数学应用欣赏

null数学的文化价值 数学的文化价值 中国科学院数学与系统科学研究院 李文林 数学为人类提供精密思维的模式数学为人类提供精密思维的模式数学是基础学科，是关于数量关系和空间形式的科学，即关于数与形的学问,而数与形可以说无所不在, 这就是为什么数学正空前广泛地向几乎一切人类知识和活动领域渗透，对此我们后面会有更多的讨论。现在首先要强调的是，除了数学知识的直接广泛的应用，数学对于人类社会还有一个重要的文化功能，就是培养发展人的思维能力特别是精密思维能力。一个人不管将来从事何种职业，思维能力都可以说是无形的财富，而这种能力的培养又不是一朝一夕之功，必须有长时期的磨练。数学, 正像人们常说的那样, 是训练思维的体操。null那么什么是数学思维或精密思维呢？数学思维包括很多方面，但概括地和通俗地说，数学思维最基本的两大方面应该是“证”和“算”，“证”就是逻辑推理与演绎证明；“算”就是算法构造与计算，二者对人类精密思维的发展都不可或缺。对“算”大家可能比较容易感受。我们在生活或工作中遇到问题常常会说需要“算一算”，数学家则更是追求解决问题的一般模式或者说一般算法。从简单的三角形面积算法到描述各种自然和社会现象的复杂的方程的求解，定量化的方法已经渗透到各行各业。null这里主要说一说“证”。从几条不言自明的公理出发，通过逻辑的链条，推导出成百上千条定理。这种思维模式是古希腊欧几里得的几何《原本》(图1)首先开创树立的。这本两千多年前的系统论著是数学史上的第一座理论丰碑，其最大功绩是确立了数学中的演绎论证范式。它把“凡直角都彼此相等”或“等量加等量和相等”这样的几条公设或公理作为全书推理的出发点，这些公设或公理都是些不证自明的基本原理。这是历史上第一个数学公理体系，为人们提供了一个知识条理化和严密化的范本，成为在整个科学史上流传最广的著作之一，因而被誉为西方科学的“圣经”。中国明朝学者徐光启翻译了《原本》前6卷，并高度评价该书：“此书有四不必：“不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。有三至三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已。”null“于前后更置之不可得”就是说，推理的步骤从前一步到后一步，是不能掉换的。这是演绎推理的基本精神，是古希腊人为研究几何发展出来的思维方法。杨振宁教授在香港的一次演讲中指出，西方从牛顿开始才真正了解了这个逻辑方法，并把它纳入他们的自然哲学里。中国传统文化中的“理”就指自然规律，但中国人探索自然规律只用归纳法。我们大家在初中念几何就学会的推演方法是“舶来品”。中国传统文化中没有这种逻辑系统，第一次涉猎的便是1607年徐光启与利玛窦翻译的《原本》前六卷，虽然时间上比牛顿《原理》的出版还早了80年，而且如今的许多几何术语源自这次翻译，但总体对逻辑精神在中国传统文化的影响作用不大。中国文化中的这种欠缺从反面说明了数学培养人的思维模式的重要意义。但《原本》在西方文化中的影响所及远远超出了数学乃至科学的领域，对人类社会的进步和发展有不可估量的作用。null举一个大家比较感兴趣的例子。法国大革命形成两部基础文献《人权宣言》和《法国宪法》，是资产阶级民主革命思想的结晶。《人权宣言》开明宗义说： “组成国民议会的法国人民的代表们,…决定把自然的、不可剥夺的和神圣的人权阐明于庄严的宣言之中，以便…公民们今后以简单而无可争辩的原则为根据的那些要求能经常针对着宪法与全体幸福之维护。” null而后来(1791年)公布的《法国宪法》又将《人权宣言》置于篇首作为整部宪法的出发点。null无独有偶，美国独立战争所产生的《独立宣言》开头也说(图3)： “我们认为下述真理乃是不言而喻的：人人生而平等，造物主赋予他们若干固有而不可让与的权利，其中包括生存权、自由权以及谋求幸福之权。”null这个宣言试图向人们“证明”美国人民反抗大英帝国的独立战争是公正合理的：不仅所有的直角都相等，而且“所有的人生来都是平等的”，这是不证自明的真理。因此，如果任何一届政府违背这些先决条件，“人民就有权撤换或废除它”。英国国王乔治的政府不履行这些条款，“我们就从正当的权利出发，宣布这些联合起来的殖民地是自由的和独立的国家。”null这样的政治宣言无疑渗透了欧几里得几何的基本思想，把大家认为“简单而无可争辩的原则”和“不言而喻的真理”作为出发点，用数学的语言，就是先确定几条公理。显然，领导法国大革命和美国独立战争的思想家、政治家们都接受了欧几里得数学思维的影响。事实上，有记载说美国南北战争时期的总统林肯“相信思维能力像肌肉一样也可以通过严格的锻炼而得到加强…为此他想方设法搞到了一本欧几里得的《原本》并下决心亲自证明其中的一些定理，1860年他还自豪地报告说他已基本掌握了《原本》的前六卷”。null十八世纪马尔萨斯的“人口论”里也体现了欧几里得的演绎模式。他把下面两个公设作为其人口理论的出发点：人需要食品；人的生育能力不变。然后，他对人口增长和食品供求增长进行分析并建立了该理论的数学模型。［2］人们只要承认他的理论前提，并且挑不出论述的逻辑推理错误，就不能不赞同他的理论思想。借用数学的理性精神，马氏无疑增强了 “人口论”的说服力。因此，这套人口理论对世界许多国家的人口政策甚至其他的基本国策都产生了很大的影响。这样的例子在自然科学和社会科学中不胜枚举。null牛顿所创立的经典力学，就是一个仿照欧几里得的几何《原本》、并可以与其相媲美的逻辑演绎体系。他在《自然哲学的数学原理》中，首先提出了四条法则、八个原始定义、三条定律，然后通过严密的逻辑推理，得出了大至宇宙、小至沙粒的运动定律，成为科学理论体系的近代楷模。美国的政治先贤们都深受牛顿思想体系的影响，富兰克林、亚当斯、杰弗逊都习惯于用牛顿的力学理论模式来考虑政治平衡。古典经济学家亚当·斯密，马尔萨斯，李嘉图都认为自己是像牛顿那样的科学家。马克思曾研究过他们的学说，并称赞李嘉图“具有科学的诚实”。