助角） 证二：右边=2(sin cos(+cos sin()=2( cos(+ sin() = cos(+ sin(=左边 例三 〈精编〉P47-48 例一 已知sin((+()= ,sin(((()= 求 的值 解： ∵sin((+()= ∴sin(cos(+cos(sin(= ① sin(((()= ∴sin(cos((cos(sin(= ② ①+②：sin(cos(= ①(②：cos(sin(= 三、小结：两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用公式” 四、作业： P38 练习2中①② 3中① 5中①③ P40-41 习题4.6 2中①③ 3中①②⑤⑦⑧ 7中①④⑤ 〈精编〉P60-61 2、3、4 第十七教时 教材：两角和与差的正切 目的：要求学生能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式。 过程：一、复习：两角和与差的正、余弦公式C(+( ,C((( ,S(+( ,S((( 练习：1．求证：cosx+sinx= cos(x ) 证：左边= ( cosx+ sinx)= ( cosxcos +sinxsin ) = cos(x )=右边 又证：右边= ( cosxcos +sinxsin )= ( cosx+ sinx) = cosx+sinx=左边 2．已知 ，求cos(((() 解： ①2: sin2(+2sin(sin(+sin2(= ③ ②2: cos2(+2cos(cos(+cos2(= ④ ③+④: 2+2(cos(cos(+sin(sin()=1 即：cos(((()= 二、两角和与差的正切公式 T(+( ,T((( 10． tan((+()公式的推导（让学生回答） ∵cos ((+()(0 tan((+()= 当cos(cos((0时 分子分母同时除以cos(cos(得： 以((代(得： 2．注意：1(必须在定义域范围内使用上述公式。即：tan(，tan(，tan((±()只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。 2(注意公式的结构，尤其是符号。 3．引导学生自行推导出cot((±()的公式—用cot(，cot(表示 cot((+()= 当sin(sin((0时 cot((+()= 同理，得：cot(((()= 3、 例一求tan15(，tan75(及cot15(的值： 解：1( tan15(= tan(45((30()= 2( tan75(= tan(45(+30()= 3( cot15(= cot(45((30()= 例二 已知tan(= ，tan(=(2 求cot(((()，并求(+(的值，其中0(<(<90(, 90(<(<180( 。 解：cot(((()= ∵ tan((+()= 且∵0(<(<90(, 90(<(<180( ∴90(<(+(<270( ∴(+(=135( 例三 求下列各式的值：1( 2(tan17(+tan28(+tan17(tan28( 解：1(原式= 2( ∵ ∴tan17(+tan28(=tan(17(+28()(1(tan17(tan28()=1( tan17(tan28( ∴原式=1( tan17(tan28(+ tan17(tan28(=1 四、小结：两角和与差的正切及余切公式 五、作业： P38-39 练习2中 P40-41 习题4.6 1-7中余下部分 及9 第十八教时 教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑴ 目的：通过例题的讲解，使学生对上述公式的掌握更加牢固，并能逐渐熟悉一些解题的技巧。 过程：一、复习：1(两角和与差的正、余弦、正切公式 2(处理（以阅读、提问为主）课本P36-38例一、例二、例三 二、关于辅助角问题 例一 化简 解：原式= 或解：原式= 例二 《教学与测试》P111 例2 已知 ，求函数 的值域 解： ∵ ∴ ∴ ∴函数y的值域是 4、 关于角变换 例三 已知 ， 求 的值 解：∵ 即： ∵ ∴ 从而 而： ∴ 例四 《教学与测试》P111例3 已知 求证tan(=3tan((+() 证：由题设： 即： ∴ ∴tan(=3tan((+() 例五 《精编》P48-49 例三 已知 ， ， ，求sin2(的值 解：∵ ∴ ∴ ∴ 又： ∴ ∴sin2(= = 四、小结： 五、作业：课本 P41-42 9-17 第十九教时 教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑵ 目的：通过例题的讲解，增强学生利用公式解决具体问题的灵活性。 过程：一、公式的应用 例一 在斜三角形△ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC 证一：在△ABC中，∵A+B+C=( ∴A+B=((C 从而有