[24]null爱因斯坦的狭义相对论中的公理只有两条：1）相对性原理；2）光速不变原理：在任何给定的惯性系统中，无论发光物体是处于静止状态还是在作匀速运动，光在真空中的传播速度都是一个确定值。从这两条原理构成的公理化演绎体系出发，推演出时空的相对性，运动物体的空间收缩和时间变慢，质量增加效应等。这给牛顿的绝对时空观以有力的批判，打开了认识单个高速物体的各种内在性质和运动规律的大门，谱写了物理学的新篇章。 null为了进一步搞清楚惯性质量和引力质量的关系，克服狭义相对论的种种局限性（如惯性系的优越性，速度是相对的但加速度是绝对的等等。）爱因斯坦推广了相对性原理，要求“普遍的自然律是由那些对一切坐标系都有效的方程来表示的，就是说，它们对于无论哪种坐标变换都是协变的。”这个广义相对性原理也叫广义协变原理。以此作为新公理，他又建立了广义相对论的物理体系。可见公理的选择也是理论创新的关键。null又比如社会科学中，针对传统的行政理论认为政府官员是大公无私的利他主义者，公共选择学作出“经济人”假设，即人是自利的、理性的效用最大化者；而对立的梅奥学派提出“社会人”假设，建立了人际关系学派和行为科学理论。冠有“社会学之父”的荣誉称号的孔德，早在19世纪就遵循牛顿力学的方法来研究社会学，提出社会静力学和社会动力学的概念，主张在社会学中使用数学工具，他说：“社会学家也像其他人一样，唯有从数学中才能获得真正科学证明的意识，形成合理和决定性推理的习惯；……为了克服社会科学中的重大困难而接受并运用这种训练，正是社会学家必需向数学寻求的东西。” 孔德作为法国综合技术学校的毕业生，从前辈们那里受到了很好的数学训练。这种得天独厚的数学背景无疑影响到他的研究模式。正是他把全部科学分为三个层次：最原始的有数学和天文学，其次是中层的物理、化学和生物学，最后是复杂的社会学。孔德同时也是实证主义哲学派别的创始人，在十九世纪科学界影响巨大。null二战后的社会学有一个结构—功能学派影响最大，所用的数学工具已不是“算”的数学，而是具有结构数学思想的“证”的数学了。应用系统和结构的概念澄清了许多过去的糊涂概念，给社会学注入了科学性。就像自然科学中的力和能一样，一些基本概念用来探讨各种社会情况和社会类型，进而建立普遍的行为理论来分析所有的社会行为。社会学家就可以借此区分不同种类的行为，讨论其复杂程度，并对表面上不同的现象作适当的比较。null经济学号称是“社会科学的女皇”，不仅量化的内容很多，而且使用数学公理化方法和严格推理进行理论分析也已经司空见惯。事实上，数学公理化方法已成为经济学研究的基本方法。正如德布罗（Debreu）在他的诺贝尔经济学奖演说中所说：“坚持数学严格性，使公理化已经不止一次地引导经济学家对新研究的问题有更深刻的理解，并使适合这些问题的数学技巧用得更好。这就为向新方向开拓，建立了一个可靠的基地。它使研究者从必须推敲前人工作的每一细节的桎梏中解脱出来。严格性无疑满足了许多当代经济学家的智力需要，因此，他们为了自身的原因而追求它，但是作为有效的思想工具，它也是理论的标志。” null上述例子是很有代表性的，说明了数学公理化思维、逻辑论证思维对人类文化和社会进步的影响。null上面谈到的理性思维可以化归到数学精神的范畴，其实，数学精神是个更大的概念，可以包涵得更多，既有严谨、求实、可靠的精神，也有诚实、求是、公正的科学人文意义。在爱因斯坦眼里，“为什么数学比其他一切科学受到特殊尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的”，另一个理由是“数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的”。而当牛津大学法律系，或美国西点军校设制数学课时，他们更注重它的品格能使人杜绝偏见，客观公正，不屈服于权贵和权威，坚持原则，忠于真理，具有独立的人格，而不仅仅是数学在本专业领域的技术意义。这与培养社会、经济、政治人才的柏拉图学院门口竖着“不懂几何者不得入内”无疑具有异曲同工之效。null世界著名的智囊集团美国兰德公司总要聘用许多数学家为其服务。例如，声名赫赫的未来学家卡恩（H.Kahn,1922-1983）是一位运筹学专家。据统计，兰德公司有到的成员是学数学的。null冯·诺伊曼（von Neumann）在美国的原子能委员会以及各种基金会工作过，参与许多高级决策，以致后来流传一句话，重大事项得先问问冯·诺伊曼，这受人尊重的至少包含他的数学思维方式。 这些是不是足可说明数学思维，确切地说是数学精神，在人类文明发展中的无比重要性。 数学是其它科学的工具和语言数学是其它科学的工具和语言没有数学语言，宇宙似乎是不可描述的。 享有“近代自然科学之父”的伽利略认为，展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如果不掌握数学，就如同在黑暗的迷宫里游荡，什么也看不清楚。null德国大数学家、号称“数学王子”的高斯(图4)有句名言：“数学是科学的皇后”这句话几乎可以说家喻户晓，但许多人可能不知道，高斯跟这句话一起说了一段话，高斯这段原话的意思可以概括为两句话，“数学是科学的皇后，数学也是科学的女仆。”可以这样理解，前一句话突出数学是精密思维的典范，后一句则强调数学为其它科学服务，是其它科学的工具。非常形象和恰当地反映了数学的价值和作用。null伽利略、高斯都是数学家, 我们再看看一些非数学家的观点。德国哲学家康德曾经这样说道： “我坚决认为，任何一门自然科学，只有当它数学化之后，才能称得上是真正的科学。” 无产阶级革命家马克思也说过： “一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”null至于当代，我们引用美国数学史家C. M.克莱因的一段论述：“如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学也用符号表示数量关系和空间形式。与日常讲话用的语言不同，日常语言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重的、有意的而且经常是精心设计的。凭借数学语言的严密性和简洁性，数学家们就可以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言表达出来，就会显得冗长不堪。”null的确，任何精密的思维都得靠精确的语言进行表述。数学恰恰能以其不可比拟的、无法替代的语言（概念、公式、定理、模型等）对科学的现象和规律进行精确而简洁的表述。从运用偏微分方程建立的描述电磁规律的麦克斯韦方程组，到把黎曼几何和不变量理论作为其绝妙描述工具的爱因斯坦相对论；从矩阵理论为20世纪20年代海森堡和狄拉克的物理学奠定基础，到李群和规范场论成为物理学家探索各种力的统一理论的基本工具；从数学为各种现象提供抽象的理论模型，到用计算机语言来实现这些模型的算法，数学语言已成为表达真理必不可少的语言。null科学史上有大量的例子可以印证高斯和马克思等人的观点。自然科学以外的其他学科也正在证明数学的普遍适用性。 最著名的例子是牛顿，他想要一理论框架来表示重力作用下物体的运动，这包括kepler的行星运动规则，这种渴望驱使他发现了万有引力定律和微积分。在《自然哲学数学原理》一书中，牛顿证明了在到与吸引中心的距离平方成反比的引力作用下，被吸引物体沿椭圆轨道运行，而吸引中心在其一个焦点上（当初始速度足够大时，物体也可能沿其他圆锥曲线——抛物线或双曲线——运动）。他为此发展的力学数学工具成为人类文明中普遍适用的科学语言。1）数学与物理学1）数学与物理学数学与物理的关系极其密切，并已延续了几个世纪。数学的大部分内容，包括微积分在内，基本上是在与物理学和力学的联系中发展的，反之物理提供了数学在某种意义上最深刻的应用。物理的洞察力与数学精确性，使两者之间建立了一种天然的联系。物理学家处理的问题，从数学的角度看是极其有趣、困难和富有挑战性的。因此，寻求这些问题的答案及其解决方法一直是数学的活力的来源，这一点连孤傲的数学家哈代也赞同，他甚至把麦克斯韦、爱因斯坦等人都视为数学家。null在20世纪初相对论的创立过程中，数学可以说建有奇功。1907年，德国数学家闵可夫斯基（H. Minkowski,1864－1909）提出“闵可夫斯基空间”，为爱因斯坦狭义相对论提供了合适的数学模型。有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦(图5)又进一步研究引力场理论以建立广义相对论。 null1912年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，还必须寻求理论的数学结构，一个很重要的要求是使引力定律在一定的坐标变换下保持不变(即所谓协变)。爱因斯坦为此徘徊徬徨了3年时间，最后在他的大学同学数学家格罗斯曼（M. Grossman）介绍下学习掌握了意大利数学家勒维-奇维塔等在黎曼几何基础上发展起来的绝对微分学，亦即爱因斯坦后来所称的张量分析，并很快发现这正是建立广义相对论引力理论的合适的数学工具。 null在1915年11月25日发表的一篇 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 中，爱因斯坦终于导出广义协变的引力方程 （ 是黎曼度规张量） 爱因斯坦指出，“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成。”广义相对论这幢大厦现在可以盖上金顶了, 而这个金顶依靠的恰恰是数学。 null后来，在回顾这段历史时，爱因斯坦坦率地承认了他过去轻视数学是一个极大的错误，他反省道：“在几年独立的科学研究之后，我才逐渐明白了在科学探索的过程中，通向更深入的道路是同最精密的数学方法联系在一起的。”这是爱因斯坦的自己的话。是作为一个科学家的深切体会。null根据爱因斯坦的引力场方程从数学上推导出来的结论，有一些后来被实验证实了，例如光线在引力场中的弯曲行为(图6, 1919年一次日全食过程中观察到的星光弯曲曾轰动世界)。按照爱因斯坦理论空间是弯曲的，刚提到的方程中的未知量是度规张量 ，空间的形式是靠这个张量来描述的，一旦知道了空间的物质分布，从理论上就可解出这些度规张量，这个空间的形式也就知道了。 nullnullnull按照微分几何学，一般情况下解出的空间曲率是不等于零的，曲率不等于零表示空间有弯曲，但是空间弯曲的理论在爱因斯坦以前数学家们就已经创造出来了，那就是在19世纪初叶高斯和俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家波约等人创立并经黎曼等人发展的非欧几何学。高斯曾称这种几何为“星空几何”，罗巴切夫斯基也坚信自己发现的新几何总有一天“可以像别的物理规律一样用实验来检验”，爱因斯坦的广义相对论恰恰揭示了非欧几何的现实意义，成为历史上数学应用最精彩的例子之一。null爱因斯坦的广义相对论后来有有了很大的发展，这些发展大都也与数学密切相关，可以说是物理学家和数学家共同努力的结果。最突出的如英国剑桥大学应用数学系霍金教授，霍金用数学方法严格证明了爱因斯坦方程中奇点的存在性，并据而发展了宇宙大爆炸理论和黑洞学说，这些理论深刻地影响着人类的时空观和宇宙观，在社会公众中引起了极大的兴趣。霍金于2002年国际数学家大会期间在中国北京、杭州等地做通俗报告讲解他的宇宙理论(图7)，可以说在当时公众中引起了一场不小的数学热。null诺贝尔物理学奖获得者温伯格（S.Weinberg）也曾谈到一个数学与物理的巧合，他认为这是不可思议的，当一物理学家得到一思想时，然后却发现在他之前数学家已经发现了。一个典型的例子是关于群论的。null群论是由一位法国的天才数学家伽罗瓦在19世纪早期发明的，目的是刻画任意多项式方程的根式可解性问题。历史上当2次方程及顺次而来的3次方程，4次方程成功地解出后，数学家们曾坚定地相信5次方程也能类似地求解。两个世纪后，J.拉格朗日意识到这不可能；又过了半个世纪，N.阿贝尔证明了一般的5次方程不可能用根式求解。那末，什么样的方程才能用根式来求解呢？E. 伽罗瓦完满地回答了这问题。他用群的概念来刻画根的置换对称性，为有关对称性的一般理论奠定了基础，这是数学中最深刻、影响最深远的概念之一。而且出人意料的是，20世纪上半叶，物理学家发现群论正是他们所需要的一种描述对称性的精确语言，空间平移不变直接导出粒子的动量守恒，转动对称性则导出角动量守恒，而能量守恒则是时间平移不变的结果。对称性维持着自然世界的秩序，群的重大意义就是不言而喻的了。例如，关于基本粒子你能问的最基本问题是它反映了哪个对称群。null伽罗瓦的动机完全是数学内部的，如今他的发明却不仅深入到数学中的每个领域，而且也成为自然科学许多分支中的非常适用的语言。2）数学在生命科学中的应用2）数学在生命科学中的应用在恩格斯写作《自然辩证法》的时代，数学还只是用在力学、物理学和工程领域，在生物领域的应用如他指出的那样几乎“等于零”。但是，今天数学在生物科学各分支的应用已经非常成功，甚至在数学中产生了生物数学这样的分支。生物学在数学的辅佐下，已经成为最振奋人心的科学前沿之一。人们说20世纪是生物学的世纪，这恐怕和生物学得益于数学而日趋兴旺是分不开的。null一个最有讽刺意味的事实是著名的英国数论家哈代在1908年发表的一篇文章在群体遗传学中得到了重要应用。前者是认为纯数学无用的人，后者是早期被看作不用数学的学科。哈代说过：“我从不干任何有用的事情，我的任何发现都没有、也不可能对平静的现实世界产生什么影响，不管是直接的还是间接的，也不管是正面的还反面的，他们（指某些数学家）的工作也和我的同样无用”。他一味蔑视应用工作，似乎以数学的无用为荣，并举例说，漂亮的无理数理论永远不可能应用于工程。然而他的成果却在生物学中获得了应用。 null该学科的一个基本问题是：人们的某种遗传学病（如色盲），在一群体中是否会由于一代一代地遗传而患者越来越多？20世纪初有些生物学家认为确会如此。如果这样，那么势必后代每个人都会成为患者。哈代利用简单的概率运算，指出这种说法是错误的。他证明了：患者的分布是平稳的，不随时间而改变。差不多同时，德国的一位医师温伯格也得到同样的结论。这一发现被称为哈代—温伯格定律。null1953年，美国生物化学家沃森和英国物理学家克里克共同发现了脱氧核糖核酸（即DNA）的双螺旋结构，标志着分子生物学的诞生。DNA是分子生物学的重要研究对象，是遗传信息的携带者，它具有一种特别的主体结构——双螺旋结构，后者在细胞核中呈扭曲、绞拧、打结和圈套等形状，且在复制期间必须解开。（图）而这正好是代数拓扑中纽结理论的研究对象，纽结论与概率论和组合学正一起帮着生物学家理解DNA系列的复杂3维力学。null1969年以来，数学家与生物学家合作在计算双螺旋“环绕数”方面取得了许多进展，环绕数是刻画两条闭曲线相互缠绕情况的拓扑不变量。1984年，关于纽结新的不变量，即琼斯多项式的发现，使生物学家获得了一种新工具来对DNA结构中的纽结进行分类。另外，1976年以来，数学家与生物学家合作在运用统计与组合数学来了解DNA链中碱基的排序方面也取得了令人鼓舞的成绩。null3）数学与经济学3）数学与经济学研究社会现象的各个分支，特别是经济学已经在大量地并且卓有成效地运用着数学。这可以从数学在诺贝尔经济学奖中的至关重要性充分地显现出来。null根据史树中教授在《诺贝尔经济学奖与数学》一书的统计，自1969年首届诺贝尔经济学奖至2001年期间33届共有获奖者49人，他将每个获奖者应用数学的深度分为四等：特强、强、一般和弱，其中“强”的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 为含有一般的数学推导和诸如微分学、回归分析之类的数学工具的应用，但不含数学上比较深刻的内容。按这样标准评判，这49位获奖者有27位可评为“特强”，占全体获奖者的一半以上；可评为“强”的人数为14人，即“强”以上占到41人，占总人数的八成以上。由此可见这些经济学理论的数学含量之高。无怪乎人们说诺贝尔经济学奖主要是奖给“经济学家中的数学家”的。null不过，这几十位获奖者中的确有两位大数学家：L.V.Kantorovich和J.Nash。后者在公众中的影响较大，这是因为他的传记90年代被拍为电影《美丽心灵》，后来又获得了2002年的奥斯卡奖。也有少数几位完全因为数学得奖，比如，德布罗（G.Debreu）是由于为当代数理经济学提出了系统的数学公理化方法。但多数人的工作价值在于将适当的数学内容植入现实的经济学土壤而获得了深刻的成果。例如阿罗（K.Arrow）对一般平衡模型的工做是数学对经济学最有价值的贡献之一，但他所用到的数学在数学家眼中并不算深刻。这里还有一个故事，当阿罗获得诺贝尔奖的时候，他是哈佛大学的教授。时任哈佛教务长的H.Rosovsky把这个消息告诉了数学系一位著名的同事，于是，这位数学家专门要了一份阿罗的著作拜读。看了之后，他说那些数学是很基本的，哈佛的 一年级 小学一年级数学20以内加减练习题小学一年级数学20以内练习题小学一年级上册语文教学计划人教版一年级上册语文教学计划新人教版一年级上册语文教学计划 大学生即可完成。这说明阿罗著作中数学并不高深，但他的贡献在于把两个领域结合起来了，产生的合力比各个部分的力量之和要大，因而获得了非凡的突破。这也许是大多创新成果的共同特点。null阿罗的工作属于一般经济均衡理论，该理论是19世纪70年代由法国经济学家沃拉斯（L.Walras）首先提出的，其基本思想是：在一个经济体中有许多经济活动者，其中一部分是消费者，一部分是生产者。消费者追求消费的最大效用，生产者追求生产的最大利润，他们的经济活动分别形成市场上对商品的需求和供给。市场的价格体系会对需求和供给进行调节，最终使市场达到一个理想的一般均衡价格体系。在这个体系下，需求与供给达到均衡，而每个消费者和每个生产者也都达到了他们的最大化要求。沃拉斯把这归结为由供给等于需求决定的方程组的求解，但他没有意识到此方程是一个非线性方程，而仅仅简单地比较方程个数与未知量的个数就断定方程有解。 null一般认为沃拉斯是数理经济学影响最大的创始人，所有经济学家中最伟大的一个，而一般经济均衡体系是经济学家中唯一可以同理论物理学家在物理学中的成就相比拟的工作。因此，沃拉斯理论的缺陷就成为几十年中众多经济学家和数学家关注的大问题。直到1954年，阿罗和德布罗通过引进集值映射、凸性、不动点定理等数学工具，给出了一般经济均衡的严格叙述和存在证明，该理论才真正成为严格完整的理论体系。一般经济均衡的阿罗－德布罗框架被认为是划时代的贡献。而1959年德布罗发表的《价值理论》又进一步使这一理论体系变为公理化体系。从此，数学公理化方法成为经济学研究的基本方法。阿罗和德布罗分别也荣获1972年和1985年的诺贝尔经济学奖。null数学在向外渗透的过程中，产生了一些相对对立的应用学科，这些学科从数学方法和数学理论上讲已经可以独立门户，其应用对象不限于某一门特殊的学科，而是适用于相当广泛的领域。这样的应用数学学科有数理统计、运筹学、控制论等等。下面举两个例子说明。null美国新闻界历来有“总统竞选预测”的传统。过去常用模拟选举，即在报纸上登模拟选票，让读者填好寄回，以此推测候选人中谁最有希望当选总统。1916至1932年，当时公认的全美权威性杂志《文学文摘》，先后在四届总统选举前都搞过着这种形式的预测，结果相当灵验。1936年，该杂志社根据模拟结果又一次作出预测，声言共和党候选人兰登将以57%的得票率，战胜谋求连任的罗斯福总统而入主白宫。与此同时，另一位名不见经传的乔治·盖洛普却告诫人们：罗斯福再次当选的可能性大于兰登。然而，盖洛普人微言轻，他的话并没有引起太多人的注意。直到开箱验票，罗斯福再度当选，这位有先见之明的小人物才名扬天下，由他创办的“美国舆论研究所（AIPO）”也随之声名大振。 null盖洛普的成功的秘诀，主要是基于数理统计中的“大量观察、随机抽样”的调查方式。从1936到1984年，美国举行过13届总统选举，由盖洛普领导的AIPO对这13次竞选的预测，平均误差仅为2.6%；除1948年和1980年两届选举以外，AIPO的预测都是相当成功的。这种精确程度在社会科学研究史上是极为罕见的。虽然也有两次不光彩的记录，AIPO的专家们从失败中认真汲取教训，设计了一种能发现“临时变卦”者并及时修正预测的方法。由于使用了这种“新式武器”，该所在1984年的预测中取得了有史以来的最佳成绩，预测当选总统里根的得票数与实际结果几乎分毫不差。 null第二个例子是语言学中也在使用着大量的数学 。这种想法在十九世纪就有了。瑞士语言学家索绪尔（De Saussure）认为：“在基本性质方面，语言中的量与量之间的关系可以用数学公式有规律地表达出来。”他还说过，语言学好比一个几何系统，“它可以归结为一些待证的定理。”1904年波兰的一位语言学家则说，语言学家不仅应该掌握初等数学，而且还有必要掌握高等数学。他表示坚信，语言学将日益接近精密科学，语言学将根据数学的模式，“更多地扩展量的概念”并“将发展新的演绎思想的方法”。美国的语言学家龙费尔德有一句名言：“数学不过是语言所能达到的最高境界。” null事实上，他们的先见之明早已变成了现实，数学已经渗透到了语言学的各个分支，产生了“数理语言学”这样的语言学分支。根据冯志伟在《语言与数学》一书中的观点，语言符号的随机性、离散性、递归性、非单元性等等分别可以同数学中的统计数学、集合论、公理化方法和数理逻辑建立联系[24]p17。不过，语言学中用得最早最多的当数统计方法。null早在1851年，英国数学家迪·摩根（A.de Morgan）曾把词长作为文章风格的一个特征进行过统计研究。1913年，俄国数学家马尔科夫（A.A.Mapков）研究了普希金的叙事长诗《欧根·奥涅金》中俄语字母序列的生成问题，提出了马尔科夫随机过程论。在这里，语言结构中所蕴藏的数学规律，成了马尔科夫创造性思想的源泉。null苏联的文学名著《静静的顿河》是肖洛霍夫本人所作还是抄袭克留柯夫的作品，曾经引起过热烈的争论。于是，一些学者使用计算机和统计方法对这个问题进行了分析研究。他们从《静静的顿河》中挑选出2000个句子，再选两位作者的其他小说各一篇，从中又各选500个句子，这样一共是三组样本，3000个句子，输入计算机进行处理。根据句子的平均长度、词类的使用情况、句子结构等方面的统计分析，得出结论：《静静的顿河》确系肖洛霍夫的手笔。后来，这篇长篇小说的原稿被发现了，专家考证的结果也证实了计算机统计分析的结论是完全正确的。null我国数学家李贤平，利用数理统计原理和电子计算机技术，对我国古典名著《红楼梦》的成书也进行过类似的研究。他把《红楼梦》一百二十回作为一个整体，以回为单位，从中挑选出几十个常用字；由于字的使用频率与作品文字风格直接相关，用计算机进行统计，并将其使用频率绘成图形，从星云状和阶梯状的图形上可以直观地看出几大群落，而这就是不同作者的创作风格的形象反映。 null据此，李贤平对以往流行的“前八十回为曹雪芹所作，后四十回为高鹗所续”的看法提出了异议，并提出了《红楼梦》成书新说：轶名作者作《石头记》；曹雪芹“披阅十载，增减五次”，将自己早年所作《风月宝鉴》，定名《红楼梦》；程伟元、高鹗是全书的整理，抄成者。尽管其结论尚值得商榷，但是这种用现代数学方法和电子计算机技术研究古典文学名著的研究方向，受到了国际红学界的赞赏。西方也有人曾用上述方法鉴别过新近发现的莎士比亚作品的真伪。 null可见，一些过去认为与数学无缘的学科，如考古学、语言学、心理学等现在也成为数学能够大显身手的领域。数学方法甚至也在深刻地影响着历史学研究，能帮助历史学家做出更可靠、更令人信服的结论。这些事实说明什么呢？我们可以不怎么夸张地说，在研究自然和社会的林林总总的学科中，能够不通过使用数学语言而有很大改观的学科，已经寥寥无几了。null俄国数学家Y.I.Manin在谈数学的文化作用时说：“依我之见，所有人类文化的基础是语言，而数学是一种特殊的语言。自然语言是个极其柔韧可变的工具，可用来交流生存所必需的东西，用来表达人的情感和增强人的意志，用来创造诗或信仰的虚幻世界，也用它来诱骗或定罪。但是自然语言并不很适合于获取、组织和保存不断增进的对自然的了解，而这种了解是现代文明的最本质的特点。亚里士多德可以说是最后一位伟大的思想家，他把语言的能力伸展到了极致。 null随着伽利略、开普勒和牛顿的出现，自然语言在科学中已降格为下述两个方面的一个高级中介者：一方面是我们的大脑，而另一方面则是编译在天文数表中，在化学公式中，在量子场论的方程中，以及在人类基因数据库中的实际科学知识。在学习和教授科学时使用自然语言，我们会带上我们自身的价值观和偏见，……然而却与科学演讲的内容没有真正实质的关系。所有本质的东西都是由一长串多少具有良好结构的数据来实现，或者由数学来实现。 null正因为如此，我相信数学是最显要的文化成就之一，而作为研究者和教师的我，在每天工作结束之时，对于毕生所执着追求的数学仍怀有敬畏和羡慕。”但Manin同时也说，他不相信在与大众进行科学与人类价值观的辩论中，他能令人信服地为此信念而成功地辩护。数学是推动生产发展、影响人类物质生活方式的杠杆 数学是推动生产发展、影响人类物质生活方式的杠杆 数学从它萌芽之日起, 就表现出与人类物质生产活动的紧密联系。数学对人类生产的影响, 最突出地反映在它与历次产业革命的关系上。人类历史上迄今发生的三次产业革命, 其主体技术都与数学新理论、新方法的应用有直接或间接的关联。1）数学在第二次产业革命中的作用 1）数学在第二次产业革命中的作用 第二次产业革命的主体技术之一是无线电通讯，然而可以说没有数学就没有无线电通讯，那是因为无线电通讯的物理载体—电磁波的存在，最初并不是通过实验或观察，而是基于严密的数学方法作出的预言，具体地说是依据所谓麦克斯韦方程推导而得的结果。 nullnull1864年，英国物理学家、数学家麦克斯韦(图8)发表了一篇有划时代意义的电磁学论文，这是他在经历了无数次的失败后，用纯数学的方法对自法拉弟、安培以来的电磁理论的成功总结，他在其中将全部电磁现象规律归结表述为两组方程，即麦克斯韦方程(图9),并根据对这两组方程的推导结果大胆地预言了一种以光速传播着的波也就是电磁波的存在。 null麦克斯韦的理论当时只有少数几个犹豫不决的支持者。24年后，德国物理学家赫兹在振盪放电实验中证明了麦克斯韦的预言，不久意大利的马可尼和俄国人波波夫又在赫兹实验的基础上各自独立地发明了无线电报。这样，麦克斯韦方程不仅实现了自牛顿以来物理学的又一次伟大综合，而且为日后风靡全球的无线电技术奠定了基础，从此电磁波走进了千家万户的生活。有人说麦克斯韦方程是改变世界的方程，我想这不算夸张。深入了解科学的历史将会发现，这样的方程还远不止是麦克斯韦方程。2）数学在第三次产业革命中的作用 2）数学在第三次产业革命中的作用 应该说明, 数学与人类生产的联系是复杂的、曲折的。数学往往会走在前头,然后再在生产中获得应用，即依靠数学内部矛盾的推动而发展起来的纯粹的、抽象的理论，最终会反过来推动社会生产的发展，在科学史上不乏这样的例子。1901年英国数学家罗素(图10)曾提出过一个集合论的悖论，罗素为了让普通老百姓了解数学本身存在的矛盾，后来又把它改编成通俗的形式，即所谓“理发师悖论”：null一个村庄里的理发师说：“我只给那些不给自己理发的人理发。”那么这个理发师该不该给自己理发呢？试试看, 你会发现, 从理发师的声明出发, 无论怎样推论, 得到的都是与假设相反的结论。自相矛盾, 这就是悖论。那末这样一个在书斋里吞云驾雾、冥思苦想得来的近乎游戏的结果, 难道跟人类的生产与生活会有什么干系吗？ null事实是, 由于这个悖论揭示了数学最基础的部分存在的深刻矛盾，在以后三十年中数学家们围绕它展开了激烈的争论并形成了关于数学基础的三大学派，争论的结果引出了一条被誉为是二十世纪最深刻的数学定理—哥德尔不完备性定理，对这个定理所涉及的一个基本概念—可判定性的深入研究又促使英国数学家图灵提出了当今计算机科学中极为重要的“可计算性”概念, 为了判断所谓的可计算性, 图灵提出了一种理想的计算机模型即今天所说的“图灵机”，这就是现代通用程序计算机的理论模型。 null图灵机从理论上预示了设计制造电子计算机的可能性，这与上面提到的麦克斯韦方程预言了电磁波的存在性质相同。这是1936年的事情，比实际计算机的发明还早了十几年。null其实，即使不计莱布尼茨时代的尝试，计算机的历史仍然可以再上溯一个世纪。19世纪的英国数学家C.拜贝奇(C.Babbage,1792-1871)为计算机的发展做出了奠基性的工作。他是为了克服编制航海表过程中经常出现的错误，产生了要设计一种自动计算机的念头。怎样去设计呢？他想到了法国人的做法。法国政府在进行度量衡改革时，不仅统一了基本的度量衡单位为十进制，还想将角度的单位换算也改成十进制。由于计算工作量太大，他们把一些复杂的计算步骤分解成一系列简单的加减运算，编号了一个计算程序；然后请来上百个不太精通数学的人按事先编好的程序进行计算。 null拜贝奇认为这第二步任务可以交给机器去做。于是，他花了10年的时间去刻苦不懈地潜心研究，终于在1812年设计并制作了一台（可运转的专用，规模不大的）计算机，他把叫作“差分机”。他的计算机除了 “程序内存”这一特点外，具备了现代计算机的主要特点，即用程序控制的自动计算机，虽然是由蒸汽机驱动的。（这里待查差分机的性能）此后，拜贝奇又继续开发一种他称之为“分析机”的计算机，想用来编制精密的航海表，但由于技术条件的限制，尽管他已经完成了设计，但他的梦想最终未能实现。 null拜贝奇为了研制这种分析机付出了他后半生主要精力和财产，甚至不惜辞去荣誉极高的卢卡斯教授席位，也就是牛顿的老师让贤给牛顿的、现在霍金身居的高位。但当时能够理解他的思想的人寥寥无几，真正的支持者只有三个人，一个是后来成为意大利总理的闵纳布利，他将拜贝奇关于分析机的讲演整理成文并在报纸上发表；另一位是诗人拜伦的女儿拉甫雷斯夫人，她将闵纳布利的文章译成英文并加进许多有创见的注释，其中包括她本人编制的一些函数计算程序，开现代程序的先河；第三位是拜贝奇的儿子——拜贝奇少将，在他父亲死后还为分析机奋斗了许多年，坚信“总有一天，类似的机器将会制成，它不仅在纯数学领域中，而且将在其他知识领域成为强有力的工具。”null一个世纪后，世界上第一台电子计算机ENIAC问世，拜贝奇的思想得以充分地实现。这一方面是由于电子管的发明提供了物质基础。另一方面，早在19世纪中叶，英国数学家布尔（G.Boole,1815-1864）创立了布尔代数，为二进制计算机提供了数学基础；再就是图灵的“理论计算机”的至关重要性。nullENIAC的程序仍然是外插的，在解题之前必须先想好所需要的全部指令，用人工接好机外交换线路，使用起来很不方便。常常是为了几分钟运算花几个小时准备程序，采用电子管后获得的速度优势难以充分发挥。如果这个缺陷不能克服，那么刚刚诞生的电子计算机就有可能夭折。恰恰在这个可以说关系到电子计算机存亡的问题上，数学家再一次做出了关键的贡献，特别是冯·诺伊曼（von Neumann）。null1944年夏日的一天，在阿伯丁火车站，ENIAC研制组的关键人物戈德斯坦(H.Goldstine)正巧遇到了冯·诺伊曼也在候车，在交谈中他向这位大名鼎鼎的数学家透露了ENIAC研制中的问题，立即引起了后者的关注。冯·诺伊曼当时正在参与美国的原子弹试制工作，深受繁重计算之累，从此便加入到ENIAC研制组。他与设计组的其他成员一起深入分析了计算机的逻辑控制问题，1945年6月提出了一个全新的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，命名为“离散变量自动电子计算机”（Electronic Variable Automatic Computer），英文缩写是EDVAC。 null其中一项重大的革新就是所谓存储程序的概念，即用记忆数据的同一记忆装置存储执行运算的命令。不仅解决了计算与编程速度匹配的问题，还创造了在机器内部用同样速度进行程序逻辑选择的可能性，从而使全部运算成为真正的自动化过程。这个设计在当时立即就产生了广泛的影响，直到现在一直在统治着计算机的结构。后来人们把按这种方案设计的计算机通称为“冯·诺伊曼机”。完全由他本人领导制作的计算机EDVAC于1946年完成。null冯·诺伊曼方案的根本特点是程序内存，它使计算机具备了“思维”性质的功能。不过，冯·诺伊曼把这个思想的来源归于图灵，说他自己的贡献只是创造性地发展了图灵30年代的结论。图灵作为数理逻辑学家最初的工作并非是为计算机而做，虽然后来在二次世界大战期间，图灵也曾为英国军方研究设计计算机并得奖。 null可见，在最早的电子计算机的设计制造方面，数学和数学家发挥了关键作用。大数学家冯诺依曼甚至因对第一台电子计算机(ENIAC)的卓越贡献而被戴上了“计算机之父”的桂冠。图灵本人在二战期间也参与了早期电子计算机的设计制造，他亲自设计的“巨人号”专用电子计算机曾成功地破译了德军的作战密码，他因此而荣获英国国防部的荣誉勋章。null正如我们所看到的，当今计算机已经成为社会最宏大的产业，同时对人们的生活方式产生着影响深远的冲击。从罗素悖论到现代计算机，这中间的联系完全是始料不及的，即使罗素本人恐怕也梦想不到。这就是数学，数学影响社会生产和改变人类生活方式的价值。难怪拿破仑要说： “数学的发展跟国家的繁荣是紧密相关的。”null从20世纪40年代开始的第三次产业革命，除了上述电子计算机的发明带来的信息革命外，还有核能和空间技术的开发等等。在这些领域内，无论是过去还是现在都离不开数学家的辛勤劳动。首先原子能的释放，理论上归功于爱因斯坦的狭义相对论导出的著名公式揭示了质能转换的可能性。其次，美国在第一颗原子弹研制的过程中，吸收了一批数学家参加，前面已经提到，冯·诺伊曼就是其中的一位高级顾问。早期如此，那么现在怎么样呢？null我们知道，在核技术研究中，核反应过程是在高温高压下进行的，核爆炸的巨大能量在微妙量级的时间内释放出来，要在核试验中作全面细微的测量是极其困难的，只能得到一些综合效应的数据。而且即使这样费用也贵的惊人。那么，最简单的办法是把它搬到计算机内搞模拟试验。其实，核反应过程也是有数学模型的，是一组非定常的非线性偏微分方程，用计算机进行数值求解并作出不同时间的图像，就可以获得试验的各种结果。 null试想一下！把每设计一个新 型号 pcr仪的中文说明书矿用离心泵型号大全阀门型号表示含义汽车蓄电池车型适配表汉川数控铣床 需要调整各种参数进行优选等等工作都交给计算机去做，可以减少多少次核试验、节约多少经费啊！再如空气动力学都少不了做风洞试验，这也是非常昂贵的试验，过去甚至每做一次必须让周围大面积停电。如今通过计算机求解流体力学方程进行仿真，已经成为航空航天专家们不可或缺的手段。3）数学在战争或产业技术中应用3）数学在战争或产业技术中应用关于数学在技术上的应用，我们再次从哈代的一个论断开始。还是在他的那本著名的小册子《一个数学家的辩白》中，这位伟大的数学家写道：“真正的数学对战争没有影响。还没有人发现数论或是相对论服务于战争目的，在许多年内似乎也不会有人发现这种事。”这段话写于1940年，五年之后美国的原子弹就在日本广岛爆炸了，相对论不仅影响了战争而且改变了世界。国际形势因此转入了冷战阶段，美苏两个超级大国储备了数以千计的核弹头导弹，两国总统随身携带的核密码箱却恰恰涉及到哈代提到的另一个数学分支——数论。数论比相对论纯粹多了，历史上一直作为一种高级智力游戏发展着，是哈代心目中不可多得的一块“净土”，如今在许多方面都有应用，比如在信息社会中越来越重要的密码安全领域就派上了用场，成为现代密钥体系的一种理想选择。null密码在战争中的作用不亚于火炮弹着点的精确度，后者是数学在早期战争中的主要作用，而密码直接影响到战争的全局。第一次世界大战中东西两条战线截然不同的战局就清楚地说明了这一点。null东线的法、俄、奥匈帝国兵力上占有绝对优势，且对德军形成两面夹击。正如当时的德军指挥官鲁登道夫所说：“北方的俄国集团军大有‘黑云压城城欲摧’之势，只要它从东北方向压过来，我们就会溃不成军。”[转引自《密码与战争》，群众出版社，1984，第9页。]但是，战局却没能这样发展，因为德军截获了俄方的电报，这使它在战争中占据了主动权，以至能在坦能堡一仗中如同演习般地包围和歼灭了俄国军队。这可以说是历史上第一次靠无线电侦查取得的军事胜利。在随后的东线战场上，尽管俄军采取了电报加密措施，但德国人的破译屡屡成功，因而能屡战屡胜。null然而，西线战场上的情形却正好相反。法国军队多次破译了的德军的密码，使协约国有效地遏制了德军1918年的的攻势，还曾处决了一位被怀疑为德军间谍但不明国籍的舞女。美国的参战是德军失败的关键，而这恰恰也和情报有关。起初美国奉行中立主义，威尔逊总统就是靠坚持孤立主义连任的。但德国人击沉了美国的一艘供应舰造成了美国平民的伤亡，随着美国对协约国的供应增多，德方知道进一步得罪美国是不可避免的。于是，德国外交部长以帮助墨西哥收复1846年被美夺去的大片领土为诱饵，要求墨西哥对美宣战来消除美国潜在的威胁。这个关键的电报被英国截获，美国的中立幻想至此破灭，终于下定决心对德宣战，德国从此走向了失败。null传统的密钥体系是传送信号方和接收信号方共有一套密码规则，传送方用其对信号进行加密，而接收方则反其道用之还原信号。戏剧《红灯记》中李玉和一家就是为了保护和传送一本密电码同日本鬼子进行着不屈不挠的斗争，可见密码通信在战争中的重要性。null密码的约定可以是一种替代规则。例如在英语的26个字母中，每个字母都用其后继者替代，这样，单词ACTION用密码传送时就变成BDUJPO.当然，这种替代规律很容易被敌人发现，因为每个字母在英语中出现的频率是一定的，对方只要统计一下码文中每个字母在一定量的词汇中出现的次数，比如发现字母“B”出现的次数与字母“A”在英语中出现的频率一致，就可以推测该密码以“B”代“A”,进而发现全部的规律。当然，你可以说，魔高一尺，道高一丈嘛！搞得复杂一些不就行了！但是，无论你变换什么方法，只要有某种“可被辨认”模式存在，现代高级的统计方法在计算机的帮助下就不难破译你的密码。null现代的密钥体系一般都要使用计算机，同时也假定敌人有强大的计算机来分析你的信息。所谓加密通常就是计算机程序或者是专门设计的计算机，而解密的钥匙则多为一个秘密选定的数字。这个数字既是加密时的依据，更是解密的法宝。敌人可能知道你的加密体系，但要想获得你的编码信息就得设法搞到你的钥匙。美国使用的数据加密标准叫DES，其钥匙就是个数，用二进位表示有56位。该体系并不保密，因此，从理论上讲，任何敌人只要试遍所有可能的数字就能找到适用的钥匙，但要知道这种盲目的试开次数共计 次之多，以目前的计算机处理速度实际上是不可能的。虽然不是绝对的安全，但从安全性和经济方便性综合考虑依然是比较适用的密钥体系，因而目前还在广泛使用着。null上述编码方法无论安全性如何，都有一个明显的缺陷：接受者必须与发送者见面或通信交流才能获知所用的密钥，最起码要通过可靠的信使来传递。而这对于未曾谋面的个人之间，特别是国际间的银行及商务活动显然有诸多不便。于是，一种新的密码体系诞生了，它是公开密钥的密码学，其中的编码方法需要两把钥匙，一把用于加密，而另一把用于解密。具体方法是这样的，新用户首先买一本标准程序，（这是供通信网络的所有用户使用的，）从中确定两把密钥。一把他要严格保密，将来靠它来解密信息的；另一把刊登在网络的用户手册上。发送者需要做的全部工作是查出用户所公开的密钥，用它对信息加密并发送出去。对任何其他人而言，知道这把公开的密钥是无用的，因为解码需要另一把专门的钥匙，而这只有那位接受者才有。这样，信息一旦加了密，连发送者自己也无法破译它。null这真是一个高明的办法！但是怎样才能具体实现呢？这就用到了“数学皇后的皇冠”——数论中的一些结论。 借助计算机，找两个较大的素数出来（比如100位数字大小的）是可以做到的，然后计算它们的乘积也不成问题；但反过来由乘积去求两个素因子，却没什么办法，因为根据数论的现有成果，对于大整数的因子分解不存在快速的方法。这正是我们要利用的一个主要事实。 null比如两个100位数字的素数p和q，乘积n就是200位数字的数。要分解这个巨大无比的数，就得用从1到 的所有整数去试除，看看有没有它的因子。这项工作就得执行 次除法运算。如果用每秒1亿次的计算机也需要 秒钟，也即 年左右的时间才能完成。当然，实际做时只需选择其中的素数去除，但问题是要判断100位数之内哪些数是素数本身就是相当头疼的事，即使用现今最快速的计算机和最高效的算法，要分解一个200位的数也要几亿甚至几十亿年才能完成。[22]null因此，这里的两把钥匙可以分别约定为：素数和它们的乘积。用户把自己选出的两个素数记在心里将来作为解密的钥匙，而把其乘积公开用作加密的钥匙。加密对应于两个大素数相乘，而解密则对应于相反的因子分解过程，机理非常简单，但一易一难用得恰到好处。由于大数因子分解的困难，从公开加密的钥匙重新找到解密钥匙实际上是不可能的。这就是如今普遍使用的公开密钥体系的基本思想，当然不是全部的工作原理，所涉及的更复杂的数学知识这里不再详谈，但都是费马已经明白了的数学。这一体系叫做RSA体系，随着计算机处理因子分解的能力在不断提高，它的安全性也开始受到了威胁。[19]23 null关于数学在技术发展中的直接应用我们举一个医疗设备的例子。八十年代以来我国医院里普遍使用的CT扫描仪是大家都熟悉的，这种仪器为体检带来很大的方便，是20世纪医学中的奇迹，但它的“幕后英雄”依然是数学。null几十年前，一个名叫A.M.Cormark的美国工程师，寻找一个不经手术便能准确确定一个体内物体的位置和密度的方法，但那时只有X射线是可以利用的，给出的信息当然是二维的。大家知道，不同的物质有不同的X射线衰减系数。如果能够确定人体的衰减系数的分布，就能重建其断层或三维图像。但通过X射线透射时，即以往常规的透视，只能测量到人体的直线上的X射线衰减系数的平均值（是一积分）。当直线变化时，此平均值（依赖于某参数）也随之变化。能否通过此平均值以求出整个衰减系数的分布，从而重现物体内部的密度呢？ null这个问题在数学上早已有了答案，那就是Radon积分变换，是一位名为Radon的数学家所做的工作。基于Radon的成果，Cormack明白了把X射线从许多不同角度照